Las siguientes funciones de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y

Las siguientes funciones de variable compleja f (z) = u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 1 + 4 x − 10 x y
v(x, y) = x + 4 y − 5 y 2
b) u(x, y) = −y − 2 x y − 12 y 2
v(x, y) = x + x2 + x y − y 2
c) u(x, y) = 4 y − 2 x y − 2 y 2
v(x, y) = −4 x + x2 − 16 y + 4 x y
d) u(x, y) = x − 5 y 2
v(x, y) = 1 + 6 x2 − 5 y + y 2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en sólo algunos puntos. Clasifı́quelas de acuerdo a las siguientes categorı́as:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parábola con eje vertical
5) Se cumplen en una parábola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cı́rculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Solución
a) Tenemos que
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y
=
4 − 10 y
=
−10 x
=
1
=
4 − 10 y
las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumple cuando:
ux = 4 − 10 y
uy = −10 x
= 4 − 10 y = vy → siempre
= − (1) = −vx
Es decir, cuando x = 1/10. Notemos que no hay restricción para la variable
y. Por tanto, la condición x = 1/10 correponde a una recta vertical en el
plano complejo. La opción que describe es la opción 1.
b) Tenemos que
−2 y
ux
=
uy
= −1 − 2 x − y
vx
=
vy
= x − 2y
1 + 2x + y
las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumple cuando:
ux = −2 y
uy = −1 − 2 x − y
= x − 2 y = vy
= − (1 + 2 x + y) = −vx → true
Notemos que no hay restricción para la variable y. Por tanto, la condición
x = 0 correponde a una recta vertical en el plano complejo. La opción que
describe es la opción 1.
c) Tenemos que
ux
= −2 y
uy
=
vx
= −4 + 2 x + 4 y
vy
= −16 + 4 x
4 − 2x − 4y
las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumple cuando:
ux = −2 y
uy = 4 − 2 x − 4 y
= −16 + 4 x = vy
= − (−4 + 2 x + 4 y) = −vx → true
Por tanto, se debe cumplir −2 y = −16 + 4 x la cual es una recta inclinada
en el plano complejo. La opción que describe es la opción 3.
d) Tenemos que
ux
=
1
uy
= −10 y
vx
=
vy
= −5 + 2 y
12 x
las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumple cuando:
ux = 1 = −5 + 2 y = vy
uy = −10 y = − (12 x) = −vx
Para que se cumpla la primera ecuación se requiere que y = 3. Con este valor sustituimos en la segunda ecuación y obtenemos x = 5/2. En
resumen, la ecuaciones de Cauchy-Riemann sólo se cumplen en el punto
(x = 5/2, y = 3). La opción que describe nuestro problema es la opción 7.