Matemáticas Universitarias

Matemáticas Universitarias
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Sesión No. 8
Nombre: Concepto de función, función lineal y su gráfica.
Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará los métodos
para la obtención de la función de una recta, así como los elementos que la
integran y caracterizan.
Contextualización
En esta sesión aprenderás a interpretar el concepto de función, para que sirve
trabajar con funciones, que datos maneja y cámo se le llama a cada uno de los
datos que se manejan en ella.
Además se definirá la función lineal en forma de expresión matemática y se
aprenderá a usar su gráfica.
http://www.colegioglenndoman.edu.co/aula%2
0virtual/lineales%208.gif
1
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Introducción al Tema
¿Qué es una función?
¿Para qué son utilizadas las funciones en matemáticas?
Éstas y otras preguntas son las que principalmente nos hacemos cuando vamos
a iniciar nuestro trabajo con las funciones.
Una función se puede definir como una máquina que procesa datos de entrada
arrojando así datos de salida o lo que conocemos como resultados.
Por ejemplo:
http://2.bp.blogspot.com/RCtDP7IcA2g/UNOSApGaO3I/AAAAAAAAAFA/K6oInv5CuuA/s1600/funcione
s+matematics.png
•
Seno, coseno, tangente son funciones trigonométricas.
•
Sacar una raíz cuadrada o cubica es una forma de trabajar con una
función matemática.
2
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Explicación
Una función es una expresión algebraica representada por la letra “f”. Esta
expresión está formada por términos numéricos y literales.
La función se debe de expresar con la letra que va a ser la dominante para el
proceso que se realice, por ejemplo:
F(x) se lee “F de x” esto significa que x será la variable independiente, la cual a
través de ella se realiza el proceso de la función.
Otro ejemplo: F(x) = x2+4x+4
A esta función se le puede dar valores a la x, sustituyendo cada valor en la
función y nos dará un resultado diferente por cada evaluación. Consideremos los
valores de x = 1, 2, 3 sustituyendo en la función
F (1) = (1)2 + 4(1) +4 = 1+4+4 = 9
Se realizó el proceso de elevar al cuadrado
el primer término, luego se realizó la multiplicación del segundo término y por
último se sumó el tercer término. De esta manera es como se evalúa una función
para un valor de x, su variable.
F (2) = (2)2 + 4(2) +4 = 4 +8+4 = 16
F (3) = (3)2 + 4(3) +4 = 9 +12+4 = 25
Función Lineal
Una función f es lineal si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x)= mx + b,
en donde a y b son constantes y a≠0.
Suponga que f(x) = mx+b es una función lineal y que y = f(x). Entonces
y=mx+b, la cual es una ecuación de recta con pendiente m y b es la
intersección con el eje y. Así, la gráfica de una función lineal es una recta.
Decimos que la función f(x)=mx+b tiene pendiente m.
Ejemplo 1: Graficación de funciones lineales.
3
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
a. Graficar f(x) = 2x – 1
Solución: Aquí f es una función lineal con pendiente m=2 de modo que su
grafica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, sólo
necesitamos graficar dos puntos y después dibujar una recta que pase
por ellos.
x
f(x)
0
-1
2
3
f(x)
4
3
2
1
f(x)
0
-1
0
2
-2
El dominio de una función lineal son todos los valores que se le pueden
dar a x, estos valores son todos los números reales.
El rango de una función lineal son todos los valores que se tienen para
y=f(x) y estos son todos los números reales.
Por lo tanto:
Dominio = (−∞, ∞)
Rango = (−∞, ∞)
Ejemplo 2: Determinación de una función lineal.
4
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Suponer que f es una función lineal con pendiente a = 2 y f(4) = 8. Hallar
f(x).
Solución: Ya que f es lineal tiene la forma f(x) = mx + b. la pendiente está
representada por a entonces a = 2 según los datos del problema.
Por lo tanto f(x) = 2x + b
Ahora determinaremos el valor de b. Como f(4) = 8 en la expresión de f
reemplazaremos el valor de x = 4 y resolvemos para b
f(4) = 2(4) + b
8=8+b
0=b
De aquí que f(x) = 2x.
Ejemplo 3: Si f(x) es una función lineal que pasa por los puntos (-2,6) y
(1,-3), encontrar f(x).
Solución:
Como
solamente
tenemos
dos
puntos,
encontraremos
primeramente la pendiente a través de la siguiente expresión:
𝑦2 − 𝑦1
𝑚=
𝑥2 − 𝑥1
Por lo tanto, 𝑚 =
−3−6
1−(−2)
=
−9
3
= −3
Podemos encontrar la ecuación de recta(función lineal) por medio de la
forma punto-pendiente.
y-y 1 = m(x-x 1 )
y-6 = (-3)[x-(-2)]
y-6 = (-3)(x+2)
y-6 = -3x-6
y = -3x – 6 +6
 y = -3x.
5
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Conclusión
Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un
conjunto de salida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de entrada,
llamado Rango, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde
uno, y sólo uno, en el rango.
La siguiente sesión aprenderemos el manejo de la función cuadrática y su
gráfica.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/caratula.gif
6
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
•
Bonilla, E. (2012). Función lineal. Consultado el 25 de abril de
2013: http://www.youtube.com/watch?v=zwKjcPpQT3o
•
Introducción a las funciones lineales. (2011). Consultado el 25 de abril de
2013: http://www.youtube.com/watch?v=X2CmsoMCsxU
•
Vitutor. (s.f.). Función lineal. Consultado el 25 de abril de 2013:
http://brd.unid.edu.mx/funcion-lineal/
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
7
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Actividad de Aprendizaje
Con los conocimientos adquiridos en esta sesión acerca de la función lineal y su
gráfica, los aplicarás para dar solución a cada uno de los problemas sobre
ecuaciones lineales
I.- Determina la pendiente y la intercepción con el eje vertical de la función lineal;
bosquejar la gráfica.
1. f(x) = -4x.
2. f(x) = x + 1
3. ℎ(𝑞 ) =
7−𝑞
2
II.- Determinar f(x) cuándo f es una función lineal que tiene las propiedades dada.
4. pendiente = 4, f(2) = 8.
5. f(0) = 3, f(4) = -5
6. f(1) = 2, f(-2) = 8
1
1
7. pendiente = − , f (− )= 4
2
2
Sube tu trabajo a la plataforma.
8
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.
9