Convertidores CD-CD. - Facultad de Ciencias

Experimentos en Teoría de Control:
Convertidores CD-CD.
Daniel U. Campos-Delgado
Facultad de Ciencias (UASLP)
Resumen—. En el presente artículo se introduce el desarrollo
de convertidores CD-CD como elementos didácticos en teoría de
control. El modelado de las 3 topologías básicas (Buck, Boost y
Buck-Boost) es detallado, desarrollando los modelos no-lineales
promedio y las aproximaciones lineales para cada caso. La
configuración con perturbación en el voltaje de alimentación es
considerada. Así, se presenta el problema de regulación del
voltaje de salida promedio ante perturbaciones utilizando un lazo
de retroalimentación de voltaje. Controladores PI son propuestos
para este propósito, y por medio del análisis de Routh-Hurwitz se
derivan los rangos de valores para las ganancias del controlador
que garantizan estabilidad de lazo cerrado. La respuesta
transitoria es medida a través del margen de fase del sistema de
lazo abierto. Además también se analiza el efecto de las
perturbaciones a través de la función de transferencia de
sensitividad. Finalmente, tomando el caso del convertidor Boost
(elevador), pruebas experimentales demuestran la efectividad del
diseño final.
Índices—Sistemas de
Electrónica de Potencia.
D
Control,
Convertidores
CD-CD,
I. INTRODUCCIÓN
entro de las carreras con perfil en ingeniería mecánica,
eléctrica o electrónica, la teoría de control es un tema
relevante que se relaciona con aplicaciones prácticas en
estas áreas. Más allá, la creciente tendencia a automatizar los
procesos industriales ha llevado a la teoría de control a ser un
requisito importante en el perfil de los nuevos ingenieros. De
esta manera, durante la licenciatura, conceptos como
modelado matemático, funciones de transferencia, respuesta
transitoria y de estado estable, estabilidad, controladores PID,
respuesta en frecuencia, lugar de las raíces y diseño de
compensadores son cubiertos en los cursos de control. Un
punto esencial durante el proceso enseñanza-aprendizaje recae
en proveer al estudiante con ejemplos prácticos donde pueda
ver la importancia de dichos conceptos. Debido al avance en
los paquetes de simulación numérica, una primera instancia es
utilizar la simulación como un medio para reforzar los
conocimientos teóricos vistos por el estudiante en el salón de
clase. Así, la simulación permite un acceso inmediato a
implementaciones en el área de control. Sin embargo, siempre
es motivante para el estudiante ver implementaciones físicas
El desarrollo de este trabajo fue realizado gracias al apoyo brindado por
PROMEP (Proyecto para la Generación y Aplicación del Conocimiento).
de los algoritmos de control. Al respecto existen compañías
que realizan experimentos didácticos en teoría de control, pero
en ocasiones el precio de estos sistemas puede ser prohibitivo
para algunas instituciones. Otro punto a considerar, es que el
estudiante debe también entender y proyectar que la
implementación de un sistema de control involucra el diseño
de actuadores, compra de sensores e instrumentación
electrónica para acondicionamiento de señales.
Con esta motivación, se buscó desarrollar un experimento
didáctico que pudiera ser de bajo costo y que involucrara los
aspectos esenciales cubiertos en la materia básica de teoría de
control: modelado matemático, funciones de transferencia,
estabilidad y respuesta transitoria. El experimento
desarrollado es el de la regulación del voltaje de salida en un
convertidor CD-CD, el cual satisface los aspectos antes
descritos y su puesta en marcha requiere conocimientos de
teoría de circuitos y amplificadores operacionales. La
organización del resto del artículo se presenta a continuación.
La Sección 2 describe las tres configuraciones de los
convertidores CD-CD estudiadas y el modelado matemático se
obtiene para cada topología. A continuación, en la Sección 3
la instrumentación electrónica necesaria en el experimento se
ilustra. El diseño de los controladores PI se detalla en la
Sección 4. Finalmente, las pruebas experimentales para el
convertidor Boost se presentan en la Sección 5, y comentarios
finales se dan en la Sección 6.
II. CONVERTIDORES CD-CD
Los convertidores CD-CD son configuraciones de
electrónica de potencia que permiten a partir de una fuente de
CD constante, controlar el voltaje CD a la salida del
convertidor [1],[2],[3]. Estos convertidores tienen múltiples
aplicaciones: fuentes de poder en computadoras, sistemas
distribuidos de potencia, sistemas de potencia en vehículos
eléctricos, etc. Las configuraciones básicas son tres: Buck
(reductora), Boost (elevadora) y Buck-Boost (elevadorareductora). Estas configuraciones permiten elevar, reducir o
elevar/reducir el voltaje de alimentación (vs) en la salida (vo).
Cada configuración a su vez contiene cuatro elementos
básicos: bobina (L), capacitor (C), diodo y un interruptor
controlado (Q); así las propiedades de cada topología
dependen de la ubicación de estos cuatro elementos, ver
Figura 1, 2 y 3. Se asume en general que la carga para los
convertidores es de tipo resistiva (R).
•
Resistencias parásitas y caídas de voltaje en los
elementos reactivos del circuito.
Debido a estos factores, se debe añadir un lazo de control y así
poder regular el voltaje de salida en el valor deseado.
Figura 1. Convertidor Buck (Reductor).
Figura 4. Esquema de Conmutación PWM.
Por lo tanto, el problema de control se plantea asumiendo
que las variables de interés poseen un valor constante y una
parte fluctuante:
vs = Vs + vˆs (t )
vo = Vo + vˆo (t )
Figura 2. Convertdir Boost (Elevador).
(2)
u = U + uˆ (t )
En consecuencia, se busca reducir las variaciones en el voltaje
de salida ante el efecto de las posible perturbaciones del
voltaje de alimentación y resistencia de carga, añadiendo un
factor de corrección en el ciclo de trabajo û(t). Esto se logra
utilizando un lazo de retroalimentación proporcional-integral
(PI) [2] como se muestra en la Figura 5.
Figura 3. Convertidor Buck/Boost (Reductor/Elevador).
La variable a controlar para regular el voltaje de salida es el
patrón de conmutación del interruptor controlado. Siendo la
estrategia base conmutar el interruptor a una frecuencia fija
variado solamente el tiempo de activación del mismo:
estrategia PWM (Pulse Width Modulation). Esta estrategia se
puede implementar a través de comparar una señal diente de
sierra (vrampa) de frecuencia fija (f) y voltaje pico Vmax, con un
voltaje de referencia (vref) para lograr el voltaje de activación
(vPWM), ver Figura 4. Notar que se debe de cumplir siempre
que 0 ≤ vref ≤ Vmax. Por lo tanto, si ton representa el tiempo en
que el interruptor esta activado y T=1/f el periodo de
conmutación, se define el ciclo de trabajo U como:
U=
t on
⇒ 0 ≤U ≤1
T
(1)
Ahora, los convertidores CD-CD son usualmente diseñados
para trabajar bajo ciertas condiciones de operación. De esta
manera, se define el voltaje deseado de salida (Vo), el voltaje
de nominal de alimentación (Vs) y el valor de la carga. Así,
