Cálculo directo de la Energía Absorbida

Capítulo 8
Cálculo directo de la
R0
! 0
!
Energía Absorbida: E 1 J
Después de haber desarrollado distintos métodos para poder obtener la sección e…caz
de absorción del cilindro metálico aislado encontramos que el mejor era a través de la
0
!
0
!
transformada de Fourier del campo eléctrico E y de la densidad de corriente J , en
!, para cada punto en la sección transversal de dicho cilindro donde se lleva a cabo la
integral para obtener la absorción de energía, normalizada apropiadamente.
8.1.
Energía absorbida por un sistema metálico
A partir de la mecánica de Newton, es posible obtener una expresión que represente
la energía disipada por unidad de volumen. A saber, el trabajo W realizado sobre una
0
!
partícula sometida a una fuerza F en una trayectoria S puede escribirse como
W =
Z
S
Luego,
0
! 0
F 1 d!
r:
Z
Z t
!
0
! d0
0
! 0
r
F 1
W =
dt =
F 1!
v dt0
dt
0
S
en el tiempo de la trayectoria. Si tenemos una densidad n de partículas por unidad de
59
60
8. Cálculo directo de la Energía Absorbida:
volumen, entonces el trabajo W por unidad de volumen es
Wn =
Z
t
R0
! 0
!
E1 J
0
!
!
F 1 (n0
v ) dt0 :
0
0
!
0
!
Si se trata de electrones con carga q = 0e, tendríamos que F = 0e E . Entonces
Wn = 0
Z
t
0
0
!
!
E 1 (ne0
v ) dt0
0
!
!
pero J = 0ne0
v . Por lo tanto
Wn =
Z
0
t
0
!
0
!
E (t) 1 J (t) dt:
(8.1.1)
Así pues, se ha encontrado una expresión que calcula el trabajo, es decir la energía
disipada por unidad de volumen de un sistema metálico en un tiempo t.
8.2.
Barra de sección transversal arbitraria
Consideremos el eje z a lo largo de un cilindro y consideremos su sección transversal
dada por alguna función arbitraria f (x; y). La energía disipada en una barra metálica,
por unidad de volumen, es dada por la Ec. (8.1.1):
Z
Wn =
t
0
0
! 0
0
! !
E (!
r ; t) 1 J (0
r ; t) dt:
0
! 0
!
Como los campos E y J no dependen de la coordenada z, entonces la energía disipada
en un tramo de longitud L sería
Z
Wn dv
Z
= L Wn da
ZS Z t
0
! 0
0
! !
E (!
r ; t) 1 J (0
r ; t) dt
= L da
U (t) =
V
S
0
8.2. Barra de sección transversal arbitraria
61
donde S es el área de la sección transversal. Luego, la energía por unidad de longitud
0
! !
r ; t)
sería u = U . Ahora, escribamos U en términos de la frecuencia !, pasando E (0
L
0
! !
0
! !
0
! !
y J (0
r ; t) a la forma E (0
r ; !) y J (0
r ; !). Para facilitar la notación, llamaremos
0
! 0
0
!
simplemente a E (!
r ; t) como E (t), y así respectivamente a los demás campos. Sea
!
UV (0
r ; !) =
Z
1
0
!
U (0
r ; t) ei!t dt:
Entonces
UV (!) = L
= L
= L
= L
= L
Z
Z
Z
Z
Z
da
1
i!t
e
dt
0
da
Z
da
Z
1
i!t
e
dt
da
1
i!t
e
dt
1
i!t
e
dt
0
da
Z
1
i!t
e
dt
0
UV (!)
=
L
Z
=
Z
Z
t
0
! 0 0
!
E (t ) 1 J (t0 ) dt0
Z t Z
UV (!)
,
L
da
Z
Z
Z
Z
da
da
Z
d! 1
Z
Z
0
!
0
J (! 2 ) e0i!2 t d! 2
0
!
J (! 2 ) d! 2
Z
t
0i(! 1 +! 2 )t0
e
0
dt
0
Z
0
!
0
!
d! 2 E (! 1 ) 1 J (! 2 )
Z
Z
0
!
0
!
d! 2 E (! 1 ) 1 J (! 2 )
t
0i(! 1 +! 2 )t0
e
1
i!t
e
dt
d! 1
d! 1
Z
d! 1
Z
0
!
0
!
d! 2 E (! 1 ) 1 J (! 2 )
0
dt
0
Z
0
!
0
!
d! 2 E (! 1 ) 1 J (! 2 )
Z
Z
0
!
0
!
d! 2 E (! 1 ) 1 J (! 2 )
Z
1
i!t
e
0
0
1
e0i(!1 +!2 )t 0 1
0i (! 1 + ! 2 )
dt
ei(!0!1 0!2 )t 0 ei!t
0i (! 1 + ! 2 )
dt
e0i(!1 +!2 )t 0 1
0i (! 1 + ! 2 )
e0i(!1 +!2 )t 0 1
0i (! 1 + ! 2 )
0
tendríamos
0
Z
0
!
E (! 1 ) d! 1 1
d! 1
0
!
