Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 13 Clases de restos módulo m Contenido 13.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Conjunto de las Clases de Restos Módulo m 13.3.1 Relación de Equivalencia . . . . . . . . . . . 13.3.2 Clases de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Aritmética en Zm . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Bien Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.3 Elemento Neutro para la Suma . . . . . . . . 13.4.4 Elemento Opuesto . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.5 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.6 Bien Definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.7 Elemento Neutro para el Producto . . . . . . 13.4.8 Elemento Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Euler, Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 Función φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Corolario (Fermat) . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.4 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Teorema Chino del Resto . . . . . . . . . . . 13.6.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 356 356 359 359 359 361 366 367 367 368 369 369 370 370 370 371 371 371 371 383 383 384 385 389 390 391 En su obra Disquisitiones Arithmeticae, publicada en 1801, Gauss introdujo en las Matemáticas el concepto de congruencia. Dada la analogı́a que existı́a entre ella y la igualdad algebraica, Gauss adopto el sı́mbolo ≡, notación que aún se utiliza para la congruencia. la relación de congruencia ha proporcionado las herramientas con las cuales se han demostrado importantes hechos en la Teorı́a de Números, de hecho ha sido un instrumento de vital importancia para el estudio de la divisibilidad en Z. 355 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Muchos problemas de Cálculo con enteros muy grandes pueden reducirse a problemas equivalentes usando enteros pequeños mediante el uso de las congruencias. 13.1 Conceptos Básicos Comenzamos definiendo el concepto central de la lección y analizando con detenimiento sus propiedades. Distintos ejemplos aclararán los conceptos que se definen y permitirán una aplicación directa de las propiedades. 13.1.1 Definición Sea m un entero positivo y a, b dos números enteros. Diremos que a y b son congruentes módulo m si m divide a a − b. Utilizaremos la notación a ≡ b(mód m), es decir, a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b Ejemplo 13.1 80 ≡ 20(mód 15), ya que 15|60 −8 ≡ 16(mód 4), ya que 4| − 24 −5 ≡ −25(mód 10), ya que 10|20 12 ≡ −3(mód 5), ya que 5|15 Ejemplo 13.2 módulo 11. Encontrar cinco número enteros distintos, cada uno los cuales sea congruente con 13 Solución Sea a cualquiera de los números buscados. Entonces, a ≡ 13(mód 11) ⇐⇒ a = 13 + 11q, con q ∈ Z. Si ahora tomamos, por ejemplo, q = −2, −1, 0, 1 ó 2, tendremos los cinco números buscados: a = 13 + 11(−2) = −9 a = 13 + 11(−1) = 2 a = 13 + 11 · 0 = 13 a = 13 + 11 · 1 = 24 a = 13 + 11 · 2 = 35 13.1.2 Teorema Sea m cualquier número entero positivo. Entonces, (a) Cualquier número entero es congruente módulo m exactamente con uno de los enteros 0, 1,. . . . . ., m − 1. (b) Dos números enteros son congruentes entre sı́ módulo m si, y sólo si ambos dan el mismo resto al dividirlos por m. 356 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Demostración (a) Probaremos que si a es un número entero cualquiera, entonces es congruente módulo m exactamente con uno de los enteros 0, 1,. . . . . ., m − 1. En efecto, a ∈ Z y m ∈ Z+ =⇒ Existen q y r, enteros y únicos : a = mq + r, con 0 6 r < m {(??)} ⇐⇒ a − r = mq, con 0 6 r < m ⇐⇒ m|a − r, con 0 6 r < m ⇐⇒ a ≡ r(mód m), con 0 6 r < m a ≡ 0(mód m) ó a ≡ 1(mód m) ó a ≡ 2(mód m) .. . ó a ≡ m − 1(mód m) ⇐⇒ A este número r, único, lo llamaremos menor residuo de a, módulo m. (b) En efecto, sean a y b dos enteros cualesquiera. “Sólo si.” Si a ≡ b(mód m), entonces a − b = mq, con q ∈ Z. Por otra parte, por el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto (??), pueden encontrarse q1 , q2 , r1 y r2 enteros, tales que a = mq1 + r1 y a = mq2 + r2 de aquı́ que a − b = m(q1 − q2 ) + r1 − r2 . Tenemos pues que a − b = mq y a − b = m(q1 − q2 ) + r1 − r2 y como el resto de dividir a − b entre m es único, r1 − r2 = 0 luego, r1 = r2 es decir, a y b dan, ambos, el mismo resto al dividirlos por m. “Si.” Recı́procamente, supongamos que ambos, a y b, dan el mismo resto al dividirlos por m, es decir, existen q1 , q2 y r, enteros, tales que a = mq1 + r y b = mq2 + r. Pues bien, restando miembro a miembro, tendremos que a − b = m(q1 − q2 ) ⇐⇒ m|a − b ⇐⇒ a ≡ b(mód m) 357 Universidad de Cádiz Ejemplo 13.3 módulo 6. Departamento de Matemáticas Demuéstrese que todo número primo mayor o igual que 5 es congruente con 1 ó con 5, Solución Probaremos que si p es primo y p > 5, entonces p ≡ 1(mód 6) ó p ≡ 5(mód 6). En efecto, supongamos que la proposición es falsa, es decir, p es primo y p > 5 y, sin embargo, p ≡ / 1(mód 6) y p ≡ / 5(mód 6). Entonces, por (a) del teorema anterior, p ≡ 0(mód 6) ó p ≡ 2(mód 6) ó p ≡ 3(mód 6) ó p ≡ 4(mód 6). Pues bien, > Si p ≡ 0(mód 6), entonces 6|p lo cual es imposible ya que p es primo. > Si p ≡ 2(mód 6), entonces 6|p − 2 y =⇒ 2|6 2|p − 2 y =⇒ 2|p − 2 + 2 =⇒ 2|p 2|2 y esto contradice el que p sea primo. > Si p ≡ 3(mód 6), entonces 6|p − 3 y =⇒ 3|6 3|p − 3 y =⇒ 3|p − 3 + 3 =⇒ 3|p 3|3 y esto contradice el que p sea primo. > Si p ≡ 4(mód 6), entonces 6|p − 4 y =⇒ 2|6 2|p − 4 y =⇒ 2|p − 4 + 4 =⇒ 2|p 2|4 y esto contradice el que p sea primo. Hemos llegado, por tanto, a una contradicción y la proposición propuesta es cierta, es decir, p ha de ser congruente módulo 6 con 1 ó con 5. Ejemplo 13.4 Demuéstrese que si d|m y a ≡ b(mód m), entonces a ≡ b(mód d). Solución Directamente de la transitividad de la relación de divisibilidad, ) d|m =⇒ d|a − b ⇐⇒ a ≡ b(mód d) a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b 358 Matemática Discreta 13.2 Francisco José González Gutiérrez Propiedades Veremos a continuación algunas propiedades de las congruencias que son, con frecuencia, bastante útiles 13.2.1 Teorema Sean a, b, c y m son tres enteros con m > 0. Se verifica: (a) a ≡ a(mód m). (b) Si a ≡ b(mód m), entonces b ≡ a(mód m) (c) Si a ≡ b(mód m) y b ≡ c(mód m), entonces a ≡ c(mód m) Demostración Utilizaremos las propiedades de la divisibilidad (??). (a) a ≡ a(mód m) Teniendo en cuenta que m 6= 0, m|0 ⇐⇒ m|a − a ⇐⇒ a ≡ a(mód m) (b) Si a ≡ b(mód m), entonces b ≡ a(mód m). En efecto, a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b ⇐⇒ m|(−1)(a − b) =⇒ m|b − a ⇐⇒ b ≡ a(mód m) (c) Si a ≡ b(mód m) y b ≡ c(mód m), entonces a ≡ c(mód m). En efecto, a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b y =⇒ m|(a − b) + (b − c) =⇒ m|a − c =⇒ a ≡ c(mód m) b ≡ c(mód m) ⇐⇒ m|b − c 13.2.2 Teorema Sean a, b, c, d, p y m, enteros con p 6= 0 y m > 0. Se verifica: (a) si a ≡ b(mód m) y c ≡ d(mód m), entonces a + c ≡ b + d(mód m) y ac ≡ bd(mód m). (b) Si a ≡ b(mód m), entonces pa ≡ pb(mód m). (c) Si p|a, p|b, m.c.d.(p, m) = 1 y a ≡ b(mód m), entonces a b ≡ (mód m). p p Demostración Utilizaremos, al igual que en el teorema anterior, las propiedades de la divisibilidad (??) (a) si a ≡ b(mód m) y b ≡ c(mód m), entonces a + c ≡ b + d(mód m) y ac ≡ bd(mód m). En efecto, a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b y =⇒ m|(a − b) + (c − d) =⇒ m|(a + c) − (b + d) c ≡ d(mód m) ⇐⇒ m|c − d 359 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas luego, a + c ≡ b + d(módm). Análogamente, a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b =⇒ m|ac − bc y =⇒ m|(ac − bc) + (bc − bd) =⇒ m|ac − bd c ≡ d(mód m) ⇐⇒ m|c − d =⇒ m|bc − bd por lo tanto, ac ≡ bd(módm). (b) Si a ≡ b(mód m), entonces pa ≡ pb(mód m). En efecto, a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b =⇒ m|p(a − b) =⇒ m|pa − pb ⇐⇒ pa ≡ pb(mód m) (c) Si p|a, p|b, m.c.d.(p, m) = 1 y a ≡ b(mód m), entonces a b ≡ (mód m). p p En efecto, p|a y =⇒ p|a − b p|b y a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b ⇐⇒ ∃q1 ∈ Z : a − b = mq1 =⇒ p|mq1 Pues bien, si p|mq1 , como m.c.d.(p, m) = 1, tendremos que p|q1 , es decir, q1 = pq con q entero. Entonces, ) a − b = mq1 a b a b =⇒ a − b = mpq =⇒ − = mq ⇐⇒ m − p p p p q1 = pq Consecuentemente, a b ≡ (mód m) p p Ejemplo 13.5 Demostrar que el cuadrado de cualquier número entero es divisible por 3 o es congruente con 1 módulo 3. Solución Sea a un número entero arbitrario. Por el teorema 13.1.2 a es congruente módulo 3 con 0, 1 ó 2. Pues 360 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez bien, a ≡ 0(mód 3) =⇒ a2 ≡ 0(mód 3) {(13.2.2 (a))} ⇐⇒ 3|a2 ⇐⇒ a2 es divisible por 3 =⇒ a2 ≡ 1(mód 3) {(13.2.2 (a))} =⇒ a2 ≡ 4(mód 3) {(13.2.2 (a))} ⇐⇒ 3|a2 − 4 ⇐⇒ a2 − 4 = 3q ⇐⇒ a2 = 3q + 4 ⇐⇒ a2 = 3(q + 1) + 1 ⇐⇒ 3|a2 − 1 ⇐⇒ a2 ≡ 1(mód 3) ó a ≡ 1(mód 3) ó a ≡ 2(mód 3) luego a2 es divisible por 3 o es congruente con 1 módulo 3. Veamos ahora un corolario que generaliza algunos apartados del teorema anterior. 13.2.3 Corolario Si ai ≡ bi (mód m) para 1 6 i 6 n, entonces (i) n X ai ≡ n Y bi (mód m) i=1 i=1 (ii) n X ai ≡ i=1 n Y bi (mód m) i=1 Demostración Procederemos, en ambos casos, por inducción. (i) n X i=1 ai ≡ n X bi (mód m) i=1 Paso básico. Veamos que es cierto para n = 2. En efecto, por el teorema anterior, ) a1 ≡ b1 (mód m) =⇒ a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mód m) a2 ≡ b2 (mód m) Paso inductivo. Supongamos que la proposición es cierta para n = p, es decir, si ai ≡ bi (mód m), i = 1, 2, . . . , p, entonces p X ai ≡ i=1 Veamos que también se cumple para n = p + 1. En efecto, si ai ≡ bi (mód m), i = 1, 2, . . . , p, p + 1 361 p X i=1 bi (mód m) Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas entonces por la hipótesis de inducción y por ser cierta la propiedad para i = 2, tendremos que p p X X p p p+1 p+1 X X X X ai ≡ bi (mód m) =⇒ a + a ≡ b + b (mód m) =⇒ a ≡ bi (mód m) i p+1 i p+1 i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 ap+1 ≡ bp+1 (mód m) y, consecuentemente, la proposición será cierta para todo n. (ii) n Y ai ≡ i=1 n Y bi (mód m) i=1 Basta aplicar el apartado (a) del teorema anterior y la igualdad p+1 Y ai = i=1 p Y ai · ap+1 i=1 para llegar, al igual que en el apartado anterior, al resultado. Ejemplo 13.6 Demostrar que si el último dı́gito de un número n es t, entonces n2 ≡ t2 (mód 10) Solución En efecto, si n = ak 10k + ak−1 10k−1 + · · · + a1 10 + a0 es la descomposición polinómica de n, entonces a0 = t, luego n= k X ai 10i + t i=1 de aquı́ que n−t= k X ai 10i i=1 Ahora bien, 10 ≡ 0(mód 10) luego 10i ≡ 0(mód 10), 1 6 i 6 k y también ai 10i ≡ 0(mód 10), 1 6 i 6 k de aquı́ que por el corolario anterior, k X ai 10i ≡ 0(mód 10). i=1 Consecuentemente, n − t ≡ 0(mód 10) y, por lo tanto, n ≡ t(mód 10) de donde resulta que n2 ≡ t2 (mód 10) 362 Matemática Discreta Ejemplo 13.7 Francisco José González Gutiérrez Demostrar que el resto de dividir 204572 entre 7 es 1. Solución En efecto, 21 ≡ 0(mód 7) −1 ≡ −1(mód 7) ) =⇒ 20 ≡ −1(mód 7) =⇒ 204572 ≡ (−1)4572 (mód 7) =⇒ 204572 ≡ 1(mód 7) es decir el resto es 1. Ejemplo 13.8 Demostrar: (a) Si a ≡ b(mód m), entonces m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m). (b) Si a ≡ b(mód m), entonces an ≡ bn (mód m) para cualquier entero positivo n. (c) Si a + b ≡ c(mód m), entonces a ≡ c − b(mód m). (d) Si a ≡ b(mód m) y d|a y d|m, entonces d|b. Solución (a) Si a ≡ b(mód m), entonces m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m). En efecto, a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b ⇐⇒ ∃q ∈ Z : a − b = mq Pues bien, sea d1 = m.c.d(a, m) y d2 = m.c.d(b, m). Entonces, d1 |a y =⇒ d1 |a − (a − b) =⇒ d1 |b d1 = m.c.d(a, m) =⇒ d1 |m =⇒ d1 |mq =⇒ d1 |a − b Es decir, d1 divide a b y a m, por tanto dividirá al máximo común divisor de ambos, luego d1 |d2 Análogamente, d2 |b y d2 = m.c.d(b, m) =⇒ d2 |m =⇒ d2 |mq =⇒ d2 |a − b =⇒ d2 |a − b + b =⇒ d2 |a O sea, d2 divide a a y a m, luego dividirá al máximo común divisor de ambos, de aquı́ que d2 |d1 Finalmente, como d1 y d2 son enteros positivos, por la antisimetrı́a de la relación de divisibilidad en Z+ , d1 será igual a d2 , es decir, m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m) (b) Si a ≡ b(mód m), entonces an ≡ bn (mód m) para cualquier entero positivo n. Basta aplicar el apartado (ii) del corolario anterior para ai = a, 1 6 i 6 n y bi = b, 1 6 i 6 n (c) Si a + b ≡ c(mód m), entonces a ≡ c − b(mód m). En efecto, a + b ≡ c(mód m) ⇐⇒ m|a + b − c ⇐⇒ m|a − (c − b) ⇐⇒ a ≡ c − b(mód m) 363 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (d) Si a ≡ b(mód m) y d|a y d|m, entonces d|b. En efecto, a ≡ b(mód m) ⇐⇒ m|a − b y como d|m, por la transitividad de la relación de divisibilidad, d|a − b. Ası́ pues, ) d|a =⇒ d|a − (a − b) =⇒ d|b d|a − b Demostrar que para cualquier entero positivo n, el número 3 · 52n+1 + 23n+1 es divisible Ejemplo 13.9 por 17. Solución Observemos lo siguiente: 3 · 52n+1 = 3 · (52 )n · 5 = 15 · 25n 23n+1 = (23 )n · 2 = 2 · 8n Por otra parte, ) 15 ≡ −2(mód 17) 25 ≡ 8(mód 17) =⇒ 25n ≡ 8n (mód 17) =⇒ 15 · 25n ≡ −2 · 8n (mód 17) luego, 15 · 25n + 2 · 8n ≡ 0(mód 17) es decir, 3 · 52n+1 + 23n+1 ≡ 0(mód 17) por lo tanto, el número dado es divisible por 17. Ejemplo 13.10 Demostrar por inducción que el número 72n − 48n − 1 es divisible por 2304 para cualquier entero positivo n. Solución Probaremos que 72n − 48n − 1 ≡ 0(mód 2304) o lo que es igual, (72 )n ≡ 48n + 1(mód 2304) es decir, 49n ≡ 48n + 1(mód 2304) o sea, (48 + 1)n ≡ 48n + 1(mód 2304) Procederemos por inducción. o Para n = 1 es cierto claramente. o Veamos si es cierto para n = 2. En efecto, (48 + 1)2 = 482 + 2 · 48 + 1 ⇐⇒ (48 + 1)2 = 48 · 2 + 1 + 2304 ⇐⇒ (48 + 1)2 − (48 · 2 + 1) = 2304 ⇐⇒ (48 + 1)2 ≡ 48 · 2 + 1(mód 2304) 364 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez o Supongamos que es cierto para n = p, es decir, (48 + 1)p ≡ 48p + 1(mód 2304) o Veamos que es cierto para n = p + 1. En efecto, 48 + 1 (48 + 1)p ≡ 48 + 1(mód 2304) {Por ser cierto para n = 1} ≡ 48p + 1(mód 2304) {Por la hipótesis de inducción} luego, (48 + 1)p (48 + 1) ≡ (48p + 1)(48 + 1)(mód 2304). Por otra parte, (48p + 1)(48 + 1) = 2304p + 48 + 48p + 1 es decir, (48p + 1)(48 + 1) − [48(p + 1) + 1] = 2304p de aquı́ que (48p + 1)(48 + 1) ≡ 48(p + 1) + 1(mód 2304). Finalmente, por la transitividad de la relación de congruencia, de (48 + 1)p (48 + 1) ≡ (48p + 1)(48 + 1)(mód 2304) (48p + 1)(48 + 1) ≡ 48(p + 1) + 1(mód 2304) se sigue que (48 + 1)p+1 ≡ 48(p + 1) + 1(mód 2304). Consecuentemente, la congruencia es cierta para cada entero positivo n, o sea, (48 + 1)n ≡ 48n + 1(mód 2304) y, consecuentemente, 72n − 48n + 1 es divisible por 2304 para cualquier entero positivo n. Ejemplo 13.11 Calcular el resto de dividir 96n+1 + 32n+1 · 4872n − 10 por 730. Solución Observemos lo siguiente: 96n+1 + 32n+1 · 4872n − 10 = (93 )2n · 9 + (3 · 487)2n · 3 − 10 = 7292n · 9 + 14612n · 3 − 10 =⇒ 7292n ≡ (−1)2n (mód 730) =⇒ 7292n ≡ 1(mód 730) =⇒ 7292n · 9 ≡ 9(mód 730) ⇐⇒ 96n+1 ≡ 9(mód 730). Pues bien, 729 ≡ −1(mód 730) Por otra parte, 1461 ≡ 1(mód 730) =⇒ 14612n ≡ 12n (mód 730) =⇒ 14612n ≡ 1(mód 730) =⇒ 14612n · 3 ≡ 3(mód 730) ⇐⇒ 32n+1 · 4872n ≡ 3(mód 730) 365 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas de aquı́ que 96n+1 + 32n+1 · 4872n ≡ 12(mód 730) es decir, 96n+1 + 32n+1 · 4872n − 10 ≡ 2(mód 730) y, consecuentemente, el resto de dividir el número dado entre 730 es 2. Ejemplo 13.12 por 9. Demostrar que para cualquier entero positivo n, el número 10n (9n − 1) + 1 es divisible Solución En efecto, 10 ≡ 1(mód 9) =⇒ 10n ≡ 1(mód 9) y 9n ≡ 0(mód 9) ⇐⇒ 9n ≡ 1 − 1(mód 9) ⇐⇒ 9n − 1 ≡ −1(mód 9) luego, 10n (9n − 1) ≡ −1(mód 9) por lo tanto, 10n (9n − 1) + 1 ≡ 0(mód 9) y, consecuentemente, el resto de dividir el número dado entre 9 es cero. 13.3 Conjunto de las Clases de Restos Módulo m En este apartado veremos que la relación de congruencia es de equivalencia y calcularemos el conjunto cociente, al cual llamaremos Zm . Este conjunto será {[0], [1], . . . , [m − 1]}, donde [0] = {. . . , −2m, −m, 0, m, 2m, . . .