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1. Resolver el siguiente problema por el sistema dual simplex
Max Z = 0,50X1 + 0,40X2
Sujeto a
2X1 + X2 ≤ 120
2X1 + 3X2 ≤ 240
X1, X2 ≥0
El modelo estándar es:
Z – 0,5X1 – 0,40X2 + 0S1 + 0S2 = 0
2X1 + X2 + S1 = 120
2X1 + 3X2 + S2 = 240
X2
-0,4
1
3
S1
0
1
0
S2
0
0
1
Z
X1
S2
z
1
0
0
X1
0
1
0
X2
-3/20
1/2
2
S1
1/4
1/2
-1
Z
X1
X2
z
1
0
0
X1
0
1
0
X2
0
0
1
bi
0
120
240
.c
X1
-0,5
2
2
as
z
1
0
0
bi
30
60
120
S2
3/40
-1/4
1/2
bi
39
30
60
em
at
ic
a
S2
0
0
1
em
at
S1
7/40
3/4
-1/2
se
sd
sy
m
Z
S1
S2
om
Como la función objetivo se debe maximizar no se multiplica por (-1). Además como las
restricciones son menor o igual entonces nos quedan de la misma forma. Ya podemos
desarrollar el tablero simplex
w
.k
la
El tablero es óptimo por tanto
X1 = 30, X2= 60, S1 = 0, S2 = 0, Z = 39
w
w
2. Una Fábrica de automóviles, produce dos tipos de auto por pedido, lujo y corriente,
usando hierro, acero de alta calidad y plástico de alta resistencia, en unidades cuadradas
con el mismo espesor, a saber para el auto de lujo se necesitan 1000 unidades cuadradas
de hierro, 400 de acero y 1500 de plástico, para un automóvil corriente se requieren 1000
unidades de hierro, 1600 de Acero y 2000 de plástico. Los automóviles de lujo producen
por su venta una ganancia de $12000, los tipo corriente $9000. En la actualidad, la
empresa dispone de 200000 unidades de hierro, 128000 de Acero y 220000 de Plástico.
Han recibido pedidos para dos tipos de autos, y les gustaría producir la cantidad de
automóviles de cada tipo que maximicen la utilidad. ¿Cuántos automóviles de cada tipo se
deben producir?
Asumimos que
X1 es el número de autos de tipo de lujo
X2 es el número de autos de tipo corriente
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Función Objetivo: Maximizar utilidades Z = 12000X1 + 9000X2
Sujeto a
1000X1 + 1000X2 ≤ 200000
400X1 + 1600X2 ≤ 128000
1500X1 + 2000X2 ≤ 220000
X1, X2 ≥0
Restricción para el hierro
Restricción para el acero
Restricción para el plástico
Modelo estándar
Z – 12000X1 – 9000X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0
1000X1 + 1000X2 + S1 = 200000
400X1 + 1600X2 + S2 = 128000
1500X1 + 2000X2 + S3 = 220000
X2
7000
-1000/3
3200/3
4/3
S1
0
1
0
0
S2
0
0
1
0
em
S3
8
-2/3
-4/15
1/1500
bi
1760000
160000/3
208000/3
440/3
em
at
bi
0
200000
128000
220000
om
X1
0
0
0
1
S3
0
0
0
1
.c
z
1
0
0
0
as
Z
S1
S2
X1
S2
0
0
1
0
m
S1
0
1
0
0
sy
X2
-9000
1000
1600
2000
ic
a
X1
-12000
1000
400
1500
at
Z
S1
S2
S3
z
1
0
0
0
sd
El tablero es óptimo por tanto la solución es:
.k
la
se
X1 = 440/3, X2= 0, S1 = 160000/3, S2 = 208000/3, S3 = 0, Z = 1760000
w
w
w
3. Una fábrica de muebles construye mesas y sillas, en diversos estilos. Cada mesa,
independientemente de su estilo, se vende a $4 y cada silla a $3. Las restricciones de
tiempo a la semana en la actualidad para estos productos están dados por 2X1 + X2 ≤ 30 y
X1 + 2X2 ≤ 24 y la empresa decide cambiar el tiempo disponible para estos productos a 35
horas y 30 horas, respectivamente, ¿Cuál sería el efecto de este cambio? ¿Cuál la
maximización de las utilidades?
