Capítulo 23 Microscopios

Capítulo 23
Microscopios
1
Aumento angular
El aumento angular m(a) de una lente convergente viene dado por:
m(a) =
tan θ rmim
|q| 0.25
=
tan θob
(d + |q|)p
en donde d es la separación entre la lente y el ojo, y |q| es la distancia
entre la imagen y la lente.
En la práctica d + |q| = 0.25 y se tiene:
m(a) =
|q| 0.25 − d + f
=
p
f
Microscopio óptico
El aumento angular de un microscopio es:
M =−
0.25 L
fb fc
El signo menos indica que la imagen final está invertida.
Si situamos el objeto a una distancia x del foco del objetivo, tenemos:
1
x
=
q1
fb (fb + x)
en donde q1 es la distancia de la imagen al objetivo. La imagen final se
produce en q dado por:
1
1
1
+ =
L + fb − q1 q
fc
Poder de resolución
La mínima separación distinguible por un aparato que utilice luz con una
longitud de onda λ viene dada por:
dmin =
λ
2 n sen θ
en donde θ es la mitad del ángulo que forma el objeto con la apertura del
objetivo.
La cantidad n sen θ se denomina apertura numérica del objetivo.
Microscopios electrónicos
El poder de resolución de un microscopio electrónico está limitado por la
longitud de onda de los electrones que utiliza, dada por:
p=
h
λ
El momento lineal y la energía están relacionados por:
p2
E=
2m
La energía de los electrones necesaria se suministra mediante una diferencia de potencial:
E = |e| V
.
Problema 23.1
¿Cuál es el aumento angular de una lupa con una potencia
óptica de 8 dioptrías?
Problema 23.2
Una lente convergente está construida con un cristal de
índice de refracción igual a 1.7. Los radios de curvatura
de sus caras son de 16 cm. ¿Cómo hay que situar la lente
y un objeto para que su imagen se produzca a 25 cm del
ojo? ¿En qué caso de los varios posibles se obtiene el
mayor aumento angular?
Problema 23.3
¿Cuál es el aumento angular de un microscopio de 25 cm
de longitud de tubo construido con dos lentes con unas
potencias ópticas de 20 y 12 dioptrías?
Problema 23.4
El objetivo y el ocular de un microscopio poseen distancias
focales de 2 y 3 cm, respectivamente. La longitud del tubo
del microscopio es de 20 cm. Determina el número de
aumentos del microscopio y a qué distancia del foco del
objetivo hay que colocar la muestra.
Problema 23.5
El objetivo y el ocular de un microscopio poseen unas potencias ópticas de 50 y 60 dioptrías. La longitud del tubo
del microscopio es de 18 cm, y con éste observamos una
muestra de 3 µm. Calcula:
(a) el número de aumentos del microscopio,
(b) a qué distancia del foco del objetivo hay que colocar
la muestra,
(c) dónde se produce y qué tamaño tiene la imagen intermedia generada por el objetivo.
Problema 23.6
Tenemos un microscopio de 200 aumentos con el mismo
poder de amplificación en el objetico y el ocular, y con una
longitud de tubo de 16 cm. ¿Dónde deberemos de situar
la muestra para verla enfocada y a 25 cm de distancia del
ojo? ¿Qué tendríamos que hacer para poder fotografíar la
muestra con una película situada a 10 cm del ocular?
Problema 23.7
El ángulo de apertura de un objetivo de 50 dioptrías es de
71◦ . Si utilizamos luz de 480 nm, ¿cuál es el detalle mínimo que podemos apreciar de una muestra en el aire? ¿Y
si sumergimos la muestra en aceite? ¿Cuál es la potencia óptica mínima del ocular que nos permite observar el
grado de detalle correspondiente al aire en un microscopio
con una longitud de tubo de 20 cm? Supón que con el ojo
desnudo podemos apreciar hasta una décima de milímetro.
Problema 23.8
¿Qué diferencia de potencial ha de poseer un cañón de
electrones para que los electrones que emite tengan una
longitud de onda de 0.2 Å? ¿Con qué velocidad dispara
dicho cañón a los electrones?