0
E (! 1 ) e0i!1 t d! 1 1
0
0
Z
Z
0
0
Luego, si tomamos
=
Z
dt
:
8. Cálculo directo de la Energía Absorbida:
62
=
Z
da
= E (0)
Z
Z
d! 1
da
Z
Z
0
!
0
!
d! 2 E (! 1 ) 1 J (! 2 )
d! 1
+ i
Para ! 6= 0
UV (!)
=
L
Z
E (! 0 ! 1 0 ! 2 ) 0 E (0)
0i (! 1 + ! 2 )
0
!
0
!
E (! 1 ) 1 J (! 2 )
d! 2
i (! 1 + ! 2 )
Z
Z
R0
! 0
!
E1 J
Z
0
!
0
!
E (! 1 ) 1 J (! 0 ! 1 )
d! 1
:
!
Z
0
!
0
!
E (! 1 ) 1 J (! 0 ! 1 ) d! 1 :
da
i
da
!
0
!
0
!
Así pues, para una onda monocromática, E (! 1 ) y J (! 0 ! 1 ) serán funciones delta en
! con ! 0 := ! 0 ! 1 = ! 1 , lo que implica que ! = 2! 0 y salvo algún factor constante A,
tendremos
UV (2! 0 )
=A
L
Z
da
!
0
!
i 0
E (! 0 ) 1 J (! 0 ) :
2! 0
En resumen, la energía disipada por unidad de volumen en el tiempo t es
Wn =
Z
t
0
0
! 0
0
! !
E (!
r ; t) 1 J (0
r ; t) dt:
Si el volumen es de la forma V = LA, entonces
UV (t) =
Z
Wn dv
Z
Z
V
=
dv
0
! 0
0
! !
E (!
r ; t) 1 J (0
r ; t) dt
0
V
= L
t
Z
S
da
Z
0
t
0
! 0
0
! !
E (!
r ; t) 1 J (0
r ; t) dt:
8.2. Barra de sección transversal arbitraria
63
Esto implica que la energía disipada por unidad de longitud en el tiempo t es
U (t)
u := V
=
L
Z
S
da
Z
0
t
0
! 0
0
! !
E (!
r ; t) 1 J (0
r ; t) dt:
Si consideramos una onda monocromática de la forma
i
0
! 0
0
!
!
0
!
1 h0
E (!
r ; t) E (x; y; t) =
E (x; y) e0i!t + E 3 (x; y) ei!t
2
i
!
0
!
0
! 0
0
!
1 h0
J (x; y) e0i!t + J 3 (x; y) ei!t ;
J (!
r ; t) J (x; y; t) =
2
0
! 0
!
a quienes llamaremos solamente E y J respectivamente para facilitar la notación, se
tiene entonces que
1
u=
2
Z
S
Z th
i h0
i
0
! 0i!t 0
!
!
0
!
da
Ee
+ E 3 ei!t 1 J e0i!t + J 3 ei!t dt:
0
Luego
1
u =
2
Z
S
Z th
0
! 0
!
0
! 0
!
0
! 0
!
0
! 0
!i
da
E 1 J e02i!t + E 3 1 J 3 e2i!t + E 1 J 3 + E 3 1 J dt
0
1
=
2
Z th
Z Z
i
0
! 0
!
0
! 0
!
0
! 0
!3 0
!3 0
!
1
da
E 1 J e02i!t + E 3 1 J 3 e2i!t dt
E 1 J + E 1 J da +
2 S
0
S
1
=
2
Z 0
! 0
!3 0
!3 0
!
E 1 J + E 1 J da
S
1
+
2
!3 0
!3 (e2i!t 0 1)
0
! 0
! (e02i!t 0 1) 0
da E 1 J
+ E 1J
:
02i!
2i!
S
Z
Si promediamos en un tiempo t muy grande, la segunda integral se hace nula pues
(e02i!t 0 1) oscila entre 0 y 02.
8. Cálculo directo de la Energía Absorbida:
64
Por tanto tenemos
1
huit =
2
Z 0
!
0
!
0
!
0
!
E (x; y; !) 1 J 3 (x; y; !) + E 3 (x; y; !) 1 J (x; y; !) da
R0
! 0
!
E1 J
(8.2.1)
S
que es la Potencia absorbida por unidad de longitud por unidad de tiempo en el cilindro.
Por otra parte, si sustituimos la densidad de corriente
0
!
0
!
J (!) = (!) E (!)
0
! 0
!
0
! 0
!
en el integrando la Ec. (8.2.1), E 1 J 3 + E 3 1 J , se tiene que
0
! 0
!
0
! 0
!
0
! 0
!3
0
! 0
!
E 1J3+ E31J = E 1 E + E31 E
C0
C
C0
C
C!C2
C!C2
= 3 C E C + C E C
C0
C
C!C2
= ( + ) C E C
3
C0
C
C!C2
= 2 Re () C E C :
Entonces, la Potencia absorbida también se puede escribir como
huit
1
=
2
=
Z
Z S
S
C0
C
C!C2
2 Re () C E C da
C0
C
C!C2
Re () C E C da: