Números Complejos - Facultad Regional Avellaneda

Números Complejos
Unidad I: Números Complejos
INTRODUCCIÓN
Desde Al'Khwarizmi (800 DC), quien fuera precursor del Álgebra, sólo se obtenían las
soluciones de las raíces cuadradas de números positivos.
El matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576) menciona por primera vez en su
libro Ars Magna (1545) la necesidad de definir y utilizar números que respondan a la forma
a con a<0 . En el libro aparece el siguiente problema: “dado un segmento de 10
unidades, dividirlo en dos partes de manera tal, que el área del rectángulo que se obtenga
con esas dos partes sea de 40 unidades cuadradas”.
La solución debía ser fácil. Si una parte es “x” la otra parte es “y = x-10”, tal que x.y = 40.
Reemplazando: x.(10-x) = 40, operando x2 –10 x + 40 = 0.
Al resolver la ecuación queda x1,2= 5 ± - 15 . A tales soluciones el filósofo y matemático
alemán Descartes (1596-1650) las llamó imposibles o imaginarios, y en 1637 dedujo que
las soluciones no reales de las ecuaciones, son números de la forma a+bi, con a y b reales.
Pero fue Karl F. Gauss (1777-1855) físico, matemático y astrónomo alemán quien usó los
números complejos en forma realmente confiable y científica.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Definición: Un número complejo es un par ordenado de números reales, por lo tanto se
define el conjunto de números complejos de la siguiente manera:
C ={(a; b) / a ∈ R ∧ b ∈ R }
Representación gráfica de un número complejo.
De la definición se deduce que, cada complejo se representa en el plano real como un único
punto y a su vez cada punto del plano real representa un único número complejo. Por lo
tanto, existe una relación biunívoca entre el conjunto de los números complejos y el
conjunto de los puntos del plano real. A dicho punto se lo denomina afijo.
También, se puede representar a un número complejo mediante un vector denominado
vector posición que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el afijo.
Im
b
0
z
a
Re
Dado el complejo z = (a; b)
oz es el vector posición
el punto z de coordenadas (a; b) es el afijo
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1
Números Complejos
El eje de abscisas recibe el nombre de eje real y el de ordenadas de eje imaginario.
Parte real e imaginaria de un complejo.
Dado un complejo z = (a; b), la parte real es la primer componente y la parte imaginaria es
la segunda componente, es decir:
Parte real de z = Re (z) = a
Si z = (a; b) ⇒ 
Parte imaginaria de z = Im(z) = b
Los complejos de la forma (a; 0) reciben el nombre de complejos reales puros, se los
identifica con CR y se encuentran situados en el eje real; mientras que los complejos de la
forma (0;b) se denominan complejos imaginarios puros y se ubican sobre el eje
imaginario.
Igualdad entre complejos.
Sean los complejos z1= (a; b) y z2 = (c; d), resulta
z1 = z 2 ⇔ a = c ∧ b = d
Ejercicio:
Hallar el valor de k y h reales para que los complejos z1= ( 2.k +1; k – h) y z2 = ( k; 2)
resulten iguales.
2.k + 1 = k
Por definición de igualdad de complejos, resulta 
. De la primer ecuación
k − h = 2
resulta k = -1 y reemplazando en la segunda ecuación h = -3.
Complejo nulo
z = (a; b) el es complejo nulo, si y sólo si a = b = 0, anotándose z = (0; 0) = 0
Complejo opuesto y complejo conjugado
su opuesto es - z = (- a; - b)
Si z = (a; b) ⇒ 
su conjugado es z = (a; - b)
Observar que en el complejo conjugado, la parte real queda igual y que la parte imaginaria
cambia su signo.
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Números Complejos
Geométricamente
Im
Im
z = (a; b)
z = (a; b)
Re
z = (a; -b)
Re
-z = (-a;-b)
Entre un complejo y su opuesto, existe una simetría puntual de centro en el origen. Entre un
complejo y su conjugado existe una simetría axial de eje real.
_
Ejemplo: Dado z = (-3; 6) el opuesto es – z = (3; -6) y el conjugado es z = (-3; -6)
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
1)Adición:
Dados los complejos z1= (a; b) y z2 = (c; d), se define:
z1 + z2 = (a; b)+(c; d) = (a+c; b+d)
La sustracción entre números complejos se obtiene sumando al minuendo el opuesto del
sustraendo: z1 - z2 = z1 +(- z2) = (a; b)+(- c; - d) = (a - c; b - d)
Propiedades:
Ley de composición interna: ∀ z1 , ∀ z 2 ∈ C : (z1 + z 2 ) ∈ C
Conmutatividad: ∀ z1 , ∀ z 2 ∈ C : z1 + z 2 = z 2 + z1
Existencia de elemento neutro: ∀z = (a; b) ∈ C, ∃ 0 = (0; 0) ∈ C / z + 0 = 0 + z =z
Existencia de elemento opuesto: ∀z ∈ C, ∃ (−z) ∈ C / z + (−z) = −z + z = 0
Asociatividad: ∀z1 , ∀z 2 , ∀z 3 ∈ C : (z1 + z 2 ) + z 3 = z1 + (z 2 + z 3 )
2) Producto por un escalar:
Dado el complejo z= (a; b) y α ∈ R, se define:
.
.
α a= α (a; b) = (α .a; α .b)
Propiedades:
.
Ley de composición externa: ∀α ∈ R, ∀z ∈ C : (α z) ∈ C
Distributividad con respecto a la adición de complejos:
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Números Complejos
.
.
.
∀α ∈ R, ∀z1 , ∀z 2 ∈ C : α (z1 + z 2 ) = α z1 + α z 2
Distributividad con respecto a la adición de escalares:
. . .
∀α, ∀β ∈ R, ∀z ∈ C : (α + β ) z = α z + β z
Asociatividad mixta:
. . .
De la unidad: ∀z ∈ C, ∃ 1 ∈ R / 1.z = z
∀α, ∀β ∈ R, ∀z ∈ C : (α.β ) z = α ( β z)
1
3) Multiplicación:
Dados los complejos z1= (a; b) y z2 = (c; d):
z1
. z = (a; b).(c; d) = (a.c- b.d; a.d+b.c)
2
Propiedades:
.
Ley de composición interna: ∀ z1 , ∀ z 2 ∈ C : (z1 z 2 ) ∈ C
.
.
Conmutatividad: ∀ z1 , ∀ z 2 ∈ C : z1 z 2 = z 2 z1
Existencia de elemento neutro: ∀z = (a; b) ∈ C, ∃ e = (1;0) ∈ C / z.e = e.z = z
Existencia de elemento inverso: ∀z = (a; b) ≠ 0 ∈ C, ∃ z' ∈ C / z.z' = z'.z = e = (1;0) 2
..
..
Asociatividad: ∀z1 , ∀z 2 , ∀z 3 ∈ C : (z1 z 2 ) z 3 = z1 (z 2 z 3 )
La potenciación de un número complejo con potencia natural, se resuelve como una
n
n
multiplicación reiterada: z = (a; b) = (a; b).(a; b).....(a; b) asociando de a dos los pares
ordenados.
Ejercicio 1:
. ( 31 ;−1) + (2;−3).(4;−1)
Calcular : z = -2
1
Cuando un conjunto con las operaciones adición y producto por un escalar cumple con las propiedades
enunciadas se dice que tiene estructura de Espacio vectorial.
−b 
 a
2
, 2
El inverso multiplicativo de z = (a;b) =  2
2
2
a +b a +b 
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Números Complejos
. ( 31 ;−1) + (2;−3).(4;−1) = (− 2. 31 ;−2.(−1))+ (2.4 − (−3).(−1); 2.(−1) + (−3).4) =
z = -2
(
)
(
)
= − 2 ;2 +(8-3; -2-12) = − 2 ;2 +(5; -14)=
3
3
⇒ z = 13 ;−12
3
(
)
(
−
) (
2 + 5; 2 + (−14) = 13 ; − 12
3
3
)
Ejercicio 2:
Calcular z= (-1; 2)3
.
.
.
.
= (1-4; -2-2).(-1; 2) = (-3; -4).(-1; 2) = [-3.(-1) - (-4).2; -3.2+(-4).(-1)]=
z= (-1; 2)3 = (-1; 2)2 (-1; 2) = [(-1; 2) (-1; 2)] (-1; 2) = [-1.(-1)-2.2; -1.2+2.(-1)] (-1; 2) =
= (3+8; -6+4) = (11; -2)
⇒ z = (11; -2)
_________________________________________________________________________.
ISOMORFISMO ENTRE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
REALES PUROS Y LOS NÚMEROS REALES.
Existe una función biyectiva f:CR → R denominada isomorfismo entre el conjunto CR y
los números reales, de manera tal que f (a; 0) = a.
Sean z1 = (a; 0) y z2 = (b; 0) se debe verificar que :
a) f (z1 + z2) = f (z1) +f (z2)
.
.
b) f (z1 z2) = f (z1) f (z2)
D)
a) f (z1 + z2) = f [(a; 0)+(b; 0)] = f (a+b; 0) = a+b por definición del isomorfismo
= f (z1)+ f (z2 )
.
.
.
b) f (z1 z2) = f [(a; 0) (b; 0)]= f [(a.b - 0; a.0+b.0)]= f (a.b; 0) = a.b = f (z1) f (z2 )
Ejercicio:
Calcular el producto entre un número complejo y su conjugado.
.
_
.
z z = (a; b) (a;-b) = (a.a -b.(-b); a.(-b)+b.a) = (a2 + b2 ; 0) = a2 +b2 por definición del
isomorfismo entre CR y R.
De acuerdo al resultado obtenido se enuncia la siguiente propiedad:
El producto entre un complejo y su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de sus
respectivas partes reales y partes imaginarias.
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Números Complejos
UNIDAD IMAGINARIA
Definición: la unidad imaginaria es el número imaginario puro (0;1) y se lo representa con
la letra i o j.
Ejercicio: Verificar que i2 = -1.
.
i2 = (0;1)2 = (0;1) (0;1)= (0-1;0+0) = (-1;0) = -1 por el isomorfismo entre CR y R.
Potencias sucesivas de la unidad imaginaria.
Se calculan algunas potencias n ∈ N0 de la unidad imaginaria i:
4
i0 =1
i1 =i
i2 =-1
i3 = i . i2 = -i
i = i2.i2 = 1
5
i = i. i4 = i
i6 = (i2)3 =-1
i7 = i .i6 = -i
8
4 4
i = i .i = 1
Se observa que cada cuatro potencies sucesivas de la unidad imaginaria se repiten las
soluciones, por lo tanto, cuando se desea elevar i a una potencia n ∈ N0 cualquiera, se
puede proceder de la siguiente manera:
n
r
4
c
n
Tal que n = 4.c+r siendo r ∈ {0;1;2;3}(posibles restos de la división por 4)
(4.c+ r)
=i
4.c
Ejercicio: Calcular i
241
Luego i = i
241
1
4
60
r
( ) c .i r = 1c.i r = i r
.i = i 4
Luego, i241 = i 1= i
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------FORMA BINÓMICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Dado el número complejo z = (a;b) se lo puede escribir:
z = (a; b) = (a; 0)+(0; b)
= (a; 0) +b.(0;1)
= a+b.i
por definición de adición.
por producto de un escalar por un complejo.
por el isomorfismo entre CR y R y por definición de
unidad imaginaria.
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Números Complejos
Por lo tanto, la forma binómica de un complejo z = (a; b) es z = a + b.i
Ejemplo: Dado el complejo z = (-3;6) su forma binómica es z = -3+ 6.i , su opuesto es
_
– z = 3 - 6.i y su conjugado es z = -3 - 6.i.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA
Sean los complejos z1= a + b.i y z2= c + d.i
1) Adición: z1+ z2 = (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d). i
2) Producto por un escalar : ∀α ∈ R : α • z = α • ( a + b.i ) = α .a + α .b.i
.
3) Multiplicación: z1 z2 = (a + b.i)
. (c + d.i) = (a.c – b.d) + (a.d + b.c).i .
En efecto:
.
.
z1 z2 = (a + b.i) (c + d.i)= a.c+ a.d.i +b.c.i +b.d.i 2 = a.c + (a.d+b.c).i – b.d =
=(a.c – b.d) + (a.d + b.c).i .
__
z
z z
4) División : si z2 ≠ 0 ⇒ 1 = 1 . 2 . Al multiplicar el denominador por el conjugado de
z 2 z2 z 2
z2, de acuerdo a la propiedad del producto de un complejo por su conjugado, queda la
fracción dividida por un número real.
Ejercicio: Calcular z =
(− 2 + 3.i )2 • (4 + 2.i)
− 1 − 3.i
El complejo elevado al cuadrado se lo desarrolla como un binomio polinómico elevado al
cuadrado.
z=
=
(4 − 12.i + 9.i 2 ) • (4 + 2.i) = (- 5 − 12.i )
− 1 − 3.i
• (4 + 2.i )
− 1 − 3.i
=
− 20 − 10.i − 48.i − 24.i 2 4 − 58.i
=
− 1 − 3.i
− 1 − 3.i
4 − 58.i - 1 + 3.i -4 + 12.i + 58.i + 174 170 + 70.i
.
=
=
= 17 + 7.i
10
− 1 − 3.i − 1 + 3.i
(−1) 2 + 32
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Sean los complejos z = a + b.i y w = c + d.i
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Números Complejos
=
1) El conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo complejo: z = z
=
D) z = (a + b.i ) = (a − b.i ) = a + b.i = z
=
2) La adición de dos complejos conjugados es igual al duplo de la parte real. z+ z =2.Re(z)
=
D) z+ z = (a + b.i) + (a - b.i) = 2.a = 2.Re(z)
=
3) El producto de un complejo por su conjugado es un número real ( z . z ) ∈ R3.
__
4) Un número complejo es real, si y sólo si es igual a su conjugado: z ∈ R ⇔ z = z
D)
__
Condición necesaria : z ∈ R ⇒ z = z
=
=
Si z ∈ R ⇒ z = a + 0.i ⇒ z = a por el isomorfismo entre R y CR ⇒ z = a ⇒ z= z
__
Condición suficiente : z = z ⇒ z ∈ R .
=
Si z = z ⇒ a + b.i = a - b.i ⇒ b.i = - b.i ⇒ b = 0 ⇒ z = a ⇒ z ∈ R.
5) El conjugado de una adición de complejos es igual a la adición de los respectivos
________
−
−
conjugados: z + w = z + w
D)
________
_______________________
_____________________
z + w = (a + b.i ) + (c + d.i ) = (a + c) + (b + d).i = (a + c) − (b + d).i = a + c − b.i − d.i =
= (a − b.i ) + (c − d.i ) = z + w
6) El conjugado del producto de un escalar por un complejo es igual, al producto del escalar
.
_______
.
_
por el conjugado del número complejo: α . z = α z
D)
__
α • .z = α • (a + b.i ) = α .a + α .b.i = α .a − α .b.i = α • (a − b.i ) = α • z
_______
______________
______________
7) El conjugado de una multiplicación de complejos es igual a la multiplicación de los
.
________
−
.
−
respectivos conjugados: z w = z w
3
Esta propiedad ya fue demostrada con anterioridad en un ejercicio.
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Números Complejos
D)
.
.
________
_______________________
_______________________________
__________________________________
z w = (a + b.i) (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.i 2 = (a.c − b.d) + (a.d + b.c).i =
= (a.c − b.d) − (a.d + b.c).i = (a.c − b.d) − a.d.i − b.c.i = (a.c − a.d.i) − (b.d + b.c.i) =
− −
= a.(c − d.i) − b.(d + c.i) = a.(c − d.i) − b.i.(c − d.i) = (a − b.i) (c − d.i) = z w
.
.
8) El inverso del conjugado es igual al conjugado del inverso del complejo dado.
−
z
 
−1
____
−1
=z
−1
.
−1
1
1
a + b.i a + b.i
a
b
 ___ 
 _________ 
−1
.i =
=
= 2
= 2
+ 2
 z  =  a + b.i  = (a − b.i ) =
2
2
a − b.i a − b.i a + b.i a + b
a +b
a + b2
 


_____________
_______________________
__________________________
___________
____
_____

a
b
a − b.i
1
1
 a − b.i  


.i =  2
=
=
= z −1
=
= 2
− 2
2
2
2 

a +b
a +b
a + b.i
z
 a + b   (a − b.i ) (a + b.i ) 
.
9) El conjugado de una división entre números complejos, es igual a la división de los
respectivos conjugados del numerador y del denominador.
______
__
z z
Sea w no nulo :   =
w w
D)
____
(. ) (. ) .
_________
__________
__ ____
z
1 = z w −1 = z w −1 por propiedad 7
 = z w
w
.
−1
.
__
__
1
 __ 
= z w = z
por propiedad 8
(w )
 
__
z
w
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------MÓDULO DE UN COMPLEJO
=
Dado el complejo z = (a; b)
El módulo del vector oz se representa con oz = z = ρ . Para
b
calcularlo se emplea el teorema de Pitágoras en el triángulo
2
0az.: z = ρ 2= a2+ b2 luego
z = ρ = a 2 + b2
0
θ
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zz
a
Números Complejos
De acuerdo a la fórmula, el módulo de un complejo es igual a la raíz cuadrada de la suma
de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria.
Ejercicios: Calcular el módulo de los siguientes complejos.
z1 = -2+3.i ⇒ z1 = (−2) 2 + 32 = 4 + 9 =
13
z2 = -5.i ⇒ z 2 = 0 − 5.i ⇒ z 2 = 02 + (−5) 2 = 25 = 5
PROPIEDADES DEL MÓDULO DE UN COMPLEJO
Dados los complejos z = a + b.i y w = c + d.i
1) El módulo de todo complejo es mayor o igual que su parte real. z ≥ Re(z)
2
2
2
2
D) ∀a ∈ R : a = a 2 ⇒ a ≤ a 2 + b 2 ⇒ a ≤ z ⇒ a ≤ z ⇒ a ≤ a ≤ z ⇒ Re(z) ≤ z
2) El módulo de todo complejo es mayor o igual que su parte imaginaria. z ≥ Im(z)
2
2
2
2
D) ∀b ∈ R : b = b 2 ⇒ b ≤ a 2 + b 2 ⇒ b ≤ z ⇒ b ≤ z ⇒ b ≤ b ≤ z ⇒ Im(z) ≤ z
3) El producto de un complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo.
.
__
z z= z
.
__
2
.
D) z z = (a + b.i ) (a − b.i ) = a 2 − (b.i ) 2 = a 2 + b 2 = z
2
4) El módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos.
z w = z.w
.
D) Por la propiedad anterior:
__
z.w = (z.w).(z.w) = z.w. z .w = z. z .w.w = z . w
primer y último miembro : z.w = z . w
2
__
__
__
__
2
2
⇒ simplificando cuadrados del
5) El módulo de la suma de dos complejos es menor o igual que la suma de los módulos.
z+w ≤ z + w
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Números Complejos
D)
__
__
__
__
__
__
__
z + w = (z + w) (z + w) = (z + w) ( z + w) = z z + z w + w z + w w =
.
__
__
+ z. w + w. z + w
2
= z
2
2
= z
2
.
. . . .
__
__
= __
+ z. w + w. z + w = z + z .w + w. z + w
2
2
__
2
los términos
centrales son complejos conjugados y su suma es el duplo de la parte real, es decir :
______
__
______
__ __
__
__
__
2
2
2
z w + w z = z w + z .w = 2.Re( z .w) reemplazando : z + w = z + 2.Re( z .w) + w (I)
.
.
.
__
__
por la propiedad 1 , Re( z .w) ≤ z .w ⇒ 2.Re( z .w) ≤ 2. z .w = 2. z . w = 2. z . w
__
luego : 2.Re( z . w) ≤ 2. z . w
(II) sumando miembro a miembro (I) y (II) :
__
__
2
2
2
z + w + 2.Re( z .w) ≤ z + 2.Re( z .w) + w + 2. z . w
2
2
2
__
cancelando 2.Re( z .w) ⇒
2
z + w ≤ z + w + 2. z . w ⇒ z + w ≤ ( z + w ) 2 simplificando cuadrados :
z+w ≤ z + w
5) El módulo de una potencia de exponente natural es igual a la potencia del módulo.
n
zn = z
D) z n = z .z ....z = z . z .... z = z
n
n veces
ARGUMENTO DE UN COMPLEJO
El ángulo determinado entre el semieje positivo de abscisas y el vector oz se denomina
argumento. Cuando el argumento está comprendido dentro del primer giro se lo llama