} [1] = {. . . , −2m + 1, −m + 1, 1, m + 1, 2m + 1, . . .} y ası́ sucesivamente. Con esta interpretación, cada elemento de Zm es considerado como el conjunto de todos los enteros congruentes con un entero i tal que 0 6 i 6 m − 1. Esta es la razón de que la propiedad cı́clica de las congruencias sea tan importante. Si contamos desde 0 a 10 en base decimal, originamos un ciclo desde 0 a 9 y volvemos al 0. Por ejemplo, el cuentakilómetros de un coche es una instrumentación fı́sica de esta propiedad. Los dı́gitos desde el 0 hasta el 9 se sitúan en un cı́rculo, y cuando éste gira, tiene lugar la cuenta. Cuando un cı́rculo pasa desde el 9 hasta el 0, el siguiente cı́rculo a su izquierda se incrementa en 1. El cuentakilómetros vuelve a 0 de nuevo cuando el coche recorre 100.000 kms. Ası́ pues, el cuentakilómetros es una instrumentación de Z100.000 y cada una de las ruedas de dı́gitos son instrumentaciones de Z10 . La informática también es bastante dependiente de esta propiedad. Por ejemplo, un byte es un número de ocho bits que varı́a desde 00000000 hasta 11111111; si añadimos 1 a 11111111 volvemos de nuevo a 00000000. Esta transición se registra normalmente como un desbordamiento. El hecho de contar en un ordenador, supone exactamente el mismo principio que el utilizado en el cuentakilómetros. Además, no importa lo potente que sea el mismo, siempre será una máquina finita. Ası́ que cada esfuerzo para tratar con los números enteros es, básicamente, una aproximación de los enteros por Zm para algún m lo suficientemente grande. Este hecho, combinado con la naturaleza cı́clica de Zm , es la base para algoritmos utilizados en la generación de números aleatorios. 366 Matemática Discreta 13.3.1 Francisco José González Gutiérrez Relación de Equivalencia Dado un entero m > 0, la relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia en el conjunto de los números enteros. Demostración Se sigue directamente del teorema 13.2.2. 13.3.2 Clases de Equivalencia Dado un número entero cualquiera a, su clase de equivalencia es el conjunto formado por todos los enteros que dan el mismo resto que a al dividirlos entre m. Demostración Recordemos que la clase de equivalencia de un elemento es el conjunto formado por todos los elementos relacionados con él. Pues bien, sea a es un número entero cualquiera. Entonces, [a] = {x ∈ Z : x ≡ a(mód m)} Por otra parte, el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto, asegura que existen q 0 y r, enteros y únicos tales que a = mq 0 + r, con 0 6 r < m y si tenemos en cuenta el apartado (b) del teorema 13.1.2, tendremos que [a] estará formada por todos los enteros que den resto r al dividirlos entre m, es decir, [a] = {x ∈ Z : x = mq + r, con q ∈ Z} Ejemplo 13.13 En el conjunto de los números enteros se considera la clase de equivalencia módulo 5. Hallar las clases de equivalencia del −22, −6, 0, 3, 5, 7, 18 y 20. Solución − El resto dividir −22 entre 5 es 3, luego [−22] = {5q + 3 : q ∈ Z} = {. . . , −17, −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, 23, . . .} − El resto de dividir −6 entre 5 es 4, luego [3] = {5q + 4 : q ∈ Z} = {. . . , −16, −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, 24, . . .} − El resto de dividir 0 entre 5 es 0, luego, [0] = {5q : q ∈ Z} = {. . . , −20, −15, −10, −5, 0, 5, 10, 15, 20, . . .} − El resto de dividir 3 entre 5 es 3, luego [5] = [3] − El resto de dividir 5 entre 5 es 0, luego [5] = [0] 367 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas − El resto de dividir 7 entre 5 es 2, luego [7] = {5q + 2 : q ∈ Z} = {. . . , −18, −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, 22, . . .} − El resto de dividir 18 entre 5 es 3, luego [18] = [3] − El resto de dividir 20 entre 5 es 0, luego [20] = [0] 13.3.3 Conjunto Cociente Al conjunto formado por las clases de equivalencia, es decir al conjunto cociente, lo llamaremos conjunto de las clases de restos módulo m, lo notaremos por Zm y es Zm = {[0], [1], . . . , [m − 1]} Demostración Sean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces, [a] = [b] en Zm ⇐⇒ a y b dan el mismo resto al dividirlos por m en Z ⇐⇒ a ≡ b(mód m) en Z {13.1.2 (b)} ⇐⇒ a y b dan distinto resto al dividirlos por m en Z ⇐⇒ a≡ / b(mód m) en Z de donde se sigue que [a] 6= [b] en Zm Como al dividir cualquier número entero por m pueden aparecer m restos distintos (0, 1, · · · , m − 1), querrá esto decir que habrá únicamente m clases distintas. Si tomamos el resto como representante de cada clase, es decir, [r] = {x ∈ Z : x = mq + r, con q ∈ Z} el conjunto cociente será Zm = {[0], [1], · · · , [m − 1]} Nota 13.1 Obsérvese que cualquier conjunto de m enteros que no sean congruentes entre sı́ módulo m darı́a lugar al mismo conjunto cociente. En efecto, sean m números enteros a0 , a1 , · · · , am−1 que no sean congruentes entre sı́ dos a dos. Entonces, según hemos visto en el apartado anterior, ai ≡ / aj (mód m) en Z ⇐⇒ [ai ] 6= [aj ] en Zm con 0 6 i, j 6 m − 1 e i 6= j. Entonces, Zm = {[a0 ], [a1 ], · · · , [am−1 ]} y si suponemos, sin pérdida de generalidad, que i es el resto de dividir ai entre m, tendremos que [ai ] = [i], 1 6 i 6 m − 1 368 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Ejemplo 13.14 En el conjunto de los números enteros se considera la relación de equivalencia módulo 5. Hallar el conjunto cociente. Solución Según hemos visto, Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} donde, [0] = {. . . , −20 − 15, −10, −5, 0, 5, 10, 15, 20 . . .} [1] = {. . . , −19, −14, −9, −4, 1, 6, 11, 16, 21 . . .} [2] = {. . . , −18, −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, 22 . . .} [3] = {. . . , −17, −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, 23 . . .} [4] = {. . . , −16, −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, 24 . . .} Veamos ahora que el conjunto de enteros {10, −9, 12, 8, 19} origina el mismo conjunto cociente. En efecto, 10 ≡ / − 9(mód 5) en Z ⇐⇒ [10] 6= [−9] en Z5 10 ≡ / 12(mód 5) en Z ⇐⇒ [10] 6= [12] en Z5 10 ≡ / 8(mód 5) en Z ⇐⇒ [10] 6= [8] en Z5 10 ≡ / 19(mód 5) en Z ⇐⇒ [10] 6= [19] en Z5 −9 ≡ / 12(mód 5) en Z ⇐⇒ [−9] 6= [12] en Z5 −9 ≡ / 8(mód 5) en Z ⇐⇒ [−9] 6= [8] en Z5 −9 ≡ / 19(mód 5) en Z ⇐⇒ [−9] 6= [19] en Z5 12 ≡ / 8(mód 5) en Z ⇐⇒ [12] 6= [8] en Z5 12 ≡ / 19(mód 5) en Z ⇐⇒ [12] 6= [19] en Z5 8≡ / 19(mód 5) en Z ⇐⇒ [8] 6= [19] en Z5 luego, Z5 = {[10], [−9], [12], [8], [19]} y, naturalmente, [10] = [0] [−9] = [1] [12] = [2] [8] = [3] [19] = [4] 13.4 Aritmética en Zm 13.4.1 Suma Dados dos enteros cualesquiera a y b, definimos la suma en Zm en la forma siguiente: [a] + [b] = [a + b] Ejemplo 13.15 Sumar en el conjunto de las clases de restos módulo 5, Z5 , las clases [31] y [58]. 