PROMEDIOS: MEDIA ARITMETICA MEDIANA Y MODA

Los valores incluidos en un grupo de datos usualmente varían en magnitud; algunos de ellos
son pequeños y otros son grandes. Un promedio es un valor simple, el cual es considerado como el
valor más representativo o típico para un grupo de números. Obviamente, el valor más
representativo para un grupo de números normalmente no es el valor más pequeño ni el más grande,
sino es el número cuyo valor está en algún punto intermedio del grupo. Así un promedio es
frecuentemente referido con una media de tendencia central.
El promedio se emplea con frecuencia como mecanismo para resumir un conjunto de
cantidades o números, sobre todo si es grande, a fin de descubrir los datos estadísticos. Como
ejemplos cabe citar las edades promedio de los estudiantes de una universidad, el salario semanal
promedio de los trabajadores manufactureros, el ingreso familiar promedio de una nación, etc.
Los promedios son también frecuentemente usados para comparar un grupo de datos con
otro. Por ejemplo, el promedio de años de educación de los empleados de una compañía,
comparados con el promedio de otra compañía; el promedio de unidades producidas en una planta,
comparado con el promedio producido en otra, y el promedio de kilómetros recorridos por un grupo
de vendedores, comparado con el promedio de kilómetros recorridos por otro grupo.
Los promedio más comunes conocidos en estadística son 1).- La media aritmética, 2).- la
mediana, 3).- la moda, 4).- la media geométrica y 5).- la media armónica. Cada promedio tiene
sus características particulares. La determinación de cuál de los diferentes tipos de promedios
deberá ser usado bajo diferentes circunstancias depende grandemente de las características de los
promedios. En general, los tres primeros promedios son usados más frecuentemente los dos últimos
son usados solamente en casos muy especiales.
Hay más detalles involucrados en el cálculo de promedios para datos agrupados que para
datos no agrupados, aunque los métodos son básicamente los mismos para los dos tipos de datos.
Los números incluidos en los datos no agrupados, son valores simples y no están clasificados en
grupos. La agrupación de datos, también llamada Distribución de frecuencia, son datos
organizados y están clasificados cuantitativamente.
DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)
Generalmente hablando, cuando un grupo de datos recopilados consiste de solamente unos
pocos ítems, puede no haber una necesidad para organizarlos. Los datos recopilados, los cuales no
han sido organizados numéricamente, son frecuentemente llamados datos brutos o crudos. Sin
embargo, cuando un grupo grande de ítems es recopilado, los valores de los mismos deberán ser
puestos en orden para facilitar el análisis estadístico. Los valores pueden ser arreglados, primero de
acuerdo al orden de magnitud ascendente descendente. Los datos ordenados de esta manera
constituyen un arreglo. Así los valores 4, 6, 2, 9, 8, 4, 8 y 8 son datos brutos, los cuales pueden ser
ordenados como un arreglo 2, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 8, 9. Hay valores repetidos en el arreglo. Cuando los
valores repetidos son indicados, el arreglo es entonces llamado un arreglo de frecuencia y el
número indica las veces que un valor está repetido se llama la frecuencia. El arreglo de frecuencias
puede ser construido mediante el uso de marcas.
ILUSTRACION DE UN ARREGLO DE FRECUENCIAS
Valor
2
4
6
8
9
Total
Marca
/
//
/
///
/
Frecuencia
1
2
1
3
1
8 Valores
Más aún, cuando los valores son agrupados en varias clases con base cuantitativa y el
número de los valores dentro de cada clase es indicado, puede obtenerse una presentación tabular
más compacta de los datos. La tabla que muestra datos agrupados cuantitativamente se llama una
Distribución de frecuencias.
