Clase nº1 – Funciones de forma
Introducción al Método de los Elementos Finitos
Tomando un elemento de volumen diferencial y poniendo en evidencia las fuerzas
actuantes sobre cada una de las caras, así como la fuerza que actúa sobre el volumen (por
ej. Gravitatoria, ElectroMagnética) podremos deducir las ecuaciones de equilibrio de
fuerzas en su formulación diferencial. En la figura 1 se muestran solamente las
componentes actuantes en cada una de las caras en la dirección “y”.
Figure 1. Elemento diferencial volumétrico
Estamos en condiciones de plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, que para el
caso de la dirección “y” tendría el siguiente planteo
Simplificando, la ecuación de equilibrio correspondiente a la dirección coordenada “y”
quedaría de la siguiente manera
Del mismo modo podríamos hacer con el resto de las direcciones obteniendo las
ecuaciones de equilibrio del sistema
Una vez que tenemos las ecuaciones que gobiernan a nuestro cuerpo (ecuaciones de
equilibrio), nuestro siguiente paso sería discretizarlas, pero introduciremos un paso
intermedio que es hacer un planteo equivalente utilizando el principio de los trabajos
virtuales
El principio de los trabajos virtuales postula que ante la aplicación de un desplazamiento
virtual (pequeño, posible y arbitrario), el trabajo virtual de las fuerzas externas debe ser
igual al trabajo virtual de las fuerzas internas. En su formulación integral puede plantearse
de la siguiente forma:
(1)
Esta es una ecuación con magnitudes vectoriales pero de naturaleza continua.
Procedemos entonces ahora a discretizar nuestras variables. (y es acá donde nos vamos
del terreno de la física descriptiva para pasar al área de los elementos finitos)
En lugar de tener magnitudes continuas, asumimos que las tenemos definidas en los
nodos, de modo que
Luego de varios pasos de manipulación algebraica, la ecuación (1) queda del siguiente modo
(2)
En primer lugar, veamos la forma de H. Esta matriz proviene de discretizar los
desplazamientos, entonces, para un elemento tetrahédrico tridimensional de 4 nodos, su
forma será
Analicemos el vector de fuerzas nodales superficiales equivalentes (Rs)
(3)
Las fuerzas estarán aplicadas sobre uno de los lados, es decir que en el caso bidimensional y
según las coordenadas naturales definidas, cada uno de los lados estaría identificado por r=1,
r=-1, s=1 y s=-1
s
s=1
r
r=-1
r=1
s=-1
Analicemos entonces cada uno de las magnitudes del integrando de la ecuación (3).
-
es la matriz que definimos anteriormente (recordar que su tamaño y forma de
ordenamiento depende de las dimensiones con las que trabajemos y los números de
nodos de los elementos), pero evaluada en la superficie que se desea integrar.
-
es el vector continuo de fuerza superficial, y será distinto según estemos en un
problema bidimensional o tridimensional.
Caso 2D
Caso 3D
Entonces, para este caso lo único que se debe hacer es reemplazar x y z por sus
respectivas funciones interpoladas de r, s y t (coordenadas naturales).
Nota: Realizamos un cambio de coordenadas de cartesianas a naturales para movernos dentro
del elemento. ¿Por qué lo hicimos?
1) Los límites del elemento, coinciden con las líneas coordenadas
2) Los límites de integración quedarían entre -1 y +1 lo cual resulta bastante
conveniente para aplicar cuadratura gaussiana
3) La sumatoria de las funciones de forma = 1, esto hace que se pueda representar
correctamente un perfil constante de la variable que se interpola, y esta es una de
las condiciones del patch test para que el elemento en cuestión converja a la
solución analítica. Por ejemplo:
-
. (dl si es en 2 dimensiones dS si es en 3). He aquí nuestro problema mayor:
Vemos que
(SWITCH 1)
(SWITCH 2)
Entonces vamos a calcular este diferencial para un elemento que habita en la
cara 1-2 y que tiene un ángulo
,
0
