Introduccion a la Programacion Lineal

UNIDAD 01
Introducción a la Programación Lineal
1.1 Modelo de Programación Lineal con dos variables
Ejemplo: (La compañía Reddy Mikks)
Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla
siguiente proporciona los datos básicos del problema
Producto
Pinturas para
Pinturas para
Disponibilidad
exteriores
interiores
diaria máxima
Componente
(toneladas)
Materia prima, M1
6
4
24
Materia prima, M2
1
2
6
Utilidad por toneladas
5
4
(miles de $)
Una encuesta de mercado indica que: la demanda diaria de pintura para
interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la pintura para exteriores.
También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2
toneladas.
Reddy desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para
exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.
El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de
investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos:
• Las variables de decisión que se trata de determinar
• El objetivo (la meta) que se trata de optimizar
• Las restricciones que se deben satisfacer
Definimos las variables:
x1=toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores
x2=toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores
Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades
todo lo posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el
objetivo de la empresa se expresa así:
Maximizar Z=5x1+4x2
A continuación se definen las restricciones que limitan el uso de las
materias primas y la demanda:
(uso de la materia prima para ambas pinturas)=(disponibilidad máxima
de materia prima)
Según los datos del problema:
Uso de la materia prima M1, por día = 6x1+4x2 toneladas
Uso de la materia prima M2, por día = 1x1+2x2 toneladas
Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6
toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan:
6x1+4x2≤24
(materia prima M1)
x1+2x2≤6
(materia prima M2)
La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la
producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x2-x1, no debe ser
mayor que 1 tonelada, y eso se traduce en: x2-x1≤1. La segunda restricción de
la demanda estipula que la demanda máxima diaria de pintura para interiores
se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como: x2≤2.
Una restricción implícita (o “que se sobreentiende”) es que las variables x1 y
x2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no
negatividad:
x1≥0
y
x2≥0.
El modelo de Reddy Mikks completo es:
Maximizar:
Z = 5x1 + 4 x2
Sujeto a:
6 x1 + 4 x2 ≤ 24
x1 + 2 x2 ≤ 6
− x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1 , x2 ≥ 0
EJEMPLOS INICIALES DE PROGRAMACION LINEAL
1.
Una firma industrial elabora dos productos, en las cuales entran cuatro
componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada
componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de
cada artículo que deba fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El
siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación. O sea la cantidad
de cada componente que entra en cada producto.
Producto
P1
P2
Componente
Disponibilidad
(kilogramos)
A
1
3
15 000
B
2
1
10 000
C
2
2
12 000
D
1
1
10 000
Beneficios
4
3
US$Unidad
Solución
x1 = Nº de Unidades de Producto
P1
x2 = Nº de Unidades de Producto
P2
Dado que x1 y x2 pueden tomar distintos valores reciben el nombre de
"variables".
Analizando ahora el componente A del cuadro de coeficientes de
transformación se tiene:
Si en una unidad del Producto P1 entra 1 Kg. Del componente A, en x1
unidades de P2 entrarán.
[1]
⎛ Kg de componente ⎞
⎜⎜
⎟⎟ x1
⎝ 1Unidad de P1 ⎠
(Unidades de P1 )
y para el producto P2 :
[2]
⎛ Kg de componente ⎞
⎜⎜
⎟⎟ x2
⎝ 1Unidad de P2 ⎠
(Unidades de P2 )
Dado que la restricción impuesta dice que la disponibilidad del
componente A es de 15 000 Kg es evidente que la suma de las expresiones
anteriores deberá ser menor, a lo sumo igual a 15 000. Es decir 15 000 Kg
constituye el máximo disponible de la componente A.
Entonces eliminando las unidades de medida, se expresan en forma
matemática de la siguiente forma:
1x1 + 3x2 ≤ 15 000
Aplicando el mismo análisis a los componentes B, C, y D, se tendrán las
siguientes inecuaciones:
2 x1 + 1x 2 ≤ 10 000
2 x1 + 2 x 2 ≤ 12 000
1x1 + 1x 2 ≤ 10 000
Ahora bien, si el producto P1 genera un beneficio de US$4 por unidad, x1
unidades producirá un beneficio de US$ 4x1 y para el producto P2 , serán 3x2
soles de beneficio.
