Práctica 4

,
TECNICAS
,
EXTENSOMETRICAS
,
PRACTICA 3
o
o
o
o
o
Deter71zinaciól1 de las tensiones y
defor7naciol1es principales.
o
e
o
o
UNIVERSIDAD
CARLOS
DEPARTAMENTO
111DE MADRID
DE INGENIERíA
MECÁNICA
.'e
••
•9
Vff})
Determinación
de las tensiones
Y
deformaciones principales
2
1. INTRODUCCiÓN
(f¡J
e
e
•
El propósito de este experimento es la medida de las deformaciones unitarias a lo largo de tres
diferentes ejes concurrentes en un punto en una viga en voladizo, calcular las deformaciones
unitarias principales y deducir de estas, las tensiones principales y comparar los resultados
obtenidos con los que se obtendrían del cálculo de las tensiones aplicando la formula que
proporciona la elasticidad de materiales para una viga con estas condiciones.
En general, en un estado biaxial de tensión o de deformación, para determinar las tensiones o
deformaciones principales, deben de ser medidas tres deformaciones unitarias con galgas
extenso métricas en tres direcciones diferentes concurrentes en un mismo punto. Mientras el
campo de tensiones en una viga cargada en voladizo es uniaxial (excepto cerca del
empotramiento y cerca del punto de aplicación de la carga), la tensión en un punto varia con la
dirección. El estado de deformación (el cual es biaxial en este caso) varia de forma similar. La
figura adjunta muestra un gráfico polar de la tensión y la deformación normal en un punto, en
un estado de tensión uniaxial.
y
o
o
o
o
o
I
I
p
1
I
.1\
-t
p
\
o
e
o
o
o
••
••
Los tres ejes a lo largo de los cuales se realiza la medida tienen una orientación arbitraria
alrededor del punto de interés. Por conveniencia de calculo es preferible que las direcciones
formen ángulos submultiplos de n, tales como n/3 o n/4. Un conjunto de galgas
extenso métricas integradas en una base común, para la medida de deformaciones unitarias en
varias direcciones alrededor de un punto, se conoce con el nombre de "roseta". Existen dos
tipos principales de rosetas que integran tres galgas extensométricas formando entre ellas
diferentes ángulos, Estas son las "delta" o roseta equiangular y la "rectangular" en la cual las
galgas forman ángulos de 45° entre sí. Estas dos configuraciones son mostradas en la figura
siguiente.
Determinación
,---------.-':-
de las tensiones y deformaciones principales
3
....-....- .....-- ......-~~·~·...•.
··_--~··-I
~
íí6lt
Delta
Rectangular
Utilizando una roseta delta, las deformaciones principales pueden ser calculadas utilizando las
tres medidas de esta, mediante la expresión:
(1)
La relación correspondiente utilizando una roseta rectangular es:
(2)
o
o
o
Donde:
Deformaciones principales máxima y mínima respectivamente
El, E2, E:; == Valores de las deformaciones unitarias medidas por la roseta.
Ep,q
==
Los valores algebraicos máximo y mínimo indicados anteriormente corresponden al ± de las
ecuaciones (1) Y(2). La deformación principal mínima podria ser mayor en valor absoluto que
la deformación principal máxima, si es negativa.
Las tensiones principales pueden ser calculadas sustituyendo los valores obtenidos en las
ecuaciones (1) o (2) en las expresiones de la ley de Hooke para un estado biaxia1:
E
o
CJp
=
1- y2
(S' p
+
YS'q)
E
(5.1
= -1--2
-v (eq + ve p)
Donde:
e
O
O
== Valores algebraicos máximo y mínimo de las tensiones principales
v == Coeficiente de Poisson.
E == Modulo de elasticidad.
crp,q
2. EQUIPAMIENTO UTILIZADO
o
O
e
O
8
o
o
• Soporte para viga a flexión.
• Pletina de aleación de aluminio de alta resistencia (6 x 25 x 320 rnm).
• Galgas extensométricas tipo roseta (rectangular o delta).
Determinación
de las tensiones
y deformaciones principales 4
• Equipo de adquisición de datos.
• Pesos de laboratorio.
• Micrómetro empujador.
3. REALIZACiÓN DE LA PRÁCTICA
3.1 Conceptos previos:
En este experimento se determinar las tensiones y deformaciones principales de una viga en
voladizo cargada en el extremo utilizando una galga extensométrica tipo roseta. Utilizando los
valores de longitud de la viga y de magnitud de la carga aplicada, el valor de la tensión
longitudinal debida a la flexión será calculado directamente utilizando la expresión dada por la
elasticidad de materiales.
En este caso los ejes principales de tensión y deformación coinciden con los ejes de simetria de
la viga. El valor de la tensión principal máxima obtenida a partir de las medidas de la roseta
deberá de ser comparada con el valor de la tensión longitudinal dada por la teoría de
elasticidad de materiales para una viga sometida a flexión. De la misma forma el valor de la
tensión principal rl)Ínima obtenida en el experimento deberia de ser aproximadamente nula ya
que la tensión transversal en la viga es nula.
o
Es evidente que por la configuración del experimento, para calcular las tensiones principales
no haría falta una galga tipo roseta. La utilización de este tipo de galga se ha hecho ya que esta
metodología servirá para calcular las tensiones principales en otro tipo de experimento en la
que el cálculo de las tensiones principales no sea tan evidente.
o
3.2 Selección e instalación de la galga extensométrica
o
o
o
O
(;)
Las medidas de las galgas extensométricas que componen la roseta son compensadas
intrínsecamente en temperatura por el uso de un material con un coeficiente de dilatación
térmica particular. Las galgas que componen la roseta pueden ser montadas separadamente en
cuarto de puente, completándose cada puente con resistencias de 120 n. Generalmente para el
montaje en cuarto de puente se suele emplear un montaje en " tres hilos" para cada galga para
de esta forma obtener una compensación en temperatura inducida por los cambios de
resistencia de los hilos de unión entre la galga y el puente. Para este propósito se instalan hilos
de la misma longitud en las ramas adyacentes del puente.
Con frecuencia conviene minimizar los requerimientos de hilos y conexiones procedentes de
los terminales de las galgas combinando un hilo procedente de cada galga en un hilo común.
Cuando se usa un montaje en tres hilos se favorece el poder sustituir un par de hilos por uno, el
cual es común a cada galga de la roseta.
La medida de una galga extensométrica en un promedio de la deformación que se produce bajo
su malla. Es por esto por lo que el tamaño de la galga debe de ser acorde al gradiente de
deformación que se produce ya que la tensión que se quiere calcular es en un punto de la pieza
(punto centfal de la galga extensométrica). Para este experimento en el cual la variación de
o
e
••
•
Determinación
de las tensiones
y deformaciones principales 5
•
deformación no es muy acusada ( del orden de 200 ¡..tE/inch) será apropiada una roseta con un
tamaño de galga de 1/8 inch.
••
Realizar el montaje de los diferentes hilos siguiendo el diagrama adjunto.
e
$
e
(G)
e
(0
0
®
®
0
0
e
e
•e
Q
e;
o
FLEXOR
CD
\j
r"l
p+
o
o
o
"o
o
o
o
•8
()
o
•o
••
•
p-o
s-
FLEXOR CABLE
CD
5+0
D1200
D3500
Q)
l
GNOO
P-3500 STRAIN INDICATOR
Connec:t to
appropriate
dummy
o
•
Detenninación
de las tensiones y defonnaciones principales
6
3.3 Adquisición de datos:
Insertar la viga de aleación de aluminio en el soporte de forma que esta no se encuentra bajo
carga. Realizar las diferentes conexiones como se indica en el diagrama.
Medir la distancia entre la roseta y el extremo libre de la pletina. Medir el ancho y el espesor de
la pletina utilizando un micrómetro.
Utilizando la formula:
M.e
(J
-----L -
o
(9
1
6.P.L
-
b.t2
Donde:
<h :=Tensión superficiallongitudinal
en la línea central de la roseta.
M :=Momento flector en la línea central de la roseta.
c :=semiespesor de la pletina.
I:=momento de inercia de la sección de la sección.
