estudio probabilista de la torsión accidental en edificios

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.
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ESTUDIO PROBABILISTA DE LA TORSIÓN ACCIDENTAL EN EDIFICIOS
Cristina Almeida Perales1, Jaime De la Colina Martínez
2
RESUMEN
Se presentan los resultados de un estudio de tipo probabilista sobre la torsión accidental en modelos de
edificios de varios pisos utilizando el método de Monte Carlo. Se consideran simultáneamente las
incertidumbres de la posición del centro de masa de las losas de entrepiso y de las rigideces de los elementos
resistentes a carga lateral. Se estudian dos valores del factor de excentricidad accidental (β) utilizado en el
diseño. Se comparan, de un entrepiso a otro, los incrementos de las demandas de ductilidad de algunos
elementos resistentes. Adicionalmente, se hace una prueba de bondad de ajuste para determinar distribuciones
de probabilidad que representen el comportamiento de las demandas de los elementos resistentes. Resultados
indican que las distribuciones de probabilidad ajustadas a la población de demandas de ductilidad son de tipo
Erlang, Lognormal y Weibull. De la comparación de las demandas, se observa que éstas son mayores en los
elementos resistentes del primer entrepiso, mientras que para el entrepiso intermedio son menores. Las
demandas en el entrepiso superior son ligeramente menores que las del primer entrepiso.
SUMMARY
A Monte Carlo probabilistic study on the accidental torsion in low-rise building models is presented. Both the
uncertainty of the center-of-mass locations as well as the uncertainty of stiffness for lateral resisting elements
are considered simultaneously. Two values of the accidental eccentricity factor β are studied. Ductility
demand increments of lateral resisting elements are compared among building stories. A goodness-of-fit test
is carried out to determine probability distributions that represent the ductility demands computed of lateral
resisting elements. For the sample of ductility demands, results show that the best fitted probability
distributions are: Erlang, Lognormal, and Weibull. Results also indicate that among building stories, ductility
demands for the first story are the largest while at intermediate stories are the smallest. Demands for upper
stories are slightly smaller than those of lower stories.
INTRODUCCIÓN
Uno de los principales modos de comportamiento que afecta la respuesta de un edificio ante un sismo es su
torsión alrededor de un eje vertical, la cual se debe principalmente a un desbalance en la distribución en planta
de sus elementos resistentes y/o de sus masas. Aun cuando se sabe que este fenómeno también es ocasionado
por componentes rotacionales del terreno, en este trabajo no se incluye este efecto ya que normalmente las
dimensiones en planta de los edificios son moderadas (Newmark y Rosenblueth, 1971).
Dentro del diseño estructural por sismo, parte de los efectos de torsión se consideran a través de
excentricidades accidentales de diseño que pretenden cubrir las posibles variaciones en las posiciones del
centro de masa (CM), del centro de rigidez (CR) y del centro de resistencia, respecto a las teóricas o
nominales.
El hecho de no conocer con certeza las posiciones que ocuparán el CM y el CR en un edificio en el momento
del sismo, ha motivado a realizar algunos trabajos de investigación sobre torsión sísmica en modelos de varios
1
Estudiante graduada de la Maestría en Ingeniería de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma
del Estado de México (UAEM); [email protected]
2
Profesor, Facultad de Ingeniería - UAEM. Cerro de Coatepec s/n, Toluca, Estado de México. Teléfono (722)
214-0855; Fax (722) 215-4512; [email protected]
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entrepisos no lineales que consideren como variables inciertas a las propiedades de rigidez de los elementos
resistentes y a la ubicación del CM de las losas de entrepiso. En esta sección se comenta un panorama general
de la situación que guarda el estudio de la torsión accidental a través de un análisis breve de varios estudios.
En estudio reciente efectuado por Villa et al., (2001), se analizan los efectos de la incertidumbre y la
correlación entre la rigidez lateral de ejes de resistencia sobre la respuesta torsional en sistemas nominalmente
simétricos. Se utilizó un modelo estructural simple de un nivel, lineal. Se consideraron tres registros del sismo
del 19 de septiembre de 1985 en las estaciones CU (Ciudad Universitaria), VIV (Viveros) y SCT (Secretaria
de Comunicaciones y Transportes), considerándose la componente este-oeste para todos ellos. La evaluación
del efecto de incertidumbre en la respuesta también se llevó a cabo mediante simulaciones de Monte Carlo.
Entre los resultados se concluyó que el coeficiente de variación de la rigidez lateral ejerce importante
influencia en la respuesta torsional; como era de esperarse.