bajo este panorama se puede calcular cual debe ser el ciclo de
trabajo promedio del convertidor. Sin embargo, en la realidad
el convertidor esta sujeto a diversos agentes externos:
• Perturbaciones en el voltaje de alimentación,
• Variaciones en la carga,
Figura 5. Lazo de Control de Voltaje para Convertidores CD-CD.
El actuador del sistema de control (modulador PWM) tiene
la estructura que se muestra en la Figura 4. Su salida es
entonces el voltaje de polarización de compuerta (vg) para el
interruptor activo Q. Nótese que la señal de error (e) que
procesa el controlador PI también representa la variación del
voltaje de salida vˆo sobre su valor promedio deseado, lo que
enfatiza el objetivo de control que es minimizar esta variable.
A continuación se detalla el modelado matemático de los tres
convertidores CD-CD.
A. Modelado Matemático del Convertidor Buck
El modelado matemático del convertidor Buck se realizará
asumiendo que este trabaja en modo-continuo de conducción
(MCC), es decir la corriente en el inductor y el voltaje en el
capacitor poseen un valor constante, y una parte fluctuante
alrededor de un valor promedio. Esta condición de operación
está ligada a los valores de la inductancia, la resistencia de
carga del convertidor y a la frecuencia de conmutación, por la
relación mostrada en la Tabla 1.
Buck
Boost
2 Lf
> U (1 − U ) 2
R
2 Lf
> (1 − U )
R
Buck/Boost
2 Lf
> (1 − U ) 2
R
t +T
1
x2 =
T
t +T
u=
1
T
∫ i (τ )dτ
L
t
∫ v (τ )dτ
t +T
∫ µ (τ )dτ
t
dx1
x V
vˆ
=− 2 + s u+ s u
dt
L L
L
dx2 x1 x2
= −
dt C RC
Vo
De esta manera se puede llegar al modelo del convertidor
Buck en (3):
diL
v v
=− o + s µ
dt
L L
dvo
v
i
=− o + L
dt
RC C
Buck
Boost
Buck/Boost
Vo
R
U ⋅ Vs
Vo
R(1 − U )
Vs
(1 − U )
−Vo
R(1 − U )
−U
Vs
(1 − U )
(B)
Figura 6. Modos de Operación en el Convertidor Buck (A) QÆ ON (µ=1) y
(B) QÆ OFF (µ=0).
(3)
donde la variable de control µ = 0 o 1 es el estado del
interruptor Q. Más allá, considerando que se trabaja bajo un
esquema de modulación PWM, se toma un modelo promedio
del sistema en (3), con estados definidos en (4).
(5)
Ahora, los valores en CD de las variables de estado pueden
obtenerse a partir del modelo promedio tomando la derivada
igual a cero y despejando en cada caso. Estos valores se
muestran en la Tabla 2.
Valor
Promedio
IL
(A)
(4)
o
t
En la descripción de (4), al integrar la variable de control µ
sobre el periodo de conmutación T, la nueva variable de
control u representa ahora el ciclo de trabajo. Nótese que si se
toma una frecuencia de conmutación f=1/T suficientemente
grande los valores promedio de las variables reales se acercan
a los valores instantáneos. Así, el modelo promedio del
convertidor incluyendo variaciones en el voltaje de
alimentación está dado por (5):
Tabla 1. Condiciones para MCC en cada Convertidor CD-CD.
La técnica utilizada para obtener el modelo del convertidor
se basa en espacio de estados, y en definir 2 condiciones de
operación del interruptor activo Q: ON (µ=1) y OFF (µ=0).
Enseguida, se toman 2 estados en el sistema: corriente en el
inductor iL y el voltaje de salida vo (el cual también representa
el voltaje en el capacitor). Los circuitos equivalentes para
ambas condiciones de operación se muestran en la Figura 6.
1
x1 =
T
Tabla 2. Valores Promedio de los Estados en los Convertidores CD-CD.
Finalmente, tomando la aproximación lineal de (5)
alrededor de la condición nominal (Vs,Vo,U,R) de operación,
se obtiene el modelo lineal en espacio de estados (6):

