Sucesiones y series de funciones

Sucesiones y series de funciones
Cálculo 3 - 2016
por Ezequiel Maderna
Lı́mites puntuales
Dados un conjunto X y un espacio métrico M, estudiaremos la convergencia de sucesiones en
el conjunto de todas las funciones de X en M, al que denotaremos F (X, M). Una sucesión de
funciones será entonces una aplicación que asocia, a cada entero positivo n ∈ N, un elemento
de F (X, M). Como es habitual, designaremos (fn )n>0 a una tal sucesión.
Definición 1 (convergencia puntual). Decimos que fn converge puntualmente a f cuando,
para cada x ∈ X, se tiene que
lim fn (x) = f (x) .
n→∞
Es posible munir al espacio F (X, M) con una topologı́a de modo tal que para toda
sucesión (fn ) se cumpla que f = limn→∞ fn si y sólo si fn converge puntualmente a f . Una
base de esta topologı́a es la formada por las intersecciones finitas de los conjuntos de la forma
U(x, A) = {f ∈ F (X, M) | f (x) ∈ A}
donde x ∈ X y A ⊂ M es un abierto. De este modo, si f ∈ F (X, M) entonces una base de
entornos de f está conformada por los conjuntos
U(x1 , . . . , xk , ǫ) = {g ∈ F (X, M) | g(xi ) ∈ B(f (xi ), ǫ) para todo i = 1, . . . , k}
donde x1 , . . . , xk es un conjunto arbitrario de puntos de X y ǫ > 0.
Es posible demostrar que algunas propiedades de las funciones, que se expresan en
términos de un número finito de valores de la variable x ∈ M, son preservadas por pasaje al
lı́mite puntual (es decir, son propiedades cerradas para esta topologı́a). Por ejemplo, si X
es un conjunto ordenado, y fn : X → R es una sucesión de funciones monótonas entonces
1
la convergencia puntual fn a f implica que esta última también es monótona. Es decir, si
x < y y para todo n > 0 se cumple fn (x) ≤ fn (y), entonces tendremos
f (x) = lim fn (x) ≤ lim fn (y) = f (y) .
n→∞
n→∞
Del mismo modo, es fácil verificar que los lı́mites puntuales de funciones convexas son también
funciones convexas, o que los lı́mites puntuales de transformaciones lineales son lineales.
Sin embargo, en general no se preservan las propiedades que involucran infinitos puntos
del dominio, como la acotación, continuidad, integrabilidad, o diferenciabilidad. Veamos
algunos ejemplos.
Ejemplo 2. Sea fn : R → R la sucesión definida por
2
x
si | x | ≤ n
fn (x) =
2
n
si | x | > n
A pesar de que todas las funciones de la sucesión son funciones acotadas, el lı́mite puntual
dado por f (x) = x2 no lo es.
Ejemplo 3. Un ejemplo clásico es el de la sucesión de funciones continuas fn : [0, 1] → R
definidas por fn (x) = xn , que converge puntualmente a una función discontinua en x = 1.
b
Figura 1: Gráficas de las funciones fn (x) = xn y su lı́mite puntual.
Ejemplo 4. Sea Q = Q ∩ [0, 1]. Dado que Q es numerable, existe una función biyectiva
q : N → Q. Definimos entonces para cada n > 0 el conjunto finito
Qn = q({1, . . . , n})
y la función
fn (x) = 1Qn (x) =
2
1
0
si x ∈ Qn
si x ∈
/ Qn
Cada una de las funciones es integrable Riemann, puesto que es nula salvo en un conjunto
finito de puntos. Sin embargo, esta sucesión converge puntualmente a una función que no es
continnua en ningún punto, y por lo tanto tampoco es integrable1 .
Ejemplo 5. Para cada n > 0 definimos una función continua fn : [0, 1] → R tal que
fn (x) = 0 si x = 0 o si nx ≥ 1 y tal que
Z 1
fn (x)dx = 1 .
0
Es fácil ver que esta sucesión converge puntualmente a la función nula. A pesar de que
la función lı́mite es integrable, el valor de la integral difiere del lı́mite de la sucesión de
integrales. De hecho es posible construir la sucesión prescribiendo arbitrariamente los valores
de sus integrales.
Convergencia uniforme
Veremos ahora un tipo más exigente de convergencia, que nos permitirá pasar al lı́mite
algunas de las propiedades de las funciones que componen la sucesión.
Definición 6 (convergencia uniforme). Decimos que una sucesión de funciones fn : X → M
converge uniformemente a una función f : X → M si y sólo si, para todo ǫ > 0 existe n0 ∈ N
tal que, si n ≥ n0 entonces d(fn (x), f (x)) < ǫ para todo x ∈ X.
Es común utilizar la notación fn ⇒ f para significar que la sucesión de funciones (fn )
converge uniformemente a la función f .
Resulta claro que si una sucesión de funciones converge uniformemente, entonces también
converge puntualmente a la misma función lı́mite, puesto que para cada x ∈ X obviamente
debe cumplirse limn→∞ fn (x) = f (x). En otras palabras, para que una función f sea el lı́mite
uniforme de una sucesión (fn ) es necesario que f sea el lı́mite puntual de dicha sucesión.
Lo que se requiere, para que la convergencia sea además de puntual uniforme, es a grandes
rasgos que la velocidad con la que fn (x) se aproxima a f (x) no dependa de x ∈ X. Esto
resulta mucho más claro cuando expresamos la noción de convergencia uniforme en términos
del comportamiento de las gráficas de los elementos de la sucesión. Más precisamente, si
para cada ǫ > 0 definimos el conjunto tubular con eje en la gráfica de la f y radio ǫ,
Γǫ = {(x, y) ∈ X × M | d(y, f (x)) < ǫ} ⊂ X × M ,
1
Sin embargo esta función lı́mite, por ser la función indicatriz de un conjunto de medida nula, es integrable
Lebesgue y de integral de Lebesgue nula. Esto puede verse también como una consecuencia del teorema de
convergencia monótona para funciones integrables en el sentido de Lebesgue
3
entonces una definición equivalente a la anterior es la siguiente:
Una sucesión de funciones fn converge uniformemente a la función f si y solamente si,
para cada ǫ > 0, todas las gráficas de las funciones fn , exceptuando a lo sumo un número
finito de ellas, están contenidas en el conjunto Γǫ (ver figura 2).