Hong, Escobar y Gómez (1998) realizaron un estudio considerando un modelo estructural similar al anterior
pero con ciertas variantes. En dicho estudio el modelo se asumió nominalmente asimétrico resultado de la
distribución no uniforme en planta de las rigideces de sus elementos estructurales. El periodo de vibración con
que se analizó el modelo fue de 1 s. Los resultados indicaron que la respuesta de la estructura es más sensible
a la variación del valor de Q en comparación con la relación de aspecto y excentricidad.
Escobar (1996) consideró la incertidumbre de la posición del CM y de los valores de la resistencia y rigidez
de los elementos resistentes. Empleó un modelo estructural simple constituido por tres elementos resistentes
paralelos a la dirección principal del sismo. Consideró un modelo de comportamiento elasto-plástico para el
análisis de los elementos estructurales, una sola componente del registro sísmico y recurrió al método de
Monte Carlo para evaluar el efecto de incertidumbre de las variables en la respuesta. Sus resultados mostraron
que al utilizarse cierta combinación de valores de Q (factor de comportamiento sísmico) y T (periodo
fundamental de vibración de la estructura) la posición del CM ejerce mayor influencia en la torsión, mientras
que para otras combinaciones de Q y T la incertidumbre de la resistencia incrementa la respuesta. La
incertidumbre de la rigidez de los elementos resistentes no mostró mayor incremento en la respuesta para
ninguna combinación de Q y T.
De la Llera y Chopra (1994) investigaron también la torsión accidental, aunque sólo consideraron la
incertidumbre de la rigidez en los elementos resistentes del modelo del edificio. Para el desarrollo de su
estudio asumieron modelos simples de un piso con cuatro diferentes grupos de elementos estructurales;
distintas relaciones de aspecto de la planta del modelo del edificio (b/a); un cociente de amortiguamiento ξ =
5% y un modelo de comportamiento elástico para el análisis de los elementos resistentes. De igual manera
usaron el método de Monte Carlo y sus resultados mostraron algunas tendencias de cuándo la respuesta del
sistema se incrementa debido a las incertidumbres de la posición del CR. Por ejemplo, sus resultados indican
que la respuesta es mayor cuando se aumenta la relación de aspecto de la planta, o bien, cuando se reduce el
número de elementos resistentes a carga lateral.
Como se observa, la mayor parte de los estudios anteriores se limitan a modelos de edificios de un sólo nivel,
considerando comportamiento elástico-lineal. Es clara entonces, la necesidad de profundizar en el tema, ya
que el comportamiento que presenta un edificio de un sólo nivel ante un sismo intenso no representa
objetivamente el comportamiento de un edificio de varios pisos, más aún al incursionar en el intervalo
inelástico.
El presente es un trabajo analítico de tipo probabilista para el estudio de la torsión accidental, utilizando el
método de Monte Carlo. A diferencia de la mayor parte de los trabajos ya descritos aquí, este estudio
considera un modelo de edificio de cinco niveles, constituido por seis elementos resistentes a carga lateral
(tres en cada dirección). Se examina la variabilidad simultánea de las incertidumbres de la posición de los
centros de masa de las losas de entrepiso y de las propiedades de rigidez de los elementos resistentes. Se
utiliza un modelo bilineal para el análisis de los elementos estructurales, un cociente de amortiguamiento de
5%, dos componentes del registro sísmico utilizado, dos factores de reducción de cargas laterales (R), dos
factores de excentricidad accidental (β) y tres excentricidades de entrepiso diferentes (ep).
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Se examina el incremento de las demandas de ductilidad de los elementos resistentes de un entrepiso a otro y
se explora el efecto del valor del factor β . Por último, se hace una prueba de bondad de ajuste a las demandas
de ductilidad de los elementos para determinar distribuciones de probabilidad.
DESCRIPCIÓN GENERAL DEL ESTUDIO
En este apartado se especifican las características principales del modelo estructural utilizado en este trabajo,
se incluye su geometría, sus distribuciones de masa y de elementos resistentes. Se describen también las
incertidumbres consideradas en las simulaciones del modelo estructural para efectuar el análisis probabilista;
el procedimiento de diseño de los elementos resistentes del sistema; el registro sísmico al que se sometieron
los modelos en cada una de las simulaciones y, finalmente, los métodos empleados en el cálculo de la
respuesta estructural y en la prueba de bondad de ajuste.
