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Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Una introducción al análisis dinámico.
Análisis del algoritmo de Euclides para
enteros.
Eda Cesaratto
Universidad Nacional de Gral. Sarmiento and CONICET (Argentina)
Jornadas de Combinatoria Analítica y dinámica. Aplicaciones
Febrero de 2013
Universidad Nacional de Gral. Sarmiento, Los Polvorines, Argentina
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Objetivos del curso
• Problema: estimar, en promedio, la cantidad de pasos que
realiza el algoritmo de Euclides para enteros
• Metodología: Análisis dinámico de algoritmo de Euclides
Referencias principales:
D. Knuth, The Art of Computer Programming, 3rd edition, Addison Wesley, (1998).
B. Vallée, Dynamical analysis of a class of euclidean algorithms,
Theoretical Computer Science 297, no 1-3, 447–486 (2003).
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Entrada: un par de enteros (u, v ) de los que suponemos que
0 < u < v.
Salida: un entero que es igual al mcd(u, v ).
Algoritmo de Euclides: v1 = u, v0 = v .
0 ≤ 0 < v2 < v1
v0 = m1 v1 + v2
... = ... + ...
vk −1 = mk vk + 0
vk +1 = 0
El mcd es igual al último resto no nulo vk := mcd(u, v ).
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Entrada: un par de enteros (u, v ) de los que suponemos que
0 < u < v.
Salida: un entero que es igual al mcd(u, v ).
Algoritmo de Euclides: v1 = u, v0 = v .
0 ≤ 0 < v2 < v1
v0 = m1 v1 + v2
... = ... + ...
vk −1 = mk vk + 0
vk +1 = 0
El mcd es igual al último resto no nulo vk := mcd(u, v ).
Los números (m1 , m2 , . . . , mp ) se llaman cocientes parciales.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Algoritmo de Euclides y fracciones continuas
Ejemplo: u = 4 y v = 11.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Algoritmo de Euclides y fracciones continuas
Ejemplo: u = 4 y v = 11.
11 = 2 · 4 + 3
0<3<4
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Algoritmo de Euclides y fracciones continuas
Ejemplo: u = 4 y v = 11.
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<3<4
0<1<3
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Algoritmo de Euclides y fracciones continuas
Ejemplo: u = 4 y v = 11.
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
3 = 3·1 + 0
0 < 3 < 4
0<1<3
v4 = 0
El máximo común divisor es v3 = 1 y los cocientes parciales son
m1 = 2, m2 = 1, m3 = 3.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
De Euclides a las fracciones continuas
Algoritmo de Euclides: u = 4 y v = 11.
0 < 3 < 4
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<1<3
3 = 3·1 + 0
v4 = 0
Fracciones continuas
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
De Euclides a las fracciones continuas
Algoritmo de Euclides: u = 4 y v = 11.
0 < 3 < 4
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<1<3
3 = 3·1 + 0
v4 = 0
Fracciones continuas
4=1·3+1
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
De Euclides a las fracciones continuas
Algoritmo de Euclides: u = 4 y v = 11.
0 < 3 < 4
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<1<3
3 = 3·1 + 0
v4 = 0
Fracciones continuas
4/3 = 1 + 1/3
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
De Euclides a las fracciones continuas
Algoritmo de Euclides: u = 4 y v = 11.
0 < 3 < 4
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<1<3
3 = 3·1 + 0
v4 = 0
Fracciones continuas
1
3/4 =
1 + 1/3
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
De Euclides a las fracciones continuas
Algoritmo de Euclides: u = 4 y v = 11.
0 < 3 < 4
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<1<3
3 = 3·1 + 0
v4 = 0
Fracciones continuas
1
3/4 =
1 + 1/3
11 = 2 · 4 + 3
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
De Euclides a las fracciones continuas
Algoritmo de Euclides: u = 4 y v = 11.
0 < 3 < 4
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<1<3
3 = 3·1 + 0
v4 = 0
Fracciones continuas
1
3/4 =
1 + 1/3
11/4 = 2+3/4 = 2+
1
1 + 1/3
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
De Euclides a las fracciones continuas
Algoritmo de Euclides: u = 4 y v = 11.