Γǫ
ǫ
ǫ
f
fn
f0
a
b
Figura 2: Interpretación geométrica de la convergencia uniforme.
En lo que sigue veremos que si nos restringimos al conjunto de las funciones acotadas,
entonces la convergencia uniforme es exactamente la convergencia con respecto a una métrica
en este espacio de funciones.
Recordemos primero que una función f : X → M es acotada cuando su imagen es un
subconjunto acotado del espacio métrico M. En lo que sigue denotaremos
B(X, M) = {f : X → M | f (X) ⊂ M es acotado } ⊂ F (X, M)
al conjunto de todas las funciones acotadas de X en M.
Observemos que si f y g son dos funciones acotadas entonces d(f, g) es una función
acotada de X en [0, +∞). En efecto, si f es acotada, existen a ∈ M y R > 0 tales que
d(f (x), a) < R para todo x ∈ X. Análogamente, si g es acotada deben existir b ∈ M y
4
S > 0 tales que d(g(x), b) < S para todo x ∈ X. Por lo tanto, si ambas funciones están
acotadas podemos escribir
d(f (x), g(x)) ≤ d(f (x), a) + d(a, b) + d(b, g(x)) ≤ R + S + d(a, b)
para todo x ∈ X. Esta observación es la que nos permite definir la distancia del supremo en
B(X, M) mediante la expresión
d∞ (f, g) = sup d(f (x), g(x)) .
x∈X
Es claro que la función d∞ cumple con las condiciones para ser una función distancia (ser
definida positiva, simétrica y verificar la desigualdad triangular). Una bola de radio ǫ > 0
centrada en una función f ∈ B(X, M) es el conjunto
B(f, ǫ) = {g : X → M | d(g(x), f (x)) < ǫ para todo x ∈ X} .
Cuando M es un espacio vectorial, el conjunto de funciones F (X, M) es también naturalmente un espacio vectorial. Si además M es un espacio vectorial normado (o sea, la
distancia que estamos considerando en M proviene de una norma) entonces el conjunto de
funciones acotadas B(X, M) es un subespacio vectorial del espacio de todas las funciones.
Este subespacio hereda de la norma en M una estructura de espacio vectorial normado
con la norma del supremo,
k f k∞ = sup k f (x) k
x∈X
que resulta bien definida para funciones acotadas por lo que ya hemos dicho. En particular,
para todo par de funciones acotadas f y g, se tiene
d∞ (f, g) = k f − g k∞ .
El subı́ndice +∞ para designar la norma del supremo proviene de la relación siguiente: si
v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn entonces
k v k∞ = max {| vi | | i = 1, . . . , n} = lim k v kk
k→+∞
donde
k v kk =
n
X
i=1
| vi |
k
! k1
.
Si f es una función acotada, entonces decir que una sucesión de funciones (fn ) converge
uniformemente a f , equivale a decir que por un lado, las funciones fn son todas acotadas
a partir de algún valor de n ∈ N, y que además limn→∞ d∞ (fn , f ) = 0. Por esta razón,
llamamos a métrica de la convergencia uniforme a la distancia d∞ definida en el conjunto de
funciones acotadas B(X, M).
5
Completitud
Un espacio métrico es completo cuando las sucesiones de Cauchy son convergentes. A partir
del axioma de completitud de los números reales es posible demostrar que R (y por lo tanto
C, Rn , o cualquier espacio vectorial normado de dimensión finita) son espacios métricos
completos. También es fácil ver que el conjunto de números racionales Q ⊂ R no es un
espacio métrico completo. Una de las razones por las cuales es útil munir al espacio de
funciones acotadas con la distancia del supremo es que se cumple lo siguiente:
Teorema 7. Sea X un conjunto cualquiera. Si (M, d) un espacio métrico completo, entonces
el espacio métrico (B(X, M), d∞ ) también es completo.
Un caso de particular importancia es cuando M es un espacio de Banach, es decir un
espacio vectorial normado completo.
Corolario 8. Sea X un conjunto cualquiera. Si (V, k k) es un espacio de Banach, entonces
(B(X, V ), k k∞ ) también es un espacio de Banach.
Estos resultados se deducen de un criterio de Cauchy uniforme.
Definición 9. Una sucesión fn : X → M es uniformemente de Cauchy cuando para todo
ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que, si m, n > n0 entonces
d(fm (x) − fn (x)) < ǫ
para todo x ∈ X.
El teorema 7 es una consecuencia inmediata del siguiente.
Teorema 10 (criterio de Cauchy para convergencia uniforme). Sea X un conjunto, M es un
espacio métrico completo, y fn : X → M una sucesión de funciones. Se tiene que (fn )
converge uniformemente a cierta función f si y sólo si (fn ) es uniformemente de Cauchy.
Demostración. Veamos primero que la condición de Cauchy es necesaria. Supongamos
que fn converge uniformemente a f . Dado ǫ > 0, sabemos que existe n0 ∈ N tal que para
todo n ≥ n0 se cumple que
ǫ
d(fn (x), f (x)) <
2
cualquiera sea x ∈ X. De la desigualdad triangular se deduce que si m, n ≥ n0 entonces
para todo x ∈ X .
d(fm (x), fn (x)) < ǫ
6
Para ver que es suficiente, asumimos que la sucesión es uniformemente de Cauchy. Es
claro que para cada x ∈ X se verifica que la sucesión (fn (x)) es una sucesión de Cauchy en
M. Como sabemos que M es completo, podemos asegurar que dicha sucesión converge a
cierto punto
f (x) = lim fn (x) .
n→∞
Es decir, hemos probado que la sucesión tiene un lı́mite puntual al que llamamos f . Por
último, para ver que la convergencia es uniforme, fijamos ǫ > 0 y tomamos n0 ∈ N tal que
para todo m, n ≥ n0 se cumpla
ǫ
d(fm (x), fn (x)) <
2
para todo x ∈ X. Pero entonces, domo la función distancia es continua, tomando lı́mite
cuando m → ∞ se obtine que si n ≥ n0 entonces
d(f (x), fn (x) = lim d(fm (x), fn (x)) ≤
m→∞
ǫ
<ǫ
2
para todo x ∈ X. Esto prueba que fn converge uniformemente a f .