MODELO ESTRUCTURAL
El modelo de cortante que se propone permite estudiar de manera relativamente simple el efecto de la
excentricidad accidental en la respuesta estructural de un edificio de poca altura. El modelo seleccionado
consta de cinco niveles con una misma distribución de sus elementos estructurales en cada entrepiso (Figura
1). El sistema está conformado por 6 elementos resistentes a carga lateral que poseen comportamiento bilineal
y se encuentran unidos a las losas rectangulares que se suponen rígidas en su plano. El empleo de 3 elementos
en cada dirección supone un comportamiento más realista que la disposición de elementos empleados en
estudios similares que consideran solamente 2 elementos resistentes y/o elementos orientados en una sola
dirección (Hong et al., 1998).
El modelo de edificio presentado en la Figura 1 tiene dimensiones en planta iguales a a = 5 m y b = 10 m,
resultando una relación de aspecto de la planta de la estructura (largo/ancho) b/a = 2. La elección de esta
relación de aspecto se apoyó en el hecho de que la mayoría de las construcciones no tienen planta cuadrada,
por tal razón no se utilizó a = b.
Se consideró un periodo fundamental de vibración desaclopado T = TX = TY = 0.5 s. Así también, el cociente
de amortiguamiento viscoso del tipo Rayleigh se asumió de ξ = 5% en ambas direcciones X e Y. Este
porcentaje de amortiguamiento se asignó a las frecuencias ωi = π rad/s y ωj = 60π rad/s. Dentro de este
intervalo de frecuencias están las primeras formas modales que contribuyen significativamente a la respuesta
de la estructura, las cuales presentan cocientes de amortiguamiento menores al 5%. El periodo fundamental T
también se estimó con ayuda del cociente de Rayleigh resultando igual a 0.5 s.
Se adopta el valor de la masa uniforme por unidad de área de las losas de cada nivel del sistema de 1.2 x 10-7
t⋅ s2 /cm3, coincidiendo de esta manera la posición del CM con el centro geométrico de la losa. La rigidez
inicial para cada uno de los elementos resistentes a carga lateral de cada entrepiso se hizo igual a 40.0 t/cm. El
valor de las rigideces se seleccionó para que el periodo fundamental del sistema resultara aproximadamente
igual a 0.5 s. La relación de frecuencias desacopladas Ωθ (torsional / lateral) del sistema resultó de 1.41.
Debido a las condiciones de rigidez de los elementos resistentes, el valor de Ωθ corresponde a cualquier
entrepiso del modelo estructural de referencia.
Para llevar a cabo el estudio probabilista propuesto se efectuaron 6000 de simulaciones del modelo estructural
con base en el método de Monte Carlo. Estas simulaciones consideran de manera simultánea las
incertidumbres en la posición del CM y la rigidez de los elementos resistentes, tal como se ilustra
esquemáticamente en la Figura 2. Estos cambios en la rigidez y en la posición del CM en las simulaciones
obedecen a distribuciones de probabilidad usadas en el método de Monte Carlo.
En este trabajo, las variaciones simultáneas de CM y rigidez de elementos resistentes no consideran
correlación alguna y las distribuciones de probabilidad utilizadas para llevar a cabo dichos cambios se
asumieron del tipo triangular y normal, respectivamente. Para la distribución de probabilidad normal se
consideró un coeficiente de variación cv = 0.11, correspondiente a un promedio de los coeficientes de
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variación de estructuras de concreto reforzado (cv = 0.14) (Ramsay et al., 1979) y de acero (cv = 0.08) (De la
Llera y Chopra, 1994). Además, como tampoco se está considerando correlación en los valores de rigidez de
los elementos, con este valor (cv = 0.11) se trata de incluir de manera simple la posible relación entre ellos, lo
cual hace que disminuya la variabilidad de la posición de CR. Dichas distribuciones de probabilidad se
muestran en la Figura 3. Para la creación de las simulaciones se utilizaron los valores medios de las rigideces
de los elementos resistentes y de las posiciones de los centros de masa.
Cabe mencionar que en este estudio probabilista no se incluyó la variabilidad de la resistencia ya que
generalmente sus variaciones se deben a incrementos del valor de la fuerza de fluencia del acero (Fy) y/o de la
resistencia a la compresión del concreto (f’c) en los elementos resistentes. Debido a lo anterior, y
considerando que estas características se dan de manera relativamente uniformes en los elementos del sistema
en estudio, su impacto en excentricidades es menor que el ocasionado por las incertidumbres de la posición
del CM y de los valores de rigidez de los elementos resistentes. Un estudio mas completo, sin embargo,
debiera incluir la variabilidad de la posición de centros de masa así como de rigidez y resistencia de los
elementos resistentes.
