Dualidad en la Teoría del Consumidor

Dualidad en la Teoría del Consumidor
Jorge Ibarra Salazar
Profesor Asociado
Departamento de Economía
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
Septiembre de 2001
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Comment:
Introducción
En esta nota técnica presento las diferentes formas de representar las preferencias del
consumidor, las relaciones que existen entre ellas y la forma en que se pueden derivar las
funciones de demanda con tales representaciones. Al hacer este análisis se aplicará el concepto
de dualidad a la teoría del consumidor. Adicionalmente, analizaremos las formas en las que se
puede plantear el problema de elección del consumidor: la elección de la canasta de bienes que
maximice la función de utilidad sujeta a la restricción presupuestaria; la elección de la canasta de
bienes que minimice el gasto de cierto nivel de utilidad; la elección de los precios normalizados
que minimicen la utilidad indirecta sujeto a la restricción presupuestaria; y la elección de precios
normalizados que minimicen el gasto de una canasta de referencia. Limitaremos nuestro estudio
al caso en el cual el consumidor tiene que elegir una canasta de bienes compuesta por únicamente
dos bienes, aunque los resultados pueden ser extendidos para situaciones en que las canastas de
bienes se compongan por cualquier número de éstos.
En síntesis esta nota contiene el estudio de los siguientes aspectos:
1. Las diferentes formas de representar las preferencias del consumidor, y de la forma en
que a partir de ellas es posible obtener las funciones de demanda.
2. La forma en que se pueden obtener las funciones de demanda a partir de los teoremas
de dualidad (Hotelling-Wold, Shephard, Roy).
1
3. Así mismo, veremos que la ecuación de Slutsky es fácilmente derivada a través del uso
de los teoremas de dualidad aplicados al análisis del consumidor.
La idea general de la dualidad en la teoría del consumidor, es que un problema de
elección puede ser caracterizado en formas alternativas, esto es, con diferentes modelos, y que
además existen ciertas relaciones entre los resultados encontrados en los modelos alternativos.
Para ilustrar esta idea, consideremos en particular el problema de elección de una canasta de
bienes optima por parte del consumidor. Denotemos las cantidades de dos bienes como X e Y, y
sus precios como Px y Py respectivamente. Este problema de elección puede ser planteado, entre
otras, en dos formas. La primera consiste en la elección de la combinación de bienes que
maximiza la función de utilidad sujeto a la restricción presupuestaria. Esto es,
Max U(X, Y) sujeto a: Px X + Py Y ≤ I,
x,y
(1)
donde U(X, Y) es la función directa de utilidad que se supone continua y diferenciable, I
representa el ingreso. La segunda forma de plantear el problema del consumidor consiste en
elegir la canasta de bienes que minimiza el gasto de obtener cierto nivel de utilidad:
Min Px X + Py Y sujeto a: U(X, Y) ≥ U0.
x,y
(2)
Si la función de utilidad y los precios de los bienes son los mismos en ambos
planteamientos, si el gasto mínimo del problema (2) es el ingreso del problema (1), y además si el
nivel de utilidad máximo del problema (1) es U0 en el problema (2), entonces las canastas optimas
de bienes en los problemas descritos por las ecuaciones (1) y (2) serán las mismas. Debemos
aclarar, sin embargo, que las funciones de demanda obtenidas en cada planteamiento son
diferentes. Las funciones de demanda obtenidas a partir del problema (1) son las demandas
ordinarias o Marshalianas, en tanto que las obtenidas del problema (2) son las demandas
compensadas o Hicksianas. Recordemos que adicionalmente las funciones de demanda
resultantes de ambos modelos están también relacionadas a través de la Ecuación de Slutsky.
2
Las preferencias del consumidor pueden ser representadas a través de diferentes formas;
la función directa de utilidad, la función indirecta de utilidad, la función de gasto y la función
distancia. En esta nota se analizarán dichas representaciones, mencionando sus propiedades y
probando los teoremas de dualidad que permiten derivar las funciones de demanda a partir de
cada una de ellas.