369 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Solución Según la definición que acabamos de ver, [31] + [58] = [89] = {x ∈ Z : x = 5q + 4, con q ∈ Z} = {. . . , −16, −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, 24 . . .} = [4] Nota 13.2 Obsérvese que en Z5 las clases [16] y [63] son iguales, respectivamente, a las clases [31] y [58], por lo tanto su suma ha de ser igual a la calculada en el ejemplo anterior. En efecto, [16] + [63] = [79] = {x ∈ Z : x = 5q + 4, con q ∈ Z} = {. . . , −16, −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, 24 . . .} = [4] 13.4.2 Bien Definida La suma está bien definida, es decir, no depende de los representantes que se elijan en cada clase, en el sentido de que si [a] = [a0 ] y [b] = [b0 ], entonces [a] + [b] = [a0 ] + [b0 ]. Demostración En efecto, [a] = [a0 ] ⇐⇒ a ≡ a0 (módm) y =⇒ a + b ≡ a0 + b0 (módm) =⇒ [a + b] = [a0 + b0 ] ⇐⇒ [a] + [b] = [a0 ] + [b0 ] [b] = [b0 ] ⇐⇒ b ≡ b0 (módm) La suma en Zm es asociativa y conmutativa. Veamos, a continuación, cuál es su elemento neutro. 13.4.3 Elemento Neutro para la Suma El elemento neutro para la suma en Zm es la clase [0]. Demostración Sea [a] cualquiera de Zm y sea [e] el neutro para la suma. Entonces, [e] + [a] = [a] ⇐⇒ [e + a] = [a] ⇐⇒ e + a ≡ a(mód m) ⇐⇒ e ≡ a − a(mód m) ⇐⇒ e ≡ 0(mód m) ⇐⇒ [e] = [0] 13.4.4 Elemento Opuesto Si [a] es cualquiera de Zm , entonces su opuesto es [−a] Demostración 370 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez En efecto, sea [a0 ] el opuesto de [a]. Entonces, [a] + [a0 ] = [0] ⇐⇒ [a + a0 ] = [0] ⇐⇒ a + a0 ≡ 0(mód m) ⇐⇒ a0 ≡ −a(mód m) ⇐⇒ [a0 ] = [−a] 13.4.5 Producto Dados dos enteros cualesquiera a y b, definimos el producto en Zm en la forma siguiente: [a] · [b] = [a · b] 13.4.6 Bien Definido El producto está bien definido, es decir, no depende de los representantes que se elijan en cada clase, en el sentido de que si [a] = [a0 ] y [b] = [b0 ], entonces [a] · [b] = [a0 ] · [b0 ]. Demostración En efecto, [a] = [a0 ] ⇐⇒ a ≡ a0 (módm) y =⇒ a · b ≡ a0 · b0 (módm) =⇒ [a · b] = [a0 · b0 ] ⇐⇒ [a] · [b] = [a0 ] · [b0 ] [b] = [b0 ] ⇐⇒ b ≡ b0 (módm) El producto en Zm es asociativo y conmutativo. 13.4.7 Elemento Neutro para el Producto El elemento neutro para la multiplicación en Zm es la clase [1]. Demostración En efecto, para cada [a] de Zm , se verifica que [1] · [a] = [1 · a] = [a] 13.4.8 Elemento Inverso Un elemento [a] de Zm admite inverso si, y sólo si, a y m son primos entre si. Demostración 371 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas En efecto, sea [a0 ] el inverso de [a] en Zm . Entonces, [a0 ] · [a] = [1] ⇐⇒ [a0 · a] = [1] ⇐⇒ a0 a ≡ 1(mód m) ⇐⇒ a0 a = 1 + mq, con q ∈ Z ⇐⇒ aa0 − mq = 1 y esta ecuación lineal con coeficientes enteros tiene solución si, y sólo si m.c.d.(a, m) = 1 es decir, si a y m son primos entre si. Nota 13.3 Observemos lo siguiente: [a] ∈ Zm ⇐⇒ 0 6 a 6 m − 1 por lo tanto, − Si m es primo, entonces m.c.d.(a, m) = 1 para todo a distinto de cero, luego todos los elementos de Zm , excepto el cero, poseen inverso. − Si m no es primo, sólo tendrán inverso aquellos que sean primos con a. Podemos concluir que una condición necesaria y suficiente para que todos los elementos de Zm posean inverso es que m sea primo. Nota 13.4 De aquı́ en adelante, y siempre que no haya peligro de confusión, escribiremos a en vez de [a] para notar la clase de equivalencia de a en el conjunto Zm . Ejemplo 13.16 Hallar los inversos de (a) 2 en Z11 (b) 7 en Z15 (c) 7 en Z16 (d) 5 en Z13 Solución (a) Inverso de 2 en Z11 . Como 11 es primo, todos los elementos de Z11 , excepto el cero, tienen inverso. Sea, pues, x el inverso de 2 en Z11 . Entonces, x es el inverso de 2 en Z11 ⇐⇒ 2x = 1 en Z11 ⇐⇒ 2x ≡ 1(mód 11) en Z ⇐⇒ 11|2x − 1 en Z ⇐⇒ ∃y ∈ Z : 2x − 11y = 1 Obtendremos la solución general de esta ecuación diofántica utilizando el algoritmo de Euclides, 11 1 372 5 2 0 2 1 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez luego m.c.d.(2, −11) = 1. Además, 1 = 11 − 2 · 5 = (−5) · 2 + (−1)(−11) de aquı́ que 1(−5) (−11) +k , con k ∈ Z 1 1 = −5 − 11k x = = 6 − 11 − 11k = 11(−1 − k) + 6 = 11q + 6, tomando q = −1 − k es decir, x = 6 en Z11 luego el inverso de 2 en Z11 es 6. (b) Inverso de 7 en Z15 . Como 7 y 15 son primos entre sı́, 7 tendrá inverso en Z15 . Pues bien, x es el inverso de 7 en Z15 ⇐⇒ 7x = 1 en Z15 ⇐⇒ 7x ≡ 1(mód 15) en Z ⇐⇒ 15|7x − 1 en Z ⇐⇒ ∃x ∈ Z : 7x − 15y = 1 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener una solución general de esta ecuación diofántica. 15 1 2 7 0 7 1 luego m.c.d.(7, −15) = 1 y 1 = 15 − 7 · 2 = (−2) · 7 + (−1)(−15) de aquı́ que x= 1(−2) (−15) +k , con k ∈ Z ⇐⇒ 1 1 ⇐⇒ x = −2 − 15k, con k ∈ Z x = 13 − 15 − 15k ⇐⇒ x = 15(−1 − k) + 13 ⇐⇒ x = 15q + 13, con q ∈ Z ⇐⇒ x = 13, en Z15 luego el inverso de 7 en Z15 es 13. (c) Inverso de 7 en Z16 . Como 7 y 16 son primos entre sı́, 7 tendrá inverso en Z16 . Pues bien, x es el inverso de 7 en Z16 ⇐⇒ 7x = 1 en Z16 ⇐⇒ 7x ≡ 1(mód 16) en Z ⇐⇒ 16|7x − 1 en Z ⇐⇒ ∃x ∈ Z : 7x − 16y = 1 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener una solución general de esta ecuación diofántica. 373 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 2 7 1 16 2 3 2 0 2 1 luego m.c.d.(7, −16) = 1 y 1 = 7 − 2·3 2 = 16 − 2 · 7 ) =⇒ 1 = 7 − 3(16 − 2 · 7) =⇒ 1 = 7 · 7 + 3(−16) de aquı́ que x= 1·7 (−16) +k =, con k ∈ Z ⇐⇒ 1 1 ⇐⇒ ⇐⇒ x = 7 − 16k, con k ∈ Z x = 16q + 7, (q = −k), con q ∈ Z x = 7, en Z16 luego el inverso de 7 en Z16 es 7. (d) Inverso de 5 en Z13 . Como 13 es primo, todos los elementos de Z13 , excepto el cero, tienen inverso. Lo calcularemos utilizando un procedimiento análogo al utilizado en los apartados anteriores. x es el inverso de 5 en Z13 ⇐⇒ 5x = 1 en Z13 ⇐⇒ 5x ≡ 1(mód 13) en Z ⇐⇒ 13|5x − 1 en Z ⇐⇒ ∃x ∈ Z : 5x − 13y = 1 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener una solución general de esta ecuación diofántica. 13 3 2 5 2 1 3 1 1 2 0 2 1 luego, 1 = 3 − 1·2 2 = 5 − 1·3 1 = (−1) · 5 3 = 13 + 2·3 − 2·5 ) =⇒ 1 = 3 − 1(5 − 1 · 3) = (−1) · 5 + 2 · 3 ) =⇒ 1 = (−1) · 5 + 2(13 − 2 · 5) = (−5) · 5 + 2 · 13 luego, 1 = (−5) · 5 + (−2)(−13) de aquı́ que x= 1(−5) (−13) +k =, con k ∈ Z ⇐⇒ 1 1 ⇐⇒ x = −5 − 13k, con k ∈ Z x = 8 − 13 − 13k, con k ∈ Z ⇐⇒ x = 13(−1 − k) + 8, con k ∈ Z ⇐⇒ x = 13q + 8, (q = −1 − k), con q ∈ Z ⇐⇒ x = 8, en Z13 luego el inverso de 5 en Z13 es 8. 374 Matemática Discreta Ejemplo 13.17 Francisco José González Gutiérrez Escribir las tablas de sumar y multiplicar en Z5 y Z6 . Solución Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} > Opuestos. − − − − − El El El El El opuesto opuesto opuesto opuesto opuesto de de de de de [0] [1] [2] [3] [4] es, es, es, es, es, obviamente, [0]. [5 − 1] = [4]. [5 − 2] = [3]. [5 − 3] = [2]. [5 − 4] = [1]. > Inversos. Como el 5 es primo, todos los elementos de Z5 , excepto el [0] poseen inverso. − − − − El El El El inverso inverso inverso inverso de de de de [1] [2] [3] [4] es es es es [1]. [3]. [2]. [4]. > Tabla de sumar. + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] × [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] > Tabla de multiplicar. Z6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} > Opuestos. − − − − − − El El El El El El opuesto opuesto opuesto opuesto opuesto opuesto de de de de de de [0] [1] [2] [3] [4] [5] es es es es es es [0]. [5]. [4]. [3]. [2]. [1]. > Inversos. Como el [6] no es primo, no todos los elementos de Z6 tienen inverso. − − − − m.c.d.