Los elementos resistentes se supusieron con un comportamiento bilineal con rigidez posterior a la fluencia
del 10% de la inicial. Este modelo histerético se eligió por simplicidad y porque arroja resultados similares a
los que se obtendrían con modelos que consideran degradación de rigidez (Riddell y Newmark, 1979). Para
completar la definición de los modelos histeréticos para cada elemento resistente es necesario precisar el valor
de Fy. Estos valores de Fy para cada caso se obtuvieron como se explica en la siguiente sección.
DISEÑO DE LOS ELEMENTOS RESISTENTES
Con ayuda del método estático del UBC (Uniform, 1997) se determinaron los valores de las fuerzas de
fluencia Fy que marcan el fin del comportamiento elástico-lineal de cada uno de los elementos resistentes. El
cálculo de las fuerzas sísmicas y del momento torsionante requeridos para el dimensionamiento de los
elementos resistentes se realizó considerando los siguientes parámetros: dos factores de reducción de fuerzas
laterales: R = 4 y R = 2 así como tres diferentes excentricidades de entrepiso: ep = e/b = 0.0, ep = 0.05 y ep =
0.20. Estas excentricidades se obtuvieron desplazando hacia la derecha el valor medio de la posición del
centro de masa (CM) en dirección X. Para el cálculo de las excentricidades de diseño ed (ver ecuaciones 1 y 2)
se adoptaron los siguientes valores: α = 1.5, correspondiente al caso en que se amplifica la excentricidad
natural calculada; δ = 0.5, relacionado con el valor que permite la reducción parcial (50%) de fuerzas en
elementos favorecidos por la torsión, y dos distintos factores para estimar la excentricidad accidental: β =
0.05 y β = 0.10. Los valores de β expresan respectivamente el 5% y 10% de la máxima dimensión en planta
del edificio. Dichos valores se utilizaron en las siguientes expresiones ya conocidas para el diseño
simplificado por sismo, donde ea es la excentricidad accidental (De la Llera y Chopra, 1994):
ed 1 = αes + βb = αes + ea
(1)
ed 2 = δe s − βb = δes − ea
(2)
Por simplicidad, para este estudio sólo se consideró a ea en dirección X. Para determinar los valores de las Fy
en los elementos resistentes se procedió como sigue: primeramente con el valor del periodo de la estructura T
y con el espectro de diseño correspondiente a un amortiguamiento viscoso del 5%, se determinaron los
cortantes basales V en las direcciones X e Y, con la siguiente expresión incorporada del método estático del
reglamento UBC (Uniform, 1997):
V =
C
W
R
(3)
donde:
C = coeficiente sísmico, el cual se consideró igual a 2.12g
R = factor de reducción de fuerzas laterales y
W = peso de la estructura.
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Se aplicaron dos sistemas de fuerzas laterales en el diseño: una en dirección Y y otra en dirección X. Para la
dirección Y, el espectro de diseño utilizado del tipo Newmark-Hall (Newmark y Hall,1982) fue definido con
una aceleración máxima del terreno (PGA) de 1g mientras que en dirección X de 0.6g. Este último valor
resultó de escalar en la misma proporción las aceleraciones máximas del registro que se usó posteriormente en
el análisis.
Los cortantes basales se distribuyeron sobre toda la altura de la estructura con una distribución triangular de
fuerzas laterales actuantes en cada nivel. Estas fuerzas llevaron a los cortantes de entrepiso. Con el cálculo de
las excentricidades de entrepiso es (Tso, 1990) y las excentricidades de diseño ed con las Ecuaciones (1) y (2),
se procedió al cálculo de los momentos de torsión de cada entrepiso. Estos momentos de torsión de entrepiso
y los cortantes de entrepiso condujeron a distribuciones de fuerzas en los elementos resistentes que definen, a
partir de los valores mayores, las fuerzas de fluencia (Fy).
ANÁLISIS
El parámetro de respuesta utilizado para la interpretación de resultados fue la demanda de ductilidad (µ) de
los elementos resistentes 1, 3 y 4. Los elementos 1 y 3 son paralelos a la dirección Y y se ubican
respectivamente en el borde izquierdo y en el derecho de la losa. El elemento 4 es paralelo a la dirección X y
se sitúa a una distancia a/2 de dicho eje.
Para llevar a cabo el cálculo de la respuesta de los modelos del edificio se seleccionó la excitación
proveniente de las dos componentes horizontales del registro de El Centro (1940), el cual se eligió por ser
ampliamente conocido. Estas componentes se escalaron con un mismo factor, de tal forma que la componente
mayor aplicada en dirección Y alcanza una aceleración máxima de 1g mientras que en dirección X de 0.6g.
Esta escalación se hizo para que los registros resultaran congruentes con los espectros de diseño. El cálculo de
la respuesta se obtuvo con ayuda del método de Newmark de aceleración constante en combinación con el
método de Newton-Raphson modificado para lograr el equilibrio en cada instante de tiempo (Chopra, 2001).
