Ejercicio 1 A - fyqpolitecnico

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PAEU Solución Movimiento Ondulatorio 2010 y 2011
Modelo 0 Ejercicio 2 A
Una onda armónica viaja a lo largo de una cuerda y se observa que el oscilador que genera la onda
produce 40 vibraciones de amplitud 30 cm en 30 segundos. También se observa que un máximo de la
onda viaja 425 cm a lo largo de la cuerda en 10 segundos.
a) Establece la ecuación de dicha onda. (1 punto)
b) ¿Cuál es la diferencia de fase en el estado de vibración de dos puntos de la cuerda separados 20 cm
en la dirección de propagación? (1 punto)
Como se producen 40 vibraciones en 30 s, la frecuencia de la vibración es:
40 vibraciones
30 s
4
Hz
3
La amplitud es: A = 30cm = 0,3 m
La velocidad de propagación es: v
La longitud de onda es:
v
425cm
10 s
4,25 cm / s
4
Hz
3
42,5
cm
s
0,425
m
s
3,1875cm
a) La frecuencia angular y el número de ondas son:
4
ω = 2 · π · ν = 2 · π · rad / s
3
8
rad / s
3
8,38 rad/s; v
k
k
v
8
· rad / s
3
0,425m / s
6,27 · m 1 =19,7 cm-1
La ecuación de la onda, suponiendo se propague hacia la derecha del observador y en unidades del SI es:
yxt = A · cos (ω · t - k · x) = 0,3 m · cos (8,38 rad/s · t -19,7 m-1 · x)
b) Como a la distancia de una longitud de onda le corresponde un desfase de 2 · π rad, se tiene que:
x
2 · rad
20 cm
2 · rad 12,55· rad = 6 · 2 · π rad + 0,55 · π rad = 0,55 · π rad
3,1875cm
Modelo 0. Ejercicio 2 B
a) Si sumergimos repetidamente el dedo en un plato lleno de agua generamos ondas. ¿Qué sucede con
la longitud de onda si sumergimos el dedo con una frecuencia mayor? ¿Por qué? (1 punto)
b) Una locomotora, inicialmente en reposo, empieza a acercarse hacia nosotros haciendo sonar su
silbato. La frecuencia que escuchamos ¿aumenta, disminuye o permanece igual? ¿Y la longitud de
onda que llega a nuestros oídos? ¿Y la velocidad del sonido en el aire que hay entre nosotros y la
locomotora? (1 punto)
a) Cuando una onda de propaga por un medio homogéneo, su velocidad de propagación es una cantidad
constante e independiente de la frecuencia de la perturbación: v
·
Por tanto, si se aumenta la frecuencia, su longitud de onda disminuye en la misma proporción.
b) La velocidad de propagación de una perturbación depende de las propiedades del medio y de las del foco
emisor, por ello la velocidad del sonido es constante e independiente de su frecuencia.
Cuando un foco sonoro se acerca a un observador en reposo, el foco intenta alcanzar las ondas que emite y el
observador recibe más ondas en la unidad de tiempo, los frentes de ondas se agolpan en sentido del
movimiento, y el observador percibe una frecuencia mayor. Por consiguiente, la longitud de onda registrada
disminuye en la misma proporción.
PAEU Solución Movimiento Ondulatorio 2010 y 2011
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Junio 2010 Ejercicio B2 Modalidad
Un micrófono conectado a un osciloscopio está
colocado cerca de un instrumento de música que
emite un sonido que se propaga en el aire con una
rapidez de v = 330 m · s-1. El oscilograma obtenido se
muestra en la figura, donde la unidad de la
cuadricula de la base de tiempo utilizada es 1 ms.
Determine:
a) La frecuencia y la longitud de onda del sonido
emitido. (1 punto)
b) La frecuencia y la longitud de onda del sonido, si
se propagara en un medio en el que su rapidez fuera
el doble que en el aire. (1 punto)
El período, tiempo transcurrido entre dos estados de vibración iguales, es T = 4 ms.
1
T
Aplicando la relación entre período y frecuencia:
La longitud de onda es: v
330 m / s
250 Hz
v
·
1
4 ·10 3 s
250 Hz
1,32 m
La frecuencia es una característica del foco emisor, luego permanece constante: υ aire = υmedio = 250 Hz
Si la rapidez aumenta, la longitud de onda lo hace en la misma proporción, en efecto:
v m edio
m edio
2 · v aire
2·
aire
2 ·1,32 m
2,64 m
Junio 2010 Ejercicio A2 Específico
a) ¿Qué es una onda estacionaria? ¿Cómo se forma? (1 punto)
b) ¿Qué son los nodos de una onda estacionaria? ¿Qué son los vientres, crestas o antinodos? (1 punto)
Una onda estacionaria es la interferencia de dos ondas de idéntica amplitud, frecuencia y longitud de onda
que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario.
Los nodos son puntos del medio que no oscilan, están permanentemente en
reposo. Los vientres o antinodos vibran con una amplitud el doble que la de
las ondas iniciales. Los demás puntos oscilan con amplitudes diferentes, que
depende de su posición, alcanzando todos en el mismo instante posiciones
centrales de vibración. La distancia entre un nodo y un vientre es λ/4.
