Fluidos no Newtonianos y Medios Porosos Tarea 2 Departamento

Fluidos no Newtonianos y Medios Porosos
Tarea 2
Departamento de Fı́sica
Escuela de Ingenierı́a y Ciencias
Universidad de Chile
Prof. Rodrigo Soto
[P1] Estudie un flujo de Couette plano y argumente
por qué las diferencias de presiones normales ν1 y ν2
son pares en γ̇.
ω
[P2] Considere la llamada bomba centrı́peta, consistente en dos discos paralelos de radio R, separados por una distancia d, en la cual el disco superior
gira con velocidad angular ω y el inferior está fijo. Entre los dos discos hay un fluido no Newtoniano que
presenta diferencias de stress normales.
En muy buena aproximación, se puede considerar que el flujo está caracterizado por un
campo de velocidades
~v = Urzφ̂
Determine U a partir de las condiciones de borde
Muestre que este flujo cumple con las condiciones para ser un flujo reométrico
(Couette local)
Encuentre el tensor de presiones en coordenadas cilı́ndricas.
Usando las ecuaciones de conservación de momentun muestre que la presión vertical σzz es mayor al centro que en el border exterior. Esto implica que si se abriera
un agujero al centro del disco superior, el fluido tenderı́a a subir por él, lo que le da
el nombre de bomba centrı́peta en vez de la usual bomba centrı́fuga para fluidos
Newtonianos.
Note que el flujo propuesto no satisface completamente las ecuaciones de movimiento, ası́ que desprecie los términos no lineales.
Nota: En coordenadas cilı́ndricas, los términos de la ecuación de conservación de momentum son:
Gradiente de un vector:
∂ vφ
∂ vz
1 ∂ vr vφ
1 ∂ vφ vr
1 ∂ vz
∂ vr
+ r̂φ̂
+ r̂ẑ
+ φ̂ r̂
−
+ φ̂ φ̂
+
+ φ̂ ẑ
∇~v = r̂r̂
∂r
∂r
∂r
r ∂φ
r
r ∂φ
r
r ∂φ
∂ vφ
∂ vr
∂ vz
+ẑr̂
+ ẑφ̂
+ ẑẑ
∂z
∂z
∂z
Divergencia de un tensor:
∂ σrr σrr − σφ φ 1 ∂ σφ r ∂ σzr
+
+
+
∇ · σ = r̂
∂r
r
r ∂φ
∂z
∂ σrφ 2σrφ 1 ∂ σφ φ ∂ σzφ σφ r − σrφ
+φ̂
+
+
+
+
∂r
r
r ∂φ
∂z
r
∂ σrz σrz 1 ∂ σφ z ∂ σzz
+ẑ
+
+
+
∂r
r
r ∂φ
∂z
Divergencia de un tensor simétrico:
∂ σrr σrr − σφ φ 1 ∂ σrφ ∂ σrz
+
+
+
∇ · σ = r̂
∂r
r
r ∂φ
∂z
∂ σrφ 2σrφ 1 ∂ σφ φ ∂ σφ z
+
+
+
+φ̂
∂r
r
r ∂φ
∂z
∂ σrz σrz 1 ∂ σφ z ∂ σzz
+ẑ
+
+
+
∂r
r
r ∂φ
∂z
Las ecuaciones de conservación de momentum se escriben en forma general como:
∂~v
ρ
+~v · (∇~v) = −∇p + ∇ · σ
∂t
d
[P3] Haga en su casa un experimento donde mida el incremento del
diámetro de un fluido no Newtoniano que sale de una abertura circular:
δ = D − d. Mida para diferentes velocidades de salida y grafique los
resultados en función de γ̇, para el cual debe hacer una estimación
simple.
D
[P4] Lea y comente el artı́culo What makes for smooth, creamy chocolate? de E.J.
Windhab, Physics Today 59, 83 (June 2006), que se adjunta.
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