análisis numérico

ANÁLISIS NUMÉRICO
CLAVE:
SEMESTRE:
CRÉDITOS:
HORAS POR CLASE
CLASES POR SEMANA
HORAS POR SEMESTRE
6
10
SECTOR:
BÁSICO
ÁREA:
INFORMÁTICA
SERIACIÓN:
ASIGNATURA PRECEDENTE INDICATIVA Cálculo Diferencial e Integral IV,
Álgebra Lineal I, Computación I
ASIGNATURA SUBSECUENTE INDICATIVA: Solución Numérica de
Ecuaciones Diferenciales, Optimización Numérica, Optativas.
TEÓRICA:
1
PRÁCTICAS: 2
TEÓRICA:
3
PRÁCTICAS: 2
TEÓRICA:
48
PRÁCTICAS: 32
Descripción de la Asignatura:
La Computación Científica es una disciplina de la Matemática Aplicada que involucra prácticamente a
todos las áreas de la Matemática, a varias ramas de la Computación y a la Modelación Matemática. Esta
última desempeña un papel relevante en el desarrollo científico y tecnológico de todo país. La
Modelación Matemática es el medio que permite a la Computación Científica vincular a la Matemática
con las ciencias y la tecnología. En las aplicaciones tienen lugar problemas matemáticos prácticos que
involucran temas de las Matemáticas Básicas, cuya solución –aún cuando se sepa que existe y es únicamuy rara vez se puede obtener explícitamente (i.e., se puede expresar analíticamente). La única
alternativa es: calcular –de manera eficiente, en tiempo y precisión- una solución numérica aproxime a la
solución exacta mediante la ayuda de una computadora digital. Es aquí donde interviene la parte medular
de la Computación Científica: el Análisis Numérico, conformado por el conjunto de herramientas
matemáticas e instrumentos de cálculo –computadora y software- que permiten resolver numéricamente
de manera eficaz problemas matemáticos.
Objetivos:




El estudio de los métodos directos e iterativos básicos, estables, rápidos y de bajo coso
computacional.
Lograr que el estudiante sea capaz de diagnosticar cuando un problema matemático es de datos
bien o mal-comportados numéricamente.
Hacer que el estudiante aprenda a realizar experimentación numérica desarrollando programas en
Matlab y/o Fortran, y/o C y/o Python.
Entrenar al estudiante en la resolución numérica de problemas elementales de interés en la
ciencia y la tecnología.
Tema 1. Aritmética de punto flotante
teóricas
Comprenderá los fundamentos del análisis numérico.
7
horas
5
horas prácticas
1.1
1.2
Números de Punto Flotante y Unidad de Redondeo.
Aritmética de punto flotante. Operaciones Aritméticas Básicas y Noción de
Método Numéricamente Estable.
1.3
Errores de redondeo y sus efectos. Cancelación Numérica: la ecuación de 2o.
grado, c
álculo de ex vía su desarrollo en serie de Taylor.
1.4
Práctica experimental.
Tema 2. Resolución de sistemas lineales de ecuaciones algebraicas: Métodos
directos Reconocerá y aplicará algunos métodos del análisis numérico para la resolución de problemas
asociados con sistemas de ecuaciones lineales.
7 horas teóricas
5
horas
prácticas
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Normas vectoriales y de matrices. Singularidad numérica de una matriz.
Análisis de sensibilidad numérica y de error para Sistemas Lineales de
Ecuaciones Algebraicas.
Factorización LU con y sin pivoteo.
Sistemas Lineales de Ecuaciones Algebraicas con matriz simétrica y positiva
definida y Método de Cholesky: Bosquejo de su Análisis de Error y
Aplicaciones.
Práctica experimental.
Tema 3. Interpolación
teóricas
7
5
horas
horas
prácticas
Identificará las ideas centrales de la interpolación, los distintos tipos que existen, su importancia práctica
con ventajas y desventajas.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Planteamiento del problema y Métodos Monomial, de Lagrange y de Newton:
Ventajas e inconvenientes.
Estimación del Error de Aproximación.
El fenómeno de Runge, interpolación polinomial sobre nodos de GaussTchebyshev y Teoremas de Faber: Discusión.
Interpolación polinomial a pedazos e interpolación spline.
Práctica experimental.