El arreglo de una distribución de frecuencia tiene un gran efecto en el cálculo de los
distintos promedios, lo mismo que en otras fases del análisis estadístico. Sin embargo, no hay reglas
precisas que puedan ser usadas para construir una tabla perfecta de distribución de frecuencias,
únicamente hay que tener cuidado en construir tales tablas a partir de los datos brutos
ILUSTRACION DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Intervalo de clases
1-3
4-6
7-9
Total
Frecuencia
1
3
4
Valores 8
Número de clases
Límites de clase y punto medio o centro de clase
Los límites de clase superior e inferior establecidos en una distribución de frecuencia,
indica las cotas o fronteras de cada clase de la distribución. Sin embargo, en muchos casos, los
límites de clase establecidos no son los límites de clase verdaderos. Hay blancos entre las clases.
En tales casos, el Punto medio de cada blanco es considerado como el límite verdadero o real entre
las dos clases que forman el blanco.
El punto medio o centro de cada clase es empelado usualmente para representar cada valor
original, agrupado en la clase para propósitos de análisis matemáticos adicional. El centro de cada
clase puede calcularse de cualquiera de los límites de clase, ya sea los establecidos o los reales
Centro de clase
Límite de clases inferior
establecido
Límite de clases superior
Establecido
2
Ejemplo: Encontrar los límites verdaderos y el valor del punto medio para cada una de las
clases 1 - 3, 4 - 6, 7 - 9.
Límites de clase y variables.
Una variable es un conjunto de valores y es usualmente representada por un símbolo, tal
como la variable X consiste de 1, 2, 5, 7, 8, y así sucesivamente. Si un símbolo que representa un
número tiene valor fijo, el símbolo se le llama constante, tal como a si a = 4.
Hay dos tipos de variables: variables continuas y variables discretas. Una variable
continua puede teóricamente, tomar cualquier valor entre dos valores dados. Por ejemplo, hay un
número ilimitado de valores entre los números 70 y 71, tales como 70.01, 70.06, 70.80047. Los
datos que `peden ser descritos por una variable continua son llamados datos continuos, tales como
la medida de la estatura de una persona, la cual puede ser de1.50 mts, 1.52 mts o 1.59 mts. Si la
variable no puede tomar cualquier valor entre dos valores dados, se llama una variable discreta. Los
datos representados por una variable discreta son llamados datos discretos, tales como el número de
estudiantes en una clase, el cual puede tomar cualquiera de los valores 0, 1, 2, 3, 4 . . . ., pero no
pueden ser 1.2, 2.6, 3.1, etc. En general, los valores que representan medidas son datos continuos,
mientras que conteos o enunciados son datos discretos.
Tamaño de los intervalos de clase
En General hay tres tipos de intervalos de clase de acuerdo a cuerdo con los tamaños de las
clases en una distribución de frecuencia: 1. - Clases de igual tamaño,
2.- Clases de desigual
tamaño,
3.- clases abiertas. El tamaño del intervalo de clase es la diferencia entre los límites
de clase verdadera superior e inferior, y es también referido como la amplitud de clase o el tamaño
de los intervalos de clase en una distribución de frecuencia, depende del número de clases, los tipos
de información deseada y el grado de variación de los valores originales.
Clases de igual tamaño.
Este tipo de designación de clases es usualmente preferido y ha sido usado en las
ilustraciones. Cuando todas las clases son del mismo tamaño, los cálculos concernientes a la
distribución de frecuencia son grandemente simplificados. Por ejemplo, el número de clases en una
distribución de frecuencia puede ser calculado dividiendo el recorrido de los datos brutos (la
diferencia entre el valor mayor y el menor) por el tamaño del intervalo de clase.
Clases de desigual tamaño.
Los intervalos de clases desiguales no son deseables en la mayoría de los casos, pero son
algunas veces usados para servir propósitos particulares, tales como cubrir valores que varían en un
amplio recorrido. Cuando los intervalos de clases desiguales deben ser usados, los intervalos de
clases deberán ser incrementados de una manera ordenada si es posible.
Clases abiertas
Una clase abierta tiene uno de sus dos límites de clases no establecido numéricamente, tal
como la primera clase "menos de 500" y la última clase "25,000 y más, este tipo de clases deberá de
ser evitado lo más posible, puesto que no podemos decir exactamente cual es el punto medio u otro
valor representativo de la clase para los propósitos de cálculo.
