Segundo Nivel

Segundo Nivel Segunda Comunicación
Esta es una nueva comunicación que entablamos con los participantes de la Olimpíada.
Como en las ocasiones anteriores queremos destacar la valorable actitud de aceptar los
desafíos que traen aparejados el abordar las situaciones problemáticas. Situaciones que,
en algunas oportunidades, traen reminiscencias de otras circunstancias ya transitadas y
en otras oportunidades se transforman en verdaderos retos a superar. Esperamos que a
partir de cualquiera de esas interpretaciones que realicen los intrépidos estudiantes que
resuelven problemas, asuman la real dimensión de ese trabajo, y lo valioso que significa,
nada más y nada menos, aceptar el desafío y salir airoso del mismo. Nosotros,
particularmente, consideramos que salir airosos de un desafío significa: tomar la
responsabilidad que la ocasión requiere, leer comprensivamente la problemática que se
presente, poner en juego los conocimientos construidos y apropiados, ensayar posibles
soluciones, enunciar en un lenguaje adecuado los argumentos que respaldan las
respuestas, explicitar los resultados de manera que los demás los puedan entender,
compartir y analizar otras respuestas y soluciones y sentir la satisfacción de haber
realizado la tarea de manera plena y consciente.
No es poco lo que se está haciendo, tal vez en algunas oportunidades se sienta que el
esfuerzo es grande y que no rinde frutos de manera inmediata, pero les podemos
asegurar, desde nuestra experiencia, que estas acciones fortalecen tanto la capacidad
creadora como la capacidad comunicativa.
¡Ojalá sigan sintiendo una gran satisfacción por la tarea emprendida!
Ahora planteamos unos problemas para practicar:
1) Siendo f(x) una función tal que: f(x) = 2f(-x) + x + 5 .
Se pide hallar f(2013)
(Tomado en el examen 2013)
2) Las estrellas se clasifican en categorías de brillo, llamadas magnitudes.
A las estrellas más débiles (con flujo luminoso F0) se les asigna magnitud 6.
A
las
estrellas
más
brillantes
se
les
asigna
magnitud
conforme
F
 en donde F es el flujo luminoso de la estrella.
 F0 
fórmula: m  6  2,5 log
a
la
a) ¿Cuál será la magnitud m si el flujo luminoso de la estrella es F = 100,4 F0?
b) ¿Qué fórmula permite calcular el flujo luminoso F dependiendo de la magnitud m y del
flujo luminoso F0?
c) ¿Qué luminosidad tendrá una estrella de primera magnitud?
3) La función de oferta p = 100. log (2x  3)
3
describe, con bastante precisión, el
comportamiento de un fabricante ante los diferentes precios unitarios del producto que
ofrece. La variable x representa la cantidad ofrecida del producto y p el precio unitario en
pesos.
Si el precio del mercado puede variar entre $400 y $500, ¿cómo variarían las cantidades
ofrecidas?
4) Dados los puntos A=(1;b) , B=(2;-1) y C=(0;-2).
a) Hallar los valores reales de b, de modo que la distancia entre A y B sea igual a la
distancia entre B y C
b) Los triángulos ABC determinados, ¿tienen el mismo perímetro?
c) Hallar la amplitud de los ángulos interiores de los triángulos hallados.
5) Dada la siguiente sucesión de números reales: an  / a 
n
1
2n  1
a) Determinar si el término a23 es racional o irracional
b) Calcular, en forma exacta, a1 + a4 + a10
6) ¿Cuál de todos los puntos de la recta de ecuación y = -1/2 x + 4 se encuentra más
cerca del origen de coordenadas?
7) Dadas las funciones f(x)= 3 x + 1, g(x)= ½ x + b, h(x)= 2 x + a, hallar los valores reales
que deben tomar a y b, si se sabe que la relación, h(x) < f(x) < g(x) , se verifica en el
intervalo (2;4).
8) Martín colocó dentro de una botella monedas de $2, $1 y $0,50, en total 40.
No se puede saber cuántas hay de cada valor porque la botella está pintada y no se ve
hacia dentro, pero si invertimos la botella, como el tapón es transparente, podemos ver
cuál es la moneda que queda junto al tapón.
Su hermanito, que quiere saber la cantidad de dinero que ahorró Martín, realiza la
siguiente experiencia: durante varios días agita la botella, la invierte y anota la moneda
que ve a través del tapón; el experimento lo realiza 1.500 veces. Obtiene los siguientes
resultados:
f(moneda de $2) = 589
f(moneda de $1)= 392
f(moneda de $0,50)= 519
Martín dice que tiene ahorrado $76 y su hermano le dice que es imposible. ¿Se podrá
estimar la cantidad de monedas, de cada valor, que hay en la botella? De ser posible,
Martín ¿le habrá mentido a su hermano?
9) En el último examen de matemática, sólo el 60% de la clase respondió todas las
preguntas. De aquellos que lo hicieron, el 85% aprobó, pero de aquellos que no
respondieron todo, sólo aprobaron el 40%.
Si Miguel aprobó, ¿cuál es la probabilidad de que haya respondido todas las preguntas?
Gabriel no aprobó, ¿cuál es la probabilidad de que no haya respondido todas las
preguntas?
10) Hallar el dominio de definición de la función f(x)=
x
ln( x  1  2)
11) Representar en el plano la región R limitada por las gráficas de: g(x) 
4
,
x2
h(x)= x+1, m(x) -1 = 0. Determinar, analíticamente, sus vértices y decidir, justificando la
respuesta, si su área supera las 9 u2.
12) ¿Cuántos divisores tendrá el número 112000? ¿Cuántos de ellos serán
impares?
13) Un cubo sólido de madera de 20cm de arista se pinta de azul. Luego, con una sierra
se hacen cortes paralelos a las caras del cubo cada 1 centímetro, hasta obtener 8000
“cubitos iguales” de 1cm de arista, cada uno. ¿Cuántos de esos cubitos tendrán al menos
una cara pintada de azul?
14) Según estudios realizados sobre una gran cantidad de estudiantes, la función que
mejor describe la relación entre la eficacia con que un individuo realiza una tarea y la
-kt
cantidad de instrucción o experiencia que el individuo ha tenido es x(t) = eα−β , en
donde α, β y k son constantes positivas y t es el tiempo transcurrido. ¿Cuál será el
máximo rendimiento que se espera de cualquier individuo?, ¿aporta algo el seguir
insistiendo en la instrucción a largo tiempo?
15) Se sabe que la desigualdad
0
5(x2  115x  600)
x(x  5)
 1 se verifica para un número
natural múltiplo de 17, ¿cuál será ese número?
Respuestas:
1) 666
2) a) 5
(6  m)/2,5
b) F  10
.F
0
c) F = 100 F0 , cien veces más luminosa
3) 39  x  120
4) a) b = 1 ; b = -3, b) no, los triángulos tienen perímetros diferentes, c) 90°, 45°, 45° ;
36°52´ 12’’, 71°33´ 54’’, 71° 33´ 54’’ (aproximadamente)
5) a) es racional b)
32  9 2
64
6) (8/5;16/5)
7) a = 3 , b = 11
8) Sí, es posible estimar la cantidad de monedas (16, 10, 14, aproximadamente), Martín le
mintió a su hermano
9) a) 51/67 b) 8/11
10) (-;-4)  (-4;-3)  (1;2)  (2;)
11) (0;1) , (3;4) , (6;1) . Su área no supera las 9u2
12) 64; y 8 son impares
13) 2168
14) a) eα b) no, no aporta nada, por más que siga pasando el tiempo no mejorará el
rendimiento.
15) 136