Función Objetivo: Maximizar utilidades Z = 4X1 + 3X2
Sujeto a
2X1 + X2 ≤ 30
X1 + 2X2 ≤ 24
X1, X2 ≥0
Modelo estándar
Z – 4X1 – 3X2 + 0S1 + 0S2 = 0
2X1 + X2 + S1 = 30
X1 + 2X2 + S2 = 24
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Z
S1
S2
z
1
0
0
X1
-4
2
1
X2
-3
1
2
S1
0
1
0
S2
0
0
1
bi
0
30
24
Z
X1
S2
z
1
0
0
X1
0
1
0
X2
-1
½
3/2
S1
2
½
-1/2
S2
0
0
1
bi
60
15
9
Z
X1
X2
z
1
0
0
X1
0
1
0
X2
0
0
1
S1
5/3
2/3
-1/3
S2
2/3
-1/3
2/3
bi
66
12
6
om
El tablero ya es óptimo. Por tanto, la solución es:
as
.c
X1 = 12, X2= 6, S1 = 0, S2 = 0, Z = 66
em
at
ic
a
sy
m
Si las restricciones cambian a 35 y 30, el modelo queda
Función Objetivo: Maximizar utilidades Z = 4X1 + 3X2
Sujeto a
2X1 + X2 ≤ 35
X1 + 2X2 ≤ 30
X1, X2 ≥0
em
at
La matriz inversa óptima es:
⁄
⁄
⁄
⁄
)
( )
⁄
(
⁄
w
w
w
.k
la
se
sd
(
⁄
⁄
)(
)
(
⁄
⁄
)
El nuevo valor de la función objetivo es:
⁄
⁄
⁄
4. Una cadena de tres almacenes en el país, los cuales usan pocillos porcelanizados. Se ha
invitado a tres proveedores para compartir por la concesión de surtir estos productos. Sus
propuestas son:
Proveedor
A
B
C
Precio
$90
$100
$110
Capacidad anual
30000
75000
135000
El costo de transporte por unidad está dado por
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De
A
B
C
No 1
$80
$50
$20
No 2
$10
$20
$40
No 3
$30
$50
$20
Las necesidades de pocillos para los restaurantes son de 30000, 60000 y 15000
respectivamente. ¿Cuántos pocillos deben comprarse de cada proveedor para cada
restaurante?
La matriz de costos es:
No-1
No-2
B
C
OFERTA
30
0
50
20
50
0
20
40
20
0
30000
60000
30000
75000
135000
15000
135000
240000
.c
DEMANDA
Ficticio
10
om
A
No-3
80
at
em
sd
w
w
w
.k
la
se
Sujeto a
Oferta
X11+X12+ X13 ≤ 30000
X21+X22+ X23 ≤ 75000
X31+X32+ X33 ≤ 135000
Demanda
X11+X21+ X31 ≥ 30000
X12+X22+ X32 ≥ 60000
X13+X23+ X33 ≥ 15000
Con Xij≥0, para i=1,23 j=1,2,3
em
at
ic
a
sy
m
as
En este ejercicio cada proveedor tiene un precio de compra.
Por tanto el modelo es el siguiente
Si la variable Xij es lo que sale del proveedor i (A,B,C) a los restaurantes j (1,2,3)
Minimizar
Z= 90(X11+X12+ X13 ) + 100 (X21+X22+ X23 ) + 110(X31+X32+ X33 ) + (80X11+10X12+ 30X13 ) +
(50X21+20X22+ 50X23 ) + (20X31+40X32+ 20X33 )
Solucionando el modelo a través de SOLVER se tiene
X11= 0, X12= 30000, X13= 0, X21=0, X22=30000, X23=0, X31=30000, X32= 0 X33=15000
Con un costo de 12’450.000
5. Una empresa industrial tiene tres plantas de distribución, cuyo producto debe distribuirse
a 4 almacenes. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 pedidos por mes. Cada centro de
distribución necesita recibir 12 pedidos por mes. El costo del flete de cada pedido es $200
más $1 por Km. ¿Cuánto se debería despachar a cada almacén para minimizar el costo del
envío?