La media aritmética, o simplemente la media, es el tipo más comúnmente usado entre los
cinco tipos de promedios. Los métodos para calcular la media para datos no agrupados y para datos
agrupados.
Datos no agrupados
Método básico
La media para datos no agrupados es el cociente de la suma de los valores divididos por el
número de valores en el conjunto de datos dados.
Media
Suma de valores
Número de valores
o simbólicamente,
X
X
n
X
=
=
=
=
X
n
Representa el conjunto de valores, o la variable X.
Representa el número de valores en el conjunto.
Es la letra griega sigma y representa "la suma de" o "la sumatoria de".
Representa la media de la variable X, llamada " X barra".
La barra, es la parte superior de la letra o letras, usualmente representada "la media
aritmética de"
Ejemplo: Los promedios de las calificaciones de 10 alumnos de cierta clase de una escuela
son: 8, 9, 5, 8, 10, 7, 6, 7, 9, 6., además se desea conocer la media de las calificaciones:
Estudiante
Promedio de calificaciones
Variable x
A
8
B
9
C
5
D
8
E
10
F
7
G
6
H
7
I
9
J
6
Total
75
Utilizando la fórmula:
x
8 9 5 8 10 7 6 7 9 6 75
n 10 est udiantes
La media es: x
75
10
7.5
Recomendación: Hacer más ejercicios
Encontrar los promedios de las estaturas de los 15 empleado de una fabrica y son: 1.4, 1.3,
1.7, 1.6, 1.4, 1.30, 1.25, 1,60, 1.55, 1.65, 1.60, 1.70, 1.72, 1.69, 1.60mts.
Encontrar el promedio de Los Kilómetros recorridos de 8 taxis durante un día normal de
trabajo y son 75, 89, 95, 146, 120, 110, 140, 155.
Método abreviado.
La suma algebraica de las desviaciones es igual a cero. En otras palabras, la media
calculada está en el punto de equilibrio; es decir en el punto, tal que la suma de las desviaciones
positivas es igual a la suma de las desviaciones negativas. El método abreviado nos permitirá
ahorrar una considerable cantidad de tiempo cuando un grupo de datos está involucrado en el
cálculo de la media. Específicamente en una distribución de frecuencia.
Ilustración de que la suma algebraica de las desviaciones con
respecto a la verdadera media aritmética es cero.
Valor
X
Desviación con respecto
A la media 6.6
1
-5.6
4
-2.6
10
+3.4
8
+1.4
10
+3.4
=
x x
-8.2
= +8.2
Total
cero
Entonces:
X
A
X
A
(x A )
n
v
n
En general:
A = La media supuesta o el valor seleccionado arbitrariamente
v = La desviación de cada valor respecto a la media supuesta
X-A
En el ejemplo de las calificaciones de los estudiantes, cada uno de los 10 estudiantes está
incluido una sola vez en el cálculo de la media. El número de calificaciones obtenida por cada
estudiante durante un período, no es considerado. Cuando cada valor es considerado igualmente
importante, la media es llamada media no ponderada. Cuando a cada uno de los valores en un
conjunto de datos le es asignada una ponderación de acuerdo con la importancia relativa en el
grupo, la media calculada es llamada media ponderada. La ponderada es obtenida como sigue:
Primero, multiplicar cada valor por la ponderación asignada al valor correspondiente;
Segundo, sumar estos productos y;
Tercero, dividir la suma de los productos por la suma de las ponderaciones.
Sea w = La ponderación asignada a cada valor de la variable X; entonces;
(wX )
w
X
Ejemplo: Los kilómetros recorridos durante cada viaje y el número de viajes hechos por 5
estudiantes al venir de su hogar hasta la universidad en una semana, están dados en la 2ª y 3ª
columna de la siguiente tabla
CALCULOS PARA EL EJEMPLO
3
wx
1
2
Estudiante
Kilómetros recorridos
A
1
6
6
B
4
5
20
Número de viajes
4
Total de kilómetros recorridos
C
10
4
40
D
8
2
16
E
10
3
30
20
112
Total
Nótese que el divisor en la división es 20 la suma de las ponderaciones, 5 el número de
estudiantes.
