La ca雲da de una chim enea - UAM-I

La ca¶
³da de una chim e ne a
A nge lManzur Guzm ¶
an
De p arta m e nto de F¶
³sica ,C B I,UA M-I
e -m a il: am g@xanum .ua m .m x
R e ci
bi
d
o : 11de novi
e m bre de 2 003.
A ce p tad
o : 5 de di
ci
e m br e de 2 003.
p ar te s; p or e je m p lo,casosp ar ti
culare s,casosl
¶
³m ite y a p lica cione sp ue den se r ana li
zadose n e l¶
u lti
m o
p aso p r i
nci
p a l.
Intro d
ucci
on
¶
C on la re soluci¶
o n de p r oblem a sde f¶
³sica se busca
q ue e le studiante se a ca p a z de usa r corr e ctam e nte
losconce p tosf¶
³sicosy lashe r ra m ienta sm a te m ¶
a tica s;
q ue i
nte rp re te la soluci¶
o n y la uti
li
ce p a ra p r e decir
re sultadosy calcular e le fe cto p ro duci
do e n e lr e sulta do cuando se va r¶
³a n losvalore sde a lgunosp a r¶
am etros; y q ue se a ca p a zde ge ne r ali
za r lascondi
ci
one s
delp roblem a p a ra incluir otrose fe ctose n e lr e sulta do.Una ve z q ue e le studiante ha obte ni
do la soluci¶
o n te ¶
or i
ca,sa be e n q u¶
e p ar te delp ro ce so se introduje ron lasap r oxim a ci
one so idea li
zaci
one sq ue p e rm itieron logr ar una soluci¶
o n se nci
lla y,conse cue nte m e nte ,cono ce losa lcance sy lim ita cione sde la soluci¶
o n e n lasp osi
blesap li
ca cione s.
A q u¶
³se p re se nta la obte nci
o n de la soluci¶
¶
o n de un
p roblem a de m e c¶
a ni
ca e lem e nta ldonde se ha n se guido los p a sos p rincip a les p rop ue stos.La i
nte nci¶
o n e n e ste a rt¶
³culo e si
lustrar con un e je m p lo e l
p ro ce so de c¶
o m o r e solve r un p roblem a de m e c¶
a nica e lem e nta ly,p r i
nci
p a lm e nte ,de c¶
om o i
nte rp re tar la soluci
o n.La clave p a ra re solve r p roblem a s
¶
nue vosy dif¶
³cilese st¶
a conte ni
da e n e lconjunto de
habili
dadesq ue se adq uier e n alr e solve r p roblem a s
se nci
llos.
Pr o bl
e m a [3]
Una va rilla e st¶
a incli
na da form a ndo un ¶
a ngulo µ con
la l
¶
³ne a ve rtica ly ti
e ne su e xtre m o infe rior ¯jo; la va ri
lla p ue de gi
ra r sin fr i
cci¶
o n r e sp e cto a un e je hori
zontalq ue p a sa a trav¶
e sdele xtre m o i
nfe ri
or.Si
la var i
lla se deja ca e r,>q u¶
e di
fe re nciase xi
ste n e ntre e lva lor de la com p one nte ve r ti
ca lde la a ce lera ci¶
o n li
ne a lde cua lqui
e r p unto de la va rilla,e n p ar ti
cular dele xtre m o libre ,y e lva lor de la a ce lera ci¶
o n de una ca¶
³da libre ?
Lo q ue se busca no e sla ap lica ci¶
o n de una r e ce ta
o una f¶
o rm ula,sino la com p re nsi¶
o n de la f¶
³sica involucr ada y e ldesa rr ollo de ha bi
li
dades.La re sp ue sta num ¶
e rica a cua lquier p r oblem a e n e lnive le lem e nta lno e stan i
m p orta nte com o lo son lasha bi
li
dades
o he rra m ienta susa dasy la e xp e rienci
a q ue se a dq uiere altra ba ja r e n la b¶
u sq ue da de la soluci
o n.E lin¶
te r¶
e se sq ue ca da e studi
a nte ,con la p r¶
a ctica de re solve r p roblem a s,te nga su m a q ui
na ria m e ntalbi
e n e ntre na da p a ra q ue p ue da re solve r losp roblem a sq ue
se le p re se nte n.N ue stra m e ta e sp re p a ra r e studi
a nte sp a ra to doslosp osi
blesfuturos,a rm ¶
a ndoloscon
e lm o do cient¶
³¯co de p e nsa r.
