Números Racionales, Irracionales y Complejos

Introducción a las Matemáticas
Ma1001
Álgebra Elemental
Números Racionales, Irracionales y Complejos
OBJETIVOS
Unidad
Tema
Subtema
Objetivos
I Álgebra
1.1 Álgebra Elemental
1.1.6 Números Racionales, Irracionales y Complejos
Definir número complejo
Probar las propiedades de los números complejos
Escribir los números complejos en cualesquiera de sus formas
Operar los números complejos en cualesquiera de sus formas
Definir número racional
Definir número irracional
Ngj/v2010
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1.1.6 Números Complejos
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Álgebra Elemental
1.1.6 Números Complejos
−1 ⇒ no existe en los números reales
⇒ IMAGINARIO
Números complejos: Z=(a,b)
(a,b) : Número Complejo
Parte imaginaria
Parte real
Z 1 = (a1 , b1 )
Z 2 = ( a 2 , b2 )
Z 1 + Z 2 = ( a1 + a 2 , b1 + b2 )
Suma de Números Complejos
PROPIEDADES
Z1 + Z 2 = Z 2 + Z1
CONMUTATIVA
( Z1 + Z 2 ) + Z 3 = Z1 + ( Z 2 + Z 3 )
Z + Z0 = Z
donde Z 0 = (0,0)
Z + (− Z ) = Z 0
IDENTIDAD
INVERSO ADITIVO
Z 1 ⋅ Z 2 = ( a 2 a1 − b2 b1 , a 2 b1 + b2 a1 )
Multiplicación de Números Complejos
PROPIEDADES
Z1 ⋅ Z 2 = Z 2 ⋅ Z1
(Z1 ⋅ Z 2 ) ⋅ Z3 = Z1 ⋅ (Z 2 ⋅ Z3 )
Z ⋅1 = Z
Z ⋅ Z −1 = 1
1 = (1,0)
Z −1 =
a
−b
,
a 2 + b2 a 2 + b2
Z1
1
= Z1 ⋅
= Z1 ⋅ Z 2−1
Z2
Z2
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1.1.6 Números Complejos
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Raíz cuadrada de números reales negativos
i = −1
Donde i es un número
imaginario
i 2 = −1
Para todo x positiva, las dos raíces cuadradas de –x son:
i x y −i x
Ejemplos:
1) Las raíces cuadradas de − 9 son 3i y − 3i puesto que
− 9 = i 9 = 3i,
2)
− i 9 = − 3i
8 + − 32 = 8 + i 32
= 8 + i 16 ⋅ 2
= 8 + 4i 2
entonces Z = (8,4 2 )
8 + − 32 + 2 − − 8 = 8 + i 32 + 2 − i 8
= 8 + 4i 2 + 2 − 2i 2
= 10 + 2i 2
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1.1.6 Números Complejos
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Álgebra Elemental
Clasificación de lo números
Un número es un símbolo que representa una cantidad. Es también una
entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los números más conocidos
son los números naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si añadimos los
números negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los
números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con
decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los números reales; si a
éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números
necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Entre los reales, existen
números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica. Reciben el
nombre de transcendentales o irracionales. El ejemplo más famoso de estos
números es π (Pi), otro ejemplo fundamental e igual de importante es e, base de los
logaritmos naturales.
Existe toda una teoría de los números. Se distinguen distintos tipos de
números:
1)
Número primo
Números compuestos
Número perfectos
Números naturales
2) Números enteros
Pares
Impares
3) Números reales
irracionales
Algebraicos
Trascendentes
4) Números racionales
5) Números complejos
6) Cuaterniones
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1.1.6 Números Complejos
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máticas
Ma
a1001
Álgebra Elementa
al
Número
o
D
Descripci
ión
N
Natural
Todo núm
mero entero po
ositivo (1, 2, 3,4
4,...) o como tod
do número
entero no
o negativo (0, 1,
1 2, 3, 4,...). Alg
gunos matemáticos
(especialm
mente los de Teoría
T
de Númeeros) prefieren no
reconocer el cero como un número nattural, mientrass que otros,
especialm
mente los de Teeoría de Conjun
ntos, Lógica e Informática,
tienen la postura opuestta. Nota: En esste curso, tomaremos el
cero com
mo número natu
ural.