Dado que los nodos están permanentemente en reposo la onda no viaja por la
cuerda, de ahí el nombre de estacionaria. La energía no se puede propagar
por la cuerda por lo que no es una onda en el sentido estricto. En cada punto, excepto los nodos, la energía
cinética se transforma continuamente en potencial elástica y viceversa.
Septiembre 2010 Ejercicio A2. Modalidad
Si la velocidad de propagación del sonido en el aire es: v = 340 m/s
a) ¿Cuál es la longitud de onda de la voz de un bajo que canta a una frecuencia f = 50 Hz?
b) ¿Cuál es la frecuencia de la voz de una soprano que emite sonidos de longitud de onda λ = 0,17 m?
La relación entre las variables es: v = λ · f
Despejando la longitud de onda:
Despejando la frecuencia: f
v
v
f
340 m / s
50 s
340 m / s
0,17 m
1
6,8 m
2000Hz
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PAEU Solución Movimiento Ondulatorio 2010 y 2011
Septiembre 2010 Ejercicio A2 Específico
Una deformación transversal se propaga a 4,0 m/s a lo largo de una cuerda desde el punto A hasta el
B. En el instante t1 = 0,20 s, la cuerda
tiene la forma que aparece en la figura
adjunta.
a) Dibuje la cuerda en t2 0,35 s y
determine el instante t3 en el que el punto O’ de la onda ha alcanzado el punto C.
b) Halle la duración del movimiento de un punto cualquiera de la cuerda al pasar por él la onda.
a) En el instante t2 = 0,35 s el punto O’ de la onda ha
recorrido una distancia:
distancia = 400 cm/s · 0,35 s = 140 cm
El punto O’ recorre una distancia de 160 cm para
llegar al punto C y el tiempo que tarda es:
t
dis tan cia
v
160cm
400cm / s
A
D
O
O’
C
O
B
O’
10 cm
0,4 s
b) El pulso que pasa por la cuerda se extiende a lo largo de 20 cm de cuerda, por lo que el tiempo que tarda
en recorrer esta distancia es el tiempo que afecta la perturbación a cada punto de la cuerda.
t
20 cm
400cm / s
0,05s
Septiembre 2010 Ejercicio B2 Específico
Una onda se propaga por un medio elástico según la ecuación: y (x, t) = 24 · cos (2000 · t - 5 · x), en
unidades S.I. Calcule:
a) La amplitud, frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación.
b) Calcule el desfase entre dos puntos separados una distancia de 0,2 m.
Comparando la expresión dada con la ecuación general de las ondas armónicas unidimensionales:
yx, t = A · cos (ω · t - k · x)
A = 24 m ; ω = 2 000 rad/s ; ω = 2 · π · f ; 2 000 rad/s = 2 · π · f
k = 5 m-1; k
2·
;
2·
k
2·
5m
1
0,4 · m ; v
2000rad / s
k
5m
1
f = 1000/π Hz
400 m / s
b) Un desfase de 2 · π rad corresponde a una distancia igual a la longitud de onda λ.
0,2 m
2 · rad
0,4 · m
1 rad
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PAEU Solución Movimiento Ondulatorio 2010 y 2011
Junio 2011 Ejercicio B2
Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda en la
dirección positiva del eje X con una velocidad de 5 m s -1. La
figura muestra una gráfica de la variación temporal de la
elongación de la cuerda en el punto x = 0.
a) Calcule la amplitud, el periodo, la longitud de onda y
la ecuación y(x,t) que describe la onda. (1,2 puntos)
b) Represente gráficamente y(x) en el instante t = 0. (0,8 puntos)
a) De la figura se deduce que: A = 0,03 m; T = 2 s
De la ecuación de la velocidad de propagación, se deduce que la
longitud de onda es:
v
T
v·T 5 m / s·2s
10 m
La frecuencia angular y el número de ondas son:
2·
T
2·
2s
rad / s; k
2·
2·
10 m
0,2 · m
1
De la figura se deduce que si utiliza para la descripción de onda la función seno no hay desfase inicial y
como la onda que se propaga hacia la parte positiva del eje X, la ecuación de la onda es:
y (x, t) = A · sen (ω · t - k · x) = 0,03 m · sen (π rad/s · t - 0,2 · π m-1 · x) = 0,03 · sen [π (t - 0,2· x)] m, cuando
el tiempo se mide en s y la posición en m.
b) La gráfica pedida es como una fotografía de la onda en el
instante inicial. Hay que representar la función:
y (x, t=0) = 0,03 · sen [- 0,2 π · x] m
0,03
La gráfica está comprendida entre - 0,03 y - 0,03 m y se repite
con una periodicidad de λ = 10 m.
0
Las elongaciones de las posiciones λ/4 = 2,5 m y 3λ/4 = 7,5 m
en el instante inicial son - 0,03 m y + 0,03 m respectivamente.
y (m)
-0,03
x (m)
5
10
15
20