1. La Función Directa de Utilidad
La función directa de utilidad tiene como argumentos las cantidades de bienes,
U=U(X,Y). Esta función asigna un valor numérico a la utilidad asociado a diferentes canastas de
bienes, con lo que es una regla que va del conjunto de canastas de bienes al de los números reales.
Esto es, U: ℜ+2 → ℜ, donde ℜ+2 representa el conjunto de canastas de bienes en el plano
bidimensional no-negativo y ℜ los números reales.
Las propiedades de esta función se derivan en parte de los axiomas del comportamiento
del consumidor que aseguran la existencia de la misma. Las propiedades de la función directa de
utilidad son:
a. U(X,Y) es continua y diferenciable en ambos argumentos para toda X e Y
estrictamente positiva.
b. U(X,Y) es creciente en sus argumentos. Esto es, las utilidades marginales son
positivas.
c. Las curvas de indiferencia asociada a U(X,Y) son estrictamente convexas al origen.
El teorema de dualidad que presentamos en esta sección, está relacionado con la funcion
directa de utilidad y es conocido como la Identidad de Hotelling-Wold. Primero definimos la
función de Lagrange para el problema de maximización restringida de la utilidad.
L(X, Y; Px, Py, I) = U(X, Y) + λ [ I - Px X - Py Y ],
3
(3)
donde λ representa al multiplicador de Lagrange. Asumiendo la existencia de una solución
interior, las condiciones de primer orden son:
UX(X,Y) - λ Px = 0,
(4)
UY(X,Y) - λ Py = 0,
(5)
I - Px X - Py Y = 0.
(6)
Los subíndices en la función de utilidad denotan derivadas parciales, con lo que UX(X,Y)
y UY(X,Y) representan las funciones de utilidad marginal para los bienes X e Y, respectivamente.
De las ecuaciones (4) y (5) obtenemos:
Py =
U Y ( X , Y)
Px.
U X ( X , Y)
(7)
Sustituyendo (7) en la ecuación (6) obtenemos que
Px X +
U Y ( X , Y)
Px Y = I,
U X ( X , Y)
lo que se puede escribir como
Px
UX ( X, Y)
=
= φ X ( X, Y).
I
X U X ( X , Y ) + Y U Y ( X, Y )
(8)
En forma similar podemos obtener que
Py
UY ( X, Y)
=
= φ Y ( X, Y).
I
X U X ( X , Y ) + Y U Y ( X, Y )
(9)
Las funciones φ, descritas en las ecuaciones (8) y (9), representan las funciones de
demanda ordinaria inversas. Estas funciones muestran la relación entre los precios normalizados,
Px/I y Py/I, con las cantidades demandadas de ambos bienes. El resultado derivado en las
expresiones (8) y (9) es la Identidad de Hotelling-Wold. Al aplicar esta identidad a la función
directa de utilidad es posible obtener las funciones de demanda ordinarias inversas.
La solución de las CPO representadas por las ecuaciones (4), (5) y (6), definen las
funciones de demanda ordinaria o Marshalianas: ƒX(Px, Py, I) y ƒY(Px, Py, I). La sustitución de
4
estas funciones en la función objetivo del planteamiento (1), la función directa de utilidad, define
la función indirecta de utilidad V(Px, Py, I):
V(Px, Py, I) = max {U(X, Y) : Px X + Py Y = I}
X,Y
2. La Función Indirecta de Utilidad
Cuando la utilidad se expresa en términos de los precios y el ingreso, la función resultante
es la función indirecta de utilidad. Esta función refleja el hecho de que la utilidad depende en
forma indirecta de los precios y el ingreso. La función indirecta de utilidad se encuentra
sustituyendo las funciones de demanda ordinaria de los bienes en la función directa de utilidad.
Por tal motivo representa la máxima utilidad que se puede obtener dados los precios y el ingreso.
Específicamente, si expresamos las demandas ordinarias como X = ƒX(Px, Py, I), y Y = ƒY(Px,
Py, I), sustituyendo en la función directa de utilidad obtenemos:
V(Px, Py, I) = U(ƒX(Px, Py, I), ƒY(Px, Py, I)).
