Movimiento plano

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Capítulo II
Movimiento plano
1
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Capítulo II
Movimiento plano
II.1 Aspectos generales del movimiento plano.
•
•
•
•
•
Movimiento continuo de una figura plana en su plano.
Centro instantáneo de rotación (cir).
Teorema de Aronhold-Kennedy.
Aplicación del cir al análisis de velocidades y
aceleraciones.
Base y ruleta.
Aceleración de un punto del plano móvil que coincide
con el cir.
II.2 Teoría de la curvatura.
II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado.
2
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
1
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Capítulo II: Tema 1
Movimiento Plano
1.1 Movimiento continuo de una figura plana en su plano.
Centro instantáneo de rotación (cir).
• Introducción.
• Centro instantáneo de rotación.
1.2 Teorema de Aronhold-Kennedy.
• Enunciado.
• Diagrama del círculo.
1.3 Aplicación del cir al análisis de velocidades y
aceleraciones.
• Teorema de Mehncke.
• Teorema de Burmester.
• Imagen o campo de velocidades.
• Aplicaciones al análisis de aceleraciones.
1.5 Base y ruleta.
1.6 Aceleración de un punto del plano móvil que coincide
con el cir.
3
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Capítulo II: Tema 1
1.1 Movimiento continuo de una figura plana en su plano.
Centro instantáneo de rotación (cir).
1. Introducción.
2. Centro instantáneo de rotación.
4
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
2
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Introducción
La gran mayoría de los mecanismos que aparecen en la
práctica tienen movimiento plano. Muchas de las
propiedades de estos mecanismos, los teoremas
obtenidos, desarrollos matemáticos, etc. pueden ser
extrapolados al caso de movimiento tridimensional.
En este capítulo se estudian estas propiedades del
movimiento plano para poder abordar su análisis y síntesis
cinemática y, posteriormente, su análisis dinámico.
5
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Introducción
Definición: un mecanismo tiene movimiento plano cuando
las velocidades de todos sus puntos son paralelas a un
plano fijo.
S1
S2
Posición 1
S1
S2
Posición 2
Л1
S1
S2
Л2
Posición 3
6
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
3
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Introducción
Movimiento plano no quiere decir que el mecanismo este
contenido en un plano, aunque así se puede idealizar su
movimiento para el análisis cinemático.
Esta hipótesis no es válida en el caso dinámico.
7
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Posición 1
B1
C1
S1
A1
Vamos a estudiar el movimiento de
una figura plana en su plano. Para
estudiar este movimiento basta con
estudiar el movimiento de un
segmento, A1B1, ya que el movimiento
de cualquier otro punto, C1, queda
definido por la condición de que no
varia su posición relativa con respecto
a A1 y B1.
8
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
4
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Posición 1
B1
∆sb
Posición 2
S1
S2
A1
B2
El punto P12 es un punto
que si se considera
rígidamente unido al
segmento AB su posición
inicial coincide con la final.
A2
∆sA
P12
9
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Posición 1
B1
∆rrB
∆sb
Posición 2
S1
A1
S2
∆rrA
Dicho punto P12 se obtiene
mediante la intersección de
las mediatrices de los
segmentos A1A2 y B1B2
B2
A2
∆sA
P12
10
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
5
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Posición 1
B1
∆rrB
∆sb
Posición 2
S1
S2
A1
∆rrA
A2
∆sA
∆θA
∆θB
B2
Dicho punto P12 se
denomina polo de rotación
o centro de rotación entre
las posiciones 1 y 2.
Entonces, el movimiento
entre las dos posiciones se
puede considerar como una
rotación alrededor de dicho
punto (esto es sólo válido
cuando estudiemos las
posiciones iniciales y
finales).
P12
11
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Posición 1
Posición 1’
B1
∆rrb
B1’
S1
A1
∆rrA
Si la posición 2 se acerca a la posición 1
el segmento A1A2 tiende a la tangente a la
trayectoria en el punto A, y lo mismo
ocurre con el punto B.