Problema 23.9
Un electrón posee una velocidad de 5 · 107 m/s después de
atravesar una determinada diferencia de potencial y haber
partido del reposo. Determina:
(a) su momento lineal,
(b) la diferencia de potencial que atraviesa,
(c) su longitud de onda,
Problema 23.10
Obtén la relación entre la longitud de onda y la frecuencia
de un electrón. La energía de una partícula con masa en
reposo m0 viene dada por:
E 2 = p2 c2 + m20 c4 .
Problema 23.11
La frecuencia de la onda asociada a un electrón depende
de su velocidad. Calcula el índice de refracción efectivo
(que nos determina la velocidad) de un electrón en función
de su frecuencia.
Problema 23.12
Un microscopio electrónico de transmisión posee una longitud de tubo de 0.4 m, una apertura numérica de 0.01
y aplica a los electrones una diferencia de potencial de
40.000 voltios. Calcula:
(a) la longitud de onda de sus electrones,
(b) el mínimo detalle que puede resolver,
(c) el número de aumentos correspondiente,
(d) la potencia del objetivo y del ocular, supuestas iguales.
23.1 ¿Cuál es el aumento angular de una lupa con una potencia óptica de 8
dioptrías?
El aumento angular de una lupa viene dado por:
0.25 − d + f
0.25 − d + P −1
=
f
P −1
0.375 − d
d
=
=3−
,
0.125
0.125
m(a) =
en donde d es la distancia de la lupa al ojo.
23.2 Una lente convergente está construida con un cristal de índice de refracción igual a 1.7. Los radios de curvatura de sus caras son de 16 cm. ¿Cómo
hay que situar la lente y un objeto para que su imagen se produzca a 25 cm
del ojo? ¿En qué caso de los varios posibles se obtiene el mayor aumento
angular?
Deseamos que se verifique d + |q| = 0.25 m. Podemos elegir un d cualquiera y situar el objeto en p dado por:
1
1
2
1 1
+ = P = (nL − 1)
+
= (1.7 − 1)
= 8.75,
p q
R1 R2
0.16
!
de donde deducimos:
1
p = 8.75 +
0.25 − d
!−1
.
El aumento angular es:
m(a) =
0.25 − d + f
0.25 − d + 0.114
=
,
f
0.114
cuyo máximo corresponde a d = 0 y
1
p = 8.75 +
0.25 − 0
!−1
= 0.078 m.
23.3 ¿Cuál es el aumento angular de un microscopio de 25 cm de longitud de
tubo construido con dos lentes con unas potencias ópticas de 20 y 12 dioptrías?
El aumento angular de un microscopio viene dado por:
M =−
0.25L
= −0.25LPb Pc = −0.25 · 0.25 · 20 · 12 = −15.
fb fc
23.4 El objetivo y el ocular de un microscopio poseen distancias focales de 2
y 3 cm, respectivamente. La longitud del tubo del microscopio es de 20 cm.
Determina el número de aumentos del microscopio y a qué distancia del foco
del objetivo hay que colocar la muestra.
El número de aumentos del microscopio es igual a:
M =−
0.25L −0.25 · 0.2
=
= −83.3.
fb fc
0.02 · 0.03
Para que la imagen final esté a 25 cm del ocular, la imagen del objetivo
ha de formarse en un p dado por:
1
1
1
1
+
=
=
= 33.3.
p −0.25 fc
0.03
Despejando llegamos a:
p = (33.3 + 4)−1 = 0.0268 m.
Esta distancia está medida respecto del ocular. Respecto del objetivo
será:
l = L + fb + fc − p = 0.2 + 0.02 + 0.03 − 0.0268 = 0.2232 m.
La separación entre la muestra y el foco del objetivo vendrá dada por:
1
1
1
+ =
x + fb l
fb
=⇒
1
= 50 − 4.48 = 45.52.
x + fb
Despejando x tenemos:
x=
1
− 0.02 = 0.0020 m.
45.52
23.5 El objetivo y el ocular de un microscopio poseen unas potencias ópticas
de 50 y 60 dioptrías. La longitud del tubo del microscopio es de 18 cm, y con
éste observamos una muestra de 3 µm. Calcula:
(a) el número de aumentos del microscopio,
(b) a qué distancia del foco del objetivo hay que colocar la muestra,
(c) dónde se produce y qué tamaño tiene la imagen intermedia generada por
el objetivo.