(10)
Como se puede apreciar, la función indirecta de utilidad presupone que el consumidor
elige la mejor canasta de bienes, dados los precios y el ingreso, de todas aquellas que conforman
sus posibilidades de consumo. Dicho de otra forma, la función indirecta de utilidad refleja en
forma implícita un procedimiento de optimización. Esta característica no es aplicable para la
función directa de utilidad, ya que ésta última se define para todas las canastas de bienes y no
solamente para aquella que sea óptima.
La función indirecta de utilidad tiene las siguientes propiedades:
a. Es continua y diferenciable en sus argumentos.
b. Es decreciente en precios y creciente en el ingreso.
5
c. Las curvas de indiferencia indirectas (en el plano de precios normalizados Px/I, Py/I)
son convexas al origen. Esta convexidad no requiere que las curvas de indiferencia en el plano de
canastas de bienes sean convexas.
d. Es homogénea de grado cero en precios e ingreso.
e. Es inversa de la función de gasto.
Alternativamente a los planteamientos en las expresiones (1) y (2), el problema de
elección del consumidor puede ser planteado como la elección de precios normalizados que
minimiza la utilidad indirecta, tomando como dadas las cantidades de los bienes. Recordemos
que la relación entre los precios y la utilidad es inversa, esto es, la utilidad marginal con respecto
a los precios normalizados es negativa. Esto se ilustra en la Figura 1.
Formalmente, el problema de minimización de la utilidad indirecta lo podemos plantear
como:
Min V(πx, πy) sujeto a: πx X + πy Y ≤ 1,
πx , πy
(11)
donde πx = Px / I, πy = Py / I representan los precios normalizados de los bienes. En este caso
tomamos las cantidades de bienes como dadas y se eligen los precios normalizados. Suponiendo
la existencia de una solución interior, las CPO del problema descrito por (11) son:
Vπx(πx, πy) – γ X = 0,
(12)
Vπy(πx, πy) – γ Y = 0,
(13)
πx X + πy Y = 1,
(14)
donde γ es el multiplicador de lagrange. La solución de las CPO (12), (13) y (14) es el sistema de
funciones de demanda ordinarias inversas. Estas funciones indican la relación entre los precios
normalizados y los parámetros del problema descrito en (11), que son las cantidades de los
bienes. Esas funciones son representadas por las ecuaciones (8) y (9): φX(X, Y) y φY(X, Y). Al
sustituir las funciones de demanda ordinaria inversa en la función indirecta de utilidad, función
6
objetivo en el problema (11), se obtiene la función que representa las preferencias y que tiene
como argumentos las cantidades de bienes: la función directa de utilidad.
El problema de minimización en (11) es importante debido al siguiente resultado
fundamental de dualidad: Si (X*, Y*) es la solución al problema (1) cuando los precios
normalizados son (πx *, πy*), entonces (πx *, πy*) es la solución de (11) cuando la canasta de
consumo se fija en (X*, Y*). Es en ese sentido que los planteamientos en (1) y (11) son duales.
A continuación probamos un teorema de dualidad que al aplicarlo en la función indirecta
de utilidad nos conduce a las demandas ordinarias de los bienes. A este teorema se le conoce
como la Identidad de Roy.
Tomando la derivada parcial de la expresión (10) con respecto al precio del bien X
obtenemos:
∂V( Px, Py , I )
∂ ƒ X (Px,Py,I)
∂ ƒ Y (Px,Py, I)
= UX
+ UY
.
∂Px
∂Px
∂Px
(15)
πy
1/y
πy*
V*
πx*
1/x
πx
Figura 1. Elección de Precios Normalizados
Dada una Canasta de Bienes
7
Partiendo de las condiciones de primer orden en las ecuaciones (4) y (5), podemos
apreciar que UX = λ Px, y además UY = λ Py. Sustituyendo estas expresiones en (15) por las
funciones de utilidad marginal de los bienes, obtenemos:
 ∂ ƒ X (Px,Py,I)
∂V( Px, Py , I)
∂ ƒ Y (Px,Py,I)
= λ  Px
+ Py
∂Px
∂Px
∂Px


.