argumento principal representándolo θ . Conocidos los valores de la parte real e imaginaria
b
b
de un complejo, resulta que: tgθ θ==arc tg
luego
a
a
Conocido el argumento principal, existen infinitos ángulos congruentes con él y todos
difieren en giros completos, es decir en 2.k. π con k entero, luego θ = θ + 2.k. π .
Para facilitar el cálculo del argumento se tiene presente que si α ∈ 1º Cuadrante, los
ángulos equivalentes en los restantes cuadrantes cuyas funciones trigonométricas se
mantienen invariantes se obtienen haciendo:
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Números Complejos
2º cuad. : π − α
equivalente en 3º Cuad. : π + α
4º Cuad : 2.π − α
Ejercicio Hallar los argumentos de los siguientes complejos: z1= -2+2 3 .i ; z2 = -1- i ;
z3= 3 - i ; z4 = 4 ; z5 = 3.i ; z6 = -5 ; z7 = -2.i
z1= -2+2 3 .i ∈2º Cuad. ⇒ θ = arc tg
z2 = -1- i ∈3º Cuad ⇒ θ = arc tg
z3=
3 - i ∈4º Cuad ⇒ θ = arc tg
π
π
π
2 3
= arc tg − 3 = π − = 2 ⇒ θ = 2
−2
3
3
3
- 1 = arc tg 1 = π + π = 5 π ⇒ θ
−1
-1
3
4
= 2π −
4
=5
π
4
π
π
π
= 11 ⇒ θ = 11
6
6
6
Cuando el complejo pertenece al eje real o al eje imaginario, el cálculo del argumento se
facilita “observando” el ángulo formado entre el semieje real positivo y el vector posición
del complejo:
z4 = 4
Im
4
z5 = 3.i
Re
Im
3
Re
z6 = -5
Im
-5
z7 = -2.i
Re
Im
-2
Re
El semieje positivo real determina con el vector
posición de z4 un ángulo de 0 grado ⇒ θ = 0
El semieje positivo real determina con el vector
π
posición de z5 un ángulo de 90 grado ⇒ θ =
2
El semieje positivo real determina con el vector
posición de z6 un ángulo de 180 grado ⇒ θ = π
El semieje positivo real determina con el vector
π
posición de z7 un ángulo de 270 grado ⇒ θ = 3
2
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12
Números Complejos
Forma trigonométrica de un complejo
Dado el complejo z = (a; b) = a+ b.i, de acuerdo a la figura:
Im
b
cos θ =
sen θ =
a
ρ
b
ρ
⇒ a = ρ .cosθ ( I )
z
θ
a
Re
⇒ b = ρ .sen θ (II)
Reemplazando (I) y (II) en la forma binómica :
z = ρ .cosθ + ρ .sen θ .i ⇒ z = ρ .(cosθ + i.senθ )
Para facilitar el trabajo en forma trigonométrica conviene tener presente lo siguiente:
a) Signo de las funciones (seno, coseno, tangente) en los distintos cuadrantes:
cuadrante Funciones positivas
I
Todas
II
seno
III
tangente
IV
coseno
b) Reducción de un ángulo al 1º cuadrante:
Si
β ∈ 2º Cuad. : π − β
γ ∈ 3º Cuad : γ − π
δ ∈ 4º Cuad : 2.π - δ
Hay autores que a la forma trigonométrica la llaman también forma polar, otros en cambio
a la escritura z = ρθ = ( ρ ; θ ) la denominan expresión polar.
Ejercicio 1 Hallar la expresión trigonométrica de z = -3+5.i
z = ρ = (−3) 2 + 52 = 9 + 25 = 34
θ = arc tg
5
= 120 º 57 ' 49 ' ' ≅ 2,111 rad
−3
Luego, z =
34 .(cos 2,111 rad + i.sen 2,111 rad )
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13
Números Complejos
Ejercicio 2 Hallar la expresión binómica de z = 3. (cos 3
π
π
+ i sen 3 )
4
4
El argumento representa a un ángulo de 135º con lo cual z ∈ 2º Cuad., luego el coseno
π
resulta negativo y el seno positivo, siendo el ángulo equivalente en el 1º Cuad.
, luego se
4
puede escribir:
π
π
π
π
2
2
2
2
+ i.
) = −3
+ i.3
z = 3. (cos 3 + i sen 3 )=3.(- cos + i. sen ) = 3.(4
4
4
4
2
2
2
2
Los resultados trigonométricos se podrían haber obtenido directamente empleando una
máquina de calcular.
Igualdad de complejos en forma trigonométrica
Sean los complejos z1 = ρ 1 .(cosθ 1 + i.senθ 1 ) y z2 = ρ 2 .(cosθ 2 + i.senθ 2 ) resulta:
z1= z2 ⇔ ρ 1 = ρ 2 ∧ θ 1 = θ 2
OPERACIONES EN FORMA TRIGONOMÉTRICA
1) Multiplicación: el producto de dos complejos en forma trigonométrica es igual a otro