0 < 3 < 4
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<1<3
3 = 3·1 + 0
v4 = 0
Fracciones continuas
1
4/11 =
1
2+
1
1+
1
3
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
De Euclides a las fracciones continuas
Algoritmo de Euclides: u = 4 y v = 11.
0 < 3 < 4
11 = 2 · 4 + 3
4 = 1·3 + 1
0<1<3
3 = 3·1 + 0
v4 = 0
Fracciones continuas
1
4/11 =
1
2+
1
1+
1
3
La función
φ(u, v ) = (m1 , . . . , mk , vk ) es
biyectiva.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
¿Por qué analizar un algoritmo?
Para anticipar
• el tiempo de ejecución
• el espacio de memoria requerido.
Con el objeto de
• evaluar si es viable
• comparar con otro algoritmos diseñados para la misma
tarea
Algoritmo de Euclides
Anticipar cuántas divisiones va a realizar el algoritmo.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Análisis del algoritmo de Euclides
• La entrada es un par de números enteros (u, v ) en el
conjunto
Ω = (u, v ) ∈ Z2 : 0 < u < v , gcd(u, v ) = 1
• La salida ṽk del algoritmo de Euclides es un número
natural
• La traza es la sucesión de cocientes parciales mi que son
números naturales.
Para cada par (u, v )
C(u, v ) = núm. de pasos del algoritmo de Euclides sobre (u, v )
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
La noción de talla
La talla (size) de un par (u, v ) se define como v .
Sea ΩN el conjunto de entradas que tienen talla igual a N
n
o
ΩN = (u, v ) ∈ Z2 : 0 < u < v ≤ N, gcd(u, v ) = 1
Ω2 = {(1, 2)} y card Ω2 = 1
Ω4 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3)} y card Ω4 = 4
Primera pregunta combinatoria.
¿Cuántos elementos tiene ΩN ?
card ΩN = card {pares de naturales (u, v ) coprimos y con v ≤ N }
Teorema (clásico): card ΩN ∼
3
N2
π2
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Mejor caso
Para
v =N
u = 1,
resulta
N =N ·1+0
Entonces, C(u, v ) = 1.
Estimación de la esperanza
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Peor caso
El análisis del peor caso es atribuido a Lamé (1844).
Algunos autores lo consideran el primer estudio relacionado con
el análisis de algoritmos (Shallit, 1994).
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Peor caso
El análisis del peor caso es atribuido a Lamé (1844).
Algunos autores lo consideran el primer estudio relacionado con
el análisis de algoritmos (Shallit, 1994).
Idea
• La mayor cantidad de divisiones se debe realizar cuando
todos los cocientes parciales mi son iguales a 1
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Peor caso
El análisis del peor caso es atribuido a Lamé (1844).
Algunos autores lo consideran el primer estudio relacionado con
el análisis de algoritmos (Shallit, 1994).
Idea
• La mayor cantidad de divisiones se debe realizar cuando
todos los cocientes parciales mi son iguales a 1
• En ese caso los restos deben cumplir la recurrencia
vn−1 = vn + vn+1
(Fibonacci)
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Peor caso
El análisis del peor caso es atribuido a Lamé (1844).
Algunos autores lo consideran el primer estudio relacionado con
el análisis de algoritmos (Shallit, 1994).
Idea
• La mayor cantidad de divisiones se debe realizar cuando
todos los cocientes parciales mi son iguales a 1
• En ese caso los restos deben cumplir la recurrencia
vn ∼ φn
φ = (1 +
√
5)/2
(φ es el número de oro)
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Peor caso
El análisis del peor caso es atribuido a Lamé (1844).
Algunos autores lo consideran el primer estudio relacionado con
el análisis de algoritmos (Shallit, 1994).