Minimizar
Z= (1000X11+1500X12+ 600X13 + 600X14) +
(1300X21+1600X22+ 800X23 + 1200X24) + (800X31+1400X32+ 201X33 + 201X34)
Sujeto a
Oferta
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X11+X12+ X13 + X14≤ 12
X21+X22+ X23 + X24≤ 17
X31+X32+ X33 + X34≤ 11
Demanda
X11+X21+ X31 ≥ 12
X12+X22+ X32 ≥ 12
X13+X23+ X33 ≥ 12
X14+X24+ X34 ≥ 12
Con Xij≥0, para i=1,2,3 j=1,2,3,4
ic
a
sy
m
as
.c
om
Para solucionarlo se utiliza WINQSB y se encuentra que:
em
at
Es decir,
X11= 11, X12= 0, X13= 0, X14 =0, X21=1, X22=4, X23=12, X24= 0 X31=0, X32= 0, X33=0, X34=11
Z = 31111
w
w
w
.k
la
se
sd
em
at
6. Una microempresa tiene 3 máquinas A, B y C y 3 operarios. El administrador de la empresa
desea que los operarios trabajen en las tres máquinas, minimizando el tiempo total de
trabajo. Cada operario debe ser asignado a una máquina y cada máquina debe ser
ocupada por un operario. La siguiente tabla nos presenta la distribución de la información
acerca del número de horas que pueden trabajar los operarios en una de las máquinas
Horas Máquina
Operario A
B
C
1
10
5
8
2
14
6
8
3
12
4
10
Utilizando el método húngaro se tiene
A
10
14
12
1
2
3
1
2
3
Qi
B
5
6
4
A
5
8
8
5
C
8
8
10
B
0
0
0
0
Pi
5
6
4
C
3
2
6
2
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1
2
3
A
0
3
3
B
0
0
0
C
1
0
4
1
2
3
A
0
4
3
B
0
1
0
C
0
0
3
Por tanto la asignación queda de la siguiente manera
Operario 1: Máquina A.
Operario 2: Máquina C
Operario 3: Máquina B
sy
m
as
.c
om
Costo: Z = 10 + 8 + 4 = 22
7. Una agencia de publicidad trata cuál de entre 4 ejecutivos de contabilidad Jaime, Lucía,
Javier, Sonia debe asignarse a cada uno de los clientes mayores. Use el método
conveniente para encontrar la solución óptima, a continuación se presentan los costos
estimados de la asignación de cada ejecutivo
ic
a
Jaime Lucía Javier Sonia
15
19
20
18
14
15
17
14
11
15
15
14
21
24
26
24
at
em
at
A
B
C
D
sd
se
Jaime Lucía Javier Sonia Pi
15
19
20
18
15
14
15
17
14
14
11
15
15
14
11
21
24
26
24
21
w
w
w
.k
la
A
B
C
D
em
Usando el método húngaro
A
B
C
D
Qi
A
B
C
D
Qi
Jaime Lucía Javier Sonia
0
4
5
3
0
1
3
0
0
4
4
3
0
3
5
3
0
1
3
0
Jaime Lucía Javier Sonia
0
3
2
3
0
0
0
0
0
3
1
3
0
2
2
3
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A
B
C
D
Jaime Lucía Javier Sonia
15
19
20
18
14
15
17
14
11
15
15
14
21
24
26
24
m
as
.c
A
B
C
D
Jaime Lucía Javier Sonia
0
1
1
1
2
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
om
Jaime Lucía Javier Sonia
0
2
1
2
1
0
0
0
0
2
0
2
0
1
1
2
A
B
C
D
Qi
at
ic
a
sy
La asignación queda
A: Jaime, B: Sonia, C: Javier, D: Lucía.
Costo: Z = 15 + 14 + 15 + 24 = 68
la
se
sd
em
at
em
8. Un corredor de bienes raíces planea la venta de cuatro lotes de terreno y ha recibido
ofertas individuales de cuatro clientes. Debido a la cantidad de capital que se requiere,
estas ofertas se han hecho en el entendimiento de que ninguno de los cuatro clientes
comprará más de un lote, las ofertas se muestran en el cuadro siguiente, el corredor de
bienes raíces quiere maximizar su ingreso total a partir de esas ofertas. Resolver el
problema mediante el método húngaro. Establezca el valor de la función objetivo.