(a) Este microscopio posee un número de aumentos igual a:
M =−
0.25L
= −0.25 · 0.18 · 50 · 60 = 135.
fb fc
(b) La imagen del objetivo se ha de formar a una distancia del ocular
dada por:
1
1
+
= Pc = 60.
p −0.25
O sea:
p = (60 + 4)−1 = 0.0156 m.
Esta distancia está medida respecto del ocular. Cambiamos de referencia al objetivo:
l = L + fb + fc − p = 0.18 +
1
1
+
− 0.0156 = 0.201 m.
50 60
La muestra se ha de colocar a una distancia del objetivo dada por:
1 1
+ = Pb = 50,
p l
y despejando obtenemos:
1
p = 50 −
0.201
!−1
= 0.022 m.
(c) La imagen intermedia se produce a 0.201 m del objetivo y posee un
tamaño:
q
0.201
h0 = −M h = − h = −
3 · 10−6 = −2.71 · 10−5 m.
p
0.022
23.6 Tenemos un microscopio de 200 aumentos con el mismo poder de amplificación en el objetico y el ocular, y con una longitud de tubo de 16 cm. ¿Dónde
deberemos de situar la muestra para verla enfocada y a 25 cm de distancia del
ojo? ¿Qué tendríamos que hacer para poder fotografíar la muestra con una
película situada a 10 cm del ocular?
La potencia óptica del objetivo y del ocular verifica:
|M | = 200 = 0.25LP 2 .
Luego tenemos:
P =
v
u
u
t
200
= 70.7 dioptrías.
0.25 · 0.16
La imagen intermedia se produce en:
1
1
+
= P = 70.7 =⇒ p = (70.7 + 4)−1 = 0.013 m.
p −0.25
Respecto del objetivo, esta posición está a una distancia igual a:
2
− 0.013 = 0.175 m.
70.7
La muestra se ha de colocar a una distancia del objetivo dada por:
l = L + fb + fc − p = 0.16 +
1 1
+ = P = 70.0,
p l
o sea a una distancia igual a:
1
p = 70.7 −
0.175
!−1
= 0.01539 m.
Para fotografiar la muestra, hemos de hacer que el ocular produzca una
imagen real a 10 cm de él. Para ello, la imagen intermedia ha de estar en:
1
1
+
= P = 70.7
p 0.1
=⇒
p = (70.7 − 10)−1 = 0.0165 m.
Respecto del objetivo, esta posición está a una distancia igual a:
l = L + fb + fc − p = 0.16 +
2
− 0.0165 = 0.172 m.
70.7
La muestra se ha de colocar a una distancia del objetivo que ha de verificar:
1 1
+ = P = 70.0.
p l
Luego, p vale:
1
p = 70.7 −
0.172
!−1
= 0.01541 m.
23.7 El ángulo de apertura de un objetivo de 50 dioptrías es de 71◦ . Si utilizamos luz de 480 nm, ¿cuál es el detalle mínimo que podemos apreciar de
una muestra en el aire? ¿Y si sumergimos la muestra en aceite? ¿Cuál es la
potencia óptica mínima del ocular que nos permite observar el grado de detalle correspondiente al aire en un microscopio con una longitud de tubo de 20
cm? Supón que con el ojo desnudo podemos apreciar hasta una décima de
milímetro.
El detalle mínimo que podemos apreciar con la muestra en el aire es:
dmin =
λ
480 · 10−9
=
= 2.54 · 10−7 m.
◦
2n sen θ
2 · 1 · sen 17
En aceite, como n = 1.5, el detalle mínimo es un 50 % menor:
(aceite)
dmin
dmin
2.54 · 10−7
=
=
= 1.69 · 10−7 m.
1.5
1.5
Para observar con el grado de detalle mínimo, en el caso del aire, necesitamos un número de aumentos dado por:
dojo
10−4
|M | =
=
= 394 = 0.25LPb Pc .
dmin
2.54 · 10−7
Despejando llegamos a:
Pc =
394
= 157 dioptrías.
0.25 · 0.2 · 50
23.8 ¿Qué diferencia de potencial ha de poseer un cañón de electrones para
que los electrones que emite tengan una longitud de onda de 0.2 Å? ¿Con qué
velocidad dispara dicho cañón a los electrones?