 x1   0
 x  =  1
 2
 C
−1

V 
U
L   x1   s L  ˆ  L  ˆ
+
+
u

 vs
−1   x2   0 


0



RC 
(6)
x 
y = [ 0 1]  1 
 x2 
Por lo tanto, se pueden definir 2 funciones de transferencia (7)
y (8) con respecto a las variaciones en el voltaje de salida vˆo :
G1 ( s ) =
G2 ( s) =
1
vˆo ( s ) Vo
LC
= ⋅
uˆ( s ) U s 2 + 1 s + 1
RC
LC
vˆo ( s)
=U ⋅
vˆs ( s)
1
s2 +
(7)
LC
(8)
1
1
s+
RC
LC
las cuales representan el efecto de las variaciones del ciclo de
trabajo (control) con respecto al voltaje de salida (G1(s)), y las
variaciones del voltaje de entrada (perturbación) con respecto
al voltaje de salida (G2(s)). Esta relación se muestra
gráficamente en la Figura 7.
siguiendo los mismos pasos que para el convertidor Buck se
puede llegar a un modelo promedio dado por (4):
dx1
x x
V vˆ
= − 2 + 2 ⋅u + s + s
dt
L L
L L
dx2 x1 x1
x
= − ⋅u − 2
dt C C
RC
donde se mantiene la definición de las variables de estado de
la ecuación (5). Nótese que el modelo en (9) es bilineal, ya
que presenta términos donde un estado se multiplica por la
variable de control. Al respecto, el problema de control
también puede ser visualizado utilizando técnicas de control
no-lineal [4]. Ahora, tomando los valores en CD de las
variables de estado (Tabla 2), se puede obtener una
aproximación lineal del modelo promedio en términos de las
funciones de transferencia en (10) y (11):
−Vo
vˆ ( s )
G1 ( s ) = o
=
⋅
uˆ ( s ) (1 − U ) RC
Figura 7. Relación Lineal entre las Señales de Control y Perturbación en
Convertidores CD-CD.
Buck
Polos
ωn
ζ
1
LC
1 L
2R C
Cero
------
Mr
2 R 2C
ωr
Boost
1−U
LC
Buck/Boost
1
L
2 R (1 − U ) C
R (1 − U ) 2
L
R(1 − U ) 2
LC
2 R 2C (1 − U )
L(4 R 2C − L)
L  4 R 2C (1 − U ) − L 
11
1 
 −