Así pues, el polo de rotación en el
movimiento infinitesimal se convierte en el
centro instantaneo de rotación (cir), o
simplemente polo del movimiento, y se
obtiene trazando las tangentes a las
trayectorias de dos puntos cualquiera del
sólido.
A1’
P11’
12
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
6
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Propiedades del cir
•
•
•
Puesto que en un “dt” su
posición no varía, la velocidad
de este punto es cero.
La velocidad de todos los
demás puntos del sólido son
perpendiculares al segmento
que les une con el cir, y
además su magnitud es
proporcional a la distancia.
La velocidad angular del
sólido es una relación,
constante para todos los
puntos del sólido, entre la
velocidad de un punto y su
distancia al cir.
nA
tA
A
tA
nB
tB
VA
B
VB
B
tB
cir
nA
nB
A
V
C
C
ω
P
(cir)
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
13
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Propiedades del cir
Polos relativos
Observador móvil
Elemento 2
Elemento 1
P12 cir del movimiento relativo de 1
con respecto a 2
Observador fijo
Número de polos relativos
n=
N ( N − 1)
2
14
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
7
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Propiedades del cir
Las propiedades de los cir permiten encontrar los denominados polos
primarios de un mecanismo rápidamente siguiendo un conjunto de
reglas fácilmente deducibles de todo lo anterior. A partir de ahora, se
denominan polos primarios a aquellos polos de un mecanismo que
pueden localizarse por simple inspección directa de éste siguiendo las
siguientes reglas:
1. Todos los pares de rotación (tipo R) que existen en un mecanismo.
2. Puntos en el infinito cuando un elemento se traslada con respecto a
otro.
3. Los puntos de contacto entre dos elementos donde existe rodadura
pura.
4. Si en un elemento se conocen las trayectorias de dos de sus puntos
respecto de otro elemento, se obtiene el polo del movimiento relativo
en el punto de corte de las dos normales a las respectivas
trayectorias que pasan por dichos puntos.
15
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Centro instantáneo de rotación
Determinación del cir
Determinación
de los polos
primarios.
P31
P31
P34
3
P23
3
2
P12
P12
4
P23
P3
2
2
3
P2
1
4
4
n=6
2
P34
P34
(∞)
P41
P4
1
n=6
P41
(∞)
16
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
8
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Capítulo II: Tema 1
1.2 Teorema de Aronhold-Kennedy.
1. Enunciado.
2. Diagrama del círculo.
17
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Teorema de Aronhold-Kennedy.
Enunciado
“Los tres polos del movimiento relativo entre tres elementos con
movimiento plano están permanentemente alineados”.
El Teorema de Aronhold-Kennedy se emplea para la localización de polos
relativos entre los diferentes elementos que componen un mecanismo.
•P10: Polo del movimiento relativo
de Π1 y Π0.
•P20: Polo del movimiento relativo
de Π2 y Π0.
•P12: Polo del movimiento relativo
de Π1 y Π2.
A P12
Π1
ω1
P10
V1p12
V212
P12
Π2
ω2
P20
ω1 P10 P12 = ω 2 P20 P12
P10 P12 ω 2
=
P20 P12 ω1
V112= V2p12
Π0
18
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
9
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Diagrama del círculo
El diagrama del círculo permite obtener fácilmente los polos del
movimiento relativo entre los elementos de un mecanismo. Para ello el
método emplea los conceptos vistos anteriormente y especialmente el
Teorema de Aronhod-Kennedy. Para la localización de los polos del
movimiento se seguirán los siguientes pasos:
1. Se toma una circunferencia y se divide en tantas partes iguales como
elementos (N) tiene el mecanismo. A continuación se numeran de 1 a
N los puntos en que está dividida la circunferencia. Todas las
posibles cuerdas que unen los puntos marcados representan los
distintos polos del movimiento en el mecanismo.