Finalmente, para efectuar la prueba de bondad de ajuste a los resultados obtenidos de la respuesta se utilizó el
procedimiento de la prueba Chi-cuadrada (Law y Kelton, 2000).
ANÁLISIS DE RESULTADOS
En esta apartado se presentan y analizan los resultados obtenidos de las simulaciones. Se reporta el efecto de
dos factores de excentricidad accidental (β) utilizados en el diseño. Se reportan también, las distribuciones de
probabilidad ajustadas a las demandas de los elementos resistentes. Para la interpretación de los resultados se
elaboraron figuras y tablas, las cuales se analizaron en base a probabilidades de excedencia principalmente.
Asimismo, cabe señalar que estos resultados hacen referencia a las demandas de ductilidad de los elementos
1, 3 y 4 en los entrepisos 1, 3 y 5 de los sistemas.
EFECTO DEL FACTOR DE EXCENTRICIDAD ACCIDENTAL β
Es claro que a medida que se incrementa el valor del factor β, las fuerzas de fluencia de los elementos
resistentes también se incrementan y por consiguiente las demandas de ductilidad decrecen. Algunos
reglamentos de diseño recomiendan el uso de β = 0.05 (por ejemplo, el Uniform Building Code –UBC),
mientras que otros sugieren β = 0.10 (por ejemplo, el National Buiding Code of Canada y el Reglamento de
Construcciones del Distrito Federal). Con el fin de determinar el valor de β más apropiado a utilizar en las
Ecuaciones (1) y (2) se requiere primeramente medir el incremento que experimentan las fuerzas de fluencia
de los elementos resistentes así como la disminución de las demandas de ductilidad a medida que se
incrementa β. En este trabajo la comparación de los valores de β no incluye el análisis de costos derivado de
incrementar las fuerzas de fluencia en los elementos resistentes, ni tampoco la probabilidad de falla asociada a
este costo. Dichos análisis serían necesarios para determinar el valor óptimo de β. En este estudio sólo se
ofrecen los elementos básicos que permitirán llevar a cabo investigaciones tendientes a identificar dicho valor.
En teoría, y desde un punto de vista meramente estructural, el mejor valor de β es aquel que proporciona en
un sistema que experimenta variaciones en la posición del CM y en la rigidez de los elementos resistentes las
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mismas demandas de ductilidad que se obtendrían con un sistema diseñado con β = 0.0 que no considera
variaciones en la posición del CM ni en los valores de rigidez de los elementos. En este trabajo, para hacer
esta comparación de las demandas se llevó a cabo el análisis de un caso determinista con β = 0.0, llamado
“sistema de referencia”. Este estudio probabilista contempla dos grupos de simulaciones (ambos con
variabilidad en posición de CM y valores de rigidez en los elementos). El primero de ellos utilizó en el diseño
un valor de β = 0.05 y el segundo un valor de β = 0.10.
Después de calcular la respuesta de los sistemas, las demandas ductilidad de los elementos resistentes
obtenidas de ambos grupos de simulación se normalizaron respecto a las demandas obtenidas del sistema de
referencia (β = 0.0 con CM y CR fijos). Las demandas de ductilidad normalizadas se representan como u’.
Así, las u’ que sean menores o iguales a 1 indican el grado de protección que logra cierto valor de β para
cubrir las posibles variaciones de la posición del CM y de la rigidez de los elementos resistentes en los
sistemas.
Las probabilidades de excedencia de las demandas de ductilidad normalizadas u’ se resumen en las Tablas 1 y
2 para R = 4 y R = 2, respectivamente. Estas tablas se organizan de la siguiente manera, se tienen cinco
columnas principales, la primera de ellas corresponde al valor de β utilizado en el diseño de los elementos
resistentes; la segunda columna se refiere al número de entrepiso en orden decreciente; en la tercera están las
probabilidades de excedencia de los elementos 1, 3 y 4 correspondientes a las simulaciones efectuadas con ep
= 0.0, y de igual manera la cuarta y quinta columna presentan las probabilidades de excedencia de los mismos
elementos de las simulaciones realizadas con ep = 0.05 y ep = 0.20, respectivamente.