Pl
a nte a m i
e nto
La ¯gura 1m ue stra la var i
lla e n su p osi
ci
o n ini
¶
ci
al
y su p e so,q ue e sla fue rza q ue la har ¶
a gira r r e sp e cto
alp unto Q .
Sup onga m osq ue la va ri
lla ti
e ne m a sa m y longitudl.C on la l
¶
³ne a hor i
zonta lp unte a da de la ¯gura 1 se q ui
e re indi
ca r q ue a h¶
³p odr¶
³a e star e lsue lo.C om o e le xtre m o infe rior de la var i
lla (p unto Q )
no se m ue ve ,re sp e cto a e ste p unto se ha r¶
a e lc¶
a lculo delm ovi
m i
e nto.
Una gu¶
³a o e structur a fundam e ntalde c¶
o m o re solve r p roblem a sayuda a lose studi
a nte s,p ue slesi
ndi
ca losp a sosp rinci
p a les,a s¶
³com o susp a rte sre leva nte s,y e lorden e n q ue debe n llevar se a ca bo; p rop orciona e lem e ntosq ue si
r ve n p a ra ve rīca r silosr e sulta dosinte rm e di
osy ¯nalesson corre ctos.Losp a sosp rincip alesde una gu¶
³a p rop ue sta re ci
e nte m e nte
1,2 son: p lante a m i
e nto y a n¶
a lisiscualitati
vo,a n¶
a li
sis m a te m ¶
a ti
co,e inte r p re ta ci
o n f¶
¶
³si
ca de la soluci¶
o n.C a da uno de e stos p a sos consiste de va rias
A n¶
al
i
si
sm ate m ¶
a ti
co
R e sp e cto a le xtre m o ¯jo,la e cuaci
o n delm ovi
¶
m i
e nto
q ue p ro duce la torca debi
da a lp e so de la va ri
lla e s
I® =
51
l
l
mg se n (¼ ¡µ)= mg se n µ
2
2
52
C o nta cto S 54
,51{53 (2 004)
Fi
gur a 2 .La a ce ler a ci¶
o n line a lde cua lq ui
e r p unto de la
va r illa y su co m p o ne nte ve r tica l.
Figur a 1.La va r illa p ue de gi
r a r m a nte niendo ¯jo su e xtre m o infe r i
or.
donde I e se lm om e nto de ine rci
a re sp e cto a le je de
gi
ro y ® la m agnitudde la ace ler aci
o n a ngular.C om o
¶
I e siguala ml2 =3,e ntonce sla ace ler aci
o n angular
¶
de cua lquier p unto de la va rilla e s
®=
l
en
2 mg s
1
2
ml
3
µ
=
3g
se n µ
2l
(1)
La a ce lera ci¶
o n line a ldele xtre m o de la va rilla e sa=
l®.Par a ca lcular la a ce lera ci¶
o n li
ne alde cua lq ui
er
p unto de la va rilla,a signar e m osla p osi
ci
o n delp unto
¶
com o sl,donde s e sun p ar ¶
a m e tro a di
m e nsi
ona lq ue
var¶
³a e ntre 0 y 1,de talm a ne ra q ue s = 0 p a ra
e le xtre m o ¯jo y s = 1 p a ra e le xtre m o li
br e .E n
t¶
e rm inosde e ste p a r¶
a m e tro,la a ce lera ci¶
o n line a ldel
p unto e n la p osi
ci
o n sle sa= sl®,o se a,
¶
a=
3
sg se n µ:
2
(2 )
E n e lm ovim iento de ca¶
³da de la va rilla,ca da p unto
de e lla describe un a rco de c¶
³rculo y su a ce lera ci
on
¶
line ale sta nge nte a e ste c¶
³rculo,e sdeci
r ,a p unta e n
la dire cci¶
o n p e r p e ndi
cular a la l
¶
³ne a de la va rilla.