C  L 2 R 2C 

11
1
 −

C  L 2 R 2C (1 − U ) 2 
Tabla 3. Características Dinámicas de la Función de Transferencia G1(s) en los
Convertidores CD-CD.
Las funciones de transferencia en (7) y (8) son estables y
presentan una respuesta subamortiguada bajo la condición
4R2C-L>0, con esta premisa se derivan los parámetros de
frecuencia natural ωn y amortiguamiento ζ de los polos
complejos que se muestran en la Tabla 3. Además se incluye
el valor del pico de resonancia Mr y su respectiva frecuencia
ωr [7],[8]. Nótese que las funciones de transferencia en (7) y
(8) no contienen ceros.
B. Modelo Matemático del Convertidor Boost.
Por limitaciones de espacio en el artículo no se presenta a
detalle el modelado matemático para este convertidor. Así,
(9)
G2 ( s ) =
vˆo ( s )
= (1 − U ) ⋅
vˆs ( s )
R(1 − U ) 2
L
(1 − U ) 2
1
s2 +
s+
RC
LC
s−
1
LC
1
(1 − U ) 2
s +
s+
RC
LC
(10)
(11)
2
Las funciones de transferencia (10) y (11) son estables y se
observa que los polos dependen de la condición del ciclo de
trabajo promedio U. Más allá, (10) y (11) muestran una
respuesta subamortiguada (polos complejos) bajo la condición
4R2(1-U)2C-L>0. Además, se tiene que (10) es de fase nomínima pues posee un cero inestable (ver Tabla 3), lo que
limitará el desempeño del sistema de control. Las
características dinámicas de la función de transferencia G1(s)
se muestran en la Tabla 3.
C. Modelo Matemático del Convertidor Buck/Boost
El modelo promedio de este convertidor está dado por
(12):
dx1 x2 x2
V
vˆ
= − ⋅u + s ⋅u + s ⋅u
dt
L L
L
L
dx2
x x
x
= − 1 + 1 ⋅u − 2
dt
C C
RC
(12)
Tomando la aproximación lineal de (12) alrededor de la
condición nominal (Vs,Vo,U,R) de operación, se obtienen las
funciones de transferencia en (13) y (14):
−Vo
vˆ ( s )
G1 ( s ) = o
=
⋅
uˆ ( s ) (1 − U ) RC
G2 ( s ) =
vˆo ( s )
= −U (1 − U ) ⋅
vˆs ( s )
R(1 − U ) 2
LU
(1 − U ) 2
1
2
s +
s+
RC
LC
s−
1
LC
1
(1 − U ) 2
s +
s+
RC
LC
3) Etapa de Potencia
(13)
La etapa de potencia para los tres convertidores (Figuras
1,2 y 3) se realizó utilizando los mismos componentes en cada
caso, y tomando las condiciones de operación mostradas en la
Tabla 4.
(14)
2
El denominador de ambas funciones de transferencia
presenta raíces complejas estables bajo la condición 4R2(1U)2C-L>0. La función de transferencia (13) posee además un
cero real inestable más alejado del origen que el cero del
convertidor Boost. Lo cual afectará los alcances del sistema de
control. Algunos parámetros de la respuesta en frecuencia del
sistema lineal se muestran en la Tabla 3.
vref
III. INSTRUMENTACIÓN DEL EXPERIMENTO
Enseguida se detalla la instrumentación electrónica
necesaria para la implementación de los convertidores CDCD. Este desarrollo se dividió en tres etapas:
1.
2.
3.
Figura 8. Implementación del Modulador PWM.
Modulador PWM
Etapa de Acoplamiento
Etapa de Potencia
1) Modulador PWM
El modulador PWM se realizó a través de 2 bloques. En el
primero, una configuración integradora con reset y un
comparador implementados a través de amplificadores
operacionales [5],[6] generan un voltaje de rampa vrampa (ver
Figura 8) a una frecuencia f=50 kHz y Vmax=5 V. Finalmente
esta señal es comparada con un voltaje de referencia vref por
medio de un LM 311, y así se produce el voltaje de activación
PWM.
2) Etapa de Acoplamiento
La etapa de acoplamiento mostrada en la Figura 9, se usó
para aislar el modulador PWM de la etapa de potencia por
medio de un opto-acoplador 6N135. En la configuración
mostrada se necesita una fuente independiente de voltaje que
provea de corriente y voltaje suficiente a la compuerta del
interruptor para encenderlo. Así entonces, se usa una fuente
independiente de +12V. En la Figura 9, el primer transistor
refuerza la señal de PWM para poder suministrar la corriente
necesaria al diodo emisor del opto-acoplador. El último
transistor es utilizado para invertir la señal PWM dada por la
configuración de transistor del opto-acoplador. Los
transistores utilizados son el 2n2222 que cumplen con las
especificaciones de conmutación que se requiere para el uso
de la técnica de PWM.
Figura 9. Etapa de Acoplamiento
Vs
Vo