El momento lineal de los electrones es p = h/λ, y su velocidad es igual
a:
p
h
6.63 · 10−34
=
=
= 3.64 · 107 m.
v=
−31
−11
m mλ 9.1 · 10 2 · 10
La energía es igual a la carga por la diferencia de potencial. Para hacer que los electrones adquieran la anterior velocidad necesitaremos la
siguiente diferencia de potencial:
E
V =
=
Q
1
2
mV 2
9.1 · 10−31 3.642 1014
=
= 3.77 · 103 V.
−19
e
2 · 1.6 · 10
23.9 Un electrón posee una velocidad de 5 · 107 m/s después de atravesar una
determinada diferencia de potencial y haber partido del reposo. Determina:
(a) su momento lineal,
(b) la diferencia de potencial que atraviesa,
(c) su longitud de onda,
(a) El momento lineal del electrón vale:
p = mv = 9.1 · 10−31 5 · 107 = 4.55 · 10−23 kg m/s.
(b) La diferencia de potencial que hace que el electrón adquiera la velocidad mencionada es:
E
V =
=
Q
1
2
mV 2
9.1 · 10−31 52 1014
=
= 7.11 · 103 V.
−19
e
2 · 1.6 · 10
(c) La longitud de onda del electrón es igual a:
h 6.63 · 10−34
λ= =
= 1.46 · 10−11 m.
−23
p
4.55 · 10
23.10 Obtén la relación entre la longitud de onda y la frecuencia de un electrón.
La energía de una partícula con masa en reposo m0 viene dada por:
E 2 = p2 c2 + m20 c4 .
La longitud de onda está relacionada con el moemnto lineal, λ = h/p,
que a su vez está relacionado con la energía, y ésta con la frecuencia. La
relación entre energía y momento es:
2
2 2
E =p c +
m20 c4
=⇒
h2 2
h ν = 2 c + m20 c4 .
λ
2 2
De aquí despejamos la longitud de onda:
−1/2
ν2
c2
λ =  2 − m20 2 
c
h

.
23.11 La frecuencia de la onda asociada a un electrón depende de su velocidad. Calcula el índice de refracción efectivo (que nos determina la velocidad)
de un electrón en función de su frecuencia.
Hemos de encontrar primero la relación entre la velocidad y la frecuencia
de un electrón. La velocidad es igual al momento lineal dividido por la
masa, y la energía es igual a la masa por c2 :
pc2
p
=
.
v=
m
E
Ahora relacionamos el momento lineal con la longitud de onda, p = h/λ,
y la energía con la frecuencia, E = hν:
pc2
c2
v=
=
.
E
λν
La longitud de onda en función de la frecuencia fue calculada en el problema anterior. El índice de refracción es el cociente entre la velocidad
de la luz y la velocidad:
c
λν
ν
n= =
=
v
c
c
−1/2
2
ν2
2c 

− m0 2
c2
h

−1/2
m20 c4 

= 1− 2 2
hν

.
23.12 Un microscopio electrónico de transmisión posee una longitud de tubo de
0.4 m, una apertura numérica de 0.01 y aplica a los electrones una diferencia
de potencial de 40.000 voltios. Calcula:
(a) la longitud de onda de sus electrones,
(b) el mínimo detalle que puede resolver,
(c) el número de aumentos correspondiente,
(d) la potencia del objetivo y del ocular, supuestas iguales.
(a) La longitud de onda depende del momento lineal, que a su vez está
relacionado con la energía. Despreciando la corrección relativista
tenemos:
h
h
h
=√
=√
p
2mE
2m eV
6.63 · 10−34
= √
= 6.14 · 10−12 m.
−31
−19
2 · 9.1 · 10 1.6 · 10 40000
λ =
(b) El detalle más pequeño que puede resolver este microscopio electrónico es:
dmin
λ
6.14 · 10−12
=
=
= 3.1 · 10−10 m.
2n sen θ
2 · 0.01
(c) El número de aumentos para apreciar este detalle, suponiendo que
el ojo desnudo aprecia una décima de milímetro, es:
10−4
|M | =
= 325000.
3.1 · 10−10
(d) El número de aumentos en función de las potencias ópticas viene
dado por:
|M | = 325000 = 0.25LPb Pc ,
por lo que las potencias ópticas del objetivo y del ocular serán iguales a:
v
u
u 325000
= 1804 dioptrías.
Pb = Pc = t
0.25L