1 Teoría de la relatividad Equivalencia masa

Teoría de la relatividad
Cuando la velocidad de un cuerpo (partícula) es comparable a la velocidad de la luz en el vacío c =
3.108 m/s, las leyes de la mecánica clásica no son válidas y se deben reemplazar por otras leyes
más generales. Einstein elaboró esta nueva concepción de la Física en su teoría especial de la
relatividad, publicada en 1905. Esta teoría, aplicable a todos los fenómenos físicos, tanto
mecánicos como electromagnéticos, está basada en dos postulados.
Postulados generales


Es imposible definir el movimiento absoluto y sólo tiene significado físico el movimiento
relativo de un sistema respecto a otro.
La velocidad de la luz en el vacío es constante y la máxima posible en nuestro Universo.
Consecuencias
Si un cuerpo alcanza velocidades próximas a la luz:
 La masa de un objeto en movimiento aumenta
 La longitud del cuerpo se contrae
 El tiempo se dilata cuando el cuerpo está en movimiento (para el cuerpo en movimiento, el
tiempo va más despacio)
Corrección relativista de la masa
m0
m
2
1-
v
c2
m0 = masa en reposo de la partícula o masa propia.
m = masa cuando alcanza una velocidad v
m > m0
p  m.v
En general, la masa aumenta cuando la velocidad aumenta.
Equivalencia masa-energía
E m.c2
E m.c2
E0 m0.c2
A toda variación de la masa le corresponde una variación de energía
Energía total de la particular
Energía de la partícula en reposo
E  E - E 0  (m - m 0 ).c 2  m.c 2
La energía total de la partícula es igual a la energía que tiene en reposo más la energía cinética
E E0 + Ec
Por tanto
E Ec
1
Ejemplo: Halla la masa y la energía total de un electrón que se mueve con una velocidad de
2.108 m/s. ¿cuánto ha aumentado su energía? ¿Cuál es su energía cinética? me = 9,1.10-31 kg
m
m0
1
v2
c2
m0

1
(2.108 ) 2
(3.108 ) 2

m0
 1,34 m  1,22.10 -30 kg
0,745
0
Energía total que tiene el electrón a esa velocidad:
E  m.c 2  1,34 m 0 c 2  1,22.10-30 .(3.108 ) 2  1,09.10-13 kg
La energía habrá aumentado:
E  m.c 2  ( m - m 0 )c 2  (1,22.10 -30 - 9,1.10 -31 ) .(3.10 8 ) 2  3,1.10 -31 .(3.10 8 ) 2  2,79.10 -14 J
que es su energía cinética.
Si calculamos la energía cinética por la mecánica clásica
Ec = ½ m v2 = ½ 1,22.10-30 . (2.108)2 = 2,44.10-14 J
vemos que no coincide con la Ec relativista
Si hallámos las energías cinética clásica y relativista y las representamos frente a v/c, vemos en la
gráfica que los efectos relativistas solo empiezan a hacerse visibles cuando la velocidad del electrón
es igual o superior a 0,4 c (120000 km/s), y la pendiente de la curva que representa la energía
cinética relativista se acentúa a medida que alcanzamos velocidades próximas a la de la luz.
Además, la curva que representa la energía cinética relativista tiende asintóticamente a infinito. De
acuerdo con ello, para comunicar a una partícula de masa m una velocidad igual a la de la luz,
necesitaríamos una energía infinita.
2
Contracción de la longitud
La longitud de un objeto medida en un sistema de referencia, respecto del cual el objeto
está en movimiento, siempre es menor que la longitud propia, L0. Este efecto se
denomina contracción de la longitud.

v 2  L0 = longitud propia (medida en reposo)
L  L 0  1  2  L = longitud (medida en movimiento)

c 

Ejemplo: Una varilla de 1 m de longitud colocada a lo largo del eje x se mueve en esa
dirección con una velocidad v = 0'8 c con respecto a un observador en reposo. ¿Cuál es la
longitud de la varilla medida por este observador?.
L0 = 1 m

(0,8c) 2
L 1  1

c2


  0,6 m


Dilatación del tiempo
El tiempo de un sistema en movimiento parece dilatarse respecto al tiempo medido en
un sistema en reposo solidario con el observador. Un reloj en movimiento camina más
lentamente que un reloj idéntico en situación estacionaria.
t = tiempo propio, es el tiempo medido por un observador que se
2 

v
mueve con el reloj (tiempo transcurrido en movimiento)
t  t0 1  2 


c  t0 = tiempo transcurrido en reposo

Ejemplo: La estrella más cercana al sistema solar es Alfa Centauro, que se encuentra a
4'257.1016 m (4'5 años luz) de distancia, de acuerdo con los relojes de la Tierra. ¿Cuánto
tardará una nave espacial en hacer un viaje de ida y vuelta a esa estrella si su velocidad es
v = 0'95 c?. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido para un observador que ha viajado en la
nave?. (4'5 años luz = distancia recorrida por la luz en 4,5 años)
4,5años - luz  c.t  3.10 8
m
365 días 24 horas 3600 s
4,5 años


 4,257.1016 m
s
1 año
1 día
1 hora
El tiempo que tardaría la nave en llegar a Alfa Centauro y volver a la Tierra para un observador
desde la Tierra sería:
t
s
v

2 . 4'257.1016

29876210,53 s 9,47 años
0,95c
El tiempo de ida y vuelta para el observador que ha viajado en la nave es:


v2 
0,95.c 2
t  t 0  1  2   9,47 1 


c 
c2



  9,47  0,31  2,96 años


3
El tiempo ha transcurrido más despacio para el observador de la nave, esto es debido a que la
distancia medida desde el sistema de referencia en movimiento es menor que la distancia medida
por el observador en reposo (distancia propia), es decir la distancia entre Alfa Centauro y la
Tierra para el observador en movimiento se contrae.

(0,95c) 2
L  2  4,257.1016  1 

c2


  2,66.1016 m


s
2,66.1016
 9,328.10 7 s  2,96 años
t 
8
v 0,95  3.10

Concluimos que el espacio y el tiempo no son absolutos y no son independientes.

La consideración de la velocidad de la luz como un valor invariable nos lleva a concluir
que dos observadores que no miden el mismo tiempo tampoco medirán el mismo
espacio.
4