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ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
Universidad de Navarra
Examen de TERMODINÁMICA I
Troncal - 4,5 créditos
Curso 1998-99
1 de febrero de 1999
Nombre.........................................................................................................
NOTA
Contestar TODAS las preguntas. Tienen el mismo valor.
Tiempo máximo: 1 hora.
Sea conciso.
Teoría 1 (10 puntos)
Qué se entiende por proceso politrópico. Demostrar cómo –en determinados casos– la
ecuación de la línea de estados de un proceso politrópico es Pv n = cte. Indicar las
suposiciones necesarias para esta demostración.
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Teoría 2 (10 puntos)
Partiendo de δw a = − vdP , deducir una expresión para el trabajo obtenido por unidad de
masa que circula por una turbina, en la que un gas ideal experimenta una expansión
politrópica reversible en flujo estacionario, en función de las temperaturas de entrada y
salida T1 y T2.
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Teoría 3 (10 puntos)
Deducir la relación Tds a partir de la combinación del primer y segundo principio de la
Termodinámica.
Demostrar que el cambio de entropía de m kg de un fluido cualquiera de calor específico cp
que se calienta a presión constante entre las temperaturas T1 y T2 viene dado por
S 2 − S1 = mc p ln
T2
T1
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Examen de TERMODINÁMICA I
Troncal - 4,5 créditos
Curso 1998-99
1 de febrero de 1999
Tiempo máximo: 2 horas 30 minutos
Contestar cada problema en hojas diferentes.
Problema 1 (35 puntos)
Una vasija rígida y aislada, de 0,88 m3 de volumen, tiene instalado un calentador eléctrico
de 7 kW de potencia. La vasija contiene 10 kg de amoniaco. Inicialmente, 3,22 kg de
amoniaco se encuentran en estado de vapor saturado y en equilibrio térmico con el resto,
que es líquido saturado. La presión en el interior de la vasija es de 5 bar.
(a) Suponiendo que la potencia térmica del calentador se comunica íntegramente y a
velocidad constante al amoniaco, determinar el tiempo que transcurrirá entre el
encendido del calentador y que el amoniaco alcance el estado de vapor sobrecalentado.
(b) Determinar la variación de entropía del contenido de la vasija durante el proceso.
Solución desarrollada:
El proceso se representa en el diagrama P-v;
P
x2 = 1
2
P1 = 5 bar
1
x1 = 0,322
f
g
v
Los estados termodinámicos se determinan a partir de las tablas del NH3 (en negrita las dos
variables que definen cada estado); el estado 1, con el título y la presión; el 2, conociendo el
volumen y que es vapor saturado seco.
P [kPa]
T [°C]
v [m3/kg]
h [kJ/kg]
s [kJ/kgK]
1
500,0
4,14
0,08167
402,47
2,229
0,322
2
1583,0
0,08167
1470,30
4,859
1
f
500,0
4,14
0,00158
199,60
0,781
0
g
500,0
4,14
0,25030
1446,40
5,278
1
Est.
x
(a) Tiempo de calentamiento:
El estado final es vapor saturado seco (a mayores temperaturas, vapor sobrecalentado). El
proceso es isocoro. Aplicando (P1) al fluido:
Q - W = ∆U = (H2 - H1) - V(P2 - P1) = m(h2-h1) - V(P2-P1)
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= 10(1470,3-402,47) - 0,88(1583,0-500,0) = 9725,3 kJ
Como W = 0 (rígido) y la velocidad de transferencia de calor son 7 kW = 7 kJ/s, el tiempo
será
t = 9725,3/7 = 1389 s = 23 min 9 s
(b) Variación de entropía:
A partir de los datos de la tabla,
∆S = m(s2-s1) = 10(4,859 - 2,229) = 26,30 kJ/K
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Problema 2 (35 puntos)
Una turbina adiabática reversible T se alimenta del aire contenido en un depósito cilíndrico
A también adiabático, con tapa flotante, de 40 cm de diámetro y 20 m de altura inicial. La
tapa del pistón tiene una masa total de 11 000 kg. Por su parte superior, el cilindro está
abierto a la atmósfera. Inicialmente el aire está a la temperatura ambiente de 20 °C (estado
1).