w
w
w
.k
A
B
C
D
Julia
16
19
15
19
Teodoro Walter Sandra
15
25
19
17
24
15
15
18
10
0
15
17
Utilizando el método húngaro para maximizar
Julia
Teodoro Walter Sandra Pi
A
-16
-15
-25
-19
-25
B
-19
-17
-24
-15
-24
C
-15
-15
-18
-10
-18
D
-19
0
-15
-17
-19
A
B
C
D
Julia
9
5
3
0
Teodoro Walter Sandra
10
0
6
7
0
9
3
0
8
19
4
2
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Julia
9
5
3
0
0
Teodoro Walter Sandra
10
0
6
7
0
9
3
0
8
19
4
2
3
0
2
A
B
C
D
Julia
9
5
3
0
Teodoro Walter Sandra
7
0
4
4
0
7
0
0
6
16
4
0
A
B
C
D
Julia
5
1
3
0
Teodoro Walter Sandra
3
0
0
0
0
3
0
4
6
16
4
0
A
B
C
D
Julia
5
1
3
0
Teodoro Walter Sandra
3
0
0
0
0
3
0
4
6
16
4
0
em
at
ic
a
sy
m
as
.c
om
A
B
C
D
Qi
em
at
Por tanto la asignación es:
Lote A: Sandra, Lote B: Walter, Lote C: Teodoro, Lote D: Julia.
sd
se
Teodoro Walter Sandra
15
25
19
17
24
15
15
18
10
0
15
17
w
w
.k
la
A
B
C
D
Julia
16
19
15
19
w
Z =19 + 15 + 24 + 19 = 77
9. Cuatro expendedores de gasolina A, B, C, D requieren 50.000; 40.000; 60.000; 40.000
galones de gasolina respectivamente. Es posible satisfacer estas demandas a partir de las
localidades 1,2,3 que disponen de 80.000; 100.000; 50.000 galones respectivamente. Los
costos de despachar 1000 galones de gasolina son
La matriz de costos es:
A
B
1
2
3
DEMANDA
50
C
D
OFERTA
70
60
60
60
50
80
60
70
80
50
80
60
40
60
40
80
100
50
230
Minimizar
Z= (70X11+60X12+ 60X13 + 60X14) + (50X21+80X22+ 60X23 + 70X24) + (80X31+50X32+ 80X33 + 60X34)
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Sujeto a
Oferta
X11+X12+ X13 + X14≤ 80
X21+X22+ X23 + X24≤ 100
X31+X32+ X33 + X34≤ 50
Demanda
X11+X21+ X31 ≥ 50
X12+X22+ X32 ≥ 40
X13+X23+ X33 ≥ 60
X14+X24+ X34 ≥ 40
Con Xij≥0, para i=1,2,3 j=1,2,3,4
em
at
ic
a
sy
m
as
.c
om
Para solucionarlo se utiliza WINQSB y se encuentra que:
em
at
Es decir,
X11= 50, X12= 0, X13= 0, X14 =0, X21=0, X22=40, X23=10, X24= 40 X31=0, X32= 0, X33=0, X34=0
Z = 14100
w
w
w
.k
la
se
sd
10. Una fábrica produce dos modelos de un producto, cada modelo se ensambla con dos tipos
de piezas A y B. El modelo 1 requiere 20 piezas de A y 45 de B; el producto 2 requiere 25
piezas de A y 70 piezas de B; la fábrica recibe de sus proveedores 1675 piezas de A y 4250
de piezas de B a la semana. Las unidades a producir en la semana si el precio de venta de A
es de 10000 y de B 15000 si su costo de producción es de A=4500 y de B= 12000. Cuántas
unidades debe fabricar de cada uno para maximizar sus beneficios y cuál sería su problema
Dual.
X1 es el número de modelo 1
X2 es el número de modelo 2
Función Objetivo: Maximizar utilidades
Z = (10000 – 4500)X1 + (15000 – 5000)X2
Z = 5500X1 + 5000X2
Sujeto a
20X1 + 25X2 ≤ 1675
45X1 + 70X2 ≤ 4250
X1, X2 ≥0
Restricción piezas de A
Restricción piezas de B
Modelo estándar
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Z – 5500X1 – 5000X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0
20X1 + 25X2 + S1 = 1675
45X1 + 70X2 + S2 = 4250
Z
S1
S2
Z
1
0
0
X1
-5500
20
45
X2
-5000
25
70
S1
0
1
0
S2
0
0
1
bi
0
1675
4250
Z
X1
S2
Z
1
0
0
X1
0
1
0
X2
1875
5/4
55/4
S1
275
1/20
-9/4
S2
0
0
1
bi
460625
335/4
1925/4
w
w
w
.k
la
se
sd
em
at
em
at
ic
a
sy
m
as
.c
om
El tablero es óptimo.
X1 = 335/4, X2= 0, S1 = 0, S2 = 1925/4, Z = 460625
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