Teorema de convergencia monótona. Lema de Fatou

Teorema de convergencia monótona. Lema de Fatou
Objetivos. Demostrar el Teorema de Convergencia Monótona y el Lema de Fatou.
Requisitos. Funciones medibles, integral de Lebesgue de funciones positivas medibles.
Teorema de Convergencia Monótona
1. Definición (sucesión creciente). Una sucesión (an )n∈N en R se llama creciente si
an ≤ an+1 para todo n ∈ N.
2. Definición (sucesión estrictamente creciente). Una sucesión (an )n∈N en R se
llama estrictamente creciente si an < an+1 para todo n ∈ N.
El concepto de sucesión creciente de funciones se define punto a punto:
3. Definición (sucesión creciente de funciones). Sea (fn )n∈N una sucesión de funciones X → R. Decimos que esta sucesión de funciones es creciente si para cada punto x
en X la sucesión numérica (fn (x))n∈N es creciente.
4. Teorema de Convergencia Monótona (de Lebesgue). Sea (X, F, µ) un espacio
de medida y sea (fn )n∈N una sucesión creciente en M(X, F, [0, +∞]). Denotemos por
g : X → [0, +∞] a la función lı́mite:
g(x) := lim fn (x).
n→∞
Entonces g ∈ M(X, F, [0, +∞]) y
Z
Z
g dµ = lim
fn dµ.
n→∞
X
X
A continuación está escrita una demostración de este teorema. Para comprender mejor
esta demostración necesitamos recordar algunos hechos y hacer algunas observaciones
preparatorias.
5. Medibilidad del supremo de una sucesión de funciones medibles. Estudiando
la medibilidad de funciones demostramos que si (fn )n∈N es una sucesión en M(X, F, R),
entonces la función g : X → R definida como
g(x) := sup fn (x)
n∈N
es medible. En el caso si (fn )n∈N es una sucesión creciente de funciones, el supremo coincide
con el lı́mite.
Teorema de convergencia monótona. Lema de Fatou, página 1 de 4
6. Sea y ∈ [0, +∞) y sea (xn )n∈N ∈ [0, +∞)N una sucesión que tiene un lı́mite mayor o
igual a y:
lim xn ≥ y.
n→∞
¿Podemos afirmar que existe un n ∈ N tal que xn ≥ y?
7. Lema Elemental 1. Sean y ∈ [0, +∞), c ∈ (0, 1) y sea (xn )n∈N ∈ [0, +∞)N una
sucesión que tiene un lı́mite mayor o igual a y:
lim xn ≥ y.
n→∞
Demostrar que existe un n ∈ N tal que xn ≥ cy.
8. Lema Elemental 2. Sean a, b ∈ [0, +∞] tales que a ≥ cb para todo c ∈ (0, 1).
Demuestre que a ≥ b.
Demostración del Teorema de Convergencia Monótona. La función g es F-medible porque es el lı́mite (y el Rsupremo) de
R una sucesión de funciones medibles. La condición
fn ≤ fn+1 implica Rque X fn dµ ≤ X fn+1 dµ, para todo n ∈ N. Esto significa que la sucesión de integrales X fn dµ es creciente y por consecuencia tiene un lı́mite. Lo denotemos
por α:
Z
α := lim
fn dµ.
n→∞
X
Notemos que
R
f dµ ≤
X n
R
g dµ y por eso α ≤
X
R
g dµ. Falta demostrar que α ≤
X
R
X
g dµ.
Sea s ∈ SM(X, F, [0, +∞)) una función simple tal que s ≤ g y sea c un número
arbitrario del intervalo (0, 1). Como fn (x) → g(x) ≥ s(x), por el Lema Elemental 1
tenemos que
∀x ∈ X
∃n ∈ N
fn (x) ≥ cs(x).
(1)
Definimos una sucesión de conjuntos (Bn )n∈N mediante la siguiente regla:
Bn := {x ∈ X : fn (x) ≥ cs(x)}.
Entonces (Bn )n∈N es una sucesión creciente en F. De (1) se sigue que
∞
[
Bn = X.
n=1
La función ϕ : F → [0, +∞] definida mediante la regla
Z
ϕ(Y ) = s dµ,
Y
Teorema de convergencia monótona. Lema de Fatou, página 2 de 4
es una medida. Aplicando la continuidad de ϕ por abajo obtenemos que
Z
Z
s dµ = lim ϕ(Bn ) = ϕ(X) = s dµ.
lim
n→∞
n→∞
Bn
X
Ahora notemos que
Z
Z
Z
fn dµ ≥ c
fn dµ ≥
Bn
Bn
X
s dµ.