E sta a ce lera ci¶
o n line a ltiene com p one nte ve r ti
ca lav,
com o se indi
ca e n la ¯gura 2 .
La com p one nte ve r ti
calde la a ce lera ci¶
o n line a l
³¼
´
(av cos ¡µ = ase n µ)
2
de cua lquier p unto de la va rilla e s
av =
3
sg se n 2 µ:
2
(3)
Inte r p r e taci
o n f¶
¶
³si
ca d
e l
a so l
uci
on
¶
La sa ce lera cione sr e p re se nta dasp or lasf¶
o r m ulas(1)
a (3)son nulase n µ = 0o ,p orq ue e n e sta p osici¶
on
la va rilla e sta r¶
³a e n e q uilibrio; e ste e q ui
li
br i
o e sine stable.C on cua lquier ¶
a ngulo ini
ci
a ldi
fe r e nte de ce ro,e lce ntro de m a sa ya no e sta r¶
³a sobr e la l
¶
³ne a ve r ti
calq ue p asa p or Q y,p or tanto,la var i
lla e m p e za r¶
³a a ca e r .
C om o la var i
lla gira con su e xtre m o infe rior ¯jo,todossusp untosdescribe n a rcosde c¶
³rculo y to dosti
ene n la m ism a ve loci
dada ngular y la m ism a a ce lera ci¶
o n angular.Si
n e m ba rgo,losp untosno tiene n la
m ism a ve loci
dadli
ne a lnila m ism a a ce lera ci¶
o n line a l,p ue s¶
e sta sdep e nden de la di
stanci
a delp unto e n considera ci
o n ale je de r ota ci
¶
o n.La sa ce lera ¶
cione sp r e dicha sp or lasf¶
o rm ulas(1)a (3)a dq ui
ere n su va lor m ¶
a sgra nde e n µ = 9 0±,p ue sdep e nden
de se nµ.
E n la f¶
o rm ula (3)se obse r va q ue la com p one nte ve r ti
calde la ace lera ci
o n line a ldelp unto con p osici¶
¶
on
sl,dep e ndiendo delvalor de s y del¶
a ngulo,p ue de se r m ayor,igualo m e nor q ue g (la a ce lera ci¶
on
de un cue rp o e n ca¶
³da li
bre ).Sillam am osµ¤ alva lor del¶
a ngulo e n q ue av = g,e ntonce sse obti
e ne
3s
se n 2 µ¤= 1;
2
e sta e xp r e si¶
o n se n~ a la q ue ,e n e l¶
a ngulo µ¤,to doslos
p untoscon s < 2 =3 tiene n a ce lera ci¶
o n ve r ti
ca lm e nor q ue g.E n otra sp a labr as,la p ar te sup e r i
or de
la va r i
lla (un te rcio de su longi
tud) e st¶
a caye ndo
con una a ce lera ci¶
o n ve rtica lm ayor q ue la a ce lera ci¶
o n de un cue rp o e n ca¶
³da li
br e .
Tom a ndo a g com o unidad,e n la ¯gur a 3 se m ue stra n lascur va sde la a ce lera ci¶
o n av com o funci¶
o n del
a ngulo µ,p a r a 3 p untosdife re nte sa lo largo de la va ¶
ri
lla,e sdecir,p ar a 3 va lor e sde s.La l
¶
³ne a r e cta tra za da e n la ordena da iguala 1re p re se nta a la a ce lera ci¶
o n de la grave dad.E sta re cta y ca da curva se inte r se ca n e n un ¶
a ngulo cuyo va lor e s· ¼2 y a lcua lllam a -
La ca¶
³da de una chim e ne a . A nge lManzur Guzm ¶
a n.
m osµ¤.Pa ra ¶
a ngulosm ayore sq ue µ¤,la com p one nte ve r ti
ca lde la a ce lera ci¶
o n li
ne ale sm ayor q ue e lva lor de g,p e ro p a ra va lore sm e nore sde e ste ¶
a ngulo av e sm e nor q ue g.