(16)
La recta de balance, como aparece en (6), al sustituir las demandas ordinarias, se vuelve
una identidad. Si tomamos la derivada con respecto a Px obtenemos:
dI
∂ ƒ X (Px,Py,I)
∂ ƒ Y (Px, Py, I)
= ƒ X (Px,Py,I) + Px
+ Py
= 0.
dPx
∂Px
∂Px
(17)
Sustituyendo (17) en (16) obtenemos:
∂V( Px, Py , I)
= − λ ƒ X (Px,Py,I).
∂Px
(18)
Ahora tomamos la derivada parcial de (10) con respecto al ingreso,
∂V( Px, Py , I )
∂ ƒ X (Px,Py,I)
∂ ƒ Y (Px,Py, I)
= UX
+ UY
.
∂I
∂I
∂I
(19)
De las condiciones de primer orden (4) y (5), tal como hicimos para obtener la expresión
(16), podemos escribir (19) como:
 ∂ ƒ X (Px,Py,I)
∂ ƒ Y (Px,Py,I) 
∂V( Px, Py , I)
= λ  Px
+ Py
.
∂I
∂I
∂I


(20)
Tomando la derivada de (6) con respecto al ingreso obtenemos:
dI
∂ ƒ X (Px, Py, I)
∂ ƒ Y (Px,Py,I)
= Px
+ Py
= 1,
dI
∂I
∂I
con lo que la expresión (20) se puede escribir como
∂V( Px , Py , I )
= λ.
∂I
(21)
8
La ecuación (21) muestra que el multiplicador de Lagrange representa la utilidad
marginal del ingreso. Tomando ahora el negativo de la razón de la expresión (18) por la
expresión (21) obtenemos:
∂V( Px, Py , I )
λ ƒ X ( Px, Py , I )
∂Px
−
=
= ƒ X ( Px , Py , I).
∂V( Px, Py , I )
λ
∂I
(22)
La ecuación (22) es la Identidad de Roy para el bien X. Como anotamos en un párrafo
anterior, esta identidad permite obtener la función de demanda ordinaria a partir de la función
indirecta de utilidad. Esto se logra tomando el negativo del cociente de su derivada parcial con
respecto al precio correspondiente, por su derivada parcial respecto al ingreso. En forma análoga
es posible obtener una expresión similar para el bien Y,
∂V( Px, Py, I)
λ ƒ Y ( Px, Py, I)
∂Py
−
=
= ƒ Y ( Px, Py, I ).
∂V( Px, Py, I)
λ
∂I
(23)
Este resultado puede simplificar en forma importante la obtención de las funciones de
demandas ya que para obtenerlas, maximizando la función de utilidad directa sujeta a la
restricción presupuestaria, se debe resolver un sistema de n+1 ecuaciones en forma simultánea (n
bienes). Este procedimiento, dependiendo del número de bienes o la forma funcional de la
función directa de utilidad, puede resultar casi imposible o por lo menos muy laborioso. Sin
embargo, si acaso contamos con la especificación de la función indirecta de utilidad, es posible
obtener las funciones de demanda ordinaria calculando un para de derivadas parciales, y sin
necesidad de resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.
3. La Función de Gasto
En la introducción de esta nota, usamos la relación entre los problemas de elección
maximizando la utilidad directa, expresión (1), y minimizando el gasto, expresión (2), para
9
ilustrar el concepto de dualidad aplicado a la teoría del consumidor. Anotamos que bajo ciertas
condiciones las soluciones de estos problemas son las mismas, aunque las funciones de demanda
para cada uno de ellos no sean iguales. En esta sección definimos la función de gasto, listamos
sus propiedades y además probamos el Teorema de Shephard, el cual nos permite obtener las
funciones de demanda compensada a partir de la función de gasto.