Continunidad e integrabilidad de lı́mites uniformes
Vamos a probar ahora que lı́mites uniformes de funciones continuas son también continuos.
En particular, dentro del espacio de las funciones acotadas (munido de la distancia del
supremo) el subconjunto formado por las que son continuas es un conjunto cerrado. En
realidad vale un enunciado ligeramente más general:
Teorema 11. Sean X y M dos espacios métricos. Supongamos que (fn ) una sucesión de
funciones de X en M que converge uniformemente a f . Si todas las funciones fn son
continuas en un punto x0 , entonces f es continua en x0 .
Este hecho también puede interpretarse como la propiedad de la convergencia uniforme
de permitir un intercambio de lı́mites al escribir
lim lim fn (x) = f (x0 ) = lim lim fn (x)
x→x0
n→∞
n→∞
x→x0
Vale la pena notar que la prueba que damos vale también para el caso en que M es un
espacio topológico arbitrario.
7
Demostración. Sea ǫ > 0. Como fn converge uniformemente a f , sabemos que para algún
k ∈ N se debe cumplir
ǫ
d(f (x), fk (x)) <
3
para todo x ∈ X. Por otra parte, dado que la función fk es continua en x0 , podemos asegurar
que existe un entorno U ⊂ X del punto x0 , tal que para todo punto en dicho entorno se
cumple
ǫ
d(fk (x), fk (x0 )) < .
3
Pero entonces, utilizando ambas desigualdades, deducimos que para todo x ∈ U se cumple
d(f (x), f (x0)) ≤ d(f (x), fk (x)) + d(fk (x), fk (x0 )) + d(fk (x0 ), f (x0 )) < ǫ
lo cual demuestra la continuidad de la función f en el punto x0 .
Supongamos ahora que X = [a, b] ⊂ R y que M = R. Recordamos que según criterio de
Lebesgue, una función acotada f : [a, b] → R es integrable Riemann si y sólo si el conjunto de
sus puntos de discontinuidad tiene medida nula. Dado que la unión numerable de conjuntos
de medida nula también es de medida nula, es fácil deducir del teorema anterior que dentro del
conjunto de funciones acotadas el subconjunto formado por las que son integrables Riemann
es un conjunto cerrado. Se deduce también que la aplicación que asocia a cada función
integrable el valor de su integral es una función continua. Es decir, los lı́mites uniformes
de funciones integrables son integrables, y la integral de la función lı́mite es exactamente el
lı́mite de las integrales de las funciones de la sucesión.
Teorema 12. Sea fn : [a, b] → R una sucesión de funciones acotadas. Si cada fn es
integrable Riemann, y fn converge uniformemente a f , entonces f es integrable Riemann y
además
Z b
Z b
Z b
f (x) dx =
lim fn (x) dx = lim
fn (x) dx .
a
a n→∞
n→∞
a
Los mismos argumentos permiten establecer que el resultado también es válido para
sucesiones de funciones definidas en un dominio acotado y medible Jordan 2 D ⊂ Rn .
2
La familia de conjuntos medibles Jordan es la más natural a la cual se puede extender la definición de
integral de Riemann. Un conjunto D es medible Jordan si su frontera ∂D tiene contenido nulo, lo cual
significa que, dado ǫ > 0 arbitrario, es posible cubrir ∂D con una cantidad finita de cajas cuyos volúmenes
suman menos que ǫ.
8
Diferenciabilidad
Aunque una sucesión de funciones diferenciables sea uniformemente convergente, su lı́mite
no tiene porqué ser una función diferenciable. Veamos un ejemplo con funciones de una sola
variable.
Ejemplo 13. Definimos la función g : R → R mediante
g(x) = 1{x>0} − 1{x<0} ,
es decir la función que que vale 1 en los números positivos y −1 en los negativos. Es claro
que
Z x
f (x) = | x | =
g(t)dt .
0
Para cada n > 0 definimos la función fn : R → R como la primitiva que se anula en 0 de la
función continua gn dada por

 −1 si x < −1/n
nx si x ∈ [−1/n, 1/n]
gn (x) =

1
si x > 1/n
Es decir,
fn (x) =
Z
x
gn (t)dt .
0
En la figura 3 se bosquejan las gráficas de g1 y g4 (izquierda), junto con sus respectivas
primitivas f1 y f4 (derecha). Se tiene entonces que gn → g puntualmente y que fn ⇒ f .
Figura 3: Aproximación uniforme de f (x) = | x | por funciones derivables.
Más aún, es posible construir ejemplos más sofisticados de sucesiones que convergen
uniformemente a funciones no derivables en ningún punto. Por otra parte, tampoco es cierto
que, en caso de ser derivable un lı́mite uniforme de funciones derivables, la derivada de la
función lı́mite sea igual al lı́mite de las derivadas de los elementos de la sucesión.
9
Ejemplo 14. Consideremos la sucesión de funciones de [0, 1] en R definidas por
fn (x) = (1/n) sen nx .
Es inmediato que esta sucesión converge uniformemente a la función nula, a pesar de que
fn′ (0) = 1 para todo n > 0.
π
Figura 4: Gráficas de las funciones fn para n = 1, 2, 6.
En ambos ejemplos la sucesión de derivadas no converge uniformemente: mientras que
en el ejemplo 13 el lı́mite puntual de las derivadas es una función discontinua, en el ejemplo
14 las derivadas convergen puntualmente solamente en x = 0.
