INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS 1.

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS
ZZ
1.- Calcular
f en los siguientes casos:
R
1
, R = [3, 4] × [1, 2].
(x + y)2
x2
b) f (x, y) =
, R = [0, 1] × [0, 1].
1 + y2
c) f (x, y) = yexy , R = [0, 1] × [0, 1].
a) f (x, y) =
d) f (x, y) = | cos(x + y)|, R = [0, π] × [0, π].
Z
2.- Si f es continua en R = [a, b] × [c, d] y se define F (x, y) =
Z
y
f (u, v) dv, probar que
du
c
a
∂2F
∂2F
=
= f (x, y), para a < x < b, c < y < d.
∂x∂y
∂y∂x
3.- Sea f (x, y) = esen(x+y) y D = [−π, π] × [−π, π]. Probar que
1
1
≤
e
4π 2
x
ZZ
f (x, y) dxdy ≤ e.
D
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES
ZZ
4.- Colocar los lı́mites de integración en la integral doble
f (x, y) dxdy en ambos órdenes, para
D
los siguientes recintos:
i) triángulo (0, 0), (1, 0), (1, 1).
ii) triángulo (0, 0), (2, 1), (−2, 1).
iii) trapecio (0, 0), (1, 0), (1, 2) y (0, 1).
iv) segmento parabólico y = x2 , y = 1.
v) cı́rculo x2 + y 2 ≤ 1.
vi) cı́rculo x2 + y 2 ≤ y.
vii) anillo 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4.
5.- Cambiar el orden de integración en las siguientes integrales:
2
Z
i)
Z
2x
dx
0
f (x, y) dy
Z
1
Z
dy
Z
iv)
ix)
dx
0
f (x, y) dy
Z2−x
ln x
dx
f (x, y) dy
√
Z 1 Z 2−y2
viii)
dy
f (x, y) dx
1
1−y
√
√
f (x, y) dy
2x−x2
Z
e
Z
vi)
f (x, y) dx
− 1−y 2
Z √2ax
0
2a
x2
−1
4
√
dx
1
0
vii)
dx
−6
Z 2
Z 1 Z x2
iii)
dx
f (x, y) dy
0
x3
Z π
Z sen x
v)
dx
f (x, y) dy
2−x
Z
ii)
x
0
2
Z
0
0
Z
f (x, y) dy, a > 0
x)
2ax−x2
Z
y
x3
dx
1
1
2
Z
f (x, y) dy +
x
8
Z
8
dx
2
f (x, y) dy.
x
6.- Calcular las siguientes integrales y dibujar la región de integración:
ZZ
|x| dxdy
i)
|x|+|y|≤1
Z 1
2
iii)
1
0
Z
v)
Z0
vii)
1
dx
−1
Z 1
vi)
ex+y dy.
−2|x|
Z √1−x2
dx
0
2
p
1 − x2 − y 2 dy.
0
2
ex dx.
dy
0
2x
|x|
Z
iv)
x dy.
4
Z
Z
1/x
2(1−x2 )1/2
dx
−1
xy dy.
dx
ii)
x2
dy.
y2
dx
3x+1
Z
1
Z
Z
2
Z
y/2
ZZ
7.- Calcular
f (x, y) dxdy en los siguientes casos:
D
i) f (x, y) = xy 2 , D el recinto limitado por y 2 = 2px y x = p/2 (p > 0).
1
ii) f (x, y) = √
, (a > 0), D el recinto limitado por el arco pequeño de la circunferencia de
2a − x
centro (a, a) y radio a y los ejes coordenados.
iii) f (x, y) = x2 + y 2 , D el paralelogramo limitado por y = x, y = x + a, y = a, y = 3a.
iv) f (x, y = x + y, D está limitado por y 2 = 2x, x + y = 4, x + y = 12.
v) f (x, y) = 1 + xy, D = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2, y ≥ 0}.
√
vi) f (x, y) = y 2 x, D = {(x, y) : x > 0, y > x2 , y < 10 − x2 }.
vii) f (x, y) = y, D = {(x, y) : 0 ≤ 2x/π ≤ y ≤ sen x}.
8.- Hallar el área de las siguientes regiones:
a) El recinto limitado por las rectas y = x, y = 5x, x = 1.
b) El recinto limitado por las curvas y 2 = 2px + p2 , y 2 = −2qx + q 2 , p, q > 0.