Para definir la función de gasto, planteamos la función de Lagrange del problema de
minimización del gasto planteado en (2):
L(X, Y; Px, Py, U0) = Px X + Py Y + µ [U0 - U(X, Y)].
(24)
Asumiendo la existencia de una solución interior, las condiciones de primer orden son:
Px - µ UX(X, Y) = 0,
(25)
Py - µ UY(X, Y) = 0,
(26)
U0 - U(X, Y) = 0,
(27)
donde µ es el multiplicador de Lagrange. Al resolver en forma simultánea las ecuaciones (25),
(26) y (27) obtenemos las funciones de demanda compensadas, que denotaremos como:
X = gX(Px, Py, U0),
Y = gY(Px, Py, U0).
Al tomar estas funciones de demanda compensada y sustituirlas en la ecuación de
presupuesto obtenemos la función de gasto. Esta representa el gasto mínimo de alcanzar un
determinado nivel de utilidad a ciertos precios de los bienes. Específicamente, la función de
gasto la escribiremos como:
E(Px, Py, U0) = Px gX(Px, Py, U0) + Py gY(Px, Py, U0).
Esta función tiene las siguientes propiedades:
a. Es continua y diferenciable con respecto a sus argumentos.
b. Es creciente en U0 y en los precios de los bienes.
c. Es una función cóncava en los precios.
10
(28)
d. Es homogénea de grado uno en precios.
e. Es inversa de la función indirecta de utilidad.
A partir de la función de gasto es posible obtener las ecuaciones de las demandas
compensadas. Este resultado es conocido como el Teorema de Shephard. Este teorema se prueba
a continuación.
Tomemos la derivada parcial en (24) con respecto al precio del bien X:
∂E( Px, Py, U0 )
∂g X (Px, Py, U0 )
∂gY (Px, Py, U0 )
= g X (Px, Py, U0 ) + Px
+ Py
.
∂Px
∂Px
∂Px
(29)
De las condiciones de primer orden para minimizar el gasto, en las ecuaciones (25) y
(26), apreciamos que Px = µ UX, y que Py = µ UY. Sustituyendo en (29) obtenemos:

∂E( Px, Py, U0 )
∂g X (Px, Py, U0 )
∂gY (Px, Py, U0 )
= g X (Px, Py, U0 ) + µ  UX
+ UY
∂Px
∂Px
∂Px


.

(30)
Ahora tomamos la derivada de la ecuación (27) con respecto al precio de X para obtener:
∂U0
∂g X (Px, Py, U0 )
∂gY (Px, Py, U0 )
= UX
+ UY
= 0.
∂Px
∂Px
∂Px
(31)
Sustituyendo (31) en (30) obtenemos:
∂E( Px, Py, U0 )
= g X (Px, Py, U0 ).
∂Px
(32)
La expresión (32) nos dice que al derivar parcialmente la función de gasto con respecto al
precio del bien X obtendremos la función de demanda compensada de dicho bien. En forma
análoga podemos obtener esta relación para el bien Y:
∂E( Px, Py, U 0 )
= g Y (Px, Py, U 0 ).
∂Py
(33)
Este resultado en las expresiones (32) y (33) es precisamente el Teorema de Shephard.
4. La Función Distancia
11
La función distancia es la representación de las preferencias del consumidor que utiliza
como referencia una canasta de bienes y un nivel de utilidad. La distancia radial de tal canasta al
nivel de utilidad de referencia es la base para definirla.