Teorema 15 (condición suficiente para la diferenciabilidad del lı́mite). Si una sucesión de
funciones derivables fn : (a, b) → R verifica
(i) Las derivadas son continuas y convergen uniformemente a una función g
fn′ (x) ⇒ g(x)
(ii) En algún punto x0 ∈ (a, b) la sucesión de funciones converge puntualmente
lim fn (x0 ) = α
n→∞
entonces fn converge uniformemente a la primitiva de g que toma el valor α en x0 . Es decir,
Z x
fn (x) ⇒ f (x) = α +
g(t) dt .
x0
Demostración. Como las derivadas son continuas y convergen uniformemente a la función
g, resulta que g es continua y por lo tanto integrable. La función f de la tesis está entonces
bien definida, y el teorema fundamental del cálculo permite asegurar que f es derivable y
que f ′ = g.
10
Por otra parte, aplicando el teorema fundamental del cálculo a las funciones fn tenemos
que para cada x ∈ (a, b) se cumple,
Z x
fn (x) = fn (x0 ) +
fn (t) dt .
x0
de donde resulta que
Z x
′
| fn (x) − f (x) | ≤ | fn (x0 ) − α | + (fn (t) − g(t)) dt .
x0
Sea ǫ > 0. Conforme a las hipótesis (i) y (ii) podemos elegir n0 ∈ N tal que, si n ≥ n0
entonces
ǫ
| fn (x0 ) − α | <
2
y
ǫ
| fn′ (x) − g(x) | <
para todo x ∈ (a, b) .
2(b − a)
En particular se cumple que
Z x
ǫ
ǫ
′
< .
(fn (t) − g(t)) dt ≤ | x − x0 |
2(b − a)
2
x0
Concluimos que si n ≥ n0 entonces | fn (x) − f (x) | < ǫ para todo x ∈ (a, b) lo cual prueba
que fn ⇒ f .
El ejemplo dado por la sucesión de funciones constantes fn = n (fn′ = 0), muestra la
necesidad de la hipótesis de convergencia puntual en algún punto del dominio. Además, el
teorema se generaliza a funciones de varias variables:
Teorema 16. Sea U ⊂ Rd un abierto conexo, y fn : U → R una sucesión de funciones de
clase C 1 . Si se verifica
(i) Las derivadas parciales convergen uniformemente, es decir
∂fn
(x) ⇒ gi (x) para todo i = 1, . . . , d
∂xi
(ii) Existe x0 ∈ U tal que
lim fn (x0 ) = α
n→∞
entonces fn ⇒ f , donde f es una función de clase C 1 que verifica
∂fn
= gi para todo i = 1, . . . , d .
∂xi
11
Series de funciones
Sea V un espacio vectorial normado y X un conjunto cualquiera. Dada una sucesión de
funciones fn : X → V definimos la suma parcial (o reducida) k-ésima como la función
Sk = f0 + · · · + fk . Es decir, Sk : X → V es la función definida por
Sk (x) = f0 (x) + · · · + fk (x) =
k
X
fn (x) ,
n=0
para todo x ∈ X. Diremos que la serie
∞
X
fn (x)
n=0
es convergente si la sucesión de sumas reducidas (Sk ) converge puntualmente a una función
S = lim Sk . Si además Sk ⇒ S decimos que la serie de funciones converge uniformemente.
Es evidente que todos los teoremas vistos para sucesiones de funciones se aplican a estas
sucesiones de sumas parciales y a sus lı́mites. En lo que sigue enunciamos las versiones para
series de los mismos, aplicadas a una serie que denotaremos
∞
X
S(x) =
fn (x)
n=0
definida en cierto dominio que precisamos en cada uno de los enunciados.
Teorema 17. Si la serie converge uniformemente en cierto espacio topológico X, y todos
sus términos son continuos en un punto x0 ∈ X, entonces la suma S(x) es continua en x0 .
Teorema 18. Si los términos fn están definidos en un intervalo [a, b] ⊂ R, son todos
integrables, y además la serie es uniformemente convergente, entonces la suma S(x) es una
función integrable y para todo x ∈ [a.b] se cumple
!
Z x
Z x X
∞
∞ Z x
X
S(t) dt =
fn (t) dt =
fn (t) dt .
a
a
n=0
n=0
a
Teorema 19. Si los términos de la serie están definidos en un intervalo (a, b) ⊂ R, son todos
de clase C 1 , la serie de las derivadas converge uniformemente, y en algún punto x0 ∈ (a, b)
la serie converge puntualmente, entonces la serie converge uniformemente a una función de
clase C 1 , cuya derivada es la suma de la serie de las derivadas. Es decir,
∞
X
n=0
fn′ (x)
C.U. y
∞
X
n=0
fn (x0 ) C. ⇒
∞
X
n=0
12
′
fn (x) C.U. y S (x) =
∞
X
n=0
fn′ (x) .
Observemos que el último enunciado también puede interpretarse como la posibilidad,
bajo las hipótesis del teorema, de derivar una serie término a término, ya que podemos
escribir en estas condiciones
!′
∞
∞
X
X
fn (x) =
fn′ (x) .
n=0
n=0
Antes de ver algunos ejemplos recordamos que una suma geométrica de razón r ∈ R
converge si y sólo si | r | < 1. Para hallar la suma basta observar que siempre podemos
escribir
r α + r α+1 + · · · + r β (1 − r) = r α − r β+1 ,
de donde resulta que
∞
X
n=0
n
r = lim
k→+∞
k
X
1 − r k+1
1
=
.
k→+∞ 1 − r
1−r
r n = lim
n=0
Es interesante observar que el mismo razonamiento se aplica a otras sumas geométricas3 .
Ejemplo 20. Si consideramos en R la serie de funciones
∞
X
n=0
x2
(1 + x2 )n
es claro que para cada x ∈ R podemos escribir
k
X
n=0
k
X
x2
1
2
=
x
(1 + x2 )n
(1 + x2 )n
n=0
y concluir que si x 6= 0 entonces la serie converge puntualmente a
S(x) =
∞
X
n=0
x2
= 1 − x2 .