P == Carga aplicada.
L == Distancia del punto de aplicación de la carga a la línea central de la roseta.
b :=Ancho de la pletina.
t == Espesor de la pletina.
Calcular la carga P, que tendrá que ser aplicada en el extremo libre de la pletina, para
conseguir una tensión de aproximadamente 100 Mpa en el centro de la roseta.
Ajustar el equipo de adquisición de datos utilizado, fijando el cero y realizando la calibración
de este. Introducir los datos referentes a alimentación y características de las galgas utilizadas
si esto fuera necesario.
Aplicar una carga al extremo de la pletina mediante el dispositivo giratorio instalado para este
efecto.
Realizar las lecturas de las deformaciones unitarias medidas por la roseta.
4. ANÁLISIS Y PRESENTACiÓN DE DATOS
Sustituir los valores obtenidos en la medida en las ecuaciones (1) y (2) para de esta forma
obtener los valores de las deformaciones principales Ep y Eq .
O
e
<;)
o
•o
Puesto que el estado tensional en la superficie de la viga es uniaxial, las deformaciones
principales serán según una dirección coincidente con este eje y la otra perpendicular a la
anterior. Debido a esto el coeficiente de Poisson puede ser calculado como:
Determinación
Para el cálculo de las tensiones principales
elasticidad de :
O"p
de las tensiones y deformaciones principales
y
O"q
7
se utilizará un valor del modulo de
E = 71700 Mpa.
Los valores de las deformaciones principales has sido calculados sin corrección por sensibilidad
transversal. Debido al espesor de los hilos que componen la rejilla de la galga y a las uniones
de estos entre sí, las galgas extensométricas son generalmente sensibles no sólo a la
deformación producida a lo largo de la dirección de medida ( dirección de los hilos de la rejilla
) sino también (aunque en mucha menor medida) a la deformación perpendicular a la dirección
de los hilos. Esta propiedad de las galgas extensométricas se denomina "sensibilidad
transversal" y se simboliza con ''Kt''
Las galgas son calibradas para la obtención del factor de galga en un estado uniaxial de
tensión, utilizando una barra de acero con v = 0.285 con la galga (o elementos galga, en este
caso la roseta) alineada en la dirección de la tensión existente. Cuando la galga es usada en un
entorno con diferente relación entre deformación transversal y axial, puede ser necesario una
corrección para la sensibilidad transversal.
o
"'"
Y:&;J
o
o
O
()
El error cometido en la medida de la deformación principal máxima es insignificante. El valor
de la deformación principal mínima puede ser corregido por sensibilidad transversal
multiplicando Eq por 1.025.
•
•
Determinación
•
de las tensiones Y deformaciones principales
5. HOJA DE RESULTADOS
NOMBRE:
M=
c=
1=.
p=
L=
b=
t=.
VALOR CALCULADO DE LA TENSIÓN
•
VALOR MEDIDO
81
=
VALOR MEDIDO
82
=
VALOR MEDIDO
83
=
(J"L
SEGÚN LA EXPRESIÓN:
VALOR CALCULADO DEFORMACIÓN PRINCIPAL MAX
&p=
VALOR CALCULADO DEFORMACIÓN PRINCIPAL MIN
e.q
VALOR CALCULADO TENSIÓN PRINCIPAL MAX
O"p
=
VALOR CALCULADO TENSIÓN PRINCIPALMIN
O"q
=
=
8
,
TECNICAS
,
EXTENSOMETRICAS
PRÁCTICA 4
o
o
(,j
Determinación del coeficiente de
Concentración de tensiones y
deformaciones.