U
Buck
15 V
9V
0.6
Boost
9V
15 V
0.4
Buck/Boost
9V
-15 V
0.625
Tabla 4. Valores Nominales para el Diseño de los Convertidores CD-CD.
Modulador PWM
y acoplamiento
Boost
Buck/Boost
Buck
Figura 10. Implementación Física de los Convertidores CD-CD.
amplificación de las perturbaciones al sistema de control.
Ambos índices de pueden describir matemáticamente por (17):
Con esta consideración de diseño se escogieron los valores
de los elementos de los convertidores:
Φ=180o + (( C(s) ⋅ G1(s)) s= jω → C( jωc ) ⋅ G1( jωc ) =1
•
•
•
•
•
RP = max G2 ( jω) ⋅ S( jω)
Interruptor Activo: MOSFET IRF640
Diodo de Conmutación Rápida: MUR1520
Capacitor: 1000 µF / 50 V
Bobina: 200 µH.
Resistencia de Carga: 10 Ω.
IV. DISEÑO DE CONTROLADORES PI
El diseño de los controladores PI se dividió en dos etapas.
Primero se define el rango que pueden tomar las ganancias
proporcional Kp e integral Ki del controlador para mantener
estabilidad de lazo cerrado. La estructura del controlador está
dada por (15):
Ki
s
(15)
El análisis de estabilidad se realizó aplicando el criterio de
Routh-Hurwitz [7],[8] al polinomio característico de la
función de transferencia T(s):
T ( s) =
(17)
0≤ω<∞
La elección de estos elementos garantiza que los convertidores
trabajarán en MCC para la consideración de operación elegida
(Tabla 4). La implementación física de los tres convertidores
se muestra en la Figura 10.
C (s) = K p +
c
C ( s ) ⋅ G1 ( s )
1 + C ( s ) ⋅ G1 ( s )
(16)
1
S (s) =
1 + C ( s ) ⋅ G1 ( s )
donde S(s) representa la función de transferencia de
sensitividad. La elección del controlador PI se enfoca a
mejorar las características de seguimiento del sistema de
control debido a la acción integral del controlador. No se
considera incluir acción derivativa ya que presenta una alta
sensitividad ante ruido en la medición del sensor de voltaje.
Enseguida, la elección particular de cada ganancia del
controlador se puede realizar utilizando varios criterios de
desempeño:
1. Margen de Fase Φ → fase de la función de
transferencia de lazo abierto C(s)G1(s) en la
frecuencia de crossover ωc.
2. Rechazo de Perturbaciones RP → Máximo valor en
la respuesta en frecuencia de la función de
transferencia de las perturbaciones a la salida
G2(s)S(s).
Con el primer índice se desea obtener un valor de los
parámetros de control (Kp,Ki) tal que se maximize el margen
de fase y así aumentar el factor de amortiguamiento de lazo
cerrado [7]. Por otro lado, con el segundo índice de
desempeño se busca minimizar el máximo factor de
El valor óptimo de las ganancias se puede obtener por
medio de un barrido de valores para (Kp,Ki). Así, utilizando el
análisis de Routh-Hurwitz se definen intervalos para las dos
ganancias tal que se garantize estabilidad y después se realiza
el cómputo de las superficies de desempeño (Kp,Ki,Φ) y
(Kp,Ki,RP) a través de simulación numérica. Esto se puede
realizar por medio de un lenguaje de programación de alto
nivel o MATLAB©. De esta manera se puede seleccionar de
modo visual los valores óptimos de las ganancias para cada
índice, y encontrar un punto común de balance entre ambos
requerimientos. A continuación se derivan los rangos de
estabilidad para los parámetros (Kp,Ki) en cada convertidor
CD-CD.
A. Análisis de Estabilidad Convertidor Buck
Tomando la función de transferencia G1(s) en (7) y el
polinomio característico 1+C(s)G1(s)=0, se realiza el análisis
de Routh Hurwitz resultando en las siguientes condiciones:
Ki > 0
(18)
U
1
Ki <
+
⋅Kp
Vo RC RC
lo cual define la región mostrada en la Figura 10. A partir de
esta figura es posible observar que la ganancia proporcional
no se ve acotada en su valor máximo, sin embargo se debe
considerar los posibles efectos de saturación debido a que la
señal de control debe estar siempre limitada al intervalo [0,1].
Figura 10. Región de Estabilidad para Convertidor Buck
B. Análisis de Estabilidad Convertidor Boost
De manera similar que en el caso anterior, se toma la
función de transferencia (10) como base para el análisis de
estabilidad, obteniéndose los márgenes de estabilidad:
Kp <
1−U
Vo
V. PRUEBAS EXPERIMENTALES
(19)
Ki > 0