Se observa por ejemplo en la Tabla 1, elemento 1 del entrepiso 5 con ep = 0.0, el valor de Pµ’ > 1 = 0.43
cuando β = 0.05 y una Pµ’ > 1 = 0.34 cuando β = 0.10. Para este caso, la tasa de reducción de la probabilidad de
excedencia de las demandas es de 0.20 aproximadamente, al cambiar en el diseño de β = 0.05 a β = 0.10. De
igual manera, se presenta en la mayoría de los casos mostrados en las Tablas 1 y 2 donde las probabilidades se
reducen desde 0.10 hasta 0.20 al hacer el cambio de β = 0.05 a β = 0.10. Con lo anterior, se muestra que las
demandas de ductilidad calculadas para los sistemas que experimentan variación simultánea en la posición del
CM y de rigidez de los elementos resistentes diseñados con β = 0.05 y β = 0.10 pueden exceder a aquellas
demandas obtenidas del sistema de referencia (β = 0.0).
Tabla 1 Probabilidades de que µ’ > 1. Para R = 4
β
0.05
0.10
Entrepiso
5
3
1
5
3
1
Elem. 1
0.43
0.28
0.32
0.34
0.12
0.12
ep = 0.00
ep = 0.05
ep = 0.20
Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4
0.41
0.29
0.51
0.25
0.13
0.71
0.36
0.17
0.30
0.04
0.10
0.10
0.09
0.56
0.55
0.61
0.34
0.05
0.11
0.38
0.05
0.13
0.23
0.21
0.31
0.11
0.43
0.13
0.03
0.58
0.28
0.07
0.10
0.00
0.02
0.03
0.00
0.46
0.51
0.34
0.12
0.00
0.03
0.16
0.00
0.03
0.13
0.03
Tabla 2 Probabilidades de que µ’ > 1. Para R = 2
β
0.05
0.10
Entrepiso
5
3
1
5
3
1
Elem. 1
0.34
0.27
0.25
0.24
0.12
0.11
ep = 0.00
ep = 0.05
ep = 0.20
Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4
0.31
0.24
0.37
0.32
0.17
0.28
0.39
0.56
0.27
0.07
0.42
0.17
0.27
0.22
0.38
0.51
0.26
0.34
0.35
0.08
0.51
0.44
0.28
0.03
0.23
0.06
0.31
0.21
0.03
0.08
0.27
0.38
0.14
0.02
0.32
0.13
0.09
0.05
0.27
0.39
0.12
0.20
0.23
0.01
0.31
0.21
0.20
0.00
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Ahora bien, con el fin de distinguir los incrementos en las fuerzas fluencia en los elementos, se normalizaron
también las fuerzas de fluencia obtenidas con β = 0.05 y β = 0.10 con las obtenidas del sistema de referencia.
Estos resultados se resumen en las Tablas 3 y 4 para R = 4 y R = 2, respectivamente. Así por ejemplo, en la
Tabla 3 se observa que las fuerzas de fluencia obtenidas de los sistemas diseñados con β = 0.05 son mayores
entre 5% y 13% respecto a las fuerzas calculadas con β = 0.0. De las fuerzas de fluencia obtenidas con β =
0.10, éstas son mayores en comparación con las de β = 0.0 entre 11% y 25% (ver Tabla 4).
De los anteriores análisis se observa que al modificar en el diseño de β = 0.05 a β = 0.10 las fuerzas de
fluencia se incrementan entre 5% y 10% aproximadamente, lo cual impacta en una reducción de probabilidad
de entre 0.05 a 0.25 aproximadamente. Este análisis efectuado al incremento de las fuerzas de fluencia y a la
reducción de probabilidades de excedencia para los dos valores de β estudiados no permite recomendar cuál
de estos dos valores debe usarse en el diseño ya que para ello se debería conocer el costo de incrementar la
proporción calculada de las fuerzas de fluencia (que está en función del valor de β) en los elementos
resistentes aunado con la estimación del costo esperado de falla al considerar algún valor de β .