UNIVERSIDAD CARLOS 111DE MADRID
DEPARTAMENTO
DE INGENIERíA
MECÁNICA
Concentración
de tensiones
y
deformaciones
1
o
O
i'l
INDICE
o
1. INTR O D U CCI Ó N
o
<)
o
2. EQ UIP AMIENTO
3. REALIZACIÓN
3.1 CONCEPTOS
o
O
o
o
O
o
O
o
••
•
DE LA PRÁCTICA
y
DE LA GALGA EXTENSOMETRICA
3
4
5
DE DATOS:
PRESENT
3
3
E rNSTALACIÓN
ADQUISICIÓN
-t. ANÁ LISIS
UTILIZADO
PREVIOS:
3.2 SELECCIÓN
3.3
2
ACI ÓN DE DA TOS
6
Concentración de tensiones y deformaciones
2
o
O
1. INTRODUCCiÓN
El propósito de este experimento es demostrar la existencia de concentraciones de tensiones y
deformaciones en los alrededores de una discontinuidad geométrica en una viga cantilever, y
obtener una medida aproximada de el factor de concentración de tensiones Kt, En este caso la
discontinuidad es un simple agujero circular, taladrado a lo largo del espesor de la viga en su
eje longitudinal.
e
e
La presencia de alguna irregularidad en el contorno de una elemento mecánico o en una parte
de una estructura impide la normal propagación de las tensiones, de modo que se incrementa
localmente la tensión por encima del valor nominal de la tensión calculada por el método
tradicional. Tales irregularidades y discontinuidades se les conoce como "concentradores de
tensión", En el esquema que se muestra a continuación, se pueden ver las distribuciones de
tensiones de dos secciones de una viga cantilever.
o
o
o
o
o
o
o
o
()
o
En la sección A, la tensión es uniforme en todo el ancho de la viga, y se calcula del siguiente
modo:
(J..¡
donde
e
-
,
M..¡c _ 6PL
1..¡
br
es la tensión en N/m2
M momento flector en mN
y momento de inercia en m4
(J
P carga en N
c mitad del espesor de la viga en m
(1)
Concentración de tensiones y deformaciones
3
En la sección B la tensión nominal se calcula sobre el área de esa sección:
() Ii(NOM)
6Pl
- (b - d)t2
lB
Si la localización
(2)
= MJJc _
del agujero fuese tal que
-1
-b-d
L
b
(3)
la tensión nominal de la sección B será la misma que en la sección A. El máximo de tensión
en la sección B, sin embargo, es mucho mayor, debido al efecto de concentración.
Como se
muestra en la figura anterior, la tensión máxima aparece en el borde del agujero, en el
diámetro transversal, y la tensión decrece con la distancia desde el agujero. Por definición, el
factor de concentración
de tensiones, K¡ , es el cociente entre la máxima tensión en el
concentrador de tensiones y la tensión nominal en el mismo punto, tal que:
K = () B (MAX)
() B (NOM)
r
_ () (MAX)
6Pt
(b-d)r2
JJ
-
(4)
Como tanto la tensión nominal como el pico de tensión en el borde del agujero, son todas
uniaxiales, la tensión y la deformación son proporcionales,
siempre y cuando no se exceda el
límite elástico en el experimento.
Así, el factor de concentración
de tensiones es igual al
cociente entre la deformación máxima y nominal en la sección B. Así:
K =
r
E
E
ti)
B(MAX) =
B(NOA1)
E
B(MAX)
E~
(5)
2. EQUIPAMIENTO UTILIZADO
~
o
e
e Soporte para viga a flexión.
e Pletina de aleación de aluminio de alta resistencia
e Galgas extensométricas
tipo uniaxiales.
e Equipo de adquisición de datos.
e Micrómetro empujador.
(6 x 25 x 320 mm).
3. REALIZACiÓN DE LA PRÁCTICA
3.1 Conceptos previos:
o
"
o
o
En este experimento, la viga se cargará mediante el bastidor (Flexor) a una predeterminada
carga axial de modo que en la sección B se alcance una deformación de 2,000 ~f; (ver figura).
Como se describe en la introducción, la tensión nominal en al sección B se medirá, no en ese
.... - ..
-
.. . -
Concentración de tensiones y deformaciones
4
punto de la viga, sino en la sección A donde las medidas se pueden hacer más
convenientemente y con más precisión. Es importante no exceder una tensión nominal de
2,000 ~8, sabiendo que la tensÍón en el borde del agujero es mucho mayor que la nominal, ya
que esta tensión excesiva podría producir una deformación local.
