Posiciones Especiales de los Astros

ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Posiciones Especiales de los Astros
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continuación del Tema
1
Sistemas de Coordenadas Astronómicas. Posiciones Especiales de
los Astros
1.6- Fórmulas de Nepper para triángulos esféricos
Al trabajar con triángulos esféricos es conveniente, en ciertas ocasiones donde un
lado o ángulo son rectos, emplear las fórmulas de Nepper. Para ello se construyen
pentágonos complementarios alrededor del triángulo, [Figura 1.6a], de la siguiente
forma:
Figura 1.6a: Pentágonos de Nepper. A la izquierda para triángulos esféricos rectángulos y a
la derecha para triángulos esféricos rectiláteros
Los elementos son: ángulos A, B y C y catetos a, b y c . Se presentan los
siguientes dos casos:
a) Si el triángulo es rectángulo, tenemos que A = 90° y en entonces a es la hipotenusa
Se envuelve el triángulo con un pentágono, [Figura 1.6a Izquierda], se definen
sus lados de acuerdo a la figura y se aplican las siguientes fórmulas:
cos (lado) = producto de los senos (lados opuestos)
cos (lado) = producto de las cotg (lados adyacentes)
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Dr. Ricardo César Podestá
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Por ejemplo:
cos a = sen (90°- c) sen (90°- b) , o bien
cos a = cotg B cotg C
b) Si el triángulo es rectilátero, entonces el lado a = 90°, el pentágono se construye
como el de la [Figura 1.6a Derecha] y valen las mismas fórmulas.
Por ejemplo:
cos c = sen (90°- C) sen b , o bien
cos c = cotg (90º - B) cotg ( - A)
1.7- Astros en el Horizonte
Llamaremos “Elementos de Calaje” a aquellos parámetros que nos permitirán
localizar un astro en alguna posición del cielo para cualquier instante. Estos son el
Acimut (A), la Distancia Zenital (z) y el tiempo del suceso o Ángulo Horario (H). Este
último elemento deberá ser transformado a Tiempo Sidéreo (l) u Hora Oficial
Argentina (HOA).
Cuando un astro está saliendo u ocultándose, la distancia cenital z = 90° , por lo
tanto tendremos un triángulo de posición rectilátero. El triángulo de posición y el
correspondiente pentágono de Nepper se construyen según la [Figura 1.7a].
Figura 1.7a: Triángulo de posición rectilátero y pentágono de Nepper para astros en el horizonte
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Calcularemos ahora los elementos de calaje. Sabemos que la distancia cenital z
vale 90º, así que restan conocer los otros dos. Para saber cuánto vale el ángulo horario H
sobre el horizonte; aplico entonces el coseno al lado correspondiente, [Figura 1.7a] :
cos (
 H) = cotg (90° ) cotg (90° )
 cos H = tg  tg 
cos H =  tg  tg 
(1)
Para el acimut A:
cos (90°  ) = sen (A  90°) sen (90°  )
sen  =  cos A cos 
cos A =  sen  / cos 
(2)
De la fórmula (1) veamos seis casos de cómo entran en juego los factores  y :
Primer Caso
Si  + 
 90°  tg  tg   1 , lo cual no podría ser, puesto
que según la fórmula (1), el coseno de H daría mayor que la unidad.
Esto debe interpretarse como que la fórmula (1) falla porque el astro no corta el
plano del horizonte. Por lo tanto, para que el astro corte al horizonte, [Figura 1.7b],
debe cumplirse la condición:
 +   90° , o bien   90° 
Si al valor : 90°
 =  , la llamamos “distancia polar”, tenemos que la
condición de corte es:
  
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Figura 1.7b: Primer caso. Condición para que el astro corte el horizonte
Segundo Caso
Si
 y  son de igual signo, implica que cos H es negativo y H debe estar
h
entonces en el II o III cuadrantes, H  90° o H  6 , [Figura 1.7c].
Esto
todos
los
cumplen
son
indica
que
astros
que
esta
visibles
observador
condición
para
un
el
tiempo
mayor de :
2H = 12
h
(entre la salida y puesta).
Es mayor el tiempo
que el astro permanece
visible que invisible (caso
del Sol en verano).