9.- Calcular el volumen del tetraedro con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3).
10.- Hallar el volumen limitado por z = 1 + x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = 0.
Z x Z t
Z x
11.- Probar que
dt
F (u) du =
(x − u)F (u) du.
0
0
Z
12.- Probar que 2
b
0
Z
b
dx
a
f (x)f (y) dy =
x
Z
b
f (x) dx
2
.
a
CAMBIOS DE COORDENADAS
13.- Sea D∗ = [0, 1] × [0, 1] y se define T : R2 → R2 como T (u, v) = (−u2 + 4u, v). Encontrar D = T (D∗ ).
¿Es T inyectiva?
14.- Sea D∗ el paralelogramo limitado por las rectas y = 3x − 4, y = 3x, y = x/2, y = x/2 + 2. Sea
D = [0, 1] × [0, 1]. Encontrar T : R2 → R2 tal que T (D∗ ) = D.
2
15.- Sea T (u, v) = (u, v(1 + u)) y D∗ = [0, 1] × [1, 2]. Encontrar D = T (D∗ ) y calcular
ZZ
xy dxdy.
D
16.- Una región R del plano XY está limitada por las rectas x + y = 6, x − y = 2 e y = 0.
a) Determinar la región R0 del plano U V en que se aplica R por la transformación x = u + v,
y = u − v.
∂(x, y)
.
∂(u, v)
c) Comparar el resultado de b) con la relación entre las áreas de R y R0 .
b) Calcular el jacobiano de la transformación
17.- Una región R del plano XY está limitada por las curvas
x2 + y 2 = a2 , x2 + y 2 = b2 , x = 0, y = 0,
con 0 < a < b, en el primer cuadrante.
a) Determinar la región R0 imagen de R por la transformación x = r cos ϑ, y = r sen ϑ, con r > 0
y 0 ≤ ϑ < 2π.
b) Estudiar lo que ocurre si a = 0.
∂(x, y)
.
c) Calcular
∂(r, ϑ)
Z 1 Z x2
18.- Expresar
dx
xy dy como una integral sobre el triángulo
0
0
D∗ = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ u}
y calcular la integral de las dos formas.
ZZ
19.- Sea D el cı́rculo unidad. Expresar
(1 + x2 + y 2 )3/2 dxdy como una integral sobre el rectángulo
D
[0, 1] × [0, 2π] y calcularla.
ZZ
20.- Escribir en coordenadas polares la integral
f (x, y) dxdy en los siguientes casos:
D
i) D es el cı́rculo: x2 + y 2 ≤ ax, a > 0.
ii) D es el anillo circular: a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 .
iii) D es el recinto limitado por la circunferencia: (x − a)2 + y 2 ≤ a2 .
iv) D es el recinto del primer cuadrante limitado por las curvas x + y = 1 y x2 + y 2 = 1.
y2
x2
v) D es el recinto limitado por la elipse: 2 + 2 = 1.
a
b
vi) D es el triángulo del primer cuadrante limitado por los ejes coordenados y la recta
x + y = 1.
vii) D es el cuadrado [0, 1] × [0, 1].
viii) D es el recinto del primer cuadrante limitado por la curva:
(x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ).
3
ix) D es el segmento parabólico −a ≤ x ≤ a, x2 /a ≤ y ≤ a.
x) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x2 }.
21.- Calcular las siguientes integrales:
ZZ
p
x2 + y 2 dxdy.
i)
2 +y 2 ≤a2
x
ZZ
p
ii)
sen x2 + y 2 dxdy.
Z Zπ2 ≤x2 +y2 ≤4π2
iii)
|xy| dxdy, donde D es un cı́rculo de radio a y con centro en el origen de coordenadas.
Z ZD
y
p
iv)
dxdy, siendo D la semicorona circular situada por encima del eje de abscisas
2
x + y2
D
y determinada
por x2 + y 2 = 52 y x2 + y 2 = 32 .
ZZ r
x2
y2
x2
y2
v)
1 − 2 − 2 dxdy, donde D está limitado por la elipse 2 + 2 = 1.
a
b
a
b
Z ZD
ln(x2 + y 2 ) dxdy, donde D = {(x, y) : a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 }, (0 < a < b) contenida en el primer
vi)
D
cuadrante.