Idea
• La mayor cantidad de divisiones se debe realizar cuando
todos los cocientes parciales mi son iguales a 1
• En ese caso los restos deben cumplir la recurrencia
N ∼ v0 ∼ φn
(φ es el número de oro)
Teorema Si 0 < u < N, el número de pasos requeridos por el
algoritmo de Euclides aplicado a u y v es, a lo sumo,
blogφ ((3 − φ)N)c (φ es el número de oro)
.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Comparación con el caso de polinomios
Polinomios
• La salida ṽk pertenece a
P = {v ∈ Fq [X ] : lc(v ) = 1} ,
|v | = deg v
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Comparación con el caso de polinomios
Polinomios
• La salida ṽk pertenece a
P = {v ∈ Fq [X ] : lc(v ) = 1} ,
|v | = deg v
• Los cocientes parciales mi pertenecen a
F = {v ∈ Fq [X ]; deg(v ) ≥ 1}
|v | = deg v
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Comparación con el caso de polinomios
Polinomios
• La salida ṽk pertenece a
P = {v ∈ Fq [X ] : lc(v ) = 1} ,
|v | = deg v
• Los cocientes parciales mi pertenecen a
F = {v ∈ Fq [X ]; deg(v ) ≥ 1}
|v | = deg v
• El conjunto de pares para los cuales el costo es
exactamente k es
Ωk = ∪n Ωn,k
|(u, v )| = deg v
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Comparación con el caso de polinomios
Polinomios
• La salida ṽk pertenece a
P = {v ∈ Fq [X ] : lc(v ) = 1} ,
|v | = deg v
• Los cocientes parciales mi pertenecen a
F = {v ∈ Fq [X ]; deg(v ) ≥ 1}
|v | = deg v
• El conjunto de pares para los cuales el costo es
exactamente k es
Ωk = ∪n Ωn,k
|(u, v )| = deg v
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Comparación con el caso de polinomios
Polinomios
• La salida ṽk pertenece a
P = {v ∈ Fq [X ] : lc(v ) = 1} ,
|v | = deg v
• Los cocientes parciales mi pertenecen a
F = {v ∈ Fq [X ]; deg(v ) ≥ 1}
|v | = deg v
• El conjunto de pares para los cuales el costo es
exactamente k es
Ωk = ∪n Ωn,k
La función φ : Ωk 7→ F k × P,
|(u, v )| = deg v
φ(u, v ) = (m1 , . . . , mk , ṽk )
es una biyección que preserva talla.
Enteros
La función φ es una función que NO preserva la talla.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Comparación con el caso de polinomios
Polinomios
• La salida ṽk pertenece a
P = {v ∈ Fq [X ] : lc(v ) = 1} ,
|v | = deg v
• Los cocientes parciales mi pertenecen a
F = {v ∈ Fq [X ]; deg(v ) ≥ 1}
|v | = deg v
• El conjunto de pares para los cuales el costo es
exactamente k es
Ωk = ∪n Ωn,k
La función φ : Ωk 7→ F k × P,
|(u, v )| = deg v
φ(u, v ) = (m1 , . . . , mk , ṽk )
es una biyección que preserva talla.
Enteros
La función φ es una función que NO preserva la talla.
Ejemplo: u = 4 y v = 11, m1 = 2, m2 = 1, m3 = 3 y v3 = 1.
Notar que 2 + 1 + 3 + 1 = 7 6= 11.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Análisis probabilístico
D. Knuth, The Art of Computing Programming, Vol. 2,
Addison-Wesley, (1969).
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Caso promedio
teorema
Para entradas aleatorias (u, v ) ∈ ΩN , la esperanza de la
variable CN que cuenta el número de divisiones del algoritmo
de Euclides satisface
EN [CN ] =
12 log 2
log N (1 + (N))
π2
con (N) → 0 donde N → ∞.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Caso promedio
teorema
Para entradas aleatorias (u, v ) ∈ ΩN , la esperanza de la
variable CN que cuenta el número de divisiones del algoritmo
de Euclides satisface
EN [CN ] =
12 log 2
log N (1 + (N))
π2
con (N) → 0 donde N → ∞.
Mejor caso: 1
Peor caso: logφ ((3 − φ)N) ∼ 2.07 ln N + 0.67.