Tema 4. Cuadratura numérica
teóricas
6
horas
4 horas
Profundizará sus conocimientos acerca de los métodos de integración numérica.
prácticas
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Reglas de Cuadratura Elementales: Punto medio, Trapecio y Simpson; y sus
estimaciones de error.
Reglas de Cuadratura Compuestas y sus estimaciones de error.
Cuadraturas de Newton-Cotes.
Cuadratura de Gauss.
Algoritmos de tipo adaptativo.
Práctica experimental.
Tema 5. Ajuste de datos por mínimos cuadrados lineales
teóricas
Aplicará algunos métodos numéricos en el ajuste de datos.
prácticas
5.1
5.2
Las ecuaciones Normales y Método de Cholesky: sus inconvenientes.
Descomposición QR:
6
horas
4 horas
5.3
5.4
5.2.1 Método de Gram Schmidt.
5.2.2 Transformaciones de Householder y la descomposición QR HousholderGolub: bosquejo de su Análisis de Error y Aplicaciones.
Análisis de sensibilidad del problema de mínimo de cuadrados lineales y la
hipótesis del ángulo agudo.
Práctica experimental.
Tema 6. Resolución de ecuaciones no lineales
teóricas
7
5
horas
horas
prácticas
Utilizará algunos algoritmos del análisis numérico a la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Método de Aproximaciones Sucesivas y convergencia lineal.
El algoritmo de bisección, de Newton y de la Secante; con sus respectivas
velocidades de convergencia.
Métodos híbridos.
Newton en varias dimensiones.
Práctica experimental.
Tema 7. Método Monte Carlo
teóricas
7
5
horas
horas
prácticas
Comprenderá los conceptos relacionados al Método de Monte Carlo, generación de números aleatorios y
simulación de variables aleatorias.
7.1
7.2
7.3
Obtención de números aleatorios. Generadores de números aleatorios.
Variables aleatorias. Simulación de variables aleatorias, continuas y discretas.
Práctica experimental.
Bibliografía básica:
1. Heath, M. Scientific computing an introductory survey. 1997, McGraw-Hill.
2. Ascher U.M, and C. Greif. A First course in Numerical Methods. 2011, SIAM.
3. Moler C. Numerical Computing with MATLAB. 2004, SIAM.
4. Süli E. and D. Mayers. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press.
5. Elden, L., Linde, W. K. Numerical Analysis: An introduction. Boston. Academic Press, 1990.
6. Higham N.J., Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM, 1996.
7. Kahaner D., Moler C.B., Nash S. Numerical Methods and Software. New Jersey. Prentice Hall,
1989.
8. Overton, M. L. Cómputo numérico con aritmética de punto flotante IEEE. SIAM. (Aportaciones
Matemáticas SMM No. 19)
9. Forshythe G.E., Malcolm M.A., Moler C.B., Computer Methods for Mathematical
Computations, Prentice-Hall, N.J., 1977
10. Forshythe G.E., Moler C.B., Computer Solution of Linear Algebraic Systems, Prentice-Hall, N.J.,
1967
11. Golub G. H., and V. Loan. Matrix computations, 1996. Third Edition, John Hopkins University
Press.
12. Quarteroni A., R. Sacco and F. Saleri. Numerical mathematics. 2007, Springer Verlag.
13. Metropolis and S. Ulam. 1949. The Monte Carlo method. Journal of the American Statistical
Association 44:335-341.
14. Shampine L.F., Allen R.C. Jr., Pruess S., Fundamentals of Numerical Computing,
Wiley & Sons, 1997
15. Stewart, G.W., Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, 1996.
16. Ulam. 1950. Random processes and transforma- tions. Proceedings of the International
Congress of Mathematicians 2:264-275
17. Van Loan, Ch.F., Introduction to Scientific Computing, Prentices-Hall, 1997.
Bibliografía complementaria:
1. Won Y. Y., Wenwu Cao, Tae-Sang Chung and J. Morris. Applied Numerical Methods using
Matlab, 2005, Wiley-Interscience
2. Stoer, J. and R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. Third Edition, Springer Verlag.
3. Plato, R. Concise Numerical Mathematics. American Mathematical Society.
4. Meyer C. D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM.
5. Trefethen L. N. Numerical Linear Algebra. SIAM.
6. Datta B. N. Numerical Linear Algebra and Applications. Second Edition, SIAM.
7. Ipsen I. C. F. Numerical Matrix Analysis Linear Systems and Least Squares. SIAM.
8. Nash J. C. Compact Numerical Methods for Computers Linear Algebra and Function
Minimization. Adam Hilger, Bristol and N.Y.