Fig. 1.7c: Segundo caso.  y  son de igual signo y el cos H es
negativo.
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Tercer Caso
Si

y
 son de
distinto signo, respetando la
condición de corte dada en
el primer caso, el cos H es
positivo, así H está en el I
o IV cuadrantes, [Figura
1.7d].
Entonces:
h
2H  12 ,
lo que indica que el astro
está más tiempo bajo el
horizonte que sobre él.
Figura 1.7d: Tercer caso.  y  son de distinto signo.
Cuarto Caso
Si
 = 0 el astro está siempre circulando en el Ecuador. Esto implica que la
tg  = 0 y el cos H = 0 .
Por lo tanto:
H = 90° = 6
El arco
h
sobre el
horizonte es igual al arco
bajo el horizonte, [Figura
1.7e].
Es el caso del Sol en
los equinoccios.
Figura 1.7e: Cuarto caso. El astro circula por el ecuador
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Quinto Caso
Si
 = 0 el observador está situado sobre el Ecuador. Esto implica que la
tg  = 0 y el cos H = 0 .
Por lo tanto:
H = 90° = 6
h
Es un caso parecido al
anterior. El astro está 12
sobre el horizonte y 12
h
h
abajo. Los arcos descriptos
por el astro siempre son
planos
verticales,
[Figura
1.7f].
Figura 1.7f: Quinto caso.  = 0 .Observador en el Ecuador
Sexto Caso
Habíamos dicho que si  +   90° , el astro no corta al horizonte; pero
ahora se presentan dos casos :
i) que el astro esté en el mismo hemisferio del observador y permanezca siempre
visible.
Entonces el signo
 = signo 
ii) que el astro esté en distinto hemisferio y por lo tanto no sea visible nunca.
Entonces el signo 
 signo 
Resumiendo:
 +   90° no corta al horizonte
 +   90° si corta al horizonte
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La figura correspondiente es la misma que para el primer caso.
De la fórmula (2) veamos cómo entran en juego los factores  y
:
El cos  es una función par, así que para cualquier  , siempre el cos  será de
signo positivo, por lo que concluimos que el signo del cos A lo regula solamente  .
Si  es negativo, implica que el sen
 es negativo, por lo tanto cos A es positivo.
Entonces, si cos A (+) estamos en el I cuadrante (SW), o bien en el IV cuadrante (SE).
Los astros se levantan en el IV cuadrante y se ponen en el I cuadrante, [Figura 1.7g].
Si
 es (+) implica
que el sen
 es (+) , por lo
tanto cos A es () .
Así, si
cos A (),
estamos en el II cuadrante
(NW), o bien en el III
cuadrante (NE).
Los astros se levantan
en el III cuadrante y se
ocultan en el II cuadrante.
Figura 1.7g: Salida y puesta de los astros en los cuadrantes
Acimut Calculado
Para calcular el acimut de un astro cualquiera, usamos la fórmula dada por
trigonometría esférica:
cos A 
cos z sen  - sen δ
sen z cos 
(3)
Debemos tener en cuenta que el acimut verdadero puede o no coincidir con el
acimut calculado. Para hallar el verdadero valor deberemos estudiar los cuadrantes,
[Figura 1.7g].
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Vale decir que el acimut de un astro que se levanta, está encasillado en el III o IV
cuadrantes:
Si cos A (+), corresponde al IV cuadrante : A verdadero = 360°  A cálculo
Si cos A (), corresponde al III cuadrante : A verdadero = 180° + A cálculo
Para los astros que se ocultan, deberemos encasillarlos en el I o II cuadrantes:
Si cos A (+) corresponde al I cuadrante : A verdadero = A cálculo
Si cos A () corresponde al II cuadrante : A verdadero = 180°  A cálculo
1.8- Astros en el Meridiano
Se dice que un astro está culminando cuando el mismo está cortando el plano
meridiano del lugar. Cuando un astro corta al meridiano del lugar, el ángulo horario H
en ese instante es nulo
Desarrollemos el teorema del coseno
para el “lado z” del triángulo de posición,
[Figura 1.8a]:
cos z = cos (90° ) cos (90° ) +
+ sen (90° ) sen (90° ) cos H
Figura 1.8a: Triángulo de posición
Como en el meridiano H = 0 , entonces cos H =1
cos z = sen  sen  + cos  cos  * 1
cos z = cos (
zm =   
 )
(4)
En general cuando se habla de Coordenadas Horizontales (z, A) la distancia
cenital z es siempre positiva. Ahora bien, para este único caso en que el astro corta al
meridiano del lugar en un instante determinado, se le atribuirá a la distancia cenital z un
signo, [Figura 1.8b].
