Soluciones

Seminario de problemas ESO. Curso 2013-14. Hoja 2
9. En una escuela hay 367 alumnos. Demuestra que al menos dos de ellos cumplen años el
mismo dı́a.
Solución.
Un año tiene 365 ó 366 dı́as. Por el principio del palomar con 367 alumnos, al menos dos
cumplen años el mismo dı́a.
10. Se sabe que el número de pelos de la cabeza de cualquier hombre es menor que 200000.
Prueba que en la Rioja hay al menos dos ciudadanos con el mismo número de pelos en la
cabeza.
Solución.
En la Rioja residen más de 250000 ciudadanos. Como 250000 > 200000, por el principio
del palomar al menos dos tienen el mismo números de pelos en la cabeza.
11. Prueba que para resolver todos los problemas de la hoja de esta semana, un dı́a deberás
resolver al menos dos problemas.
Solución.
En la hoja hay 12 problemas, número mayor que el número de dı́as de la semana, 7. Los
dı́as son los palomares, y los problemas son las palomas, con lo que por el principio del
palomar, un dı́a vas a tener que hacer al menos dos problemas.
12. Siete personas están comprando en una tienda. Prueba que al menos hay dos personas
que conocen al mismo número de compradores.
Solución.
Si existe una persona que no conoce a ninguna de las seis restantes, cada una de las
seis restantes puede conocer a {0, 1, 2, 3, 4, 5} personas, pues ninguna de ellas conoce
a la que no conoce a nadie dado que la relación conocer es simétrica.
Si alguna de las seis restantes tampoco conoce a nadie, ya tenemos dos personas que
conocen a 0 personas. En caso contrario tenemos 6 personas y 5 posibles números.
Por tanto, por el principio del palomar al menos hay dos personas que conocen el
mismo número de personas.
Si todas las personas conocen a alguien, tenemos que los números de posibles personas
conocidas son {1, 2, 3, 4, 5, 6} como hay 7 personas y 6 posibles números de personas
conocidas, por el principio del palomar al menos dos de los números de personas
conocidas coinciden.
13. 16 equipos están jugando un torneo en el que cada equipo juega contra los 15 restantes.
Probar que después de cada partido al menos dos de los equipos han jugado el mismo
número de partidos.
Solución.
Si hay un equipo que no ha jugado ningún partido, ninguno de los equipos ha jugado
15 partidos, los posibles números de partidos jugados son {1, 2, . . . , 13, 14}. Como
quedan 15 equipos, por el principio del palomar, al menos dos de los equipos han
jugado el mismo número de partidos.
Si todos los equipos han jugado algún partido los posibles números de partidos
jugados son {1, 2, . . . , 13, 14, 15}, al ser 16 equipos, por el principio del palomar, al
menos uno de los posibles números de partidos jugados coincide.
14. Un cuadrado de 5 por 5 se divide en 25 cuadrados de 1 por 1. Probar que si se pintan
26 puntos sobre el cuadrado grande al menos hay un cuadrado pequeño en el que se han
pintado dos puntos.
Solución.
Tenemos 25 casillas y 26 puntos. Por el principio del palomar, al menos una casilla
está ocupada por dos puntos.
15. Se marcan 50 puntos en un cuadrado de lado 7 cm. Pruebe que al menos dos de los puntos
se pueden recubrir por un cuadrado de lado 1 cm.
Solución.
Tenemos 49 casillas y 50 puntos, luego al menos una casilla está ocupada por dos puntos.
16. Probar que entre 101 puntos de un cuadrado de lado 10 cm hay al menos dos puntos que
distan entre si menos de 2 cm.
Solución.
Dividiendo el cuadrado en 100 cuadrados de lado 1, al menos un cuadrado contiene √
dos
puntos. La distancia entre dos puntos en un cuadrado de lado 1 es menor o igual que 2,
por tanto menor que 2.
17. Dados 4 números naturales, probar que al menos dos de ellos tienen el mismo resto al
dividirlos por 3.
Solución.
Los posibles restos son {0, 1, 2}. Por el principio del palomar, de 4 números al menos dos
tienen que dar el mismo resto.
18. Dados 5 números naturales distintos, probar que al menos una de las diferencias entre dos
de ellos es divisible por 4.
Solución.
Por el principio del palomar, dados 5 números naturales distintos, al menos dos dan el
mismo resto al dividirlos por 4. Por tanto, la diferencia entre ellos es un múltiplo de 4.
19. Probar que si n es un número natural, para cualesquiera n + 1 números naturales hay dos
de ellos cuya diferencia es múltiplo de n.
Solución.
Por el principio del palomar, al menos hay dos de los n + 1 números que dan el mismo
resto al dividirlos por n. Por tanto, su diferencia el múltiplo de n.
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20. Hace 10 años las edades de Ximena, Yolanda y Zoe estaban en la relación 1 : 2 : 5. Hoy
las edades de Ximena y Yolanda están en la relación 6 : 7. ¿Cuál es la edad actual de
Zoe?
Solución.
Sean x, y, z, respectivamente, las edades hace 10 años de Ximena, Yolanda y Zoe. Planteando el enunciado como un sistema, se tiene
(
x
= y2 = z5
1
x+10
= y+10
,
6
7
de donde y = 2x, y
x + 10
2x + 10
=
.
6
7
Resolviendo, obtenemos x = 2, por lo que z = 10. La edad actual de Zoe es 10 + 10 = 20.
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