Funciones par e impar Si la función tiene algún tipo de simetría en

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Funciones par e impar
Si la función
tiene algún tipo de simetría en el intervalo
el cálculo de sus coeficientes de Fourier se
simplifica.
a) Si es una función par, es decir (
el intervalo
Entonces
positivo .
)
a) Si es una función impar, es decir (
en el intervalo
. Entonces
no negativo .
( ) para todo en
para todo entero
)
( ) para todo
para todo entero
Series de Fourier de Funciones pares e impares
En algunos casos la serie de Fourier de una función en el
intervalo
se reduce a una serie con términos sólo de
cosenos de la forma
∑
(
)
O bien a una serie únicamente de senos de la forma
∑
(
Tales casos aparecen cuando la función
)
es par o impar
Se dice que una función es par si ( )
( ).La grafica de una función par es simétrica con respecto al
eje vertical.
Ejemplo 1 La función ( )
es par ya que
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2
(
)
(
)
Ejemplo 2 La función ( )
(
)
( )
(
(
) es par, ya que
)
(
)
( )
Se dice que una función
es impar si
( )
( ). La grafica de una función impar es simétrica
respecto al origen.
Nótese que en particular (
)
Ejemplo 1 La función ( )
(
Ejemplo 2 La función
(
)
( ). Entonces ( )
es impar, ya que
)
( )
( )
(
.
(
) es impar, ya que
)
(
)
Ejemplo 3. Demostrar que si ( )
( ) y
Entonces ( )
para todo ( trivial)
( )
(
)
( ).
Ejemplo 4 Demostrar que cualquier función definida en un
intervalo simétricamente localizado puede expresarse como la
suma de una función par y una función impar.
La función ( ) puede escribirse como
( )
( )
( )
[ ( )
(
(
)
( )
)]
[ ( )
(
(
Denotemos por
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)
)]
3
(
[ ( )
(
)]
( )
[ ( )
(
)]
( ) es una función par y
Entonces
(
( )
[ (
)
)
[ (
)
)
( )]
( )]
( ) es impar, ya que
[ ( )
(
)]
[ ( )
(
)]
( )
( )
Las funciones pares e impares satisfacen las siguientes
propiedades de adición y multiplicación ( también se puede
pensar en composición )
1) La suma de dos funciones pares es una función par.
par +par= par
La suma de dos funciones impares es una función impar .
impar +impar=impar
Comentario:
par +impar=?
2) El producto de dos funciones pares es una función par .
par.par=par
3) El producto de dos funciones impares es una función par .
impar. impar=par
4) El producto de una función par por una función impar es una
función impar .
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4
impar.par=par.impar=impar
Las demostraciones son muy
directamente de la definición.
sencillas
y
se
deducen
Por ejemplo, sean
y
funciones impares y sea
( ) ( ) . Esta función resulta par, ya que
(
)
(
)
(
[
)
( )] [
( )]
( )
( )
( )
( )
Propiedades respecto a la integración
5) ∫
( )
6) ∫
( )
si
∫
es impar
( )
si
es par
En (5) y (6) , se supone que
[
]
es una función integrable en
Demostración de (6)
Basta observar que
∫
( )
∫
( )
∫ ( )
y
∫
( )
∫ (
)
∫ ( )
donde se hizo la sustitución
, para obtener la segunda
integral y se uso el hecho de que es par para obtener la tercera
integral. De modo similar se demuestra (5)
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5
Lema 2
Si
es una función integrable en [
]. Entonces
a) La serie de Fourier de una función par contiene únicamente
términos en cosenos.
b) La serie de Fourier de una función impar contiene
únicamente términos en senos
Conclusión
a) Si
en [
es par, la serie de Fourier de
( )
∑
] es
(
)
en donde
∫
( )
(
)
y
b) Si
en [
es impar, la serie de Fourier de
( )
∑
(
] es
)
en donde
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6
( )
∫
(
)
Ejemplo 6 Sea
( )
∑
(
)
(
)
( ) y ( ) son la parte par e impar de ( ). Entonces las
series de Fourier de ( ) y ( ) son respectivamente
Si
( )
∑
(
( )
)
∑
(
)
Ejercicio 1
Demostrar que el valor de la media cuadrática de ( ) es igual a
la suma de las medias cuadráticas de su parte par e impar es
decir
∫ [ ( )]
∫ [ ( )]
∫ [ ( )]
Ejercicio 2
( )
( )
( ) y
Sea
( ), donde
componente par e impar de ( ) Entonces
∫
( ) (
( ) son
la
)
∫
( ) (
)
∫
( ) (
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