El gas de escape de la turbina T se vierte directamente a la atmósfera hasta que se vacía el
depósito A; sin embargo, a efectos de cálculo, esto es equivalente a si se vertiera a un
depósito B imaginario de paredes diatérmicas, cubierto por un pistón de peso nulo. El gas
de escape de la turbina (estado 2) sale de ésta a una temperatura distinta de la del ambiente,
y dentro del depósito B, poco a poco alcanza el equilibrio térmico con el ambiente, llegando
al estado 3.
B
A
T
Se pide:
(a) Demostrar que el trabajo total obtenido en el eje de la turbina viene dado por
Wa = m(h1 − h2 ) [J]
siendo m la masa total de aire contenida inicialmente en el depósito A. (Nota: este sistema
no opera necesariamente en régimen estacionario).
(b) Calcular la presión inicial del depósito A, P1 [kPa].
(c) Calcular la temperatura de salida del aire de la turbina T, T2 [°C].
(d) Calcular el volumen total ocupado finalmente por el aire en el depósito B, una vez
alcanzado el equilibrio con el ambiente, V3 [m3].
(e) Calcular el trabajo total obtenido en el eje de la turbina, Wa [W·h].
Datos: Suponer el aire gas ideal con cp = 1,1 kJ/kg K, M = 29 kg/kmol. La presión
atmosférica es P0 = 101,3 kPa. g = 9,81 m/s2.
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Solución desarrollada
(a) Trabajo obtenido en la turbina:
Sistema: el gas (sistema cerrado). Aplicando el (P1):
Q - W = ∆U + ∆EP + ∆EC
Q = 0 (adiabático)
El trabajo se calcula con las fuerzas exteriores, que actúan en el eje de la
turbina (Wa), y los dos depósitos (WA y WB):
W = Wa + WA + WB = Wa + PA(0-VA) + PB(VB-0) = Wa - P1V1 + P2V2
∆U = UB - UA = U2 - U1
∆EP = ∆EC = 0 (despreciables)
Por tanto,
-Wa + P1V1 - P2V2 = U2 - U1
Wa = (U1 - P1V1) - (U2 - P2V2) = H2 - H1 = m(h1 - h2)
c.q.d.
(b) Presión inicial en A [kPa]:
P1 = P0 + mg/A = 101 300 + (11 000)(9,81)/[(π/4)(0,40)2] [kPa] = 960 000 Pa = 960,0 kPa
(c) Temperatura de salida de la turbina [°C]:
Por ser una expansión adiabática reversible, la ecuación de la línea de estados es P1V1k =
P2V2k, de donde se deduce T2/T1 = (P2/P1)(k-1)/k.
El valor del exponente adiabático k se deduce de k = cp/cv = cp/(cp-R) = 1,1/(1,1 8,314/29) = 1,352
Luego la temperatura pedida es T2 = (293) (101,3/960,0)0,352/1,352 = 163 K = -110 °C
También se puede deducir sabiendo que la expansión es isoentrópica (dS=0), por ser
adiabática (δQ=0) y reversible (δσ=0). Por ser gas ideal,
TdS + VdP = dH ⇒
dS = dH/T - VdP/T = cp dT/T - R dP/P = 0
0 = cp ln(T2/T1) - R ln(P2/P1) ⇒ T2 = T1 (P2/P1)R/cp
(c) Volumen final del aire [m3]:
Por ser gas ideal, V3 = NRT3/P3
N = P1V1/RT1 = (101,3) [(π/4)(0,40)2(20)] / [(8,314)(293)] = 0,990 kmol
V3 = (0,990)(8,314)(293)/101,3 = 23,818 m3
(d) Trabajo total en turbina [W·h]:
Del apartado (a), sabiendo que es gas ideal, Wa = m(h1 - h2) = mcp (T1 - T2) =
(0,990)(29)(1,1)[20-(-110)] = 4106,9 [kJ]·(1[kW]/1[kJ/s])·(1[h]/3600[s]) = 1,14 kW·h