X
X
(wX )
w
112
20
5.6 Kilómetros
En el cálculo de la media aritmética para datos agrupados, el centro o punto medio de la
clase es usado para representar el valor de cada elemento incluido en la clase. La media calculada
de una distribución de frecuencia puede diferir de la media calculada de los datos originales, puesto
que cada uno de los valores reales no es en general el mismo valor que el del centro de clase. Sin
embargo, la diferencia es usualmente despreciable.
El método de cálculo de la media para datos agrupados es necesario en muchos casos. El
trabajo de calcular la media de una distribución de frecuencia es mucho más simple que para datos
no agrupados de un gran número de valores. Además, los datos originales, pueden no estar dados en
la tabla de la distribución de frecuencia es obtenida de una fuente publicada.
Método básico:
La media para datos agrupados es básicamente obtenida como sigue:
Primero, multiplicar cada centro de la clase por la frecuencia de la clase;
Segundo, sumar estos productos;
Tercero, dividir la suma de los productos por la suma de las frecuencias.
(fX )
n
X
Donde:
X = el centro de las clases individuales
f = La frecuencia de las clases individuales
n = la suma de las frecuencias, o
= f
Ejemplo: Los kilómetros recorridos por 20 estudiantes al venir a la la universidad desde sus
hogares son los siguientes:
0.8
3.4
5.8
7.3
1.2
3.7
6.1
7.4
2.6
4.0
6.2
7.6
2.8
4.5
6.5
7.8
3.3
5.3
7.1
9.2
Total 102.6 Kilómetros
CALCULOS PARA EL EJEMPLO METODO BASICO
Kilómetros
Intervalo de clase
Km. Promedio
Punto medio.
X
Número de estudiantes
Frecuencia de clases.
f
Total Km.
Recorridos.
fX
0 y menos de 2
1
2
2
2 y menos de 4
3
5
15
4 y menos de 6
5
4
20
6 y menos de 8
7
8
56
8 hasta
9
1
Total
10
20
9
102
(fX )
n
X
102
20
X
5.1Km .
v
Este método es fácil de aplicar cuando las clases son del mismo tamaño. Cuando las clases
no son del mismo tamaño, el procedimiento en el método básico es más simple.
El método usado en el procedimiento del método abreviado para calcular la media de datos
no agrupados puede también ser aplicado al método abreviado para datos agrupados: La suma
algebraica de las desviaciones de los valores individuales con respecto a su media exacta es cero,
pero con respecto a una media supuesta no es cero. Las desviaciones con respecto a la media
supuesta pueden ser expresadas en unidades originales de los datos o intervalos de clases en una
distribución de frecuencia. Cuando las desviaciones son expresadas en unidades originales, el
procedimiento del método abreviado para calcular la media de datos agrupados es:
1.- Seleccionar una media supuesta A. La respuesta no es afectada por el valor seleccionado
como la media supuesta. Cualquier punto, incluyendo cero, puede ser usado como la media
supuesta. Sin embargo, a fin de simplificar los cálculos, el punto medio de una de las
clases localizadas centralmente en los datos dados debería ser seleccionado como media
supuesta.
2.- Encontrar las desviaciones de cada marca de clase con respecto a la media supuesta en
unidades originales de los datos, tal como pesos, kilómetros, metros, monedas, etc.
v = la desviación en unidades originales
X = el centro o marca de clase
v=X-A
3.- Multiplicar cada desviación v por la frecuencia en la clase f para obtener la desviación
total de la clase, o fv.
4.- Sumar estos productos para obtener la desviación total de todos los elementos incluidos en
los datos, o fv. La suma de los productos es usualmente diferente de cero. Si es cero, la
media supuesta debe ser también la media exacta.
5.- Dividir la suma de los productos (fv). Por la suma de las frecuencias, ( f o n), para
obtener el factor de corrección.
X
(fv )
f
o
(fv )
n
6.Agregar el factor de corrección a la media supuesta para obtener la media exacta de
los datos agrupados.