El beneficio total puede expresarse entonces como suma de los
beneficios que deja cada producto.
Entonces:
Z = 4 x1 + 3x2
Pero lo que nosotros queremos es que este beneficio no sólo sea
grande, sino que sea el mayor de todos; en una palabra, que sea máximo.
Entonces el programa lineal correspondiente es:
Z = 4 x1 + 3x2
Sujeto a:
1x1 + 3 x2 ≤ 15 000
2 x1 + 1x2 ≤ 10 000
2 x1 + 2 x2 ≤ 12 000
1x + 1x2 ≤ 10 000
1
x1 , x2 ≥ 0
2.
La Compañía "PROLANSA" produce tornillos y clavos. La materia prima para
los tornillos cuesta
US$2,00 por unidad, mientras que la materia prima
para cada clavo cuesta US$2,50. un clavo requiere dos horas de mano de obra
en el departamento Nº 1 y tres horas en el departamento Nº 2, mientras que un
tornillo requiere cuatro horas en el departamento Nº 1 y dos horas en el
departamento Nº 2. El jornal por hora en cada departamento es de US$2,00.
Si ambos productos se venden a US$18,00, y el número de horas de mano de
obra disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180
respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal
que maximicen las utilidades.
Solución
x1 = Nº de tornillos/semana
x2 = Nº de clavos/semana
Utilidad = venta - costo
Costo de los tornillos =
Utilidad
=
US$12 Unid + US$2 /Unid. = US$14 /Unid.
=
US$14 /Unid.
=
18 - 14 =
Costo de los clavos
Utilidad
6 x 2 + US$US$2 /Unid.
=
US$4 /Unid.
5 x 2 + 2,5 = US$12,5 /Unid.
=
US$12,5 /Unid.
=
18 – 12,5 = US$5,50 /Unid.
Por lo tanto el programa lineal es:
Max Z = 4 x1 + 5,50 x2
Sujeto a:
4 x1 + 2 x 2 ≤ 160
2 x1 + 3 x 2 ≤ 180
x1 , x 2 ≥ 0
3.
Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de un cierto producto, y usa dos
tipos de materia prima (A y B), de los cuales se tienen disponibles 2 000 y 3
000 unidades respectivamente. Los requisitos de materia prima por unidad de
los 3 modelos son:
MATERIA
PRIMA
REQUISITOS POR UNIDAD DE MODELO DADA
I
II
III
A
2
3
5
B
4
2
7
El tiempo de mano de obra por cada unidad del modelo I es dos veces el
modelo II y tres veces el modelo III. La fuerza laboral completa de la fábrica
pudo producir el equivalente de 700 unidades del modelo I. Una encuesta de
mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es 200, 250 y 150
unidades respectivamente. Sin embargo, las relaciones del número de
unidades producidas deben ser iguales a 3: 2: 5. Supongamos que los
beneficios por unidad de los modelos I, II y III son 30, 20 y 50 unidades
monetarias. Formule el problema como un modelo de Programación lineal a fin
de determinar el número de unidades de cada producto que maximiza el
beneficio.
Solución
x1 = Cantidad de Producción del Modelo I
x2 = Cantidad de Producción del Modelo II
x3 = Cantidad de Producción del Modelo III
Función Objetivo
Max Z = 30 x1 + 20 x2 + 50 x3
Sujeto a:
1)
Con respecto a Materia Prima
2 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 2 000
4 x1 + 2 x2 + 7 x3 ≤ 3 000
2)
Con respecto a la Demanda Mínima
x1 ≥ 200
x 2 ≥ 250
x3 ≥ 150
3)
Relación de las unidades producidas
x1
x2
4)
=
2
,
x2
x3
=
2
5
,
x1
x3
=
3
5
Condición Laboral
x1 +
5)
3
1
2
x2 +
1
3
x3 ≤ 700
Condiciones de no negatividad
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
4.
Para una cafetería que trabaja 24 horas se requiere las siguientes meseras:
HORAS DEL DIA
NÚMERO MÍNIMO DE
MESERAS
2 - 6
4
6 - 10
8
10 - 14
10
14 - 18
7
18 - 22
12
22 - 2
4
Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas por día. El objeto es encontrar el
número más pequeño requerido para cumplir los requisitos anteriores. Formule
el problema como un modelo de Programación Lineal.