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Para estrellas que culminen al “sur del cenit”, o sea para
 más negativas que ,
decimos que z es (+). Si el astro culmina al “norte del cenit”, decimos que z es ().
Figura 1.8b: Signo de la distancia cenital
Un astro cualquiera culmina siempre en dos puntos; hasta ahora hemos
considerado que en culminación inferior se produce debajo del horizonte y no es visible.
Pero existen astros cuyas culminaciones superiores (CS) e inferiores (CI) se
producen sobre el horizonte y son siempre visibles, [Figura 1.8c].
Son las estrellas cercanas
al polo llamadas circumpolares.
Como
CI + CS = 180° ,
para que la fórmula (4) siga
valiendo se deberá poner :
zCI =   CI
=
  (180°  CS )
F
i
g
Figura 1.8c: Estrellas circumpolares
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Con respecto al acimut A, decimos que para los astros que culminan al sur del
cenit A = 0 , y para los astros que culminan al norte del cenit A = 180° .
Para un astro que culmina exactamente en el cenit en un instante dado
= ,
z = 0 y el acimut A es indeterminado.
1.9- Astros en el Primer Vertical
El Primer Vertical es el plano que, conteniendo a la vertical del lugar, es
perpendicular al meridiano del lugar. Así, en el instante en que un astro se encuentra
transitando el primer vertical, su acimut A = 90° al Oeste o A = 270° al Este. El
triángulo formado es rectángulo y, en consecuencia, podemos armar el pentágono de
Nepper, [Figura 1.9a].
Figura 1.9 a: Primer vertical y pentágono de Nepper armado para estrellas que cortan este plano
El acimut A ya lo conocemos (A = 90º o A = 270º), es decir que solo nos faltan
conocer los restantes dos elementos de calaje. Para conocer H trabajo sobre el
pentágono de Nepper :
cos H = cotg  cotg (90°  )
cos H = tg  / tg 
(5)
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La latitud  la conozco (mediante algún método de observaciones astronómicas o
extraídas de mapas cartográficos) y la declinación
 del astro la puedo consultar en
algún catálogo estelar cualquiera. Así, calculando por la fórmula (5) el ángulo horario
H, puedo conocer el instante sidéreo l del corte del astro por el primer vertical, usando
la expresión
l =  + H , donde la ascensión recta  también la saco del catálogo. Si
lo deseo puedo transformar el Tiempo Sidéreo  l en Hora Oficial Argentina HOA.
De (5) vemos que deberá cumplirse que cos H
 1 , por lo tanto tg   tg  ,
vale decir que la condición de corte al primer vertical es:   .
Pero el corte puede producirse bajo el horizonte, en cuyo caso no lo veremos. Para
que se produzca arriba del horizonte tenemos que conseguir que el cos H sea (+) y que
el signo  = signo de .
Entonces, para que un astro corte al primer vertical sobre el horizonte, deben
cumplirse simultáneamente que :
     
signo de  = signo de 
Para conocer la distancia cenital z aplicamos la regla de Nepper :
cos (90°  ) = sen  sen (90°  z)
cos z = sen  / sen 
(6)
De (6) vemos también que para que el astro corte al primer vertical sobre el
horizonte, es necesario que el signo
signo
 = signo  . Si, por el contrario, el signo  
 , implica que cos z  0 y z  90° , en consecuencia el astro corta al primer
vertical bajo el horizonte.
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Si
 = 0, implica que el astro recorre el ecuador y por lo tanto corta al primer
h
vertical con A = 90° , z = 90° y H = 90° = 6 . El astro corta al primer vertical y al
horizonte al mismo tiempo (es aproximadamente el caso de la estrella de las Tres
Marías :  Ori-Mintaka)
Si  =
 , implica que el cos z = 1 y z = 0 , el astro corta al primer vertical en
el cenit.