Caso promedio:∼
12 log 2
π2
log N ∼ 0.36 ln N
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Caso promedio. Análisis dinámico
• Problema combinatorio: número de pasos del Algoritmo
de Euclides sobre los pares de enteros (u, v ) con
0 < u < v ≤ N, u y v coprimos
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Caso promedio. Análisis dinámico
• Problema combinatorio: número de pasos del Algoritmo
de Euclides sobre los pares de enteros (u, v ) con
0 < u < v ≤ N, u y v coprimos
• Funciones generatrices bivariadas
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Caso promedio. Análisis dinámico
• Problema combinatorio: número de pasos del Algoritmo
de Euclides sobre los pares de enteros (u, v ) con
0 < u < v ≤ N, u y v coprimos
• Series de Dirichlet bivariadas
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Caso promedio. Análisis dinámico
• Problema combinatorio: número de pasos del Algoritmo
de Euclides sobre los pares de enteros (u, v ) con
0 < u < v ≤ N, u y v coprimos
• Series de Dirichlet bivariadas
• Esperanza y series de Dirichlet
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Caso promedio. Análisis dinámico
• Problema combinatorio: número de pasos del Algoritmo
de Euclides sobre los pares de enteros (u, v ) con
0 < u < v ≤ N, u y v coprimos
• Series de Dirichlet bivariadas
• Esperanza y series de Dirichlet
• Expresión alternativa: operadores de tranferencia.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Caso promedio. Análisis dinámico
• Problema combinatorio: número de pasos del Algoritmo
de Euclides sobre los pares de enteros (u, v ) con
0 < u < v ≤ N, u y v coprimos
• Series de Dirichlet bivariadas
• Esperanza y series de Dirichlet
• Expresión alternativa: operadores de tranferencia.
• Extracción de coeficientes: teoremas tauberianos
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Serie de Dirichlet
Series de Dirichlet bivariadas
S(s, w) =
1
(u,v )∈Ω v s
P
S(s, 0) = S0 (s) :=
exp[wC(u, v )]
1
(u,v )∈Ω v 2s .
P
Supongamos que S(s, w) se puede derivar alrededor de w = 0,
sean an y bn tales que P
P
∂w S(s, w)|w=0 = n≥1 na2sn
S0 (s) = n≥1 nb2sn .
Como por definición
P an y bn son iguales a P
an := (u,n)∈Ω C(u, n)
bn := (u,n)∈Ω 1,
EN [CN ] =
P
an
Pn≤N
b
n≤N n
P
=
n≤N
an
card ΩN
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Extracción de coeficientes. Teorema tauberiano de
Delange
Theorem P
Sea F (s) = n an n−2s una serie de Dirichlet con coeficientes
an ≥ 0 tal que F (s) converge en <s > σ > 0. Si vale que
(i) F (s) es analítica en <s ≥ σ > 0, s 6= σ, y
(ii) en un entorno de s = σ, para algún γ ≥ 0, se tiene
F (s) = A(s)(s − σ)−` + C(s), donde A, C, son analítica en
σ, con A(σ) 6= 0.
Entonces, cuando N → ∞,
X
n≤N
an =
A(2σ)
N 2σ (log N)`−1 (1 + (N)),
2(` − 1)!σ
(N) → 0.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Teorema tauberiano dibujado
singularidades
σ
Dominio dePuna serie de Dirichlet S(s) = n an n−2s
Estimación de la esperanza
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Teorema tauberiano dibujado
singularidades
σ
polo doble
σ
Dominio dePuna serie de Dirich- Bajo estas circunstancias:
PN
2σ log N
let S(s) = n an n−2s
n=1 an ∼ N
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Ejercicio guiado
Probar que card ΩN ∼
3
N2
π2
1. Escribir la serie de Dirichlet de card ΩN de dos formas
distintas.
P
P
P
2s = ζ(2s)
2s
2.
d≥1
gcd(u,v )=d 1/v
gcd(u,v ) 1/v
P
P
2s = ζ(2s − 1).