(1, 6) = 1, m.c.d.(2, 6) = 2, m.c.d.(3, 6) = 3, m.c.d.(4, 6) = 2, luego luego luego luego [1] [2] [3] [4] tiene inverso, el [1]. no tiene inverso. no tiene inverso. no tiene inverso. 375 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas − m.c.d.(5, 6) = 1, luego [5] tiene inverso, el [5]. > Tabla de sumar. + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [0] [1] [2] [3] [4] × [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [0] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [0] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [0] [4] [2] [0] [1] [2] [5] [0] [5] [4] [3] [2] [1] > Tabla de multiplicar. Nota 13.5 En Z se verifica la ley de cancelación, es decir, si a, b y c son tres números enteros con a 6= 0, se verifica que ab = ac =⇒ b = c En Zm esta ley, en general, no se verifica, es decir pueden encontrarse a 6= 0, b y c tales que ab = ac y, sin embargo, b 6= c Por ejemplo, en Z4 2 · 1 = 2 · 3 y, sin embargo, 1 6= 3 Obsérvese, también, que en Z no existen divisores de cero, es decir, para cualquier par de enteros a y b se verifica ab = 0 =⇒ a = 0 ó b = 0 En Zm si existen divisores de cero, es decir pueden encontrarse a y b tales que ab = 0 y, sin embargo, a 6= 0 y b 6= 0 Por ejemplo en Z6 se tiene que 3 · 2 = 0 y, sin embargo, 3 6= 0 y 2 6= 0 Ejemplo 13.18 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en Z7 . ) x + 2y = 4 4x + 3y = 4 Solución Lo resolvemos por los tres métodos tradicionales de la matemática elemental. 376 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez ~ Sustitución. Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda. x + 2y = 4 =⇒ x + 2y + 5y = 4 + 5y =⇒ x = 4 + 5y Entonces, x = 4 + 5y ) =⇒ 4 (4 + 5y) + 3y = 4 4x + 3y = 4 =⇒ 2 + 6y + 3y = 4 =⇒ 2 + 2y = 4 =⇒ 2y = 4 + 5 =⇒ 2y = 2 y como 7 es primo, todos los elementos de Z7 tienen inverso, luego multiplicando ambos miembros por el inverso de 2 se sigue que y=1 Pues bien, x = 4 y 1 = + 5y ) =⇒ x = 4 + 5 · 1 =⇒ x = 2 ~ Igualación. Despejamos x en ambas ecuaciones. x + 2y = 4 =⇒ x + 2y + 5y = 4 + 5y =⇒ x = 4 + 5y 4x + 3y = 4 =⇒ 2 · 4x + 2 · 3y = 2 · 4 =⇒ x + 6y = 1 =⇒ x + 6y + 1y = 1 + 1y =⇒ x = 1 + 1y Igualando ambos resultados, 1 + 1y = 4 + 5y =⇒ 6 + 1 + 2y + 1y = 4 + 6 + 5y + 2y =⇒ 3y = 3 =⇒ y = 1 Consecuentemente, x = 1 y 1 = + 1y ) =⇒ x = 1 + 1 · 1 =⇒ x = 2 ~ Reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda por 1 y las sumamos. ) ) x + 2y = 4 3x + 6y = 5 =⇒ =⇒ 2y = 2 =⇒ y = 1 4x + 3y = 4 4x + 3y = 4 Análogamente, multiplicando la primera por 2, la segunda por 1 y sumándolas posteriormente, ) ) x + 2y = 4 2x + 4y = 1 =⇒ 4x + 3y = 4 4x + 3y = 4 =⇒ 6y = 5 =⇒ 6 · 1x = 6 · 5 =⇒ x = 2 377 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Ejemplo 13.19 Resolver la ecuación x2 + 3x + 4 = 0 en Z11 . Solución q 2 −3 ± (3) − 4 · 1 · 4 x = 2·1 −3 ± 3 · 3 − 4 · 4 2 √ 8 ± 9 − 16 2 √ 8 ± −7 2 √ 8± 4 2 √ 8 ± 22 2 8±2 2 8+2 2 8 − 2 2 {El inverso de 2 es 6} ( 6 · 10 √ = = = = = = = = 6·6 ( 60 = 36 ( 5 = 3 Ejemplo 13.20 p Demostrar que en Zp , con p primo, se verifica la igualdad (x + y) = xp + y p . Solución Por el Teorema del Binomio, tendremos p−1 X p (x + y) = x + xp−k y k + y p k p p k=1 Pues bien, p k = p! k!(p − k)! =⇒ k! =⇒ k! p k p k = = p(p − 1) · · · (p − k + 1) p =⇒ p k! k 378 p! (p − k)! (13.1) Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Por otra parte, como p es primo, p y k serán primos entre sı́ para 1 < k < p, es decir, m.c.d.(p, k) = 1, 1 < k < p y aplicando reiteradamente el ejemplo 13.??, tendremos que m.c.d. (p, k!) = 1 Ası́ pues, p p k! y m.c.d. (p, k!) = 1 k luego por el Lema de Euclides, p p k es decir, p k ≡ 0(mód p) para 1 < k < p o lo que es igual, p k =0 para 1 < k < p en Zp . Por lo tanto, p−1 p−1 X X p xp−k y k = 0xp−k y k = 0. k k=1 k=1 Sustituimos este resultado en (13.1) y p (x + y) = xp + y p Ejemplo 13.21 Demostrar que para p, primo, 3p + (−2)p + (−1)p es divisible por p. Solución Observemos lo siguiente: 3p + (−2)p + (−1)p será divisible por p, si da resto cero al dividirlo por p, es decir, si 3p + (−2)p + (−1)p ≡ 0(mód p) en Z lo cual es lo mismo que decir que 3p + (−2)p + (−1)p = 0 en Zp . Ası́ pues, si probamos esto último, tendremos resuelta la demostración. Pues bien, 3p + (−2)p + (−1)p = (3 + (−2))p + (−1)p = 1p + (−1)p = (1 + (−1)) = 0p = 0 p {Ejemplo anterior} {Ejemplo anterior} y, consecuentemente, el número propuesto es divisible por p. Ejemplo 13.22 En el conjunto Z5 de las clases de restos módulo 5, se pide: (a) Divisores de cero. 379 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (b) Elementos invertibles. (c) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 2x + y = 2 3x + 4y = 3 ) Solución (a) Veamos si Z5 tiene divisores de cero. Recordemos que Z5 no tiene divisores de cero ⇐⇒ ∀a, b ∈ Z5 : ab = 0 =⇒ a = 0 ó b = 0 por lo tanto, Z5 tiene divisores de cero ⇐⇒ ∃a, b ∈ Z5 : ab = 0 y a 6= 0 y b 6= 0 Pues bien, sean a y b cualesquiera de Z5 . Entonces, ab = 0 en Z5 ⇐⇒ ab ≡ 0(mód 5) en Z ⇐⇒ 5|ab en Z ⇐⇒ 5|a ó 5|b en Z {Corolario ??} ⇐⇒ a ≡ 0(mód 5) ó a ≡ 0(mód 5) en Z ⇐⇒ a = 0 ó b = 0 en Z5 Por lo tanto, Z5 no tiene divisores de cero. (b) Elementos invertibles. Como 5 es primo todos los elementos de Z5 , excepto el 0, son invertibles. (c) Resolvamos el sistema de ecuaciones propuesto. 2x + y = 2 3x + 4y = 3 ) Obsérvese que la segunda ecuación es igual a la primera multiplicada por 4, luego ambas ecuaciones son equivalentes en Z5 , entonces, 2x + y = 2 ⇐⇒ 3x + 2x + y = 2 + 3x ⇐⇒ y = 2 + 3x : x ∈ Z5 y las soluciones serı́an: Para x = 0, y = 2 Para x = 1, y = 0 Para x = 2, y = 3 Para x = 3, y = 1 Para x = 4, y = 4 Ejemplo 13.23 Resolver las siguientes ecuaciones en los conjuntos de clases de restos que se indican. (a) 5x = 8 en Z6 . (b) 15x = 6 en Z21 380 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (c) 3x = 27 en Z6 . (d) 3x = 8 en Z6 . (e) 12x = 45 en Z3 . Solución (a) 5x = 8 en Z6 . Como 5 y 6 son primos entre sı́, 5 tendrá inverso en Z6 . Sea a dicho inverso. Entonces, a es el inverso de 5 en Z6 ⇐⇒ 5a = 1 en Z6 ⇐⇒ 5a ≡ 1(mód 6) en Z ⇐⇒ 6|5a − 1 en Z6 ⇐⇒ ∃y ∈ Z : 5a − 6y = 1 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener la solución general de esta ecuación diofántica. 1 5 0 6 1 5 1 luego m.c.d.(5, −6) = 1 y 1 = 6 − 5 · 1 = (−1)5 + (−1)(−6) por lo tanto, a= −6 1(−1) +k , con k ∈ Z ⇐⇒ 1 1 ⇐⇒ a = −1 − 6k, con k ∈ Z a = 5 − 6 − 6k, con k ∈ Z ⇐⇒ a = 6(−1 − k) + 5, con k ∈ Z ⇐⇒ a = 6q + 5, (q = −1 − k) con q ∈ Z ⇐⇒ a = 5 en Z6 Pues bien, ) 5x = 8 5 es el inverso de 5 =⇒ 5 · 5x = 5 · 8 =⇒ 1 · x = 40 =⇒ x = 4 en Z6 (b) 15x = 6 en Z21 . Como 15 y 21 no son primos entre sı́, 15 no tendrá inverso en Z21 . Utilizaremos, pues, un método distinto al del apartado anterior para resolver esta ecuación. 15x = 6 en Z21 ⇐⇒ 15x ≡ 6(mód 21) en Z ⇐⇒ 21|15x − 6 en Z ⇐⇒ ∃y ∈ Z : 15x − 21y = 6 ⇐⇒ ∃y ∈ Z : 5x − 7y = 2 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener la solución general de esta ecuación diofántica. 7 2 1 5 1 381 2 2 0 2 1 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas luego m.c.d.