Mecánica celeste y coordenadas astronómicas

Coordenadas astronómicas
Mecánica celeste
por José Bosch
• Las coordenadas terrestres: latitud y
longitud
• La bóveda celeste. Ecuador, eclíptica y
punto Aries
• Coordenadas ecuatoriales: ascensión
recta y declinación
• Coordenadas altazimutales
• Mecánica celeste: Movimiento
planetario, leyes de Kepler, ley de la
gravitación de Newton. Determinación
de órbitas
Coordenadas terrestres
• Sobre la superficie de una esfera un
punto queda especificado por dos
cantidades.
• Latitud: Ángulo desde el ecuador al polo
norte geográfico.
• Longitud: Ángulo desde el meridiano
cero.
Longitud y latitud terrestres
CAAT
39º 57' 0.5" N
1º 06' 33.4'' W
• La bóveda celeste es la semiesfera
aparente que vemos sobre nosotros al
anochecer.
• Tomamos un ecuador celeste, que es la
proyección imaginaria del ecuador
terrestre sobre la bóveda.
• La eclíptica es la línea aparente por la
que se mueve el Sol sobre la esfera
celeste. El ecuador y la eclíptica se
cortan en los puntos Aries y Libra.
• La declinación es similar a la latitud y la ascensión
recta es similar a la longitud. El punto Aries se toma
como origen de las ascensiones rectas.
Ejes de una montura ecuatorial
Las coordenadas ecuatoriales
sirven para buscar un objeto
celeste
• Queremos buscar la galaxia del
sombrero M 104 cuyas coordenadas
son:
α = 12h 40m
δ = -11º 37’
y sabemos que la brillante Spica está en
α = 13h 25m
δ = -11º10’
• Con nuestro telescopio, buscamos
Spica. Si nuestro telescopio está bien
puesto en estación y nuestro eje de
declinación está bien calibrado, en ese
eje podremos leer los -11º 10' de la
posición de la estrella.
• A continuación, el círculo graduado del
eje de α lo giramos sin mover el
telescopio hasta que marque las 13h
25m.
• Una vez hecho esto, y con las
coordenadas de la galaxia que ya
conocemos, soltamos la sujeción de la
declinación y movemos el telescopio en
este eje hasta que marque -11º 37'.
• Ahora soltamos la fijación de la α y
movemos el telescopio (sin tocar el
disco graduado) hasta que indique las
12h. y 40m.
• Si miramos por el ocular, deberíamos
tener a la vista M104.
Coordenadas altacimutales
• Estas coordenadas definen el horizonte
del observador como plano fundamental.
• El cénit corresponde con el polo.
• Altitud o elevación es el ángulo entre el
horizonte y el cénit.
• Azimut es el ángulo sobre el horizonte
medido desde el Norte.
• Estas coordenadas están centradas en la
Tierra y cambian con el tiempo.
Montura altazimutal
Búsqueda de objetos en Alt-Az
• Existe una técnica denominada “Star
hopping” o salto de estrellas, usada en
telescopios Dobson.
• Consiste en ir a una estrella conocida y
a partir de ella “saltar” a otras brillantes
y conocidas cercanas hasta localizar el
objeto.
Mecánica celeste
Modelo de Ptolomeo (100 – 170 ) Almagesto
Revolución copernicana (1473 - 1543)
Tycho Brahe y J. Kepler (1571 – 1630)
Isaac Newton (1643 – 1727) Principia Mathematica
Determinación de órbitas (Gauss) (1777 – 1855)
Relatividad general (A. Einstein) ( 1879 – 1955)
Leyes de Kepler
1ª ley: Todos los planetas describen órbitas
elípticas alrededor del Sol y éste ocupa uno de
sus focos.
Segunda ley de Kepler
• Las áreas barridas por el radio vector
que une el centro del Sol con el de un
planeta son proporcionales a los
tiempos empleados en describirlos.
Tercera ley de Kepler
• Los cuadrados de los tiempos empleados
por dos planetas en sus revoluciones
alrededor del mismo astro son
proporcionales a los cubos de los
semiejes mayores de las elipses que
describen en su trayectoria.
𝑇𝑇12 𝑎𝑎13
2 = 3
𝑇𝑇2
𝑎𝑎2
2
2
𝑇𝑇
4𝜋𝜋
=
𝑎𝑎3 𝐺𝐺(𝑀𝑀 + 𝑚𝑚)
Ley de la gravitación universal
• A partir de la tercera ley de Kepler y
sabiendo la fuerza centrípeta que un
planeta ejerce sobre otro se deduce la
ley de gravitación universal de Newton.