9. Skiba Y. Métodos y esquemas numéricos un análisis computacional, 2005, U.N.A.M.
10. Ralston A and P. Rabinowitz. A first course in numerical analysis. Dover Press.
11. Collins R. E. Mathematical methdos for physicists and engineers. Dover Press.
12. Burden R. L. y J. Douglas Faires. Análisis numérico. Cengage Learning.
13. Mathews J. H. y K. D. Fink. Métodos numéricos con Matlab. Pearson Prentice Hall.
Software recomendado:
 C ó C++
 Matlab, (o equivalentes libres: Scilab, Octave).
 Python
 Fortran
Sugerencias didácticas:
Es recomendable que se impartan clases en el laboratorio de cómputo para que el alumno ponga en
práctica la teoría vista en el salón de clases y aprenda a usar algún paquete afín a la materia.
Forma de evaluación:
Se recomiendan de 3 a 4 exámenes parciales y un examen final, así como la realización de tareas sobre
los temas vistos en clase para reforzar los conocimientos teóricos adquiridos.
Perfil profesiográfico de quienes pueden impartir la asignatura:
Egresado de las licenciaturas en Matemáticas, Actuaría o alguna afín, con conocimientos en Métodos
Numéricos y Software utilizado para el Análisis Numérico.
TEMAS SELECTOS DE ANÁLISIS NUMÉRICO
CLAVE:
SEMESTRE:
CRÉDITOS:
HORAS POR CLASE
CLASES POR SEMANA
HORAS POR SEMESTRE
6-8
10
SECTOR:
OPTATIVO
ÁREA:
INFORMÁTICA
SERIACIÓN:
ASIGNATURA PRECEDENTE INDICATIVA: Cálculo Diferencial e Integral I,
II, III y IV; Algebra Lineal I y II; Algebra Superior I, Programación y Análisis
Numérico.
ASIGNATURA SUBSECUENTE INDICATIVA: Ninguna
TEÓRICA:
1
PRÁCTICAS: 2
TEÓRICA:
3
PRÁCTICAS: 2
TEÓRICA: 48
PRÁCTICAS: 32
Descripción de la Asignatura:
En un gran número de áreas es necesario calcular una solución numérica que aproxime
a la solución exacta mediante la ayuda de la computadora digital. En particular, la solución
numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, así como, la solución de sistemas de
ecuaciones a gran escala son de suma importancia. Por esta razón es necesario el estudio de algoritmos
numéricamente estables, enfocados a la solución de tales problemas.
Objetivos generales: Al finalizar el curso el alumno:


Conocerá los temas que históricamente más han influido en el desarrollo computacional, en el
Análisis Numérico y la Computación Científica, y sus repercusiones en la ciencia y la
tecnología.
Comprenderá los principios teóricos y técnicos para la solución de sistemas lineales algebraicos
a gran escala, el cálculo de valores y vectores propios de una matriz y la solución numérica de
problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Tema 1. El mundo de la computación científica visto desde el Análisis Numérico.
3
horas
teóricas
2
horas
prácticas
Comprenderá las interrelaciones que existen entre el análisis numérico y las ciencias de la computación.
1.1
1.2
1.3
1.4
Computación científica y modelación matemática.
Computación científica y Análisis Numérico.
Procesos de Cómputo Numérico y cómputo en paralelo.
Ambientes de cómputo (Python, Fortran, C).
Tema 2. Problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias.
12
horas
teóricas
8
horas
prácticas
Estudiará algunos métodos numéricos para la resolución de problemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias con valores iniciales.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Introducción.
Métodos de Runge-Kutta.
Métodos de multipaso.
Estabilidad, consistencia y convergencia.
Ecuaciones diferenciales ordinarias stiff.
2.6
Práctica experimental y problemas de aplicación.
Tema 3. Problemas de valores a la frontera para ecuaciones diferenciales
ordinarias.
9
horas
teóricas
6
horas
prácticas
Analizará métodos específicos del análisis numérico que sirven para resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias con valores de frontera.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Introducción.
Métodos de diferencias finitas.
Métodos de tiro simple y mútiple.
Métodos de proyección (colocación spline).