2. Se dibujan con líneas continuas las cuerdas correspondientes a los
polos primarios y a trazos los correspondientes a los desconocidos.
3. El resto de los polos será obtenido utilizando el teorema de AronholdKennedy, aplicándoselo a grupos de tres elementos en el
mecanismo. Para ello se localizan en el círculo los triángulos que
tengan en común un lado dibujado a trazos y todos los demás lados
continuos.
19
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Diagrama del círculo
1
1
2
4
3
P31
2
4
P31
P34
3
3
P23
P2
P2
4
3
P1
2
2
3
4 P
34
2
P42
P12
4
n=6
P41
n=6
P41
(∞)
20
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
10
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Diagrama del círculo
1
P42
4
P32
P34 (∞)
2
3
2
P21
3
P13
4
P41
21
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Capítulo II: Tema 1
1.3 Aplicación del cir al análisis de velocidades y
aceleraciones.
1. Teorema de Mehncke.
2. Teorema de Burmester.
3. Imagen o campo de velocidades.
4. Aplicaciones al análisis de aceleraciones.
22
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
11
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Teorema de Mehncke
Av
VA
A
tan ϕ =
AAv
=ω
PA
B
VB
φ
tan ϕ =
Bv
φ
BBv
=ω
PB
P
AA'v PA
=
BB'v PB
Av
VA
A
AA'v BB'v AAv BBv
=
=
=
=ω
PA
PB
PA
PB
B
VB
A’v
Bv
A'v B'v PA'v PA − AA'V
=
=
=1−ω
AB
PA
PA
B’v
A'v B'v A'v C 'v B'v C 'v
=
=
= 1−ω
AB
AC
BC
P
23
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Teorema de Mehncke
Teorema de Mehncke:
Mehncke:
“La figura formada por los extremos de las velocidades ortogonales de
un elemento rígido es proporcional figura original y tiene una relación de
semejanza (1-ω), siendo ω la velocidad angular del elemento”.
Av
A'v B 'v A'v C 'v B'v C 'v
=
=
= 1−ω
AB
AC
BC
A
B
C
A’v
C’v
P
Cv
B’v
Bv
24
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
12
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Teorema de Mehncke
Este teorema permite
realizar una interesante
construcción gráfica para
la determinación de la
velocidad de un punto C
de un plano móvil
conocidas las velocidades
de otros dos puntos, A y
B, del mismo plano
cuando el polo del
movimiento cae fuera de
los límites del papel.
Av
B
VB
Bv
Cv
A
VA
V
C
C
B’v
C’v
A’v
25
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Teorema de Burmester
Teorema de Burmester:
Burmester:
“La figura formada por los extremos de las velocidades de un elemento
rígido, es semejante a la figura original y la razón de semejanza es (1+ω)1/2,
encontrándose girada un ángulo φ respecto de la figura original”.
A’
Av
A
tan ϕ =
B’
C’
C
B
PAv
=
PA
AAv BBv CCv
=
=
=ω
PA
PB
PC
2
2
PA2 + AAv2
 PA   AAv 
2
= 
 +
 = 1+ ω
PA
PA
PA

 

Cv
Bv
φ
φ
φ
PAv = PA 1 + ω 2
PBv = PB 1 + ω 2
PCv = PC 1 + ω 2
P
26
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
13
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Teorema de Burmester
Como consecuencia especial del teorema de Burmester se puede
decir que si tres puntos sobre el mismo plano móvil están alineados
los extremos de las velocidades de éstos también estarán alineados
Cv
Bv
Av
VA
A
VB
VC
B
C
P
27
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Teorema de Burmester
A
VA
αA
AV
B
G
A’V
B’V
VB
αB
BV
αA
αB
P
A
C
VC
VA
B
VB
28
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
14
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Imagen o campo de velocidades
y
y'
ωSIS=0
B
ωs
S
rAB
VB =
x'
rB
drB drA drAB
=
+
= VA + rAB × ω = VA + VAB
dt
dt
dt
VA
A
rA
rB = rA + rAB
VB
VAB es siempre perpendicular a la
recta AB
VAB
VA
VB
x
29
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Imagen o campo de velocidades
Imagen o Campo de Velocidades:
Si se llevan a un origen común los vectores velocidad de tres puntos de un mismo sólido
rígido y se unen los extremos de estos vectores se obtiene un triángulo A’B’C’ semejante
al triángulos ABC. El triángulo A’B’C’ se denomina Imagen o Campo de Velocidades.