3.
d≥1
gcd(u,v )=d 1/v
4. Usar que ζ(s) ∼ 1/(s − 1) para concluir que
ζ(2s − 1)/ζ(2s) ∼ 1/(2ζ(2)(s − 1)).
5. ζ(2) =
π2
6
6. Concluir usando el teorema Tauberiano de Delange.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Euclides y Gauss
El sistema dinámico inducido por
la transformación de Gauss
V : [0, 1] 7→ [0, 1]
V (x) = { x1 } V (0) = 0
Cualquier número α ∈ [0, 1]
admite ser expresado como
una fracción continua
mi (α) = bV i (α)c
...
x
1
α=
1
m1 +
m2 +
1
..
.+
1
mk +
1
..
.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Euclides y Gauss
El sistema dinámico inducido por
la transformación de Gauss
V : [0, 1] 7→ [0, 1]
V (x) = { x1 } V (0) = 0
Cualquier número α ∈ [0, 1]
admite ser expresado como
una fracción continua
mi (α) = bV i (α)c
...
x
1
α=
1
m1 +
m2 +
1
..
.+
1
mk +
1
..
.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Euclides y Gauss
El sistema dinámico inducido por
la transformación de Gauss
V : [0, 1] 7→ [0, 1]
V (x) = { x1 } V (0) = 0
Cualquier número α ∈ [0, 1]
admite ser expresado como
una fracción continua
mi (α) = bV i (α)c
...
x
1
α=
1
m1 +
m2 +
1
..
.+
1
mk +
1
..
.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Euclides y Gauss
El sistema dinámico inducido por
la transformación de Gauss
V : [0, 1] 7→ [0, 1]
V (x) = { x1 } V (0) = 0
Cualquier número α ∈ [0, 1]
admite ser expresado como
una fracción continua
mi (α) = bV i (α)c
...
x
1
α=
1
m1 +
m2 +
1
..
.+
1
mk +
1
..
.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Ramas inversas
El sistema dinámico de Euclides
es inducido por la transformación
de Gauss V : [0, 1] 7→ [0, 1]
V (x) = { x1 } V (0) = 0
Ramas inversas:
1
h[m] : x 7→ m+x
y
1/3
...
1
x
h3 (x) =
Conjunto de ramas inversas:
H := {h;
h[m] : x 7→
1
m+x ,
m ≥ 1}
1
3+x
x
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Ramas inversas
Ramas inversas: H := {h[m] : x 7→
1
m+x ,
m ≥ 1}
Sea h := h[m1 ] ◦ h[m2 ] ◦ . . . ◦ h[mk ] .
Vale que
u
=
v
1
= h[m1 ] ◦ h[m2 ] ◦ . . . ◦ h[mk ] (0)
1
m1 +
m2 +
1
..
.+
1
mk
Cada racional vu queda asociado a una única h en Hk . Para esta
rama h vale que
1
= |h0 (0)| C(u, v ) = k
v2
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Expresión alternativa para la serie de Dirichlet
Operador de transferencia (Ruelle)
Sea f ∈ C 1 ([0, 1]), el operador de transferencia se define como
X
Hs [f ](x) =
|h0 (x)|s f ◦ h(x)
h∈H
para los números complejos s con <s > 12 y w en un entorno
de w = 0.
Propiedad de las cuasi-potencias
X
|h0 (x)|s f ◦ h(x)
Hks [f ](x) =
h∈Hk
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Expresiones alternativas para las series de Dirichlet
• S(s, w) =
1
(u,v )∈Ω v 2s
P
exp[wC(u, v )]
• v12 = |h0 (0)|
C(u, v ) = C(h) = k
• Hks [f ](x) =
h∈Hk
P
|h0 (x)|s f ◦ h(x)
Expresión alternativa:
S(s, w) ∼
X
k ≥1
ek w
X
|h0 (0)|s =
X
ek w Hks [1](0)
k ≥1
h∈Hk
−1
S(s, w) = (Id − ew Hs )
[1](0).