complejo en forma trigonométrica cuyo módulo es igual al producto de los módulos y su
argumento es igual a la suma de los argumentos de los complejos dados.
.
= ρ .(cosθ
.
z2
2
.
.
2
.
T) z1 z2 = ρ1.ρ 2 [cos (θ1 + θ 2 ) + i.sen (θ1 + θ 2 )
H) z1 = ρ1 (cosθ1 + i.senθ1 )
+ i.senθ 2 )
]
.
D) z1 z2 = ρ1 (cosθ1 + i.senθ1 ) . ρ 2 (cosθ 2 + i.senθ 2 ) =
= ρ1.ρ 2 (cosθ1.cosθ 2 + i. cosθ1.senθ 2 + i.senθ1.cosθ 2 − senθ1.senθ 2 )
= ρ1.ρ 2 (cosθ1.cosθ 2 − senθ1.senθ 2 + i.(cosθ1.senθ 2 + .senθ1.cosθ 2 ))
.
.
En el paréntesis, la parte real es el desarrollo del coseno de la suma de dos ángulos, es decir
cos ( θ 1 + θ 2 ) y la parte imaginaria es el desarrollo del seno de la suma de dos ángulos:
sen( θ 1 + θ 2 ). Reemplazando:
.
.
z1 z2 = ρ1.ρ 2 [cos (θ1 + θ 2 ) + i.sen (θ1 + θ 2 )
]
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14
Números Complejos
2) División: la división entre dos complejos en forma trigonométrica es igual a otro
complejo en forma trigonométrica cuyo módulo es igual al cociente de los módulos y su
argumento es igual a la diferencia de los argumentos de los complejos dados.
z
ρ
.
.[ cos(θ − θ ) + i.sen(θ
T)
=
z
ρ
z = ρ .(cosθ + i.senθ ) no nulo
ρ .(cosθ + i.senθ ) ρ .(cosθ + i.senθ ) (cosθ − i.senθ )
z
=
=
.
=
D)
z
ρ .(cosθ + i.senθ ) ρ .(cosθ + i.senθ ) (cosθ − i.senθ )
H) z1 = ρ 1 .. (cosθ 1 + i.senθ 1 )
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ρ1
ρ2
− θ2 ) ]
2
1
=
1
. ( cosθ .cosθ
1
2
− i.cosθ 1 .senθ 2 + i .senθ 1 .cosθ 2 − i 2 senθ 1 .senθ 2 )
cos 2θ + sen 2θ 2
En el denominador se aplicó la propiedad de producto de un complejo por su conjugado y
por la relación pitagórica trigonométrica resulta cos 2θ + sen 2θ 2 =1.
z1
ρ
= 1
z2
ρ2
. (cosθ .cosθ
1
2
− i. cosθ1.senθ 2 + i.senθ1.cosθ 2 + senθ1.senθ 2 )
ρ
z1
= 1 (cosθ1.cosθ 2 + senθ1.senθ 2 + i.(senθ1.cosθ 2 − . cosθ1.senθ 2 ))
z2
ρ2
En el paréntesis, la parte real es el desarrollo del coseno de la diferencia de dos ángulos, es
decir cos ( θ 1 − θ 2 ) y la parte imaginaria es el desarrollo del seno de la diferencia de dos
ángulos: sen( θ 1 − θ 2 ). Reemplazando:
.
z1
ρ
= 1 [cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 )
z2
ρ2
.
]
3) Potenciación . Fórmula de De Moivre.
.
n
ρ (cosθ + i.senθ ) si n∈ N, resulta: z
Dado z =
n
n
.
n
= [ ρ (cos θ + i.sen θ ) ]
pero
z = z.z....z
, es decir, calcular z es lo mismo que multiplicar a z por sí mismo n veces,
n veces
luego de acuerdo a la multiplicación de complejos en forma trigonométrica, se debe
multiplicar su módulo n veces y sumar n veces su argumento:
n
.
n
.
z = [ ρ (cosθ + i.senθ ) ] = ρ .ρ ....ρ [cos (θ + θ + ... + θ ) + i.sen (θ + θ + ... + θ ) ] ⇒
n
.
z = ρ n (cos n.θ + i.sen n.θ )
Fórmula de De Moivre
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15
Números Complejos
Se analiza que sucede cuando la potencia es nula o entera negativa.
•
Si n = 0, reemplazando en la fórmula:
.
0
.
.
z = ρ 0 (cos 0.θ + i.sen 0.θ ) = 1 (cos 0 + i.sen 0) = 1 (1 + i.0) = 1 , solución que verifica el
primer miembro.
Si la potencia es un número entero negativo se puede escribir: n = - k con k natural,
reemplazando en la fórmula de De Moivre:
•
- k
−k
.
= ρ
[cos (−k.θ ) + i.sen (− k.θ ) ] por relaciones trigonométricas del ángulo opuesto
-k
−k
[cos (k.θ ) − i.sen (k.θ ) ]
queda z = ρ
z
.
Luego la fórmula de De Moivre puede aplicarse a cualquier potencia entera.
Ejercicio: Siendo z1=1+ i y z2 = -3, calcular z1 . z2
z18
y
.
z2
Se calcular primero las expresiones trigonométricas de cada complejo:
 z1 = ρ = 12 + 12 = 2