Las tensiones actuales en la región de la zona de concentración de tensiones se medirán con
tres pequeñas galgas extensiométricas situadas en la sección B, a distintas distancias del borde
del agujero, con una de las galgas adyacentes a el borde. La tensión indicada por las tres
galgas se indicarán en la gráfica. La curva se puede obtener a partir de los puntos resultado de
la medida para mostrar al distribución de deformaciones en las irunediaciones del agujero, es
necesario extrapolar los datos del borde para obtener un valor aproximado de la deformación
máxima. La extrapolación se puede hacer de forma aproximada o mediante la técnica dada en
la parte 4.
El cociente entre la tensión máxima y la nominal en la sección B es la concentración de
tensiones, debido a la presencia del agujero. Si el límite elástico del material de la viga no se
excede durante el experimento, las tensiones y las deformaciones son proporcionales y el
mismo cociente representa el factor de concentración de tensiones, Kt.
3.2 Selección
o
O
o
()
O
o
O
O
o
o
e instalación
de la galga extensométrica
En la medida de concentración de tensiones con galgas extensiométricas, se debe tener en
cuenta que la tendencia de la galga es indicar la deformación media en el área cubierta por la
rejilla de la galga. Si la deformación en las inmediaciones de el concentrador de tensiones
decrece muy rápidamente con la distancia, es obvio que necesariamente debemos elegir una
galga lo menor posible y pegarla en el lugar más próximo a el borde del concentrador de
tensiones, de modo que se minimice el error en la sensorización del pico de tensión. Incluso
con esta técnica, la deformación indicada por la galga puede ser significantemente menor que
el pico de la deformación.
Las tres galgas seleccionadas para la medida en la zona de variación rápida en las
proximidades del agujero poseen rejillas no mayores de 0.75xO.75 mm. Idealmente, de hecho
las dimensiones de la rejilla deben ser un 10% menores del radio del concentrador de
tensiones. La cuarta galga, localizada en la sección A, fuera de la región del gradiente de
deformaciones, se puede utilizar de mayor tamaño, con una longitud de 6 rnm. Se considera
que a una cie11adistancia del concentrador de tensiones la distribución la deformación axial a
lo largo del ancho de la viga es uniformemente distribuida y que varia linealmente con la
longitud. La deformación media indicada en la sección A es igual a la deformación en el
centro de la rejilla. Debido a la relación expresada en la ecuación 3 de la Introducción, es
entonces igual a la deformación axial nominal en la sección B.
Debido a la considerable maestría y experiencia requerida para localizar con precisión, pegar
y hacer las conexiones de los cables a galgas tan pequeñas, se recomienda que se emplee en el
experimento vigas con galgas prepegadas. Estas galgas están instaladas de modo que el centro
de la Galga (1), (2) y (3) están a 0.5, 1.5 Y 5 mm respectivamente del centro del agujero.
••
Concentración de tensiones
deformaciones
5
Las galgas empleadas están compensadas en temperatura para el empleo con el material
utilizado. Las cuatro galgas se conectarán en cuarto de puente individualmente. En el caso de
tener que emplear compensación por temperatura, se empleará un tercer hilo en el brazo
adyacente del circuito.
3.3 Adquisición de datos:
Se sitúa la viga con las galgas en el Flexor, centrando el lado libre de la viga entre los dos
lados del Flexor, asegurándose de que el final de la viga está bien insertado en la abrazadera y
bien sujeto a través de la tuerca del extremo.
Las galgas se conectan (a través del Flexor) a el sistema de medida, primero con la viga
descargada, y después con ella cargada.
Realizar el montaje de los diferentes hilos siguiendo el diagrama adjunto .
__ ~0
I tll 01200iI Mi III..\:::::!.
•
(j)
I
I s-Ol
AJA DE CONEXIONES
®
Y
Q)
I
0
FLEXOR CABLE
~ ./
035°0
p_Q
1111
DIAGRAMA
5+0
GNDO
DE
®
") CONEXIONES
e
o
•
Concentración de tensiones y deformaciones
~
e
6
•
~
~
e
•
~
(;)
•
~
•
Para la adquisición de datos se empleará el software en entorno Windows exclusivo de Strain
Smart, y Scanner modelo 5100 del System 5000 de Vishay. La conexión a partir del Flexor se
hace a través de una caja de conexiones que se conecta por la parte trasera a el Scanner. A
través del software se realizará el balance y la calibración de la galga, introduciendo en el
sistema todos los datos necesarios de la galga para realizar tal operación.