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝑟𝑟
3
𝑟𝑟
𝑇𝑇 2 =
𝑘𝑘
4𝜋𝜋𝜋𝜋
= 𝑚𝑚 2
𝑇𝑇
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐹𝐹 = 𝐺𝐺 2
𝑟𝑟
Determinación de órbitas
• Hay que resolver las ecuaciones del
movimiento para dos cuerpos
1 2
𝑙𝑙2
𝑘𝑘
𝐸𝐸 = 𝜇𝜇𝑣𝑣 +
−
2
2
2𝜇𝜇𝑟𝑟
𝑟𝑟
𝑎𝑎(1 − 𝑒𝑒 2 )
𝑟𝑟 =
1 + 𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃
𝑚𝑚1 𝑚𝑚2
𝜇𝜇 =
𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2
𝑓𝑓
𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2
=
𝑒𝑒 = =
𝑎𝑎
𝑎𝑎
a es el semieje mayor de la elipse
e es la excentricidad
µ es la masa reducida
𝑏𝑏 2
1− 2
𝑎𝑎
• El tipo de órbita viene dado por la
excentricidad e
e = 0 circunferencia
0 < e < 1 elipse
e = 1 parábola
e > 1 hipérbola
Elipse
𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 1 − 𝑒𝑒 ,
Un sencillo ejercicio
• Sabemos que el perihelio del planeta
enano Makemake es 38,51 UA y su
excentricidad e = 0,159
¿Cuál es su periodo orbital?
𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
38,51
𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 1 − 𝑒𝑒 ,
𝑎𝑎 =
=
1 − 𝑒𝑒 1 − 0,159
𝑎𝑎 = 45,79 𝑈𝑈𝑈𝑈
Tercera ley de Kepler
𝑇𝑇 = 𝑎𝑎3 =
45,793 = 309,88 años
¿Son siempre ciertas las
leyes de Kepler?
¿Son siempre ciertas las
leyes de Kepler?
La segunda ley es cierta porque son fuerzas
centrales.
¿Son siempre ciertas las
leyes de Kepler?
La segunda ley es cierta porque son fuerzas
centrales.
La primera y tercera ley dejan de ser ciertas
1
cuando las fuerzas no varían como 2
𝑟𝑟
¿Son siempre ciertas las
leyes de Kepler?
La segunda ley es cierta porque son fuerzas
centrales.
La primera y tercera ley dejan de ser ciertas
1
cuando las fuerzas no varían como 2
𝑟𝑟
El caso más notable es del perihelio de Mercurio,
donde la teoría de la relatividad general predice
𝛼𝛼
𝛿𝛿
que la fuerza varía como 2 + 4
𝑟𝑟
𝑟𝑟
La precesión del perihelio de Mercurio
6𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
∆= 2
𝑎𝑎𝑐𝑐 1 − 𝑒𝑒 2
≅ 43’’/siglo
Elementos orbitales
La ley de la gravitación universal nos permite
saber el tipo de órbita que tienen los cuerpos
celestes aunque no sus características.
Elementos orbitales:
- Longitud del nodo ascendente Ω
- Inclinación de la órbita i
- Argumento del perihelio ω (si no es el Sol es
periastro)
- Semieje mayor a
- Excentricidad e
- Anomalía media M
𝑀𝑀 = 𝐸𝐸 − 𝑒𝑒 sin 𝐸𝐸 (𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾)
Elementos orbitales de los planetas
• Mercurio: a = 0,387 UA, T = 0,240 años
i = 7º, e = 0,205
• Venus: a = 0,723 UA, T = 0,615 años
i = 3,39º, e = 0,0067
• Tierra: a = 1 UA, T = 1 año
i = 0º, e = 0,016
• Marte: a = 1,523 UA, T = 1,88 años
i = 1,85º, e = 0,093
• Plutón: a = 39,264 UA, T = 247,68 años
i = 17,15º, e = 0,248
Y para acabar, dos ejercicios
• Se ha descubierto un planeta enano
que orbita alrededor del Sol y se sabe
que su semieje mayor es de 200 UA.
¿Cuál es su periodo orbital?
(Aplicar la 3ª ley de Kepler)
𝑇𝑇12 𝑎𝑎13
2 = 3
𝑇𝑇2
𝑎𝑎2
• ¿A qué distancia de la Tierra debería de
encontrarse la Luna para que su periodo
orbital fuera exactamente el doble del
actual?
Datos actuales de la Luna:
Distancia Tierra-Luna = 385 000 km
Periodo orbital = 27 días
(Aplicar la 3ª ley de Kepler)
Referencias
• H. Karttunen et al. Fundamental
astronomy. Springer. New York 1996
• Carl D. Murray. Solar System Dynamics.
Cambridge University Press (February
13, 2000)
• P. S. Goldstein. Classical Mechanics.
TBS (2001)
• G. J. Holton. Introduction to Concepts
and Theories in Physical Science.
Princeton University Press (August 1985)
Solución a los ejercicios
• T = 2828,42 años
• a = 611149,4 km