2
n
(1 + x )
Si observamos que la serie trivialmente converge a 0 en x = 0, podemos afirmar que la serie
no converge uniformemente en ningún entorno de cero, ya que la suma de la serie no es
continua en dicho punto.
3
Vale en cualquier algebra normada (A, k · k) (como álgebras de matrices o álgebras de operadores), y se
obtiene que la serie geométrica de razón r ∈ A converge a (e − r)−1 , donde e ∈ A es el elemento neutro
multiplicativo, siempre y cuando se tenga lim rk = 0, lo cual se verifica inmediatamente si k r k < 1.
13
Convergencia absoluta de series de funciones
Decimos que una serie de término general fn : X → R converge absolutamente en X si la
serie de valores absolutos4
∞
X
| fn (x) |
n=0
converge para todo x ∈ X. Es claro que la convergencia absoluta implica la convergencia
puntual pero no se cumple la afirmación recı́proca. Esto es una simple consecuencia de que
para cada x ∈ X, y para k > j se tiene que
k
k
X
X
| fn (x) |
fn (x) ≤
| Sk (x) − Sj (x) | = n=j+1
n=j+1
ya que asumiendo la convergencia absoluta esta última suma es arbitrariamente pequeña si
requerimos que k y j sean suficientemente grandes. Consecuentemente para cada x ∈ X la
sucesión Sn (x) es una sucesión de Cauchy, y la convergencia puntual se desprende entonces
de la completitud de R. Para series de funciones a valores en un espacio de Banach5 vale
exactamente la misma observación.
Dos criterios para la convergencia uniforme de series
Veremos ahora dos criterios aplicables cuando los términos de la serie son funciones que
toman valores en espacios completos. El primero es la formulación para series del criterio
de Cauchy (teorema 10) que ya vimos. El segundo, que es de aplicación muy frecuente, es
debido al célebre matemático alemán Karl Weierstrass 6 (1815–1897).
Teorema 21. Sea fn (x) el término general de una serie. Si para todo ǫ > 0 es posible hallar
n0 ∈ N tal que, | fj (x) + · · · + fk (x) | < ǫ para todo x ∈ X y para todo k > j ≥ n0 , entonces
la serie es uniformemente convergente.
4
Debe decir serie de normas si las funciones son a valores en un espacio vectorial normado.
Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado completo.
6
En 1872 Weierstrass construyó una serie uniformemente convergente de funciones continuas y periódicas
cuya suma no es diferenciable en ningún punto. Este fue el primer ejemplo en contradecir la intuición
que dominaba en la época, a saber, que una función continua debı́a ser diferenciable salvo en un conjunto
excepcional de puntos. Conviene contrastar esto con resultados que muestran que esto es lo que ocurre en
clases de funciones con mayor regularidad que la mera continuidad. Por ejemplo, el teorema de Rademacher
asegura que toda función Lipschitz continua es diferenciable en todo punto fuera de un conjunto de medida
nula. El término general de dicha serie es fn (x) = an cos(bn πx), donde a ∈ (0, 1) y b es un entero impar que
satisface la condición 2ab > 2 + 3π.
5
14
Teorema 22 (Criterio de la mayorante de Weierstrass). Supongamos que para cada n ∈ N el
término fn (x) está uniformemente acotado por una constante Mn . Es decir, | fn (x) | ≤ Mn
para todo x ∈ X. Si la serie de cotas es convergente, o sea, si
∞
X
Mn < +∞
n=0
entonces la serie
∞
X
fn (x)
n=0
converge absoluta y uniformemente en X.
Demostración. Observamos primero que la convergencia de la serie de las cotas implica
la convergencia absoluta. Por otra parte, sabemos que para todo ǫ > 0 es posible hallar
n0 ∈ N tal que Mj + · · · + Mk < ǫ para todo k > j ≥ n0 . Resulta entonces que
| fj (x) + · · · + fk (x) | ≤ | fj (x) | + · · · + | fk (x) | < ǫ
para todo x ∈ X y para todo k > j ≥ n0 . La convergencia uniforme resulta entonces por
aplicación del criterio de Cauchy (teorema 21) para series.
Ejemplo 23. Supongamos que queremos estudiar la convergencia de la serie numérica
n
∞ Z 1
X
1
dx .
2 +2
x
0
n=0
Para determinar si es válido el intercambio de la sumatoria con la integral estudiamos la
convergencia de la serie de funciones
n
∞ X
1
S(x) =
x2 + 2
n=0
y concluimos aplicando el criterio de la mayorante de Weierstrass que la misma converge
uniformemente. Además, para cada valor de x ∈ R la serie es geométrica y por lo tanto
converge a
1
S(x) = 1 + 2
x +1
y conforme al teorema 18 podemos concluir que
n
Z 1
∞ Z 1
X
1
π
1
dx = 1 + .
dx =
1+ 2
2
x +2
x +1
4
0
n=0 0
15
Series de potencias
Para terminar estas notas, damos una breve reseña sobre algunos hechos fundamentales que
conciernen las series de potencias de una variable compleja. Más precisamente, vamos a
definir y caracterizar su radio de convergencia. Al lector que no esté familiarizado con la
teorı́a de funciones de variable compleja le bastará con asumir la siguiente definición de
derivada de funciones de variable compleja.