z1 = 1 + i ⇒ 
π
θ1 = arc tg 1 =

4

 z = ρ = (−3) 2 = 3
z 2 = −3 ⇒  2

θ2 = π
 

π
π 
π

π

z1.z 2 =  2 . cos + i.sen  [3.(cos π + i.sen π)] = 3. 2  cos  + π  + i. sen  + π  =
4
4 
4

4

 


π
π
π
π
2
2


= 3. 2  cos 5. + i. sen 5.  = 3. 2 − cos − i. sen  = 3. 2 −
− i. sen
=
4
4
4
4
2 


 2
( 2 )2
( 2 )2
= −3.
− i.3.
= −3 − 3.i
2
2
.
8
π
π

2 (cos + i.sen 
8

z1 
4
4
=
=
z2
3.(cos π + i.sen π)
=
8
π
π
2 (cos 8. + i.sen 8. )
4
4
4 = 2 (cos 2.π + i.sen 2.π. =
3.(cos π + i.sen π)
3.(cos π + i.sen π)
16
16
16
.[cos (2π − π) + i.sen (2.π − π)] = .(cos π + i.sen π) = −
3
3
3
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16
Números Complejos
.
4) Radicación: Sea z = ρ (cos θ + i.sen θ ) ≠ 0 se quiere calcular
.
n
z = w = r (cos δ + i. sen δ ) (I )
n
z = w ⇒ z = w n reemplazando queda : ρ (cos θ + i.sen θ ) = [ r (cos δ + i. sen δ ) ]
.
.
n
aplicando en el segundo miembro De Moivre:
.
.
ρ (cosθ + i.senθ ) = r n (cos n.δ + i. sen n.δ ) . Por igualdad de complejos en forma
trigonométrica se tiene que:
ρ = rn ⇒ r = n ρ
θ + 2.k.π
θ + 2kπ . = n.δ ⇒ δ =
reemplazando r y δ en ( I )
n
n
.
z = n ρ (cos
θ + 2.k.π
+ i. sen
n
θ + 2.k.π
n
) con k = 0;1;2;...; (n-1)
El número de soluciones complejas de n z es “n”, por este motivo al argumento principal
se le suman giros completos, los cuales están limitados por los valores que toma la variable
“k” que es la que representa el número de giros completos. Si “k” toma valores superiores
a (n-1), los argumentos que se van obteniendo resultan coincidentes con los hallados para
valores inferiores o iguales a (n-1).
En efecto:
θ + 2.k.π
se reemplaza “k” por 0;1;2;.... y se comparan con los obtenidos
En la expresión
n
de reemplazar “k” por n; n+1; n+2;......
•
k=0 ⇒
•
k = 1⇒
θ + 2.0.π
θ
=
se compara con el argumento obtenido para:
n
θ + 2.n.π θ 2.n.π θ
θ
= +
= + 2.π =
k=n ⇒
n
n
n
n
n
n
θ + 2.1.π
n
=
θ + 2.π
n
=
θ
n
+
2.π
n
se compara con el argumento obtenido
para:
k = n+1 ⇒
θ + 2.(n + 1).π
n
=
θ + 2.n.π + 2.π
n
=
θ
n
+
2.n.π 2.π θ
2.π θ 2.π
+
= + 2.π +
= +
n
n
n
n
n
n
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17
Números Complejos
•
k=2 ⇒
θ + 2.2.π
n
obtenido para:
k = n+2 ⇒
θ + 2.(n + 2).π
n
=
=
θ + 4.π
=
n
θ
n
+
4.π
n
θ + 2.n.π + 4.π
n
=
se compara con el argumento
θ
n
+
2.n.π 4.π θ
4.π θ 4.π
+
= + 2.π +
= +
n
n
n
n
n
n
En cada una de las comparaciones anteriores se observa la repetición del valor del
argumento.
Por otro lado se pueden hallar los argumentos para k = 1; 2; ...; (n-1) en función del
obtenido para k = 0 pues a partir del primer argumento obtenido para k = 0 los demás
argumentos forman una progresión aritmética de razón 2. nπ . En efecto:
• Si al argumento hallado para k = 0 se le suma 2. nπ , se obtiene el calculado para
k =1.
•
Si al argumento hallado para k = 1 se le suma 2. nπ , se obtiene el calculado para
k =2
Las soluciones de la raíz n-sima de un complejo representan gráficamente los vértices de
un polígono regular inscripto en una circunferencia que tiene el centro en el origen de
coordenadas y su radio es r = n ρ .
Cuando se quiere calcular las raíces n-simas de un complejo real puro, se encierra al
número con doble paréntesis para diferenciar el comportamiento complejo del real.
Si z ∈CR ⇒ se escribe n ((z))
3
Ejercicio : Hallar todas las soluciones de la ecuación : x + 27= 0.
3
x + 27= 0 ⇒ x = 3 ((−27)) de esta forma –27 no es considerado como un número real sino
como un complejo. Luego z = -27 ⇒ z = 27 y θ = π , reemplazando en la fórmula de
radicación:
3
.
((-27)) = 3 27 (cos
π + 2.k.π
3
+ i.sen
π + 2.k.π
3
) con k = 0;1;2.
A cada una de las soluciones de la raíz se la designa con wk.
π
π
1
3
π + 2.0.π
π + 2.0.π
) = 3 (cos + i.sen ) = 3 ( +
k= 0 ⇒ W0 = 3 (cos
+ i.sen
.i )
3
3
2 2
3
3
3 3. 3
.i
⇒ w0 = +
2
2
.
.
.
k =1 ⇒
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18
Números Complejos
.
w1 = 3 (cos
π + 2.1.π
⇒ w1 = -3
3
+ i.sen
π + 2.1.π
3
) = 3 (cos
.
3π
3π
+ i sen ) = 3 (cos π + i.sen π)
3
3
.
.
5π
5π
π
π
+ i sen ) = 3 (cos − i.sen )
3
3
3
3
.
k =2 ⇒
.
w2 = 3 (cos
⇒ w2 =
π + 2.2.π
3
+ i.sen
π + 2.2.π
3
) = 3 (cos
3 3. 3
−
.i
2
2
Gráficamente:
En este caso queda determinado un triángulo equilátero inscripto en un circunferencia de
centro en el origen de coordenadas y radio 3.
_________________________________________________________________________
FORMA EXPONENCIAL
x
En los cursos de Análisis se demuestra que la función f(x) = e con x real, se puede
expresar mediante el siguiente desarrollo en series:
x 2 x3
xn
x
e = 1+ x +
+
+ ... +
+...
2! 3!
n!
Asimismo, la función f(x) = ex , conserva las propiedades básicas de los números reales, es
decir:
0
a) e = 1
x y
x+y
b) e . e = e
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19
Números Complejos
Para preservar estas propiedades reales, se define la forma exponencial compleja de la
siguiente manera:
x.i
e = cos x + i .sen x
Fórmula de Euler
Se emplea la fórmula de Euler para demostrar las propiedades reales enunciadas:
0i
e . = cos 0 + i.sen 0 = 1
x.i
y.i
e . e = (cos x+ i. sen x).( cos y+ i. sen y) = cos (x+y) + i sen (x+y) por producto de
complejos en forma trigonométrica.
x + y).i
= e(
.
En consecuencia, z = ρ (cos θ + i.sen θ ) = ρ . e θ .i ⇒
z = ρ . e θ .i
Forma exponencial del complejo z
Igualdad de complejos en forma exponencial
Dados los complejos z = ρ . e θ .i y w = r. e δ .i ⇒ z = w ⇔ ρ = r ∧ θ = δ
Ejemplo:
El complejo z = 3-3.i tiene módulo ρ =
18 = 3. 2 siendo su argumento θ = 7
π
, por lo
4
7. π .i
tanto, la forma exponencial de z = 3-3.i es z = 3. 2 e 4 .
.
OPERACIONES EN FORMA EXPONENCIAL:
.
.
Dados los complejos z = ρ (cosθ + i.sen θ ) = ρ .e θ .i y w = r (cos δ + i.sen δ ) = r. e δ .i
1) Producto: z.w = ρ .e θ .i . r. e δ .i = ρ .r e(θ +δ ).i
2) Cociente:
.
.
.
ρ eθ .i ρ (θ - δ ).i
z
con w no nulo.
=
=
e
r
w r eδ .i
.
. n.θ .i
3) Potencia: z = ( ρ .e θ .i ) = ρ n e
n
n
Si z no es nulo, la fórmula de potenciación sirve para los enteros negativos.
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20
Números Complejos
LOGARITMACIÓN EN C
.
Dado el complejo no nulo z = ρ (cosθ + i.sen θ ) = ρ .e θ .i , se quiere calcular el logaritmo
de z.
De acuerdo a la definición de logaritmo en reales se tiene:
w
( I ) Ln z = w ⇔ z = e
( II ), donde w es un complejo de la forma w = x + y.i .
Reemplazando z y w en ( II ):
ρ .e
θ .i = e( x +y.i) ⇒ ρ .e θ .i = ex. ey.i por igualdad de complejos en forma exponencial:
ex = ρ ; y = θ
 ρ = e x ⇒ ln ρ = ln e x ⇒ ln ρ = x.ln e ⇒ ln ρ = x (III)