E
Entero
Son del tiipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los
naturaless, sus opuestos (negativos) y el
e cero.
R
Real
Los númeeros reales se definen
d
de man
nera intuitiva co
omo el
conjunto de números qu
ue se encuentra
an en una recta
a infinita: la
recta num
mérica. El conju
unto de los núm
meros reales see expresa por
Elemento
os
0, 1, 2, 3, 4,
4 5, 6, 7, 8,, 9, …
… -3, -2
2, -1, 0, 1, 2,, 3, …
la letra
. El nombree de "número reeal" se propuso
o como
antónimo
o de "número im
maginario".
El concep
pto de número real se originó cuando se con
nstató la
existencia
a de los númerros irracionaless. Así, el conjun
nto de los
números reales se origin
na como la unión del conjunto de los
números racionales y ell conjunto de lo
os irracionales. Igualmente,
incluye ta
ambién los núm
meros naturales y los números enteros.
Por tanto
o, los números reales pueden ser racionales o
irraciona
ales, algebraicoss o trascendenttes; y positivoss, negativos,
o nulos.
R
Racional
Todo aqu
uel número quee puede ser exp
presado en form
ma de
fracción (como
(
resultad
do de la división
n de dos númerros enteros,
con el div
visor distinto de
d 0). El conjun
nto de los racion
nales se nota
por "quotient", o seea "cociente" en
n varios idioma
as europeos.
Estos núm
meros contieneen los númeross enteros, númeeros
decimales. Los númeross racionales cumplen la propiiedad
arquimed
diana, esto es, para
p
cualquier pareja de núm
meros
racionalees existe otro nú
úmero racionall situado entre ellos.
Los racio
onales se caractterizan por teneer un desarrollo decimal
(en cualq
quier base de nu
umeración), cu
uya expresión puede
p
ser de
tres tiposs:
Exacta: en
e la cual, la parte decimal tien
ne un número finito de
cifras. Ej.. 8/5 = 1.6;
Periódica
a pura: toda la parte
p
decimal se
s repite indefiinidamente.
Ej.1/7 = 0,.142857
0
1428
857...;
Periódica
a mixta: no tod
da la parte decim
mal se repite. Ej.1/60
E
=
0.01 6 6....
En efecto
o, al dividir un entero
e
por otro
o, (ejemplo 1 po
or 7) sólo
existen un número finitto de restos possibles. Siendo la sucesión
de restos infinita, apareecerá forzosameente un mismo
o resto en dos
posicionees distintas. A partir
p
de ellas, el cálculo se reepite igual.
C
Complejos
Los Núm
meros Comple
ejos son una extensión
e
de loss números
reales, cu
umpliéndose qu
ue
. Los números complejos
tienen la capacidad de representar
r
tod
das las raíces dee los
polinomiios, cosa que co
on los reales no
o era posible.
Esto se co
onsigue graciass a que los com
mplejos hacen uso
u de una
unidad im
maginaria llam
mada número i, que verifica la propiedad:
i2 = − 1
Esta unid
dad imaginaria es de hecho la
a que permite definir
d
las
Ngj/
/v2010
a
b
Cada comp
plejo se rep
presenta en
n
forma binomial como
o:
z = a + ib
a es la parrte real del número
n
complejo z,
z y
b es su parrte imagina
aria.
5
1.1.6 Númeeros Complejos
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Álgebra Elemental
operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay
que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe
trabajarse en forma independiente.
Cuaterniones
Son una extensión de los números reales, similar a la de los
números complejos. Mientras que los números complejos son
una extensión de los reales por la adición de la unidad
imaginaria i, tal que i2 = − 1, los cuaterniones son una extensión
generada de manera análoga añadiendo las unidades
imaginarias: i, j y k a los números reales y tal que i2 = j2 = k2 = i j
k = − 1.
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1.1.6 Números Complejos