Preliminares sobre funciones de variable compleja
Definición 24 (Función holomorfa). Si U ⊂ C es un abierto, y f : U → C es una función,
decimos que f es una función holomorfa en el abierto U cuando admite derivada en todo
punto z0 ∈ U. Es decir, cuando para todo z0 ∈ U existe el lı́mite
f (z) − f (z0 )
.
z→z0
z − z0
f ′ (z) = lim
Toda función f : U → C está dada por dos funciones a valores reales, a saber la parte
real y la parte imaginaria de f . Si
f (x + iy) = u(x, y) + i v(x, y)
entonces las funciones u = Re(f ) y v = Im(f ) son dos funciones reales sobre abierto U, al
cual podemos considerar como un abierto de R2 . Para que dos funciones u, v : U → R definan
una función holomorfa f = u + iv no basta con que ambas funciones sean diferenciables en
U. Para ver esto, consideremos un punto z0 = x0 + iy0 ∈ U y asumiendo que f es holomorfa
escribimos, haciendo incrementos horizontales y verticales,
u(x0 + h, y0 ) + i v(x0 + h, y0)
u(x0 , y0 + h) + i v(x0 , y0 + h)
= lim
h→0
h→0
h
ih
f ′ (z0 ) = lim
de donde resulta que se debe cumplir
∂v
∂u
∂v
∂u
(x0 , y0) + i
(x0 , y0 ) = −i
(x0 , y0) +
(x0 , y0 ) .
∂x
∂x
∂y
∂y
Es decir, es necesario que
∂f
∂f
(z0 ) = i
(z0 )
∂y
∂x
16
para todo z0 ∈ U o lo que es lo mismo, que las funciones u y v verifiquen en todo punto
(x0 , y0 ) ∈ U las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
∂v
∂u
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0),
∂x
∂y
∂v
∂u
(x0 , y0) =
(x0 , y0) .
∂y
∂x
Para lo que sigue asumiremos sin demostración el siguiente importante teorema.
Teorema 25. Sea U ⊂ R2 un abierto. Para que dos funciones diferenciables u, v : U → R
definan una función holomorfa f (x + iy) = u(x, y) + i v(x, y) es necesario y suficiente que
verifiquen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, a saber,
∂u
∂v
=− ,
∂x
∂y
∂v
∂u
=
.
∂y
∂x
Una función entera es una función holomorfa C, es decir definida en todo el plano complejo
y derivable en todo punto. No es difı́cil verificar que para todo natural n > 0 la función
f (z) = z n es una función entera y que f ′ (z) = nz n−1 . En particular todo polinomio
P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n
define una función entera con derivada
P ′ (z) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 .
Series de potencias: lema de Abel y radio de convergencia
Una serie de potencias es una serie de funciones en C de la forma
S(z) =
∞
X
an (z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + . . .
n=0
donde z0 ∈ C, y (an ) es una sucesión de números complejos. Es evidente que la serie converge
para el valor de z = z0 puesto que todos los términos salvo el primero son nulos. Queremos
determinar en que regiones hay convergencia puntual de la serie, y en cuales hay convergencia
uniforme. Para ello probaremos en primer lugar el siguiente lema usualmente atribuido al
matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829).
Lema 26 (Lema de Abel). Si una serie de potencias de z − z0 converge en cierto punto
w 6= z0 a distancia r = | w − z0 | de z0 , entonces la serie converge absolutamente en el disco
abierto B(z0 , r) y uniformemente en cualquier compacto contenido en ese disco.
17
Demostración. Por hipótesis
∞
X
an (w − z0 )n
n=0
es convergente, y por lo tanto necesariamente se tiene limn→∞ an (w − z0 )n = 0. Por otra
parte, si z ∈ B(z0 , r) tenemos que
n
n
n z − z0 n
| an (z − z0 ) | = | an | . | z − z0 | = | an | . | w − z0 | . = cn λ n
w − z0 siendo
cn = | an (w − z0 )n |
una sucesión que tiende a cero, y
λ = | z − z0 | . | w − z0 |−1 < 1
puesto que | z − z0 | < r = | w − z0 |. Se deduce entonces que la serie de términos positivos
∞
X
| an (z − z0 )n |
n=0
es convergente, puesto que está mayorada por la serie convergente
∞
X
k λn =
n=0
k
1−λ
cualquiera sea k > 0 tal que k ≥ cn para todo n ∈ N. Hemos probado que la serie
S(z) =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
es absolutamente convergente en el disco abierto B(z0 , r). Veamos ahora la convergencia
uniforme en un subconjunto compacto del disco. Sea X ⊂ B(z0 , r) un compacto, y
R = max {| x − z0 | | x ∈ X} < r .
Tenemos entonces que para todo z en la disco cerrado DR = {z | | z − z0 | ≤ R} se verfica
n
R
n
,
| an (z − z0 ) | ≤ k
r
mayoración que permite aplicar el criterio de la mayorante de Weierstrass y concluir que
la serie S(z) converge uniformemente en el disco cerrado DR , y por lo tanto también en el
subconjunto compacto X por estar contenido en DR .
18
Corolario 27 (Radio de convergencia de una serie de potencias). Para cada sucesión de
números complejos (an ) existe un único valor de R ∈ [0, +∞], tal que cualquiera sea z0 ∈ C,
si S(z) designa la serie de potencias
S(z) =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
entonces se verifica:
(a) Si R = 0, la serie S(z) converge solamente en z = z0 .
(b) Si 0 < R < +∞, la serie S(z) no converge para ningún z ∈ C tal que | z − z0 | > R,
converge absolutamente en B(z0 , R), y uniformemente en todo subconjunto compacto
X ⊂ B(z0 , R).
(c) Si R = +∞, entonces S(z) converge absolutamente en C y converge uniformemente
en cualquier compacto X ⊂ C.
Demostración. Consideremos el siguiente conjunto:
A = {z 6= z0 | S(z) es convergente } .
O bien A = ∅, o bien A es no vacı́o y acotado, o bien A no es acotado. Definimos entonces
R = 0 en el primer caso, R = sup {| z − z0 | | z ∈ A} en el segundo, y R = +∞ en el tercero.
Veamos la convergencia de la serie en cada caso:
(a) Si R = 0, es porque la serie S(z) converge solamente en z = z0 .