Solución
___
xi = Cantidad de meseras que ingresan en el turno i = 1,6
Función Objetivo
Min Z =
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
Sujeto a:
+ x6 ≥ 4
Turno 1:
x1
Turno 2:
x1 + x2
Turno 3:
≥8
x2 + x3
≥ 10
x3 + x4
Turno 4:
≥7
x4 + x5
Turno 5:
≥ 12
x5 + x6 ≥ 4
Turno 6:
xi ≥ 0
Turno
horas 2
6
10
14
18
22
∀i = 1, … ,6
2
6
1
x1
2
x2
3
x3
4
x4
5
x5
6
x6
5.
Considere una Compañía que debe elaborar dos productos en determinado
período (un trimestre) la Compañía puede pagar por materiales y mano de
obra, con dinero obtenido de dos fuentes: fondos de la compañía (propio) y
préstamos. La Compañía enfrenta tres decisiones.
a.
¿Cuántas unidades debe producir del producto 1?
b.
¿Cuántas unidades debe producir del producto 2?
c.
¿Cuánto dinero debe obtener prestado para apoyar la producción de los
dos modelos?
Al tomar estas decisiones la compañía desea Maximizar la ganancia sujeta a
las condiciones siguientes:
i.
Los productos de la compañía disfrutan de un mercado de ventas
por lo tanto la empresa puede vender tantas unidades como pueda
producir, más aún la cantidad producida no tiene efectos en los
precios del mercado ya que el volumen de producción de la
compañía es pequeño con relación al volumen del mercado total.
Por lo tanto a la Empresa le gustaría producir tantas unidades como
fuera posible dentro de las restricciones financieras y de capacidad
de su fábrica, estas restricciones junto con los datos de los costos y
precios se dan en tabla adjunta.
ii.
Los fondos propios de la Compañía disponibles durante el período
son US$30 000
iii. Un banco prestará hasta US$20 000 por trimestre a una tasa de
interés del 5% por trimestre, si la razón financiera conocida como la
Prueba del ácido, de la compañía permanece en una proporción de
3 a 1 como mínimo mientras existe el adeudo. Recuerda que la
prueba del ácido esta dada por la RAZON DE EFECTIVO más
cuentas por cobrar a cuentas por pagar.
iv. Como se observa en la figura adjunta, los pagos por mano de obra
y materia prima se hacen al final del período de producción, por lo
tanto el crédito necesario se obtiene en ese momento, los envíos de
los productos fabricados, se hacen a crédito al final del período de
producción. Finalmente el ingreso por ventas se recibe al final del
siguiente período.
Producto
Precio de
Costo de
Horas para Producir una
Venta
Producción
Unidad en el Dpto.
A
B
C
1
14
10
0,5
0,3
0,2
2
11
8
0,3
0,4
0,1
500
400
200
Horas
Trimestre
Solución:
Disponibles
por
x1 = Unidades del producto 1
x2 = Unidades del producto 2
x3 = Cantidad obtenida por el préstamo
Producto
P.V.
C.P.
Horas por Producir
A
B
C
1
14
10
0,5
0,3
0,2
2
11
8
0,3
0,4
0,1
500
400
200
Horas disponibles xi
U1 = (14 − 10)x1
U 2 = (11 − 8)x2
U 3 = −0,05 x3
Max Z = 4 x1 + 3x2 − 0,05 x3
Sujeto a:
0,5 x1 + 0,3 x2 ≤ 500
0,3 x1 + 0,4 x2 ≤ 400
0, 2 x1 + 0,1x2 ≤ 200
10 x1 + 8 x2 ≤ 30 000 + x3 Fondos de la compañia
x3 ≤ 20 000
30 000 + (4 x1 + 3 x2 + x3 )
x3 + 0,05 x3
≥
3
1
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Préstamo
Prueba ácida
=
=
Efectivo + cuenta por cobrar
Cuenta por pagar
30 000 + (4 x1 + 3 x2 + x3 )
x3 + 0,05 x3
≥
3
1
⇒ 2,15 x3 − 3 x2 − 4 x1 ≤ 30 000