Emplearemos la Figura 2 para motivar la definición de esta función. En esta Figura
aparece una curva de indiferencia etiquetada como U0 y dos canastas de bienes A = (XA, YA) y B
= (XB, YB). Tomemos U0 y la canasta A como referencia y definamos δA como el cociente de la
distancia OA por la distancia OB, tal que δA = OA / OB < 1. De esta forma, para alcanzar la
canasta B, proyección radial de A que se localiza sobre U0, la canasta A tendría que ser
aumentada 1 / δA veces. Esto es: XB = XA / δA y YB = YA / δA. Dicho en otras palabras, 1 / δA
representa el cambio proporcional (radial) en la canasta de referencia, necesario para alcanzar el
nivel de utilidad que se ha establecido como referencia. Si el valor de δ que aplicamos a la
canasta A es menor que δA, entonces obtendremos una canasta más que suficiente para alcanzar
U0, mientras que si δ > δA, entonces la canasta obtenida a partir de A no alcanzará U0. De esta
 XA YA 
 ≥ U0. Para las diferentes
,
forma el valor δA representa el valor máximo de δ, tal que U
 δ

δ


canastas de bienes y niveles de utilidad que se tomen como referencia, la función distancia, D(X,
Y, U0), es la cantidad por la que debemos dividir cualquier canasta que se tome como referencia
para alcanzar U0.
12
Y
B
YB
YA
U0
A
O
XA
XB
X
Figura 2. La Función Distancia
Para obtener la función distancia, planteemos el siguiente problema de optimización:
Min πx X + πy Y sujeto a: E(πx, πy, U0) = 1.
πx , πy
(34)
Las condiciones de primer orden de este problema son:
X - ν Eπx(πx, πy, U0) = 0,
(35)
Y - ν Eπy(πx, πy, U0) = 0,
(36)
E(πx, πy, U0) = 1,
(37)
donde ν representa el multiplicador de lagrange para el planteamiento (34). La solución del
sistema de ecuaciones (35), (36) y (37) define las funciones de demanda compensada inversas: πx
= ψX(X, Y, U0) y πy = ψY(X, Y, U0). Al sustituir estas funciones en la función objetivo del
problema (34), encontraremos la función distancia:
D(X, Y, U0) = ψX(X, Y, U0) X + ψY(X, Y, U0) Y.
(38)
Intuitivamente, de todos los pares de precios normalizados que alcanzan U0, la función
distancia elige aquel par que minimiza el valor de la canasta de referencia. La función distancia
tiene las siguientes propiedades:
13
a. Es decreciente en U0 y creciente en X e Y.
b. Es una función cóncava en las cantidades de bienes.
c. Es homogénea de grado uno en las cantidades de bienes.
d. Es inversa de la función directa de utilidad.
A partir de esta función, es posible recuperar las funciones inversas de demanda
compensada. Esto es:
∂ D( X, Y, U 0 )
∂ D( X, Y, U 0 )
= ψ X ( X, Y , U 0 ) y
= ψ Y (X, Y, U 0 ) . Este
∂X
∂Y
resultado se atribuye también a Shephard y se recomienda como ejercicio al final de esta nota.
5. Ecuación de Slutsky
Ya que hemos definido las funciones indirecta de utilidad y la de gasto, presentamos las
relaciones que existen entre las demandas ordinarias y compensadas. Por un lado, al sustituir la
función indirecta de utilidad en las demandas compensadas se obtienen las demandas ordinarias.
Esto es:
X = gX(Px, Py, V(Px, Py, I)) = ƒX(Px, Py, I),
Y = gY(Px, Py, V(Px, Py, I)) = ƒY(Px, Py, I).
Por otro lado, si sustituimos la función de gasto en las demandas ordinarias obtenemos las
demandas compensadas. En símbolos,
X = ƒX(Px, Py, E(Px, Py, U0)) = gX(Px, Py, U0),
(39)
Y = ƒY(Px, Py, E(Px, Py, U0)) = gY(Px, Py, U0).
(40)
Usando estas últimas relaciones en (39) y (40), podemos derivar la ecuación de Slutsky
que relaciona las demandas compensadas con las ordinarias y que además desglosa el efecto total
de un cambio en el precio de algún bien en los efectos sustitución e ingreso. Si derivamos
parcialmente (39) con respecto a Px obtenemos:
∂ g X ( Px , Py, U0 ) ∂ ƒ X ( Px , Py , I ) ∂ ƒ X ( Px , Py , I ) ∂ E ( Px, Py , U 0 )
=
+
.
∂ Px
∂ Px
∂I
∂ Px
14
(41)
Usando el Teorema de Shephard, tal como aparece en (32), la expresión (41) se puede
escribir como,
∂ ƒ X ( Px , Py, I ) ∂ g X ( Px, Py , U 0 )
∂ ƒ X ( Px , Py , I )
.