(b) Si 0 < R < +∞, es porque A es no vacı́o y acotado. Si | z − z0 | > R entonces
la serie S(z) no puede ser convergente, puesto que si lo fuese, por el lema de Abel
tendrı́amos que z ∈ A y | z − z0 | > R. Por otra parte, si X ⊂ B(z0 , R) es un compacto,
entonces debe existir w ∈ A tal que | z − z0 | < | w − z0 | para todo z ∈ X. El lema de
Abel implica entonces que la serie S(z) converge absoluta y uniformemente en X. En
particular la serie converge absolutamente en B(z0 , R).
(c) Si R = +∞ es porque el conjunto A no es acotado, y por lo tanto, para todo conjunto
compacto X ⊂ C debe existir w ∈ A tal que | z − z0 | < | w − z0 | para todo z ∈ X.
Aplicando nuevamente el lema de Abel resulta que en este caso la serie S(z) converge
absoluta y uniformemente en el compacto X. En particular, converge absolutamente
en todo el plano complejo.
19
Para terminar, observamos que R no depende de z0 , puesto que hemos probado que la serie
S(z0 + u), cuyo término general es an un , converge solamente en u = 0 si R = 0, converge
absolutamente si | u | < R y no converge cuando | u | > R cuando 0 < R < +∞, y converge
en todo C cuando R = +∞. En otras palabras, el radio de convergencia para la serie de
potencias centrada en 0 es el mismo que el de la serie de potencias centrada en z0 .
Podemos caracterizar el radio de convergencia de una serie de potencias centrada en
z0 ∈ C de la siguiente forma: El conjunto de puntos donde la serie converge está contenido
en disco cerrado {z ∈ C | | z − z0 | ≤ R}, donde R es el radio de convergencia, y contiene al
interior del mismo. Veremos ahora una caracterización del radio de convergencia, tal como
lo estableció Jacques Hadamard 7 (1865-1963) en su tesis doctoral de 1892. Como veremos en
los ejemplos, muchas veces la fórmula permite hallar explı́citamente el radio de convergencia.
Teorema 28 (Teorema de Cauchy-Hadamard). Si (an ) es una sucesión de números complejos,
entonces el radio de convergencia R de la serie de potencias
S(z) =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
verifica
1
= lim sup | an |1/n
R
n→∞
donde R = 0 cuando el lı́mite superior es infinito, y R = +∞ cuando el lı́mite es nulo.
Demostración. Supongamos en primer lugar que la sucesión | an |1/n no es acotada, lo cual
es equivalente a que
lim sup | an |1/n = +∞ .
n→∞
Podemos afirmar que no existe ningún K > 0 tal que se cumpla | an | ≤ K n para todo n ∈ N.
Por lo tanto, si damos cualquier z 6= z0 , y definimos r = | z − z0 |, existirán infinitos valores
de n ∈ N tales que
n
| an (z − z0 )n | = | an |1/n r > 1 .
7
El resultado figuraba ya en un tratado de A.L.Cauchy de 1821 titulado Cours d’Analyse, première partie:
Analyse algébrique. El teorema aparece en este texto de forma secundaria (teorema 2, p.280). En 1888, J.
Hadamard redescubre el resultado como un eslabón fundamental en el desarrollo de la teorı́a de las funciones
analı́ticas. Lo publica entonces en una nota de los Comptes rendus de l’Académie des sciences de ese año,
Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d’une variable (CRAS vol. 106), y
luego en su tesis doctoral de 1892, Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor.
20
Pero entonces la serie
S(z) =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
no es convergente, puesto que su término general no tiende a cero. En este caso la serie de
potencias sólo converge en z = z0 , y su radio de convergencia es naturalmente R = 0.
Supongamos ahora que la sucesión | an |1/n es acotada, y definamos α = lim sup | an |1/n .
Discutiremos en primer lugar el caso en que α > 0. Sea z ∈ C tal que
| z − z0 | ≥
1
1
>
µ
α
para cierto valor de µ < α. Se tiene entonces que
n
1/n 1
n
| an (z − z0 ) | ≥ | an |
>1
µ
para infinitos valores de n ∈ N, por lo cual la serie S(z) no puede ser convergente. Por otra
parte, si elegimos ahora cierto µ > α, y tomamos z ∈ C tal que
| z − z0 | ≤
1
1
< ,
µ
α
podemos afirmar que, para cualquier η que verifique α < η < µ, que existe un natural
n0 ∈ N, tal que para todo n ≥ n0 se verifica
| an |1/n < η ,
y por lo tanto
n
η
| an (z − z0 ) | <
.
µ
n
Concluimos que la serie
∞
X
| an (z − z0 )n |
n=n0
converge, y por lo tanto S(z) converge absolutamente. Hemos probado, para el caso en que
α > 0, que la serie S(z) converge absolutamente en el disco B(0, R) y que no converge fuera
de la clausura del mismo.
Finalmente, supongamos ahora que α = 0, o equivalentemente, que lim | an |1/n = 0. Para
cualquier z ∈ C podemos escribir que
n 1 n
1/n
n
| an (z − z0 ) | = | an |
| z − z0 | <
2
21
para todo valor de n suficientemente grande. Esto implica la convergencia absoluta de la
serie S(z). Hemos probado que en este caso la serie converge absolutamente en todo el plano
complejo, y por lo tanto, que el radio de convergencia de la misma es R = +∞.
Ejemplo 29. La serie de potencias
∞
X
zn =
n=0
1
1−z
converge solamente si | z | < 1. Esto concuerda con el teorema de Cauchy-Hadamard, puesto
que en este caso los coeficientes de la serie de potencias son an = 1 para todo n ∈ N.
Ejemplo 30. La serie de potencias
S(z) =
∞
X
1 n
z
n!
n=0
converge para todo z ∈ C. Para probarlo utilizando el teorema de Cauchy-Hadamard bastará
con probar que
lim (n!)1/n = +∞ .
n→∞
Sea αn = (n!)1/n . Observemos primero que la sucesión (αn ) es monótona. En efecto, para
cada n ∈ N se tiene que (n + 1)n > n! o equivalentemente, que (n + 1) > αn . Pero entonces,
(n + 1)! = (n + 1).(αn )n > (αn )n+1
y se concluye inmediatamente que αn+1 > αn . Por otra parte, si n es par, digamos n = 2k,
entonces se tiene
r n
n
k
.
n! = (1.n).(2.(n − 1)).(3.(n − 2)) . . . (k.(k + 1)) > k =
2
Se tiene entonces que para todo n par αn > (n/2)1/2 lo cual implica que la sucesión no está
acotada. Consecuentemente tiende a infinito como querı́amos probar.