Tabla 3 Fuerzas de fluencia normalizadas
R
4
2
Entrepiso
5
3
1
5
3
1
ep = 0.00
ep = 0.05
ep = 0.20
Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4
1.12
1.12
1.10
1.12
1.10
1.08
1.13
1.06
1.05
1.12
1.12
1.10
1.12
1.10
1.08
1.13
1.07
1.05
1.12
1.12
1.10
1.13
1.10
1.08
1.12
1.06
1.05
1.12
1.12
1.10
1.12
1.10
1.08
1.13
1.06
1.05
1.12
1.12
1.10
1.13
1.10
1.08
1.13
1.06
1.05
1.11
1.12
1.10
1.13
1.10
1.08
1.13
1.06
1.05
Tabla 4 Fuerzas de fluencia normalizadas
R
4
2
Entrepiso
5
3
1
5
3
1
Fy β = 0.05 Fy β = 0.0
Fy β = 0.10 Fy β = 0.0
ep = 0.00
ep = 0.05
ep = 0.20
Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4
1.24
1.24
1.20
1.25
1.20
1.16
1.25
1.12
1.11
1.24
1.24
1.20
1.25
1.20
1.17
1.25
1.13
1.11
1.24
1.24
1.19
1.25
1.20
1.17
1.25
1.12
1.11
1.24
1.24
1.20
1.25
1.20
1.17
1.25
1.13
1.11
1.24
1.24
1.19
1.25
1.20
1.17
1.25
1.13
1.11
1.24
1.24
1.19
1.25
1.20
1.17
1.25
1.12
1.11
DEMANDAS DE DUCTILIDAD DE UN ENTREPISO A OTRO
En la Figura 4 se observa un aspecto importante referente al cambio de las demandas de ductilidad de un
entrepiso a otro. En esta figura se muestran las demandas de ductilidad de los modelos diseñados con R = 4 y
2 que utilizan ep = 0.0. El área de los polígonos presentada después de la línea punteada representan aquellas
demandas de ductilidad que son mayores al parámetro de referencia M, correspondiente al valor que asume R
en el diseño. De esta manera, se observa que las demandas de ductilidad son mayores para el primer entrepiso,
mientras que para el entrepiso intermedio éstas son menores que M en la mayoría de los casos. Para el
entrepiso superior las demandas de ductilidad también rebasan el valor de M pero no en el mismo orden como
en el primer entrepiso. Esta variación en las demandas de ductilidad ya ha sido previamente reportada
mediante estudios deterministas en edificios de varios pisos (Chopra, 2001).
En la Tabla 5 se reportan las probabilidades de excedencia, las cuales expresan la probabilidad de rebasar el
valor de referencia M = R . Por ejemplo, observar que la probabilidad de excedencia del elemento 1 del
primer entrepiso es de 0.61 para ep = 0.0 y R = 4; mientras que la Pµ > M de ese mismo elemento para el tercer
entrepiso disminuye a 0.0 y nuevamente, para el quinto entrepiso la Pµ > (M = 2) se incrementa a 0.12. Esta
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XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Puebla, Pue., México 2002
067
distribución con la altura del edificio en las demandas también se observa para los elementos 3 y 4 en la
mayoría de los casos y para ep = 0.05 y ep = 0.20. Así también para los resultados de R = 2.
R
Entrepiso
5
3
1
5
3
1
4
2
Tabla 5 Probabilidades de que µ > (M = R)
ep = 0.00
ep = 0.05
ep = 0.20
Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4 Elem. 1 Elem. 3 Elem. 4
0.12
0.11
0.47
0.02
0.05
0.13
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.45
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.61
0.63
1.00
0.35
0.51
1.00
0.02
0.00
0.98
0.26
0.22
0.83
0.06
0.16
0.19
0.00
0.04
0.01
0.00
0.00
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.82
0.82
0.95
0.27
0.98
0.51
0.00
0.71
0.03
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE
El estudio económico probabilista necesario para la selección del valor óptimo del factor de excentricidad
accidental β requiere el uso de funciones de distribución de probabilidad que representen el comportamiento
de las demandas de ductilidad de los elementos resistentes. Por esta razón, se efectuó la prueba de bondad de
ajuste Chi–cuadrada a las demandas de ductilidad de los elementos. Los resultados muestran que el
comportamiento de la mayoría de las demandas de ductilidad se ajustan a las distribuciones tipo Erlang,
Weibull y lognormal, las cuales tienen su origen en el valor cero y su cola derecha es más pesada que la cola
izquierda (ver Figura 5). Estas distribuciones se ajustaron para las demandas tanto de R = 4 y R = 2. Los
parámetros de las distribuciones para cada elemento resistente se pueden ver en Almeida (2002). En la Figura
4 se puede observar la tendencia que guardan los polígonos respecto a las distribuciones de probabilidad
ajustadas.
CONCLUSIONES
1.
Al modificar en el diseño estructural el factor de excentricidad accidental β de 0.05 a 0.10, las
fuerzas de fluencia de los elementos resistentes se incrementan entre 5% y 10% aproximadamente,
respecto al sistema de referencia diseñado con β = 0.0 y en el cual no se permiten cambios en la
posición de los centros de masa ni de los valores de rigidez de los elementos resistentes. Lo anterior
impacta en una reducción de probabilidades de excedencia (de las demandas de ductilidad) de 0.05 a
0.30, aproximadamente.
2.
Para edificios de poco altura, las mayores demandas de ductilidad se presentaron en los elementos
resistentes del primer entrepiso. Las menores demandas se observaron para los pisos intermedios.
Los pisos superiores mostraron valores intermedios.
3.