En esta desigualdad pasamos al lı́mite cuando n → ∞:
Z
α ≥ c s dµ.
X
Como c es un elemento arbitrario de (0, 1), por el Lema Elemental 2 concluimos que
Z
α≥
s dµ.
X
La última desigualdad se cumple para toda función simple medible s tal queR 0 ≤ s ≤ g.
Pasando al supremo sobre todas s con estas propiedades obtenemos que α ≥ X g dµ.
9. Notas sobre la demostración. La demostración es bastante complicada. Para apreciarla más, uno debe comprender que las siguientes “simplificaciones” son falsas:
1. Uno quisiera demostrar que fn ≥ s para algún n ∈ N. Pero esta desigualdad no se
puede demostrar. Puede ser que para todo n ∈ N existe un punto x ∈ X tal que
fn (x) < s(x). Más aún, puede ser que fn < s para todo n. Por eso hay que comparar
fn (x) con cs(x).
2. Uno quisiera demostrar que fn ≥ cs para algún n ∈ N. Pero esta desigualdad no se
puede demostrar. Puede ser que para todo n ∈ N existe un punto x ∈ X tal que
fn (x) < cs(x). Por eso trabajamos con los conjuntos Bn .
10. Integral de Lebesgue de una función medible positiva es el lı́mite de integrales de una sucesión de funciones simples medibles positivas. Sabemos que
para toda función f ∈ M(X, F, R+ ) existe una sucesión (sn )n∈N ∈ SM(X, F, R+ )N tal que
sn % f . Ahora el Teorema de Convergencia Monótona garantiza que
Z
Z
f dµ = lim
sn dµ.
(2)
n→∞
X
X
R
En particular, el lı́mite de la sucesión de integrales X sn dµ no depende de la elección de
la sucesión (sn )n∈N . Notemos que algunos libros definen la integral de Lebesgue de una
función positiva medible mediante la fórmula (2). En aquél camino es necesario demostrar que la integral no depende de la elección de sucesión (sn )n∈N , pero se simplifica la
demostración del Teorema de Convergencia Monótona.
Teorema de convergencia monótona. Lema de Fatou, página 3 de 4
Lema de Fatou
11. Lema de Fatou. Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea (fn )n∈N una sucesión en
M(X, F, [0, +∞]). Entonces
Z
Z lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ.
n→∞
n→∞
X
X
Demostración. Idea: usar la definición del lı́mite inferior y el teorema de convergencia
monótona.
Sea h(x) = lim inf fn (x). Entonces por la definición del lim inf
n→∞
h(x) = lim gk (x),
donde
k→∞
gk (x) = inf fn (x).
n≥k
Las funciones gk son F-medibles y la sucesión (gk )k∈N es creciente. Por el teorema de
convergencia monótona,
Z
Z
lim
gk dµ = h dµ.
k→∞
X
X
Ahora notemos que fn ≥ gk para todo n ≥ k, por eso
Z
Z
inf fn dµ ≥ gk dµ
n≥k
X
X
y
Z
Z
fn dµ ≥ lim
fn dµ = lim inf
lim inf
n→∞
k→∞ n≥k
X
Z
gk dµ =
k→∞
X
Z
X
h dµ.
X
12. Ejemplo 1 cuando la desigualdad en el lema de Fatou es estricta. Denotemos
por ν : 2N → R+ a la medida de conteo en N. Definimos la función fn por la regla
fn (j) = δj,n . Muetre
que fn converge puntualmente a la constante 1, pero para cada
R
n ∈ N la integral N fn dν es 1.
13. Ejemplo 2 cuando la desigualdad en el lema de Fatou es estricta. Sea
X = (0, 1] con la medida de Lebesgue. Consideremos las funciones
fn : (0, 1] → [0, +∞),
Entonces fn → g = 0,
fn (x) = nχ(0,1/n] .
Z
g dµ = 0,
X
pero
Z
fn dµ = 1
∀n ∈ {1, 2, . . .}.
X
Teorema de convergencia monótona. Lema de Fatou, página 4 de 4