Velocidades
Esta propiedad se deduce por las características de las velocidades relativas. En la
figura se muestra un sólido y sus tres velocidades que al ser llevadas a un origen
común, O, generan el campo de velocidades A’B’C’, donde se dice que los tres puntos
A’, B’ y C’ son homólogos de A, B y C, y el punto O es homólogo del cir en el cuerpo
real.
A
VA
O
VA
B
VB
C
C’
cir
VC
A’
VC
VB = V A + V AB 

VC = VB + VBC 
V A = VC + VCA 
B’ V
B
Imagen de velocidades
30
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
15
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Imagen o campo de velocidades
¿VC?
C
B
VA
A
VB
VC
VA
VB
Determinación de la velocidad del punto C del acoplador
31
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Imagen o campo de velocidades
C
VC
B
VB
A
VA
VB
Ao
VC
VA
Análisis de velocidades en un mecanismo biela-manivela
32
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
16
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Aplicación al análisis de
aceleraciones
rB = rA + rAB
y
y'
VB = VA + rAB × ω
ωSIS=0
S
B
ωs
rAB
x'
A
rA
rB
dVB dVA d(rAB × ω)
=
+
=
dt
dt
dt
dr
dω
= A A + AB × ω + rAB ×
=
dt
dt
A A + (rAB × ω) × ω + rAB × α =
AB =
VB
VA
N
A A + A AB
+ A TAB
x
33
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Aplicación al análisis de
aceleraciones
y
N
A B = A A + A AB
+ A TAB
y'
ωSIS=0
AAB
ωs
γ
AABT
S
B
tan γ =
AABN
rAB
x'
A
tan γ =
AA
A TAB
N
A AB
A TAB
N
A AB
=
α AB α
=
= cte
ω 2 AB ω 2
x
34
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
17
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Aplicación al análisis de
aceleraciones
A
C
γ
O
AA
ω
γ
α
AB
AA
AAB
B
AA
AABN
AABT
γ AB
AAB
γ
AB
AA
ABC
AAC
γ
AAB
γ
C
O
AA
AC
AB
AAB
γ
AAC
ABC
γ
C
Esta propiedad permite
obtener la aceleración de
un punto C conocida la
aceleración de A y B en el
mismo elemento
35
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Capítulo II: Tema 1
1.4 Base y ruleta.
36
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
18
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
Posición 1
C1
A1
El cir, polo instantáneo o simplemente polo es,
como su propio nombre indica, una
característica propia de una determinada
posición (o instante) de la figura móvil en el
plano móvil, que podemos suponer asociado a
ella. Por tanto, a medida que el movimiento de
dicha figura o plano móvil evolucione, el cir
también se verá modificado pasando a ocupar
otra posición en los planos de movimiento.
B1
P1
37
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
Posición 1
C1
A1
C2
Posición 2
A2
B1
B2
P112
P111
P1
P2
38
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
19
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
Posición 1
C1
C2
A1
Posición 2
C3
A2
Posición 3
B1
B2
B3
P113
P
1
A3
12
P212
P211
P111
P1
P2
P3
39
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
Posición 1
C1
C2
A1
Posición 2
A2
C3
Posición 3
B1
B2
B3
P113
P
1
P211
P111
P1 P
1
Base
0
A3
12
0
P2 P20
P
2
12
P3
P311
P
3
0
Base: es el lugar geométrico de
los puntos del plano fijo que han
sido en un determinado instante
centro instantáneo de rotación.