Las distribuciones de probabilidad ajustadas a la población de demandas de ductilidad de algunos
elementos resistentes fueron de tipo Erlang, Weibull y lognormal.
REFERENCIAS
Almeida, C. (2002). “Análisis probabilístico de la torsión accidental en edificios de varios pisos”. Tesis de
maestría. Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de México, México.
Chopra A. K. (2001). "Dynamics of structures - Theory and applications to earthquake engineering". 2nd ed.
Prentice-Hall.
De la Llera J. y Chopra A. (1994). ”Accidental and natural torsion in earthquake response of buildings”,
Report No. UCB/EERC-94/07, Earthquake Engineering Research Center, University of California at
Berkeley.
514
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.
067
Escobar J. A. (1996). “Seismic torsion in non-linear nominally symmetric structures due to random
properties” Eleventh World Conference on Earthquake Engineering. Paper No. 1403. Acapulco, Gro., Méx.
Hong H., Escobar J. A. y Gómez R. (1998). “Probabilistic assessment of the inelastic seismic response of
structural asymmetric models”. Proceedings of the Eleventh European Conference on Earthquake
Engineering. Balkema, Rotterdam.
Newmark N. M. y Rosenblueth E. (1971). “Fundamentals of earthquake engineering”. Prentice
Hall, Englewood Cliffs. N. J.
Law A. M. y Kelton W. D. (2000). “Simulation modeling and analysis”. 3th ed. Mc Graw Hill. USA.
Newmark N. M. y Hall W. J. (1982). “Earthquake spectra and design” Earthquake Engineering Research
Institute, Berkeley California.
Ramsay R., Mirza S. A. y MacGregor J. (1979) “Monte Carlo study of short time deflections of reinforced
concrete beams” ACI Journal, Vol. 76(8).
Riddell R. y Newmark N. (1979). “Statistical analyisis of the response of nonlinear systems subjected to
earthquakes” Report No. UILU-ENG 79-2016, Civil Engineering Studies, University of Illinois at UrbanaChampaign.
Tso W. (1990). “Static eccentricity concept for torsional moment estimations” Journal of Structural
Engineering, Vol. 116, No. 5.
Uniform Building Code (1997). International conference on building officials, Whittier, California.
Villa J., Heredia E. y Esteva L. (2001). “Torsión accidental en sistemas simétricos por efecto de
incertidumbre en la rigidez” XIII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Guadalajara, Jal., Méx.
515
XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Puebla, Pue., México 2002
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Nivel 5
b = 10
m
Nivel 4
6
Nivel 3
a=5
m
Nivel 2
5
CR
a/2
CM
X
1
2
4
3
Piso j
a/2
Y
Nivel 1
h = 2.7
mmm
Dirección principal del sismo
b
a)
Elevación
b)
Planta
Figura 1 Modelo de edificio en elevación y planta tipo de entrepisos
proyección del
centro de rigidez del
entrepiso inferior
centro
de masa
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
Nivel 2
Nivel 1
Figura 2 Grupo de simulación del modelo del edificio.
Variación simultánea de CM y CR. Caso ep = 0.0
516
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.
067
C
M
f(x)
f(x)
Figura 3 Distribuciones de probabilidad triangular y normal utilizadas en la variación simultánea de la
posición del CM y rigidez de los elementos resistentes
x
demanda de ductilidad
x
demanda de ductilidad
Función de densidad lognormal
( β)
f(x)
Función de densidad Erlang (α, β)
x
demanda de ductilidad
Función de densidad Weibull (α,β)
Figura 5 Distribuciones de probabilidad ajustadas
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067
ELEMENTO 1
ELEMENTO 4
0.08
E
N
T
R
E
P
I
S
O
0.06
0.04
0.02
0.00
5
E
N
T
R
E
P
I
S
O
ELEMENTO 3
F
R
E
C
U
E
N
C
I
A
0.08
0.06
0.04
0.02
3
0.00
E
N
T
R
E
P
I
S
O
0.08
1
0.00
0.06
0.04
0.02
0
2
4
6
8
10 0
2
4
6
8
10 0
2
4
6
8
10
8
10 0
2
4
6
8
10
R=4
0.08
E
N
T
R
E
P
I
S
O
0.06
0.04
0.02
0.00
5
E
N
T
R
E
P
I
S
O
3
E1
N
T
R
E
P
I
S
O
1
F
R
E
C
U
E
N
C
I
A
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0
2
4
6
8
Demanda de ductilidad
10 0
2
4
6
R=
Dema2
nda de ductilidad
Demanda de ductilidad
Figura 4 Polígonos de demanda de ductilidad de los modelos diseñados con ep=0.00
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