(5, −7) = 1 y 1 = 5 − 2·2 2 = 7 − 5·1 ) =⇒ 1 = 5 − 2(7 − 5 · 1) =⇒ 1 = 3 · 5 + 2(−7) por lo tanto, x= 2·3 −7 +k , con k ∈ Z ⇐⇒ 1 1 ⇐⇒ x = 7(−k) + 6, con k ∈ Z x = 7k1 + 6, (k1 = −k) con k1 ∈ Z Ahora bien, por el teorema de existencia y unicidad del cociente y el resto, para cada k1 entero, existirán q y r enteros y únicos tales que k1 = 3q + r, con 0 6 r < 3 es decir, k1 = 3q, ó k1 = 3q + 1, ó k1 = 3q + 2 luego, x = 7 · 3q + 6 =⇒ x = 21q + 6 x = 7(3q + 1) + 6 =⇒ x = 21q + 13 x = 7k1 + 6 =⇒ x = 7(3q + 2) + 6 =⇒ x = 21q + 20 Consecuentemente, las soluciones en Z20 son x = 6, ó x = 13, ó x = 20 (c) 3x = 27 en Z6 . Como 3 y 6 no son primos entre sı́, 3 no tiene inverso en Z6 . Procederemos, pues, igual que en el apartado anterior. 3x = 27 en Z6 ⇐⇒ 3x = 3 en Z6 ⇐⇒ 3x ≡ 3(mód 6) en Z ⇐⇒ 6|3x − 3 en Z ⇐⇒ ∃y ∈ Z : 3x − 6y = 3 ⇐⇒ x = 2y + 1, con y ∈ Z ⇐⇒ x = 2(3q + r) + 1, x = 6q + 1, ó x = 6q + 3, ó x = 6q + 5, x = 1, en Z6 ó x = 3, en Z6 ó x = 5, en Z6 ⇐⇒ ⇐⇒ q ∈ Z y 0 6 r < 3 (??) q∈Z q∈Z q∈Z (d) 3x = 8 en Z6 . Dado que 3 y 6 no son primos entre sı́, 3 no tiene inverso en Z6 . Procederemos, pues, igual que en el apartado anterior. 3x = 8 en Z6 ⇐⇒ 3x ≡ 8(mód 6) en Z ⇐⇒ 8|3x − 8 en Z ⇐⇒ ∃y ∈ Z : 3x − 6y = 8 Pero el máximo común divisor de 3 y 6 no divide a 8, luego la ecuación anterior no tiene solución en Z y, consecuentemente, la ecuación propuesta tampoco la tiene en Z6 . 382 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (e) 12x = 45 en Z3 . Obsérvese que 12 = 0 en Z3 y 45 = 0 en Z3 luego, 12x = 45 en Z3 ⇐⇒ 0 · x = 0 en Z3 ⇐⇒ x es cualquiera de Z3 ⇐⇒ x = 0 ó x = 1 ó x = 2 13.5 Euler, Fermat y Wilson Estudiaremos en este apartado tres importantes teoremas sobres congruencias. Introduremos previamente la función de Euler1 que nos permitirá demostrar con facilidad tales teoremas. 13.5.1 Función φ de Euler Dado un número entero positivo m, definimos la función φ(m) como el número de enteros positivos primos con m y que sean menores o iguales que m. Su expresión es X φ(m) = 1 0<r6m siendo m.c.d.(r, m) = 1. A φ(m) la llamaremos función de Euler del número m. Ejemplo 13.24 Por ejemplo, φ(1) = 1 φ(2) = 1 φ(3) = 2 φ(4) = 2 φ(5) = 4 φ(6) = 2 φ(7) = 6 1 Leonhard Euler (Basilea 1707-San Petesburgo 1783), aprendió matemáticas de su padre que habı́a estudiado con Jacques I Bernouilli. Fue enviado a estudiar teologı́a a Basilea, donde siguió el curso de Jacques I Bernouilli, con cuyos hijos le unió una gran amistad. Cuando éstos fueron llamados a San Petesburgo por Catalina I, Euler los siguió en 1732, y allı́ sucedió a Daniel Bernouilli en la cátedra de matemáticas. Desgraciadamente, en 1735, una congestión cerebral le hizo perder el ojo derecho, y una ceguera progresiva le afligió durante buena parte de su existencia. En 1736 publicó un tratado completo de mecánica, en el cual aplicó el análisis matemático a la ciencia del movimiento. En 1741 fue invitado a Berlı́n por Federico II, que en 1744 le nombró director de la clase de matemáticas de la Academia de Berlı́n. En esta época construyó su Teorı́a de los isoperı́metros, que permite determinar las curvas o las superficies para las cuales ciertas funciones indefinidas son mayores o menores que para todas las otras. Este problema sólo habı́a recibido antes soluciones parciales. Euler desarrolló el método contenido en estas soluciones parciales y lo definió en fórmula general. También publicó Teorı́a del movimiento de los planetas y de los cometas y Teorı́a de la imantación, y resolvió para el rey de Prusia los principales problemas de balı́stica. Con todo, sus dos grandes obras de análisis son Introducción al análisis de los infinitésimos (1748) e Instituciones del cálculo diferencial (1755), que han sido clásicas durante mucho tiempo. Regresó a San Petesburgo en 1766, perdió el ojo que le quedaba, a pesar de lo cual siguió trabajando. De 1768 a 1770 aparecieron sus Instituciones del cálculo integral. Aunque una operación de cataratas le devolvió parcialmente al vista, su curación no fue completa. Murió de un ataque de apoplejı́a. 383 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas φ(8) = 4 Nota 13.6 Obsérvese que si p es un número primo, entonces todos los enteros positivos menores que p son primos con p, luego φ(p) = p − 1 13.5.2 Teorema de Euler Si a es invertible en Zm , entonces aφ(m) = 1 en Zm . Demostración Supongamos que en Zm hay k elementos invertibles r1 , r2 , · · · , rk . Entonces, m.c.d.(ri , m) = 1, 1 6 i 6 k luego φ(m) = k. Veremos que ar1 , ar2 , · · · , ark son también k elementos invertibles en Zm . En efecto, > ari es invertible en Zm para 1 6 i 6 k (supondremos a 6= 1 en Zm para evitar el caso trivial). En efecto, a es invertible en Zm =⇒ m.c.d.(a, m) = 1 ) ri es invertible en Zm =⇒ m.c.d.(ri , m) = 1 (??) =⇒ m.c.d.(ari , m) = 1 =⇒ ari es invertible en Zm > Probaremos ahora que los ari , 1 6 i 6 k son distintos dos a dos, es decir también hay k elementos invertibles de la forma ari . En efecto, si i 6= j y, sin embargo, ari = arj , entonces si a−1 es el inverso de a, tendremos ari = arj =⇒ a−1 ari = a−1 arj =⇒ ri = rj lo cual es imposible ya que ri 6= rj . Veamos ahora que ari = rj con i = 6 j en Zm . En efecto, por el teorema de existencia y unicidad del cociente y resto, existen enteros qi y r, únicos, tales que ari = mqi + r : 0 < r < m. Pues bien, sea d = m.c.d.(m, r). Entonces d|r y d |m =⇒ d |mqi =⇒ d |mqi m + r =⇒ d |ari luego d|m y =⇒ d|m.c.d.(m, ari ) d|ari =⇒ d|1 =⇒ d = 1 =⇒ m.c.d.(m, r) = 1 =⇒ r es invertible en Zm =⇒ r = rj , con j 6= i 384 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Si ahora multiplicamos miembro a miembro ari = rk , 1 6 i, j 6 k y reordenamos, ar1 · ar2 · · · ark = r1 · r2 · · · rk en Zm o sea, ak r1 · r2 · · · rk = r1 · r2 · · · rk en Zm y como m.c.d.(r1 · r2 · · · rk , m) = 1 (??) resulta que r1 · r2 · · · rk es invertible. Bastarı́a multiplicar ambos miembros por su inverso para obtener ak = 1 en Zm es decir, aφ(m) = 1 en Zm El segundo de los teoremas es, en realidad, un corolario al teorema de Euler y se debe a Fermat2 13.5.3 Corolario (Fermat) Si a es invertible en Zp con p primo, entonces ap−1 = 1 en Zp Demostración En efecto, al ser p primo, será φ(p) = p − 1. Aplicamos el teorema de Euler para m = p, y ap−1 = 1 en Zp Ejemplo 13.25 Encontrar el resto que se obtiene al dividir 232587 entre 7. Solución Por el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto, existirán q y r, enteros y únicos tales que 232587 = 7q + r, 0 6 r < 7 luego, 232587 = r en Z7 . Bastará, pues, con resolver esta ecuación. Como m.c.d.(23, 7) = 1, 23 es invertible en Z7 , además 7 es primo luego por el teorema de Fermat, 236 = 1 en Z7 . 2 Pierre de Fermat, matemático francés (Beaumont-de-Lomagne 1601-Castres 1665). Fue consejero del parlamento de Tolouse (1631). Pascal le llamó el “primer hombre del mundo” y on siempre pudo seguirle en sus investigaciones. Fermat que rara vez publicaba sus descubrimientos, e incluso olvidaba anotar las demostraciones matemáticas que iba encontrando, por lo que gran número de sus trabajos se han perdido. D’Alambert, Lagrange y Laplace le concedieron el honor de haber tenido la primera idea sobre el cálculo diferencial. Desde 1636, las cartas de Fermat prueban que ya representaba las curvas mediante ecuaciones, antes de la publicación de la geometrı́a de Descartes. Asimismo, es opinión de Laplace que Fermat debı́a compartir con Pascal el honor de haber inventado el cálculo de probabilidades. Sus principales escritos fueron publicados por su hijo Samuel (1679), con el tı́tulo de Varia opera mathematica. En ellos se encuentran enunciados varios principios y teoremas que en la actualidad son conocidos y estudiados. 