Práctica experimental y problemas de aplicación.
Tema 4. Problemas de valores iniciales y de frontera para ecuaciones diferenciales
parciales.
12
horas teóricas
8
horas
prácticas
Conocerá los fundamentos de los métodos numéricos utilizados para la resolución de problemas que
involucren ecuaciones diferenciales parciales.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Introducción.
Métodos en diferencias explícitos.
Métodos en diferencias implícitos.
Estabilidad, convergencia y consistencia.
Métodos semidiscretos.
Métodos en diferencias implícitos de direcciones alternantes.
Práctica experimental y Problemas de aplicación.
Tema 5. Sistemas lineales algebraicos a gran escala.
teóricas
12
horas
Aplicará métodos del análisis numérico para resolver sistemas lineales grandes.
8
horas
prácticas
5.1
5.2
5.3
Métodos directos.
Métodos iterativos.
5.2.1 Gauss-Seidel con relajamiento (SOR).
5.2.2 Jacobi.
5.2.3 Gradientes conjugados.
Cálculo de Eigenvalores y Eigenvectores.
5.3.1 Círculos de Gerschgorin.
5.3.2 Método de la potencia.
5.3.3 Iteración Inversa (Método de la potencia inversa).
5.3.4 Método de Rayleigh.
5.3.5 Algoritmo QR.
Bibliografía básica:













Stoer, J. and R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. Third Edition, Springer Verlag.
Plato, R. Concise Numerical Mathematics. American Mathematical Society.
Süli E. and D. Mayers. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press.
Meyer C. D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM.
Golub G. H. and V. Loan. Matrix computations, 1996. Third Edition, John Hopkins University
Press.
Trefethen L. N. Numerical Linear Algebra. SIAM.
Datta B. N. Numerical Linear Algebra and Applications. Second Edition, SIAM.
Moler C. Numerical Computing with MATLAB. 2004, SIAM.
Ipsen I. C. F. Numerical Matrix Analysis Linear Systems and Least Squares. SIAM.
Quarteroni A., R. Sacco and F. Saleri. Numerical mathematics. 2007, Springer Verlag.
Demidovich B. P and I. A. Maron. Computational Mathematics. Mir Publishers Moscow.
Overton, M. L. Cómputo numérico con aritmética de punto flotante IEEE. SIAM. (Aportaciones
Matemáticas SMM No. 19).
Golub, G. H., Ortega, J.M. Scientific Computing and Differential Equations: an Introduction to
Numerical Methods. USA. Academic Press. 1992.
Bibliografía complementaria:
 Buchanan, J. L . Numerical Methods and Analysis. USA. McGraw-Hill. 1992.
 Greenspan, D., Casulli, V. Numerical Analysis for Applied Mathematics, Science and
Engineering. USA. Addison Wesley. 1988.
 Rutishäuser, H. Lectures on Numerical Methods. Birkhäuser, 1990.
 Nash J. C. Compact Numerical Methods for Computers Linear Algebra and Function
Minimization. Adam Hilger, Bristol and N.Y.
 Linz P. Theoretical Numerical Analysis: An Introduction to Advanced Techniques. Dover Press.
 Skiba Y. Métodos y esquemas numéricos un análisis computacional, 2005, U.N.A.M.
 Ralston A and P. Rabinowitz. A first course in numerical analysis. Dover Press.
 Collins R. E. Mathematical methdos for physicists and engineers. Dover Press.
 Won Y. Y., Wen Wu Cao, Tae-Sang Chung and J. Morris, Applied Numerical Methods using
Matlab, 2005, Wiley-Interscience.
 Demmel, J. W. Applied numerical linear algebra. SIAM 1997
Sugerencias didácticas:
Es recomendable que se impartan clases en el laboratorio de cómputo para que el alumno ponga en
práctica la teoría vista en el salón de clases y aprenda a usar algún paquete afín a la materia.
Forma de evaluación:
Se recomiendan de 3 a 4 exámenes parciales y un examen final, así como la realización de tareas sobre
los temas vistos en clase, para reforzar los conocimientos teóricos adquiridos.
Perfil profesiográfico de quienes pueden impartir la asignatura:
Egresado de las licenciaturas en Matemáticas, Actuaría o alguna afín, con conocimientos en Métodos
Numéricos y Software utilizado para el Análisis Numérico.