Ejemplo 31. La serie de potencias
∞
X
(nz)n
n=0
1/n
sólo converge si z = 0. En este caso se tiene an = nn , lim an
22
= +∞, y por lo tanto R = 0.
Integración y derivación de series de potencias
Dada una serie de potencias
S(z) =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
formamos la serie de las derivadas de cada término, es decir
S ′ (z) =
∞
X
n an (z − z0 )n−1
n=1
=
∞
X
bn (z − z0 )n
n=0
donde bn = (n + 1)an+1 . El teorema de Cauchy-Hadamard implica que ambas series tienen
el mismo radio de convergencia. Designemos R al radio de convergencia de S, y R′ al de S ′ .
Lema 32. R = R′ .
Demostración. Para establecer la prueba observamos primero que una serie de potencias
de término general cn w n converge si y sólo si la serie de término general cn w n+r también
converge para todo r > 0, esto es,
∞
X
cn w
n+r
= w
n=0
r
∞
X
cn w n .
n=0
Consecuentemente, el radio de convergencia de la serie de potencias S ′ , cuyos coeficientes
valen bn = (n + 1)an+1 es el mismo que el de la serie de coeficientes cn = nan . También
haremos uso de que
lim n1/n = 1 .
n→∞
Para deducir esta afirmación escribimos un = n1/n − 1 > 0, y observamos que
n = (1 + un )n >
n(n − 1) 2
un
2
de donde surge que lim un = 0. Finalmente podemos escribir
R′ = lim sup | nan |1/n = lim n1/n lim sup | an |1/n = R .
n→∞
n→∞
23
n→∞
El teorema anterior, combinado con el teorema de diferenciación de lı́mites uniformes de
funciones, nos permite asegurar que toda serie de potencias con coeficientes reales define, en
su intervalo de convergencia, una función de clase C ∞ cuya derivada es la serie de potencias
que se obtiene derivando término a término dicha serie. Ası́ por ejemplo, la serie
f (x) =
∞
X
(−1)n 2n+1
x3 x5
x
= x−
+
− ...
2n
+
1
3
5
n=0
converge solamente para x ∈ (−1, 1], y define una función C ∞ en el intervalo abierto (−1, 1),
cuya derivada es
f ′ (x) =
∞
X
(−1)n x2n = 1 − x2 + x4 − · · · =
n=0
′
1
.
1 + x2
Pero si observamos que f (x) es también la derivada de la función arcotangente, y que
arctan(0) = f (0) = 0, podemos concluir que ambas funciones coinciden, es decir que vale el
siguiente desarrollo de Taylor infinito
x3 x5
+
− ... .
3
5
También es posible integrar término a término una serie de potencias para obtener una
primitiva dada por otra serie de potencias con el mismo radio de convergencia. De hecho el
ejemplo precedente fue construido de esta forma: la derivada de la función arcotangente es
la suma de una serie geométrica, y por lo tanto integrando los términos de esta última se
obtiene su desarrollo en series de potencias de la función arcotangente.
arctan(x) = x −
Teorema 33 (Derivación de una serie de potencias de una variable real). Si cn ∈ R para todo
n ∈ N, y
∞
X
f (x) =
cn (x − x0 )n
n=0
es una serie de potencias con radio de convergencia R no nulo, entonces f es de clase C ∞
en el intervalo de convergencia I = (x0 − R, x0 + R) (en toda la recta en el caso R = +∞)
y en dicho intervalo la derivada de f de orden r > 0 está dada por las series de potencias
que se obtiene derivando r veces cada término, es decir
∞
X
dr
dr f
(x)
=
(cn (x − x0 )n )
r
dxr
dx
n=0
=
∞
X
n=r
n!
cn (x − x0 )n−r
(n − r)!
24
Este teorema también vale para series de potencias en C, y el resultado es que toda
función definida por una serie de potencias es holomorfa en su disco de convergencia, es
decir que admite derivada compleja en cada punto del disco, y que además, su derivada es
exactamente la suma de la serie de las derivadas de cada término. En particular su derivada
también es una función holomorfa en el mismo disco8 .
Teorema 34 (Diferenciación de una serie de potencias de una variable compleja). Sea (an ) una
sucesión de números complejos, z0 ∈ C. Sean también las siguientes series de potencias:
2
S(z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 ) + · · · =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
′
2
S (z) = a1 + 2a2 (z − z0 ) + 3a3 (z − z0 ) + · · · =
∞
X
nan (z − z0 )n−1
n=1
Supongamos además que el radio de convergencia de ambas series es no nulo, y por lo tanto
su disco de convergencia es D = D(z0 , R) 6= ∅. Se tiene entonces que la función S(z) es
holomorfa en D y su derivada es la serie S ′ (z). En otras palabras, se tiene que
!
∞
∞
∞
X
X
d X
d
n
n
=
an (z − z0 )
nan (z − z0 )n−1 .
(an (z − z0 ) ) =
dz n=0
dz
n=0
n=1
8
Es interesante destacar que el hecho de coincidir con una serie de potencias no es propio de todas las
funciones de variable real que puedan derivarse infinitas veces. A las funciones que en un entorno de cada
punto es posible expresarlas como su serie de Taylor infinita las llamamos funciones analı́ticas. Es posible
definir funciones de clase C ∞ en R, positivas en todo x 6= 0, que se anula junto con todas sus derivadas en
x = 0. El desarrollo de Taylor de una tal función es por lo tanto identicamente nulo, lo cual prueba que no
pueden ser analı́ticas. Sorprendentemente esto no ocurre para funciones de variable compleja: ¡toda función
holomorfa es analı́tica!
25