=
− X
∂ Px
∂ Px
∂I
(42)
En forma similar si derivamos parcialmente (40) con respecto a Py encontramos,
∂ ƒ Y ( Px , Py, I ) ∂ g Y ( Px, Py , U 0 )
∂ ƒ Y ( Px , Py , I )
.
=
− Y
∂ Py
∂ Py
∂I
(43)
Las expresiones en (42) y (43) son respectivamente, las ecuaciones de Slutsky para los
bienes X e Y con respecto a cambios en sus propios precios. En esta forma hemos visto que el
uso de la dualidad en la teoría del consumidor simplifica en forma importante la obtención de este
resultado de estática comparativa.
6. Relaciones Importantes de Dualidad
A continuación presentamos las Figuras 3 y 4 que simplifica las relaciones entre las
diferentes especificaciones de las preferencias del consumidor, y la forma en que las funciones de
demanda pueden ser obtenidas a partir de cada una de ellas. En la Figura 3 cabe resaltar los
siguientes aspectos:
a. La dualidad existente entre el problema de maximizar la utilidad dados los precios y el
ingreso, con el problema de minimizar el gasto dados los precios y el nivel de utilidad fijado
como objetivo.
b. La solución de las condiciones de primer orden del problema de maximizacion de
utilidad directa nos conduce a las funciones de demanda ordinaria.
c. La solución de las condiciones de primer orden del problema de minimización de
gasto nos conduce a las funciones de demanda compensada.
d. Al sustituir las funciones de demanda ordinaria en la función directa de utilidad directa
encontramos la función indirecta de utilidad.
15
e. El sustituir las funciones de demanda compensada en la restricción presupuestaria nos
lleva a la función de gasto.
f. Aplicando la Identidad de Roy a la función indirecta de utilidad obtenemos las
demandas ordinarias.
g. Aplicando el Teorema de Shephard a la función de gasto obtenemos las funciones de
demanda compensadas.
h. Las funciones indirecta de utilidad y la de gasto son inversas.
i. Al sustituir la función indirecta de utilidad en las demandas compensadas obtenemos
las funciones de demanda ordinarias.
j. Al sustituir la función de gasto en las funciones de demanda ordinarias obtenemos las
demandas compensadas.
A partir de la Figura 4 resaltan las siguientes relaciones:
k. La dualidad existente en la elección de precios normalizados en el problema de
minimizar la utilidad indirecta dada cierta canasta de bienes, con el problema de minimizar el
gasto normalizado dada una canasta de bienes y un nivel de utilidad de referenmcia.
l. La solución de las condiciones de primer orden del problema de minimización de la
utilidad indirecta nos conduce a las funciones de demanda ordinaria inversa.
m. La solución de las condiciones de primer orden del problema de minimización de
gasto con precios normalizados nos conduce a las funciones de demanda compensada inversa.
n. Al sustituir las funciones de demanda ordinaria inversa en la función indirecta de
utilidad encontramos la función de utilidad directa.
o. El sustituir las funciones de demanda compensada inversa en la restricción
presupuestaria con precios normalizados nos lleva a la función distancia.
p. Aplicando la Identidad de Hotteling – Wold a la función directa de utilidad obtenemos
las demandas ordinarias inversas.
16
q. Aplicando el Teorema de Shephard a la función distancia obtenemos las funciones de
demanda compensadas inversas.
r. Las funciones distancia y de utilidad directa son inversas.
s. Al sustituir la función de utilidad directa en las demandas compensadas inversas
obtenemos las funciones de demanda ordinaria inversas.
t. Al sustituir la función distancia en las funciones de demanda ordinaria inversa
obtenemos las demandas compensadas inversas.
17
Figura 3. Relaciones de Dualidad en la Teoría del Consumidor
Max. U(X, Y)
Sujeto a:
Px X + Py Y = I
a. Problemas Duales
b.