385 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Por otra parte, 2587 = 6 · 431 + 1 luego, 232587 = 236 431 · 23. Entonces, 236 = 1 en Z7 =⇒ 236 431 = 1 en Z7 ) =⇒ 236 431 23 = 2 en Z7 · 23 = 2 en Z7 =⇒ 232587 = 2 en Z7 es decir el resto buscado es 2. Ejemplo 13.26 Calcular el resto de dividir 347 entre 23. Solución Al igual que en el ejercicio anterior, el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto asegura la existencia de dos enteros, q y r, únicos tales que 347 = 23q + r, 0 6 r < 23 y esto es lo mismo que decir que 347 = r en Z23 . Pues bien, como 3 y 23 son primos entre sı́, 3 es invertible y además 23 es primo, luego por el teorema de Fermat, 322 = 1 en Z23 . Por otra parte, 47 = 22 · 2 + 3 luego 347 = 322 · 33 y 322 = 1 en Z23 =⇒ 322 2 = 1 en Z23 ) =⇒ 322 3 2 3 = 4 en Z23 · 33 = 1 · 4 en Z23 =⇒ 347 = 4 en Z23 y, consecuentemente, el resto pedido es 4 Ejemplo 13.27 Demostrar que el número 274 9 − 253 6 es divisible por 37. Solución Probaremos que 274 9 − 253 6 = 0 en Z37 En efecto, 274 9 − 253 6 = 2736 − 536 y al ser 37 un número primo, 27 y 5 serán primos con él, luego ambos son invertibles en Z37 . Aplicando el teorema de Fermat, ) 2736 = 1 en Z37 9 6 =⇒ 2736 − 536 = 0 en Z37 =⇒ 274 − 253 = 0 en Z37 536 = 1 en Z37 es decir el número propuesto es divisible por 37 Ejemplo 13.28 Demostrar: (a) Si a = b en Zmi 1 6 i 6 k, entonces a = b en Zm.c.m.(m1 ,m2 ,...,mk ) 386 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (b) 2132 − 1 es divisible por 3 · 13 · 23 Solución (a) Si a = b en Zmi 1 6 i 6 k, entonces a = b en Zm.c.m.(m1 ,m2 ,...,mk ) En efecto, a = b en Zmi , i = 1, 2, . . . , k ⇐⇒ a − b = 0 en Zmi , i = 1, 2, . . . , k ⇐⇒ mi |a − b , i = 1, 2, . . . , k =⇒ m.c.m. (m1 , m2 , . . . , mk ) |a − b ⇐⇒ a − b = 0 en Zm.c.m.(m1 ,m2 ,...,mk ) ⇐⇒ a = b en Zm.c.m.(m1 ,m2 ,...,mk ) (b) 2132 − 1 es divisible por 3 · 13 · 23 Probaremos que 2132 − 1 = 0 en Z3·13·23 En efecto, como 3, 13 y 23 son primos, 2 es invertible en Z3 , Z13 y Z23 , luego por el teorema de Fermat, 22 = 1 en Z3 212 = 1 en Z13 222 = 1 en Z23 y 66 22 = 1 en Z3 =⇒ 22 212 = 1 en Z13 =⇒ 212 11 222 = 1 en Z23 =⇒ 222 6 = 1 en Z3 = 1 en Z13 = 1 en Z23 =⇒ 2132 = 1 en Z3 =⇒ 2132 = 1 en Z13 =⇒ 2132 = 1 en Z23 Aplicando el apartado (a) 2132 = 1 en Zm.c.m.(3,13,23) y como m.c.m. (3, 13, 23) = 3 · 13 · 23, resulta 2132 = 1 en Z3·13·23 es decir, 2132 − 1 = 0 en Z3·13·23 y, consecuentemente, 2132 − 1 es divisible por 3 · 13 · 23. Ejemplo 13.29 Demostrar que para cualquier entero positivo n, siempre se verifica que n37 − n es divisible por 383838. (Sugerencia: 383838 = 37 · 19 · 13 · 7 · 3 · 2). Solución Sea n cualquiera de Z+ . Por el teorema de existencia y unicidad del cociente y resto, existirán q1 , q2 , q3 , 387 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas q4 , q5 , q6 y r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , enteros y únicos tales que n = 37q1 + r1 , 0 6 r1 < 37 n = 19q2 + r2 , 0 6 r2 < 19 n = 13q3 + r3 , 0 6 r3 < 13 n = 7q4 + r4 , 0 6 r4 < 7 n = 3q5 + r5 , 0 6 r5 < 3 n = 2q1 + r6 , 0 6 r6 < 2 es decir, tales que n = r1 en Z37 n = r2 en Z19 n = r3 en Z13 n = r4 en Z7 n = r5 en Z3 n = r6 en Z2 Ahora bien, 37, 19, 13, 7, 3 y 2 son primos, luego m.c.d.(r1 , 37) = 1 m.c.d.(r2 , 19) = 1 m.c.d.(r3 , 13) = 1 m.c.d.(r4 , 7) = 1 m.c.d.(r5 , 3) = 1 m.c.d.(r6 , 2) = 1 es decir, r1 , r2 , r3 , r4 , r5 y r6 son invertibles en Z37 , Z19 , Z13 , Z7 , Z3 y Z2 , respectivamente. Aplicamos el teorema de Fermat, y r136 = 1 en Z37 r218 = 1 en Z19 =⇒ r236 = 1 en Z19 r312 = 1 en Z13 =⇒ r336 = 1 en Z13 r46 = 1 en Z7 =⇒ r436 = 1 en Z7 r52 = 1 en Z3 =⇒ r536 = 1 en Z3 r6 = 1 en Z2 =⇒ r636 = 1 en Z2 y n = r1 en Z37 =⇒ n = r1 en Z37 n = r2 en Z19 =⇒ n36 = r236 en Z19 n = r3 en Z13 =⇒ n36 = r336 en Z13 n = r4 en Z7 =⇒ n36 = r436 en Z7 n = r5 en Z3 =⇒ n36 = r536 en Z3 n = r6 en Z2 =⇒ n36 = r636 en Z2 388 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez por lo tanto, n36 = 1 en Z37 n36 = 1 en Z19 n36 = 1 en Z13 n36 = 1 en Z7 n36 = 1 en Z3 n36 = 1 en Z2 de aquı́ que por el ejercicio anterior, n36 = 1 en Zm.c.m.(37,19,13,7,3,2) es decir, n36 = 1 en Z37·19·13·7·3·2 o sea, n36 = 1 en Z383838 y como n = n en Z383838 tendremos que n37 = n en Z383838 y, consecuentemente, n37 − n = 0 en Z383838 o lo que es igual n37 − n es divisible por 383838 En 1770, el matemático inglés Edward Waring publicó en Meditationes Algebraicae varios teoremas nuevos. Uno de ellos refleja una importante propiedad de los números primos. Lleva el nombre de John Wilson, alumno de Waring. 13.5.4 Teorema de Wilson Si p es un número primo, entonces (p − 1)! = −1 en Zp . Demostración Como p es primo, todos los elementos de Zp , excepto el 0, son invertibles. Además, los únicos elementos de Zp que coinciden con sus inversos son 1 y p − 1. En efecto, sea r cualquiera de Zp y sea x su inverso. Entonces, x = r ⇐⇒ r · r = 1 en Zp ⇐⇒ r2 − 1 = 0 en Zp ⇐⇒ (r + 1)(r − 1) = 0 en Zp ⇐⇒ p|(r + 1)(r − 1) ⇐⇒ p|r + 1 ó p|r − 1 {p es primo} ⇐⇒ r + 1 = 0 ó r − 1 = 0 en Zp ⇐⇒ r = −1 ó r = 1 en Zp ⇐⇒ r = p − 1 ó r = 1 en Zp 389 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas por lo tanto, x 6= r ⇐⇒ r 6= 1 y r 6= p − 1 en Zp es decir, r ∈ {2, 3, . . . , p − 2} ⇐⇒ x ∈ {2, 3, . . . , p − 2} luego el producto de todos ellos es 1 en Zp , o sea, 2 · 3 · · · (p − 2) = 1 en Zp y como p − 1 = −1 en Zp multiplicando ambas igualdades miembro a miembro, 2 · 3 · · · (p − 2)(p − 1) = 1(−1) en Zp y, consecuentemente, (p − 1)! = −1 en Zp Ejemplo 13.30 Demostrar que 138! + 197138 es divisible por 139. Solución Probaremos que 138! + 197138 = 0 en Z139 . En efecto, 139 es primo, luego por el teorema de Wilson, (139 − 1)! = −1 en Z139 es decir, 138! = −1 en Z139 Por otra parte, 139 y 197 son primos entre sı́, luego por el teorema de Fermat, 197139−1 = 1 en Z139 o sea, 197138 en Z139 y sumando ambos resultados, 138! + 197138 = 0 en Z139 Consecuentemente, 138! + 197138 es divisible por 139. 13.6 Teorema Chino del Resto En este apartado, estableceremos el Teorema Chino del resto, resultado que aparece en los más importantes manuscritos chinos de la antigüedad, como en los trabajos de Sun Tsu en el siglo I. También, y en esa misma época, es conocido por el neopitagórico Nicómaco.3 3 Vivió cerca de Jerusalén alrededor del año 100. Parece ser que tenı́a ascendencia siria, pero lo cierto es que en su obra predominan las tendencias filosóficas griegas. Es autor de la Introductio Aritmeticae de la que nos han llegado sólo dos libros, pero es posible que ésta sea solamente una versión abreviada de un tratado originalmente más extenso. Esta obra comienza con la ya veterana clasificación pitagórica de los números pares e impares, siguen las definiciones de los números primos, compuestos y perfectos, incluyendo una descripción de la criba de Eratóstenes y una lista de los cuatro primeros números perfectos (6,28, 496 y 8128). La obra incluye también una clasificación de las razones y de las combinaciones de razones (puesto que las razones entre enteros son esenciales para la teorı́a pitagórica de los intervalos musicales), un amplio tratamiento del tema favorito de la aritmética pitagórica, los números figurados en dos y tres dimensiones, y una exposición exhaustiva de los diversos tipos de medias (de nuevo un tema favorito de la matemática y de la filosofı́a pitagóricas). Como tantos otros escritores, Nicómaco considera al 3 como el primer número en el estricto sentido de la palabra, ya que 1 y 2 no eran en realidad números, sino sólo los generadores de la sucesión numérica, y además, para Nicómaco los números estaban dotados de cualidades tales como mejor o peor, más joven o más viejo, etc..., y podı́an transmitir estos caracteres, como los padres a sus hijos. La Introductio no tenı́a la intención de ser un tratado de cálculo ni de álgebra, sino un manual conteniendo aquellos elementos de la matemática que resultaban esenciales para entender la filosofı́a pitagórica y platónica, y en este sentido sirvió como modelo para muchos imitadores y comentadores posteriores. 