O
Con la galga (4) conectada, deflectar la viga, para ello se debe hacer girar la tuerca en sentido
horario, hasta que el indicador nos muestre un valor de 1000 J..l€, por tanto la deformación
nominal en el centro del agujero es de 1000 J..lE, excepto por una pequeña corrección por factor
de galga que se hará después.
e
Se recogerá la medida en la galga (3), (2) Y (1). Descargar la viga y comprobar la medida, si
medida es mayor de lO, hay errot en la medida y el experimento se debe repetir.
e
e
e
e
O
O
Para las galgas prepegadas se ha testado la estabilidad en el tiempo de la galga, y poseer una
alta repetibilidad, a no ser que la galga haya sido dañada. Cuando se realiza el balanceo y la
calibración debemos aseguramos que las conexiones están bien hechas y ajustadas en los
conectores.
C0
4. ANÁLISIS Y PRESENTACiÓN DE DATOS
O
"
La deformación indicada por la galga (4) puede ser corregida siempre que el factor de galga
sea diferente de las otras tres galgas, mediante la relación:
(6)
donde fgi es el factor de galga de la instrumentación y fg4 es el factor de galga de la galga 4.
El resultado de este cálculo es la deformación nominal de la Sección A y la sección B.
Los datos leídos por las galgas deben ser recogidos en las hojas de datos. Para estimar el valor
de pico en el agujero, extrapolaremos el valor de deformación para ese punto.
O
O
••
o
Se puede suponer sin lugar a error que la distribución de deformación es de la forma:
€
= A + B (R)2
X
+ e(R)4
X
(7)
o
•
•
•
•:•
•
El)
•
donde R es el radio del agujero, X es la distancia a el centro del agujero desde cualquier punto
en el eje transversal a la viga, y A, B Y C son coeficientes que se pueden determinar a partir de
las medidas de tres puntos diferentes a lo largo de ese eje transversal. Así:
O,~A+B(;J+C(;J
Concentración de tensiones y deformaciones
7
(8)
Para R= 3.18 mm, X¡= 3.68 mm, X2= 4.7 mm, X3= 8.26 mm
G
e
Resolviendo las ecuaciones anteriores para estos valores obtenemos para C, B y A:
(9)
o
B = 3.49(E 1 - E 2)- 1.20C
(10)
A =
(11)
O
o
El -
0.43B - 0.552C
O
o
Sustituyendo los valores obtenidos de las medidas podremos obtener las tres constantes.
Si R/X =1 en el borde del agujero entonces tenemos
Eo
o
= A + B + e (deformación pico)
(12)
El factor de concentración de tensiones (deformaciones) es entonces:
o
(13)
donde s~' es la deformación corregida para la galga 4.
o
e
o
Dibujar los ,'alores de deformación frente a la distancia X1R para visualizar la distribución de
deformaciones en las proximidades del agujero.
Concentración de tensiones y deformaciones
HOJA DE ADQUISICIÓN DE DATOS
Medida de deformaciones:
GALGA
3
24
1
Cálculo de coeficientes:
C
B
')
A
o
Máxima deformación en el borde del agujero:
O
o
O
~
G
Factor de concetración de tensiones:
G
•
Q
o
•
O
O
o
O
O
•
-_fi,
Kt
DEFORMACION
8
Concentración de tensiones y deformaciones
::t
-<
~
cu
I±
I::
ze
tt,
¡,;,
t+
1m
I--
I
~++++
++++
-H++
++++++
UNA
VIGA CON
+:¡:;¡;¡;
1 ::t#l#tEN++-+++-+2 ++++
AGUJERO
DEFORMACIONES
:HH
1,000
g 11
DISTRIBUCIÓN DE
f:;::
,.....
\JJ
o
-+++++
e
()
o
o
o
Q
o
o
o
o
9
-++++