Pa ra cada curva de la ¯gur a 3,con di
fe re nte valor de
s,corre sp onde un va lor di
fe re nte de µ¤.Par a e le xtre m o libre de la va rilla (s = 1),av = g e n µ¤= 54:7 4±;
p a ra la curva con s = 3=4,µ¤ = 7 0:53±; cua ndo
s = 2 =3,µ¤= 90±; cua ndo s < 2 =3,µ¤no e xiste p orq ue la curva cor re sp ondi
e nte de
av
g
p a sa p or aba jo de la re cta .E n todose stoscasos,av
e sm e nor q ue g p ar a µ < µ¤,p e r o e sm ayor q ue g
p a ra µ > µ¤.
E n la re fe re nci
a 4se describe un e xp e rim e nto e n q ue
se dem ue stra q ue la p ar te sup e ri
or de la var i
lla cae
con av m ayor q ue g.
53
ti
e nde a deform a rse p e ro se fr actura p orq ue su e structura no re si
ste la deform aci
o n y deja de com ¶
p orta rse com o un cue rp o r¶
³gi
do.La p ar te fra ctura da ca e com o lo ha ce un cue rp o e n ca¶
³da libre ,e sdecir,con a ce lera ci¶
o n g,q ue e sm e nor q ue av ,y p or
tanto cae alsue lo e n un tiem p o m ayor a lq ue lo ha ce la p a rte i
nfe ri
or.La p a rte q ue q ue da de la chim e ne a si
gue com p ort¶
a ndose e n su ca¶
³da com o lo ha ce una va rilla r¶
³gi
da de m e nor longitud,de ta lm odo q ue la historia se p ue de r e p e ti
r ,e sdecir,p ue de suce der q ue se p ro duzca otra fra ctura .E n la re fe re nci
a 5 se m ue stra n fotogra f¶
³a sq ue i
lustran las
fr actura sq ue sufre una chim e ne a q ue ca e .Una re visi
o n de lase xp lica cione sq ue se ha n dado a lr om p i¶
m iento de la chim e ne a e n su ca¶
³da se r e p orta e n la
re fe r e nci
a 6.
Bi
bl
i
o gr af¶
³a
1. A .Ma nzur.Pa sosp a ra la re soluci¶
o n de p roblem a s.Co ntactos,N o.38,45,2 000.
2 . A .Ma nzur.Pa sosp a ra la re soluci¶
o n de p roblem a s.2 .R e vista Me xicana de F¶
³sica,47 (2 ),17 5,
2 001.
3. R .R e snick,D.Ha lli
day y K .S.K ra ne .F¶
³si
ca.
V olum e n 1,cuar ta e dici¶
o n (te rce r a e n e sp a n~ ol).
C E C SA ,M¶
e xi
co,199 3.Problem a 12 -38.
4. A .Ma nzur.E xp e r i
m e ntosde De m ostra ci¶
on p ara F¶
³si
ca I y F¶
³sica II.UA M,M¶
e xico,19 9 2 ,6 366.
5. A .A .B a rtlett.More on the fa lli
ng chi
m ne y.
T he Physi
csTe ache r ,14,351,19 7 6 .
6 . G.V ar i
e schiy K .K a m i
ya .Toy m o delsfor the
fa lling chim ne y.A m e r i
can Jo ur nalo f Physi
cs,7 1(10),102 5,2 003.
cs
Figur a 3.C o m p o ne nte ve r tica lde la a ce ler a ci
o n line a l
¶
co m o funci
o n del¶
¶
a ngulo,p a r a 3 p unto sdife r e nte sde la
va r illa.
A pl
i
caci
on
¶
E ste p roblem a ,de una va rilla q ue con su e xtre m o infe rior ¯jo ca e desde una p osici¶
o n a ngular ce r ca na a
la ve r ti
cal,p ue de se r uti
li
zado com o m o delo p a ra e xp lica r p or q u¶
e una chim e ne a de ladri
llo e n su m ovi
m iento de ca¶
³da (debido a su dem olici¶
o n)se fr actura e n la p a rte sup e rior,la cualllega a lsue lo desp u¶
e sq ue la p ar te i
nfe rior.La com p one nte ve rti
cal
de la ace ler aci
o n line a lde la p a rte sup e rior de la chi
¶
m e ne a e sm ayor q ue la corr e sp ondi
e nte com p one nte de la p a rte m ¶
a sce r ca na a la ba se ,la chim e ne a