PYE07/09/06

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (I.I.)
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA SEPTIEMBRE 2006 (07/09/06)
SOLUCION
1.
Una central lechera recibe diariamente leche de dos granjas, A y B. Deseando
estudiar la calidad de los productos recibidos, se eligen dos muestras al azar de la
leche suministrada por cada una de las granjas, se analiza el contenido en grasa y
se obtienen los siguientes resultados:
Granja A
Tamaño de muestra
n1 = 12
Granja B
n2 = 16
Media muestral
Cuasivarianza muestral
s12 = 0.034
x = 0.305
y = 0.318
s22 = 0.027
Bajo la hipótesis de normalidad de los datos, se pide:
a) ¿Se pueden considerar las varianzas poblacionales iguales? (α = 0.1)
b) ¿Son las dos granjas semejantes, desde el punto de vista del contenido
medio en grasa de la leche que emiten a la central lechera? (α = 0.05).
a) Sea X la variable de respuesta de la primera población, que nos indica el contenido
en grasa de la leche de la granja A. Sea Y la variable de respuesta de la segunda
población, que nos indica el contenido en grasa de la leche de la granja B. Por
hipótesis suponemos que X sigue una distribución normal N(µ1,σ1), µ1 y σ12
desconocidas, e Y sigue una distribución normal N(µ2,σ2) con µ2 y σ22 desconocidas
también. Estableceremos el contraste mediante:
H0: σ12 = σ22
H1: σ12 ≠ σ22
Elegimos el nivel de significación α = 0.1 y calculamos el valor del estadístico del
contraste, que sabemos es:
F=
s12 0.034
=
= 1.26
s 22 0.027
Sabemos que se acepta H0 si F ∈ ⎡ F(1−α
⎢⎣
n1=12; α/2=0.05;
⎤
2
),( n −1)( n −1) ; Fα 2 ( n −1)( n −1) ⎥⎦ . En nuestro caso
1
n2=16; F0.05,11,15 = 2.51;
2
1
F0.95,11,15 =
2
1
F0.05,15,11
=
1
= 0.37
2.72
El intervalo es pues [0.37; 2.51]
Como vemos F = 1.26 pertenece al intervalo y aceptamos, pues la hipótesis de que
σ12=σ22, es decir, las varianzas son iguales
b) Estamos ahora en un contraste de igualdad de medias de poblaciones normales con
varianzas iguales y muestras pequeñas. Establecemos las hipótesis:
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 ≠ µ2
Nivel de significación: α = 0,05
x−y
El estadístico de este contraste es, como sabemos t =
Sp
1
1
+
n1 n 2
siendo
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22
S =
n1 + n2 − 2
2
p
Se acepta H0 si t ≤ tα
2 ( n1 + n2 − 2 )
x = 0.305
y = 0.318
n1 = 12
n 2 = 16
t=
0.305 − 0.318
1
1
0.1731
+
12 16
Como vemos, t < t α
=
; en nuestro caso tenemos
t 0.025, 26 = 2.056
α = 0.025
2
− 0.013
= −0.1967
0.0661
2 ( n1 + n2 − 2 )
11 ⋅ 0.034 + 15 ⋅ 0.027
= 0.03
26
S p = 0.1731
S p2 =
t = 0.1967
y por tanto aceptamos H0 y concluimos que las dos
granjas son semejantes desde el punto de vista del contenido en grasa de la leche
que suministran a la central lechera.
2. Una Facultad recibe solicitudes de ingreso para el siguiente curso. Los aspirantes
se someten a pruebas de selectividad cuyos resultados se puntúan de 0 a 1000,
siguiendo las calificaciones una distribución normal de parámetros µ = 550 y σ =
100. Se sabe que hay 350 personas con puntuaciones comprendidas entre 400 y
450, ambas inclusive.
a) Si la Facultad decide admitir al 25% de los aspirantes, los que obtengan
las calificaciones más altas, ¿cual es la mínima calificación para ser
admitido?
b) ¿Cuántas personas han obtenido entre 620 y 740 puntos, ambos inclusive?
c) ¿Cuántas personas han solicitado el ingreso en esa Facultad?
a) Tenemos X = puntuación recibida en la selectividad
X∈N(550,100)
Queremos calcular el valor xi tal que P(X ≥ xi) = 0.25
Buscamos en la tabla de la Normal tipificada el valor zi tal que P(Z ≥ zi) = 0.25
zi = 0.675.
Como xi y zi están relacionados de la siguiente manera z i =
xi − 550
obtenemos
100
xi=0.675*100+550 = 617.5 Î Calificación mínima para ser admitido
b) Debemos calcular primero el porcentaje de personas (del total de los presentados)
que quedaron entre esas puntuaciones y luego multiplicarlo por ese total de
personas presentadas (resultado del siguiente apartado), para obtener el nº de
personas deseado.
620 − 550
= 0.7
100
740 − 550
= 1.9
z2 =
100
z1 =
P(620 ≤ X ≤ 740) = P(z1 ≤ Z ≤ z2) siendo
P(0.7 ≤ Z ≤ 1.9) = 0.9713 - 0.7580 = 0.2133
Luego el 21.33% del total de presentados obtienen una puntuación entre las dos
dadas. Como el total de presentados es (según veremos en el siguiente apartado) de
3809 personas, tenemos que 813 personas son las que obtienen una calificación
entre 620 y 740
c) Sabemos que hay 350 personas con puntuaciones comprendidas entre 400 y 450.
P(400 ≤ X ≤ 450) = P(-1.5 ≤ Z ≤ -1) = 0.1587 – 0.0668 = 0.0919
Es decir, las 350 personas suponen un 9.19% del total de los presentados, luego, por
una simple regla de tres, el total N de presentados a la selectividad es
N=350/0.0919 = 3808.49 ≈ 3809 personas
3. Dada una moneda ideal, determínese, identificando en cada caso la distribución de
probabilidad utilizada para obtener el valor pedido, lo siguiente:
a) probabilidad de que salgan 3 cruces antes de obtener la primera cara.
b) probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para obtener dos caras
a) X = nº de cruces (fracasos) antes de obtener la primera cara (éxito) ÎX ∈ G(½)
P ( X = k ) = p ⋅ (1 − p) k −1
3
⇒
P ( X = 4) =
1⎛1⎞
⎜ ⎟ = 0.0625
2 ⎝2⎠
b) a) X = nº de cruces (fracasos) antes de la segunda cara (éxitos)
⎛ n + k − 1⎞ n
⎟⎟ ⋅ p ⋅ (1 − p) k
P ( X = k ) = ⎜⎜
⎝ k ⎠
⇒
n=2
⇒
k =3
ÎX ∈ BN(2, ½)
2
3
⎛ 4⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
P ( X = 3) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0.125
⎝ 3⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
4. Tenemos seis urnas cada una de las cuales contiene 12 bolas (algunas de ellas
blancas y otras negras). Una de las urnas tiene 8 bolas blancas y 4 negras; dos de
las urnas tienen 6 bolas blancas y 6 negras, y las tres urnas restantes tienen 4
bolas blancas y 8 negras. Se elige al azar una urna y se extraen 3 bolas, sin
reemplazamiento, de dicha urna. De estas bolas extraídas, 2 resultan ser blancas
y 1 negra. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna elegida contuviera 6 bolas
blancas y 6 negras?.