390 Matemática Discreta 13.6.1 Francisco José González Gutiérrez Teorema Si m1 , m2 , · · · , mk son enteros positivos primos entre sı́ dos a dos, entonces el sistema de ecuaciones, x = a1 en Zm1 x = a2 en Zm2 ............... x = ak en Zmk tiene solución única en Zm1 ·m2 ···mk . Demostración Primero obtendremos una solución, probando ası́ su existencia, y luego demostraremos que es única. En efecto, sea x una combinación lineal con coeficientes enteros de las soluciones ai en Zmi para cada i = 1, 2, · · · , k, es decir, x = c1 a1 + c2 a2 + · · · + ck ak (13.2) Si ahora elegimos los coeficientes ci (1 6 i 6 k) de tal manera que ci = 1 en Zmi y ci = 0 en Zmj , para j 6= i tendremos que c1 = 1 en Zm1 y c1 = 0 en Zmj , para j 6= 1 =⇒ x = a1 en Zm1 c2 = 1 en Zm2 y c2 = 0 en Zmj , para j 6= 2 =⇒ x = a2 en Zm2 .............................. ...... ............... ck = 1 en Zmk y ck = 0 en Zmj , para j 6= k =⇒ x = ak en Zmk luego la x dada por la expresión (13.2) serı́a solución simultánea de todas las ecuaciones propuestas. Centremos, pues, nuestra atención en obtener estos coeficientes. Empecemos por c1 . Por hipótesis los mi son primos entre sı́ dos a dos, es decir, m.c.d.(mi , mj ) = 1, ∀i 6= j, 1 6 i, j 6 k Entonces, aplicando reiteradamente el ejercicio ?? ) m.c.d.(m2 , m1 ) = 1 m.c.d.(m3 , m1 ) = 1 =⇒ m.c.d.(m2 m3 , m1 ) = 1 y m.c.d.(m2 m3 , m1 ) = 1 m.c.d.(m4 , m1 ) = 1 ) =⇒ m.c.d.(m2 m3 m4 , m1 ) = 1 y ası́ sucesivamente, llegarı́amos a que m.c.d.(m2 m3 · · · mk , m1 ) = 1 391 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas y haciendo m2 m3 · · · mk = t1 , m.c.d.(t1 , m1 ) = 1 luego t1 es invertible en Zm1 , es decir existe y1 ∈ Zm1 tal que t1 y1 = 1 en Zm1 . Además, t1 y1 es múltiplo de todos los mj para j 6= 1 luego t1 = 0 en Zmj para j 6= 1, (2 6 j 6 k). Si procedemos de forma idéntica para cj , j = 2, 3, · · · , k, tendremos que tj yj = 1 en Zmj , para j = 2, 3, · · · , k y tj = 0 en Zmi , para i 6= j Ası́ pues, si tomamos ci = ti yi , 1 6 i 6 k y sustituimos en (13.2), nos queda x = t1 y1 a1 + t2 y2 a2 + · · · + tk yk ak que es una solución de todas las ecuaciones propuestas. Veamos ahora que esta solución es única en Zm1 m2 ···mk . En efecto, supongamos que no lo es, es decir que existe otra solución x0 , distinta de la x, en Zm1 m2 ···mk del sistema de ecuaciones propuesto. Entonces, como x es única en Zmi , tendremos x = x0 en Zmi , i = 1, 2, · · · , k o sea, mi |x − x0 , i = 1, 2, · · · , k. Pues bien, m1 |x − x0 y =⇒ m2 |x − x0 m.c.m.(m1 , m2 )|x − x0 m.c.d.(m1 ,m2 )=1 =⇒ m1 m2 |x − x0 m.c.m.(m1 m2 , m3 )|x − x0 m.c.d.(m1 m2 ,m3 )=1 =⇒ m1 m2 m3 |x − x0 m.c.m.(m1 m2 m3 , m4 )|x − x0 m.c.d.(m1 m2 m3 ,m4 )=1 =⇒ m1 m2 m3 m4 |x − x0 y m1 m2 |x − x0 y =⇒ m3 |x − x0 y m1 m2 m3 |x − x0 y =⇒ m4 |x − x0 y ası́ sucesivamente, llegarı́amos a que m1 m2 · · · mk |x − x0 392 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez es decir, x = x0 en Zm1 m2 ···mk y la solución que hemos construido es, por tanto, única. El siguiente ejemplo se debe a Sun Tsu. Ejemplo 13.31 Encontrar el menor número entero positivo que dividido por 3 da como resto 2, dividido por 5 da resto 3 y dividido por 7 da resto 2. Solución Sea x el número buscado. Según el enunciado habrá que encontrar solución al sistema de ecuaciones, x = 2 en Z3 x = 3 en Z5 x = 2 en Z7 Observemos que 3, 5 y 7 son primos entre sı́ dos a dos, luego podemos aplicar el teorema anterior y la solución única en Z3·5·7 = Z105 será x = = 2 · 5 · 7 · y 1 + 3 · 3 · 7 · y2 + 2 · 3 · 5 · y3 2 · 35y1 + 3 · 21y2 + 2 · 15y3 siendo y1 , y2 e y3 los inversos de 35, 21 y 15 en Z3 , Z5 y Z7 , respectivamente. Calculémoslos, > Inverso de 35 en Z3 . 35 = 2 en Z3 , y el inverso de 2 en Z3 es 2, luego y1 = 2. > Inverso de 21 en Z5 . 21 = 1 en Z5 , y el inverso de 1 en Z5 es 1, luego y2 = 1. > Inverso de 15 en Z7 . 15 = 1 en Z7 , y el inverso de 1 en Z7 es 1, luego y3 = 1. Por lo tanto, x = 2 · 35 · 2 + 3 · 21 · 1 + 2 · 15 · 1 = 233 en Z105 es decir, x = 23 en Z105 o lo que es igual “el menor número entero positivo que dividido por 3 da como resto 2, dividido por 5 da resto 3 y dividido por 7 da resto 2 es 23”. Ejemplo 13.32 Encontrar un número entero positivo cuyos restos al dividirlos por 3, 4, 5 y 6 sean, respectivamente, 2, 3, 4 y 5. (Brahmagupta4 ). Solución 4 Matemático hindú del siglo VII. Es autor del Brahma-Sphuta-Siddanta, obra de astronomı́a. Los siete capı́tulos del XII al XVIII, tratan de matemáticas. Aparentemente, fue el primero que dio una solución general de la ecuación diofántica lineal ax + by = c, con a, b y c enteros. Para que esta ecuación tenga soluciones enteras, el máximo común divisor de a y b debe dividir a c, y Brahmagupta sabı́a que si a y b son primos entre sı́, entonces todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por las fórmulas x = p + mb, y = q − ma, donde m es un entero arbitrario. Brahmagupta estudió también la ecuación diofántica cuatrática x2 + 1 + py 2 , que recibe erróneamente el nombre de John Pell (1611-1685) y que apareció por primera vez en el problema de los bueyes de Arquı́medes. Esta ecuación de Pell fue resuelta en algunos casos particulares por el matemático Bhaskara (1114-1185), hindú como Brahmagupta. Es muy notable el mérito de Brahmagupta al dar todas las soluciones enteras de la ecuación diofántica lineal, mientras que Diofanto se habı́a contentado con dar una única solución particular de una ecuación indeterminada. Dado que Brahmagupta utiliza en algunos casos los mismos ejemplos que Diofanto, podemos ver de nuevo reforzada la evidencia de una influencia griega en la India, o bien la posibilidad de que ambos hicieran uso de una fuente común, verosı́milmente de la antigua Babilonia. 393 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Sea x el número buscado. Por el teorema de existencia y unicidad del cociente y resto, podemos encontrar cuatro números enteros q1 , q2 , q3 y q4 tales que x = 3q1 + 2 x = 4q2 + 3 x = 5q3 + 4 x = 6q4 + 5 es decir, x = 2 en Z3 x = 3 en Z4 x = 4 en Z5 x = 5 en Z6 . Obsérvese que 3 es primo con 4 y con 5 pero no con 6 y lo mismo le sucede al 4, además 5 es primo con 6, luego podemos aplicar el teorema Chino del resto a las tres primeras soluciones y la solución única en Z3·4·5 = Z60 es x = 2 · 4 · 5 · y 1 + 3 · 3 · 5 · y2 + 4 · 3 · 4 · y3 = 2 · 20y1 + 3 · 15y2 + 4 · 12y3 siendo y1 , y2 e y3 los inversos de 20, 15 y 12 en Z3 , Z4 y Z5 , respectivamente. > Cálculo de y1 . 20 = 2 en Z3 , y el inverso de 2 en Z3 es 2, luego y1 = 2. > Cálculo de y2 . 15 = 3 en Z4 , y el inverso de 3 en Z4 es 3, luego y2 = 3. > Cálculo de y3 . 12 = 2 en Z5 , y el inverso de 2 en Z5 es 3, luego y3 = 3. Ası́ pues, x = 2 · 20 · 2 + 3 · 15 · 3 + 4 · 12 · 3 = 359 en Z60 es decir, x = 59 en Z60 y 59 es el número buscado. 394