X = ƒX(Px, Py, I)
Y = ƒY(Px, Py, I)
d. Sustituir en U(X, Y)
Min. Px X + Py Y
Sujeto a:
U(X, Y) = U0
c.
Para Obtener
i. Sustituir por U
X = gX(Px, Py, U0)
Y = gY(Px, Py, U0)
e. Sustituir en PxX +PyY
h. Inversas
E(Px, Py, U0)
V(Px, Py, I)
f. Roy
X = ƒX(Px, Py, I)
Y = ƒY(Px, Py, I)
j. Sustituir por I
Para Obtener
18
g. Shephard
X = gX(Px, Py, U0)
Y = gY(Px, Py, U0)
Figura 4. Relaciones de Dualidad en la Teoría del Consumidor
Min. V(πx, πy)
Sujeto a:
πx X + πy Y = 1
k. Problemas Duales
l.
πx = φX(X, Y)
πy = φY(X, Y)
n. Sustituir en V(πx,πy)
Min. πx X + πy Y
Sujeto a:
E( Px, Py, U0) = 1
m.
Para Obtener
s. Sustituir por U
πx = ψX(X, Y, U0)
πy = ψY(X, Y, U0)
o. Sustituir en πx X + πy Y
r. Inversas
D(X, Y, U0)
U(X, Y)
p. Wold
πx = φX(X, Y)
πy = φY(X, Y)
t. Sustituir por δ
Para Obtener
19
q. Shephard
πx = ψX(X, Y, U0)
πy = ψY(X, Y, U0)
5. Ejercicios
1. Suponga que U(X, Y) = X Y.
a. Utilizar la Identidad de Hotelling-Wold para encontrar las demandas ordinarias
inversas.
b. Encontrar la función indirecta de utilidad.
c. Utilizar la Identidad de Roy para recuperar las funciones de demanda ordinaria.
d. A partir de la función indirecta de utilidad, encontrar la función de gasto.
e. Aplicar el Teorema de Shephard a la función de gasto para obtener las demandas
compensadas.
f. Sustituya la función indirecta de utilidad en las demandas compensadas para recuperar
las funciones de demanda ordinaria.
g. Sustituya la función de gasto en las demandas ordinarias para recuperar las funciones
de demanda compensada.
h. Encontrar la función distancia.
2. La función indirecta de utilidad para una función de utilidad Leontief tiene por ecuación:
I
V(Px, Py, I) =
, donde α y β son dos parámetros positivos.
α Px + β Py
a. Utilice la Identidad de Roy para encontrar las demandas ordinarias.
b. Use el hecho de que las funciones de gasto e indirecta de utilidad son inversas para
encontrar la función de gasto.
c. Utilice el Teorema de Shephard para encontrar las demandas compensadas.
d. Determine si los bienes son complementos o sustitutos netos.
3. La función indirecta de utilidad para una función CES tiene por ecuación:
[
V( Px, Py, I) = I β Px κ + Py κ
]
1− β
, donde 0 < β < 1, κ = -β / (1-β).
a. Utilice la Identidad de Roy para encontrar las demandas ordinarias.
b. Use el hecho de que las funciones de gasto e indirecta de utilidad son inversas para
encontrar la función de gasto.
c. Utilice el Teorema de Shephard para encontrar las demandas compensadas.
4. A partir de la definición de la función distancia en (38), compruebe el lemma de Shephard en
que
∂ D( X, Y, U 0 )
∂ D( X, Y, U 0 )
= ψ X ( X, Y , U 0 ) ,
= ψ Y ( X, Y , U 0 ) .
∂X
∂Y
Bibliografía
Cornes, R., Duality and Modern Economics. Cambridge University Press, (1992).
Deaton, A., and J. Muellbauer, Economics and Consumer Behavior. Cambridge University Press,
(1980).
Diewert, W., “Applications of Duality Theory,” in M. Intriligator and D. Kendrick (ed.) Frontiers
of Quantitatie Economics, Vol II, North Holland, (1974), pp. 106-171.
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Theory. John Wiley & Sons, (1979).
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