y = θ + 2.k.π con k ∈ Z (IV)

Reemplazando (III) y (IV) en (I) teniendo en cuenta que w = x+y.i:
Ln z = ln ρ + (θ + 2.k.π).i
Con k entero.
De la fórmula del ln z se deduce que son infinitas las soluciones, siendo éstas pares
ordenados de la forma (ln ρ ; θ +2.k. π ), tal que la parte real es constante y la imaginaria
difiere en 2. π .
Gráficamente, las soluciones están alineadas respecto de la recta vertical x = ln ρ , en
efecto:
θ +2.2 π
w2 solución para k = 2
θ +2 π
w1 solución para k = 1
θ
θ -2. π
w0 solución en el primer giro
w-1 solución para k= -1
Cuando k = 0 se obtiene el valor principal de ln z, anotándose: V.P.ln z = ln ρ + θ .i
Ejemplo:
Hallar el ln (-2 + 2. 3 .i) y el valor principal.
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21
Números Complejos
z = -2 + 2. 3 .i ⇒ ρ = 4 + 4.3 = 16 = 4
θ = arc tg (- 3 )= 2.
π
3
 π

Luego ln z= ln 4 +  2. + 2.k.π .i
 3

π
siendo V.P. ln z = ln 4 + 2. .i
3
EXPONENCIAL COMPLEJA GENERAL
Dados los complejos z1 y z2 , tal que z1 no sea el complejo nulo; se desea calcular el
z
complejo z = z1 2 . Los valores de z se obtienen mediante la siguiente definición:
z
z = z1 2 = e
z 2 . ln z1
Ejemplo: Calcular el valor principal de z = (-2+2.i)
3.i
3.i
3.i. ln (-2+2.i)
De acuerdo a la definición : z = (-2+2.i) = e
(I)
Se calcula el V.p. ln (-2+2.i):
ln ρ = ln 4 + 4 = 2. 2
θ = arc tg − 1 = 3.
π
pues –2+2.i pertenece al 2º Cuad.
4
⇒ V.p. ln (-2+2.i):= ln 2 2 +i.
3.i
3.i. ln (-2+2.i)
z = (-2+2.i) = e
⇒ z= e
- 9. π +3. ln 2.
4
3.
π
4
. Reemplazando en ( I ):
3.i.[ ln 2. 2 + i.3.
=e
π
4
] = e3.i. ln 2.
2 - 9.
π
4
2 .i.
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