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
Recordemos que
S(s, w) = (Id − ew Hs )−1 [1](0)
Propiedad espectral “fácil”
limn→∞ kHns k1/n < 1
si y solo si
<s > 1 o (<s = 1 y s 6= 1).
Entonces, S(s, w) tiene abscisa de
convergencia
σ(w) ∼ 1 cuando w ∼ 0.
sing.
σ(w)
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
El operador de transferencia satisface la siguiente descomposición en un entorno de s = 1 y w = 0:
Hs = λ(s)Ps + Ns
donde
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
El operador de transferencia satisface la siguiente descomposición en un entorno de s = 1 y w = 0:
Hs = λ(s)Ps + Ns
donde
• λ(s) es el autovalor más grande en valor absoluto,
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
El operador de transferencia satisface la siguiente descomposición en un entorno de s = 1 y w = 0:
Hs = λ(s)Ps + Ns
donde
• λ(s) es el autovalor más grande en valor absoluto,
• vale 1 solamente en s = 1,
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
El operador de transferencia satisface la siguiente descomposición en un entorno de s = 1 y w = 0:
Hs = λ(s)Ps + Ns
donde
• λ(s) es el autovalor más grande en valor absoluto,
• vale 1 solamente en s = 1,
• Ps ◦ Ns = Ns ◦ Ps = 0,
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
El operador de transferencia satisface la siguiente descomposición en un entorno de s = 1 y w = 0:
Hs = λ(s)Ps + Ns
donde
• λ(s) es el autovalor más grande en valor absoluto,
• vale 1 solamente en s = 1,
• Ps ◦ Ns = Ns ◦ Ps = 0,
• kNs k < 1.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
El operador de transferencia satisface la siguiente descomposición en un entorno de s = 1 y w = 0:
Hs = λ(s)Ps + Ns
donde
• λ(s) es el autovalor más grande en valor absoluto,
• vale 1 solamente en s = 1,
• Ps ◦ Ns = Ns ◦ Ps = 0,
• kNs k < 1.
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
El operador de transferencia satisface la siguiente descomposición en un entorno de s = 1 y w = 0:
Hs = λ(s)Ps + Ns
donde
• λ(s) es el autovalor más grande en valor absoluto,
• vale 1 solamente en s = 1,
• Ps ◦ Ns = Ns ◦ Ps = 0,
• kNs k < 1.
S(s, w) = (Id − ew Hs )−1 [1](0).
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Propiedades espectrales de Hs
El operador de transferencia satisface la siguiente descomposición en un entorno de s = 1 y w = 0:
Hs = λ(s)Ps + Ns
donde
• λ(s) es el autovalor más grande en valor absoluto,
• vale 1 solamente en s = 1,
• Ps ◦ Ns = Ns ◦ Ps = 0,
• kNs k < 1.
S(s, w) = (Id − ew Hs )−1 [1](0).
S(s, w) ∼
1
1−ew λ(s) Ps [1](0)
s∼1w ∼0
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Serie de Dirichlet y extracción de coeficientes
S(s, w) ∼
1
1−ew λ(s) Ps [1](0).
polo simple
σ(w)
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Serie de Dirichlet y extracción de coeficientes
∂w S(s, w) ∼
ew
P [1](0)
(1−ew λ(s))2 s
∂w S(s, w) ∼
1
P [1](0).
(s−σ(0)λ0 (s))2 s
σ(w)
• El polo s = σ(w) satisface la ecuación ew λ(s) = 1.
• σ(0) = 1
• λ0 (1) = −1/ζ(2).
Tranferencia final
∂w S(s, w)|w=0 = (s−1)λ1 0 (1))2 Ps [1](0).
⇒
2
EN [C] = ∂w S(s,w)|w=0 ∼ 12πlog
log N
2
card ΩN
Análisis de algoritmos
Mejor y peor caso
Estimación de la esperanza
Más acerca de algoritmos euclidianos
Brigitte Vallée y sus coautores:
• Análisis en promedio de variantes del algoritmo de
Euclides, incluyendo versiones rápidas
• Análisis del Algoritmo binario
• Análisis en distribución de variantes del algoritmo de
Euclides tradicional