1−U  
1−U 
 Kp −
 Kp +

Vo  
Vo 
R(1 − U ) 2 
Ki <
⋅
2
2
L

1 − U  CR (1 − U )
Kp −
+ 1

Vo 
L

Ahora, se observa que la ganancia proporcional se ve limitada
en su valor máximo a (1-U)/Vo, esto debido al cero de fase nomínima de la planta G1(s). En la Figura 11 se muestra la
región de estabilidad a partir de las relaciones obtenidas en
(19).
Una vez detallado el proceso de diseño de los controladores
PI para cada convertidor, se toma como ejemplo el
convertidor Boost bajo las condiciones de operación
mostradas en la Tabla 4. Por lo tanto, sustituyendo las valores
de los elementos usados en la implementación del convertidor
(Sección III.3) en las ecuaciones (10) y (11), se deducen las
aproximaciones lineales correspondientes:
G1 ( s ) =
−2500 ⋅ ( s − 1.8 ×104 )
s 2 + 100 s + 1.8 × 106
(22)
G2 ( s ) =
3 × 106
s 2 + 100 s + 1.8 × 106
(23)
La respuesta en frecuencia de estas funciones de
transferencia se muestra en la Figura 13. Ahora, realizando el
análisis de estabilidad descrito en la Sección IV, se puede
deducir un intervalo simétrico para las ganancias del
controlador PI tal que mantenga estabilidad de lazo cerrado.
Así se obtuvieron los siguientes intervalos:
Figura 11. Región de Estabilidad para Convertidor Boost.
K p ∈ (0, 0.03]
C. Análisis de Estabilidad Convertidor Buck/Boost
K i ∈ (0,1.5]
Debido a que el voltaje de salida de este convertidor es
negativo, el análisis de estabilidad de lazo cerrado se realiza
asumiendo retroalimentación positiva. Así, se toma la función
de transferencia en (13) como planta, y se llega a los
siguientes márgenes de estabilidad:
Kp <
1−U
−Vo
(20)
Ki > 0
Ki <
c ⋅ K p2 +
Finalmente, utilizando los índices de desempeño definidos
en (17), se realizó el cómputo de las superficies de costo
tomando 25 valores intermedios en los intervalos descritos en
(24). Esto se implementó a través de MATLAB © y Control
System Toolbox. Las superficies se muestran en las Figuras
14 y 15. De esta manera, analizando las superficies se observa
que con los valores Kp=0.03 y Ki=0.5 se obtiene un valor de
margen de fase mayor a 30º y se minimiza el valor de RP.
1
ab
(b − ac) ⋅ K p − 2
d
d
c+a
Kp −
d
donde
a=
−Vo
1
(1 − U ) 2
R (1 − U ) 2
,b =
,c =
,d =
RC
LC
LU
RC (1 − U )
(21)
En la Figura 12 se muestra la región de estabilidad a partir de
las relaciones obtenidas en (20).
Figura 13. Respuesta en Frecuencia del Convertidor Boost.
Figura 12. Región de Estabilidad para Convertidor Buck/Boost.
(24)
Figura 14. Superficie de Costo para Margen de Fase: Convertidor Boost.
Figura 16. Respuesta Experimental al Conmutar el Sistema de Control de
Lazo Abierto a Lazo Cerrado.
Figura 15. Superficie de Costo para Índice RP: Convertidor Boost.
Una vez finalizada la etapa de diseño del controlador PI se
realizaron pruebas experimentales con la ayuda del sistema de
adquisición y procesamiento de datos dSpace DS1104. Sin
embargo, la implementación podría también realizarse
utilizando amplificadores operacionales [7]. Una de las
ventajas del sistema dSpace es que permite grabar las señales
del experimento en tiempo real para después graficarlas en
MATLAB. El sistema de adquisición se programó a una
frecuencia de muestreo de 20 kHz. La alimentación de voltaje
del convertidor se tomó de una fuente de voltaje variable
Tektronix PS282 de 15 V/5 A. Es importante recalcar que el
sensor de voltaje utilizado (ver Figura 5) fue un amplificador
operacional en configuración de voltaje diferencial [5], lo que
permite aislar la etapa de potencia del sistema de control. Se
tomaron tres casos de prueba:
1. Sistema trabajando inicialmente a lazo abierto y
conmutar a lazo cerrado (Figura 16).
2. Escalón en la resistencia de carga de R=10Ω a
R=6.67 Ω (Figura 17).
3. Ajuste gradual en el voltaje de alimentación de
Vs=9V a Vs=12 V (Figura 18).
Como se observa en las respuestas experimentales de las tres
pruebas (Figuras 16, 17 y 18), el sistema de control es capaz
de regular de manera robusta el voltaje de alimentación a 15 V
a pesar de cambios de carga y en el voltaje de alimentación.
Figura 17. Respuesta Experimental ante un Cambio de Resistencia de Carga.
VI. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES
En el presente artículo se detalla el desarrollo de un sistema
de control para convertidores CD-CD. Las tres topologías
básicas son estudiadas: Buck, Boost y Buck/Boost. El
modelado matemático, así como las herramientas para diseñar
controladores PI con retroalimentación de voltaje son
ilustradas. Se considera que este ejemplo de sistema de
control puede ser desarrollado fácilmente debido a su bajo
costo, y además los estudiantes requieren ejercitar los
conceptos elementales en teoría de control (modelado
matemático, respuesta en frecuencia, análisis de estabilidad, y
rechazo de perturbaciones) para llevar a cabo el diseño. Por
lo tanto, se considera que pueden ser una buena elección para
desarrollar experimentos educativos en teoría de control.
Figura 18. Respuesta Experimental ante un Ajuste en el Voltaje de
Alimentación.
VII. REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
H. Rashid, Muhammad. “Electrónica de Potencia, circuitos, dispositivos
y aplicaciones”, 2ª ed., Prentice Hall., 1995.
R.W. Erickson y D. Maksimoivc, “Fundamentals of Power Electronics”,
2ª Edición, Kluwer Academic Press, 2001.
M.H. Rashid, “Power Electronics Handbook”, Academic Press, 2001.
A. Kugi y K. Schlacher, “Nonlinear H∞ –Controller Design for DC-toDC Power Converter”, IEEE Transactions on Control Systems
Technology, Vol. 7, No. 2, pp. 230-237, 1999.
R. Coughlin. F. Driscoll, “Amplificadores Operacionales y integrados
lineales”, 5a ed., Prentice may 1999.
Boylestad Nashelsky, “Electronica: Teoria de Circuitos”, 6a ed., Prentice
Hall, 1997.
K. Ogata, “Ingeniería de Control Moderna”, 4a Edición, Prentice Hall,
2002.
W. Bolton, “Ingeniería de Control”, 2ª Edición, Alfaomega, 2001.