Si  = 0 , el observador está situado en el ecuador y este coincide con el primer
vertical. Solo lo cortarán, o mejor dicho se superpondrán, aquellas estrellas cuya
 = 0.
1.10- Astros en Máxima Elongación
Consideremos una estrella circumpolar que por supuesto tiene una declinación
grande. La misma se moverá sobre un círculo menor paralelo al círculo ecuatorial. El
acimut de la estrella variará progresivamente hasta llegar a un máximo.
En la posición de máximo acimut el círculo vertical que pasa por la estrella es
tangente al círculo paralelo. En este momento la estrella habrá conseguido su máximo
apartamiento del meridiano, [Figura 1.10a].
Figura 1.10a: Una estrella en el momento de máxima elongación
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Así, a la máxima elongación la definimos como el instante en que la estrella
alcanza el mayor apartamiento del meridiano del lugar.
Como se ve en la figura, el círculo vertical y el círculo horario correspondiente
son perpendiculares, por lo que el ángulo paraláctico Q = 90°.
También se deduce que los astros a elongar son los que no cortan al primer
vertical, pues no habría un acimut máximo
sobre el horizonte.
Desarrollando
el
pentágono
de
Nepper, [Figura 1.10b]:
cos H = cotg (90°) cotg 
cos H = tg  cotg 
cos H = tg  / tg 
(7)
F
Figura 1.10b: Pentágono de Nepper para las
condiciones de máxima elongación
Calculando H puedo encontrar entonces el tiempo sidéreo
máxima elongación haciendo: l =
l del instante de
+H
De la fórmula (7) notamos que la condición para que una estrella pueda elongar
es que el cos H  1 , lo que implica que tg 
 tg  o bien   
Como la estrella puede elongar bajo el horizonte, debemos hacer que H se
mantenga en el I o IV cuadrantes; esto significa que el cos H debe ser (+) por lo que
el signo  = signo  .
Para encontrar el acimut A, operamos en el pentágono de Nepper :
cos  = sen (  A) sen (90°  )
cos  = sen A cos 
sen A = cos  / cos 
(8)
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Para encontrar la distancia cenital z :
cos (90°  ) = sen (90°  z) sen 
sen  = cos z sen 
cos z = sen  / sen 
(9)
1.11- Orto y Ocaso del Sol
El orto es la salida de los astros por el horizonte y el ocaso es la puesta de los
mismos. En ambos casos tenemos que el ángulo de altura h = 0° o, lo que es lo mismo,
la distancia cenital z = 90° .
En el triángulo de posición aplicamos la fórmula del coseno al lado z:
cos z = cos (90 - ) cos (90 - ) + sen (90 - ) sen (90 - ) cos H
0 = sen  sen  + cos  cos  cos H
(10)
Operando en la expresión (10) llegamos a: cos H = tg  tg 
-1
H = cos (tg  tg )
en donde debe ser:
tg  tg    1 
tg   cotg 
-1
  tg (cotg )
  90°  
(11)
De (11) se deduce que hay lugares en la Tierra en que el Sol no sale ni se pone
durante el día. Si la declinación máxima que puede alcanzar el Sol es la oblicuidad de la
eclíptica:
max = 23°.5
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  66°.5 (círculo ártico)
  66°.5 (círculo antártico)
Para calcular el orto y el ocaso del Sol con mayor precisión tenemos que
considerar la refracción, paralaje y el semidiámetro.
z = 90° + Refracción  Paralaje + Semidiámetro
z = 90° + 36´  9 + 16´ = 90° 51´ 51
Puede agregarse, si es necesario, la altura sobre el nivel del mar:
1/2
z = 90° 51´ 51 + 1´.17 h
donde h es la altura en pies sobre el nivel del mar
A partir de la distancia cenital z encontrada, calculo del triángulo de posición el
cos H, luego obtengo el tiempo sidéreo l y la Hora Oficial Argentina.
La precisión que puede lograrse al calcular la salida y puesta del Sol depende
fuertemente de la refracción atmosférica sobre el horizonte. A pesar que hemos
considerado un valor de 36´, la misma es impredecible pudiendo valer incluso algunos
grados. Esto hace que el cálculo sea solo aproximado y con un error de 3 o 4 minutos de
tiempo.
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