Esta curva también se conoce
con los nombres de Polodia o
curva polar fija.
40
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
20
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
C3
A2
Ruleta 1
Posición 3
B3
P113
A3
P112
1
P1 P 0
Base
P212
P211
P111
P2 P20
P3
P311
Ruleta: es el lugar geométrico de
los puntos del plano móvil que en
algún momento han tenido
velocidad nula. También se
conoce con los nombres de
Herpolodia o curva polar móvil.
41
P30
0
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
C2
Posición 2
A2
C3
Posición 3
Ruleta
B2
1
B3
P113
P
1
P211
P111
P1 P
1
Base
A3
12
0
P2 P20
P
2
12
P3
P311
P30
0
42
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
21
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
Posición 1
C1
C2
A1
Posición 2
C3
A2
Posición 3
Ruleta
B1
1
B2
P
1
A3
12
P211
P111
1
P1 P 0
Base
B3
P113
P212
P2 P20
P3
0
P311
P30
La curva Base representa la
trayectoria del cir sobre el
plano fijo mientras que la curva
Ruleta representa la trayectoria
del cir para el observador
situado en el plano móvil. 43
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
Posición 1
C1
A1
Ruleta
B1
1
P111
1
P1 P 0
Base
0
44
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
22
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
Posición 1
C1
C2
A1
Posición 2
A2
Ruleta
B1
1
B2
P113
P112
P211
P111
1
P1 P 0
Base
P2 P20
0
45
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
Posición 1
C1
C2
A1
Posición 2
A2
C3
Posición 3
Ruleta
B1
1
B2
P
1
A3
12
P211
P111
P1 P
1
Base
B3
P113
0
P2 P20
P
2
12
P3
P311
P30
0
46
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
23
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
P0: Es el punto del plano fijo que
coincide con el cir, es por tanto un
punto físico cuya velocidad es cero.
P1: Es el punto del plano móvil que
coincide con el cir, es también un
punto físico y su velocidad es nula ya
que no varía su posición en un
instante diferencial de tiempo.
P: Es un punto matemático (no es un
punto físico), lo que significa que no
pertenece ni al plano fijo ni al móvil.
Representa la variación de posición
del cir sobre el plano fijo y su
trayectoria es la curva Base. Por tanto,
este punto sí puede tener velocidad
distinta de cero y a esta velocidad se
la denomina: Velocidad de Cambio de
Polo.
Posición 1
C1
C2
A1
Posición 2
A2
C3
Posición 3
Ruleta 1
B1
P112
B2
B3
P113
P211
P111
P1 P10 P2 P20
Base 0
P
2
A3
12
P311
P3 P3
0
Velocidad de cambio de polo:
47
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Base y ruleta
De todo lo expuesto anteriormente se deduce que las
curvas Base y Ruleta se encuentran en contacto
permanente en el cir y no existe velocidad relativa en
dicho punto de contacto. En otras palabras, el
movimiento entre Base y Ruleta es un movimiento de
rodadura pura. Este movimiento queda perfectamente
definido si se conoce la geometría de la curva Base y
Ruleta y la Velocidad de Cambio de Polo.
48
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
24
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Capítulo II: Tema 1
1.5 Aceleración de un punto del plano móvil que coincide
con el cir.
49
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.1 Aspectos generales del movimiento plano
Aceleración de un punto del plano
móvil que coincide con el cir
A
VA = ω × PA
dVA dω
 dOA dOP 
=
× PA + ω × 
−
=
dt
dt
dt 
 dt
α × PA + ω × (VA − VP )
AA =
OA
y
VA = ω × (OA − OP )
x
0
A P = α × 0 + ω × (ω × 0 − VP ) = −ω × VP
PA
ω
VA
Ruleta
1
AP
OP
P
Base
0
AP = −ω µ
50
R. Sancibrián, Ing. Mecánica
25