22.- Hallar el área de la región limitada por:
a) Las curvas y 2 = 2px, y 2 = 2qx, x2 = 2ry, x2 = 2sy, 0 < p < q, 0 < r < s.
x2
y2
b) La elipse 2 + 2 = 1.
a
b
2
2
c) La curva x + y 2 = a x3 − 3xy 2 , a > 0.
d) Las curvas y 3 = ax2 , y 3 = bx2 (a > b > 0), xy 2 = c, xy 2 = d (c > d > 0), en el primer
cuadrante.
e) La región exterior a la circunferencia ρ = 2a e interior a la circunferencia ρ = 4a cos ϑ.
f) La región interior a la circunferencia ρ = 4 sen ϑ y exterior a la lemniscata ρ2 = 8 cos 2ϑ.
23.- Calcular la masa de una lámina en forma de anillo con radio interior 1, radio exterior 2 y
densidad ρ(r, ϑ) = 1/r3 , siendo r la distancia al centro.
24.- Calcular los volúmenes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies:
i) az = a2 − x2 − y 2 , z = a − x − y, x = 0, y = 0, z = 0.
ii) z = x2 + y 2 , x2 + y 2 = x, x2 + y 2 = 2x, z = 0.
iii) x2 + y 2 − az = 0, (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ), z = 0.
iv) z = x2 + y 2 , y = x2 , y = 1, z = 0.
vi) 2x + 3y − 12 = 0, z = y 2 /2, x = 0, y = 0, z = 0.
25.- Si S es la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy = 1, xy = 2, y = x, y = 4x,
ZZ
Z 2
probar que
f (x · y) dxdy = ln 2
f (u) du.
S
1
4
26.- Sea D = {(x, y) ∈ R2 : −Φ(x) ≤ y ≤ Φ(x), a ≤ x ≤ b}, donde Φ es una función continua y no
negativa en el intervalo [a, b]. Si z = f (x, y) es una función en D tal que f (x, y) = −f (x, −y),
ZZ
para todo (x, y) ∈ D, probar que
f (x, y) dxdy = 0.
D
INTEGRALES TRIPLES
Z
1
Z
0
x
0
y
f (x, y, z) dz, dibujar la región de integración y escribir la integral
dy
dx
27.- Dada la integral
Z
0
de todas las formas posibles.
28.- a) Describir las superficies r = constante, ϑ = constante, z = constante, en el sistema de
coordenadas cilı́ndricas.
b) Idem para las superficies ρ = constante, ϑ = constante, ϕ = constante, en el sistema de
coordenadas esféricas.
29.- Calcular las siguientes integrales triples:
ZZZ
i)
xyz dxdydz, donde V es el recinto limitado por la superficie x2 + y 2 + z 2 = 1 en el primer
V
ii)
octante.
ZZZ p
x2 + y 2 dxdydz,donde V es el recinto limitado por x2 + y 2 = z 2 , z = 1.
Z Z ZV
iii)
(1 + z 2 ) dxdydz, siendo W la región limitada por 2az = x2 + y 2 , x2 + y 2 − z 2 = a2 , z = 0.
Z Z ZW
(x2 + y 2 ) dxdydz, donde V está limitado por las superficies x2 + y 2 = 2z, z = 2.
2
x
y2
z2
x2
y2
z2
v)
+
+
dxdydz, donde V está limitado por la superficie 2 + 2 + 2 = 1.
2
2
2
b
c
a
b
c
Z Z ZV pa
2
2
x2 + y 2 + z 2 dxdydz, donde V es el recinto limitado por la esfera x + y + z 2 = z.
vi)
iv)
Z Z ZV
V
30.- Calcular los volúmenes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies:
i) a2 = x2 + z 2 , x + y = ±a, x − y = ±a.
p
ii) z = 6 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 .
iii) x2 + y 2 + z 2 = 2az, x2 + y 2 ≤ z 2 .
iv) z = x2 + y 2 , xy = a2 , xy = 2a2 , y = x/2, y = 2x, z = 0.
v) x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 + z 2 = b2 , x2 + y 2 = z 2 (z ≥ 0, 0 < a < b).
vi) z = 0, x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = z 2 .
vii) x2 + y 2 + z 2 = 1, z = 1/2.
31.- Calcular el momento de inercia de un cono circular recto respecto a su eje.
32.- Hallar la masa del sólido S = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, z ≤ 4, z ≥ 1 − x2 − y 2 } si la densidad en
cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto al eje Z.
5