X
A
(fv )
n
Ejemplo: Por considerarlo así pondremos el mismo ejercicio anterior utilizando una media
supuesta de A = 5:
CALCULOS
METODO ABREVIADO DESVIACIÓN EN UNIDADES ORIGINALES
Kilómetros
Intervalo de clase
Km. Promedio
X
Número de estudiantes
f
Desviación
v
X
A
Total
fv
0 y menos de 2
1
2
-4
-8
2 y menos de 4
3
5
-2
-10
4 y menos de 6
5
4
0
0
6 y menos de 8
7
8
2
16
8 hasta
9
1
4
4
10
X
A
( fv )
n
2
20
5
5 0.1 5.1 Km.
d
El método abreviado, ilustrado anteriormente, puede ser simplificado aún más si las
desviaciones de los valores individuales con respecto a la media supuesta son expresadas en
intervalo de clase en vez de unidades originales. Cuando todas las clases en una distribución de
frecuencia son del mismo tamaño, las desviaciones (v) con respecto a la media supuesta deben tener
el factor común < el tamaño del intervalo de clase > Así, las desviaciones con respecto a la media
supuesta pueden ser factorizadas de acuerdo con el tamaño de clase o amplitud.
d = La desviación de la marca de clases con respecto a la media supuesta en unidades de
intervalo de clase. Así d es también el número de clases anteriores o posteriores a la clase
correspondiente a la media supuesta ( la clase en la cual cae la media supuesta), tal
como -1, -2, -3, . . . ( es decir uno, dos, tres, . . . clases anteriores a la clase
correspondiente a la media supuesta) y 1 (o + 1), 2, 3, . . . ( es decir uno, dos, tres . . .
clases posteriores a la clase de la media supuesta, respectivamente).
i = la amplitud o tamaño de clase
v
i
d
y v
d (i ).
CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA MEDIANTE EL METODO ABREVIADO
DESVIACIONES EN UNIDADES DE INTERVALO DE CLASE (d)
Kilómetros
Intervalo de clase
Km. Promedio
Punto medio
X
Número de estudiantes
Frecuencia
Desviación respecto a
d = v/f
Total desviaciones
En unidades de intervalo
fd
0 y menos de 2
1
2
-2
-4
2 y menos de 4
3
5
-1
-5
4 y menos de 6
5
4
0
0
6 y menos de 8
7
8
1
8
8 hasta
9
1
2
2
10
Total
20
X
A
( fd )
n
i
=
5
1
20
( 2)
1
=
5 + 0.1 = 5.1 Km
Principales características de la media:
De la exposición anterior podemos ahora presentar las principales características de la media como sigue:
1.- El cálculo de la media aritmética está basado en todos los valores de un conjunto de datos. El valor de cada elemento en los
datos afecta por lo tanto, el valor de la media. Cuando algunos valores extremos son incluidos en los datos, la media puede llegar a ser
menos representativa del conjunto de valores. Por ejemplo, la media de los valores 1, 2, 4, y 93 es 25 la media no esta cerca de ninguno
de los cuatro valores. La media de los valores 24, 25, 25 y 26 es también 25. Es obvio que la media 25 es menos representativa del primer
grupo de valores que la del último grupo de valores.
2.- Básicamente la media es calculada como sigue:
Suma de valores
Número de valores
Media
Así, si dos cualesquiera de los tres términos en la expresión (media, suma de valores y número de valores) son conocidos, el
tercero puede ser determinado. Por ejemplo, si la media es 5 y el número de valores es 8, la suma de los valores puede ser determinada, o
5x8=40.
3.- La media tiene dos propiedades matemáticas importantes, las cuales proporcionan análisis matemático adicional y las
cuales han hecho su uso más popular que cualquier otro tipo de promedios.
a.- La suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales con respecto a la media, es cero. Esta propiedad ha sido
indicada en la expresión concerniente al método abreviado de cálculo de la media. En general, sea x = X - X, o la desviación de cada
valor.
x
(X
X)
0
b.- La suma del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media es mínima; o simbólicamente.
x2
(X
X ) 2 es menor que
Datos no agrupados X
X
n
(X - cualquier valor ) 2
Datos agrupados X
( fX )
n