Sesión 4

Teoría para la Práctica 4
Viento real y viento geostrófico
Nota: para el desarrollo de esta práctica es conveniente una calculadora científica (al menos con las
funciones trigonométricas). Si no dispones de una, puedes usar la de Windows en menú Inicio,
Programas, Accesorios, Calculadora. Si inicialmente no se presenta la calculadora científica, en el menú
“Ver” de la calculadora seleccionar “científica”.
1. Sistemas de coordenadas:
En las ciencias de la Tierra, el sistema de coordenadas elegido suele depender
del tipo de estudio que se desee realizar. Normalmente se trata de escoger un sistema en
el que las ecuaciones a resolver tomen su forma más sencilla. Para el estudio del viento
(figura 1), se suele utilizar un sistema cartesiano (x,y,z) con la coordenada x dirigida de
oeste a este y la coordenada y dirigida de sur a norte. Como coordenada vertical, se
suele utilizar la altura z, de abajo a arriba..
z
y
N
x
O
E
S
Figura 1
2. Viento real:
El viento es el aire en movimiento, se mide por medio de su dirección, sentido y
velocidad, por lo tanto es un vector que en general tendrá tres componentes.
Normalmente las componentes horizontales del viento son mucho mayores que la
componente vertical, por lo que la velocidad del viento suele darse únicamente en
función de sus dos componentes horizontales. A la componente según el eje x (de oeste
a este) se la suele denominar u, mientras que a la componente según el eje y (de sur a
norte) se la denomina v. Por lo tanto, dados el par (u,v) es posible conocer la dirección y
la velocidad del viento horizontal. A u y v se las suele llamar componentes zonal y
meridional del viento respectivamente.
Ejemplos:
Si medimos las componentes u y v y resultan u=0m/s y v=10 m/s, tendremos un viento
del sur con velocidad de 10 m/s.
1
Si nos dicen que el viento es del Suroeste, y que su módulo es de 20 m/s podremos
calcular sus componentes u y v en el plano horizontal según (ver figura 2):
N
Si el viento viene desde el suroeste,
soplará hacia la dirección opuesta
(noreste) y formará un ángulo de 45º con
el eje x. Por lo tanto, sus componentes
serán,
u = 20·cos(45º) = 14.1 m/s
v = 20·sen(45º) = 14.1 m/s
v
45º
O
S
E
u
Figura 2
3. Viento geostrófico
El viento geostrófico es un viento teórico deducido tras aplicar la segunda ley de
Newton (F=m·a) a una parcela de aire cuando se consideran únicamente las fuerzas
producidas por las diferencias horizontales en la presión atmosférica y la fuerza
aparente de Coriolis1.
Se puede demostrar, que las componentes horizontales del viento geostrófico son:
g ∂z
f ∂y
g ∂z
vg =
f ∂x
ug = −
1
La fuerza de Coriolis, es una fuerza aparente debida a que el sistema de coordenadas que estamos
usando se encuentra fijo respecto a la superficie de la Tierra, y ésta rota sobre su eje. Por lo tanto el
sistema de referencia es no inercial. La fuerza de Coriolis es semejante –aunque no igual- a la fuerza
centrífuga. Normalmente la fuerza de Coriolis es despreciable, ya que es una fuerza pequeña y necesita
actuar durante mucho tiempo sobre un cuerpo para que su efecto sea perceptible. En el caso del viento, el
aire se mueve sobre la superficie de la tierra constantemente, y la fuerza tiene tiempo de sobra para
actuar. La fuerza de Coriolis es proporcional a la velocidad de rotación de la Tierra Ω, a la velocidad V
del cuerpo sobre la que actúa (en nuestro caso al módulo de la velocidad del viento) y al seno de la latitud
del lugar ϕ. Su módulo es 2VΩsen(ϕ) y su dirección es siempre perpendicular a la dirección de
movimiento, dirigida hacia la derecha del movimiento en el Hemisferio Norte y hacia la izquierda en el
Sur. Se pueden encontrar más detalles, por ejemplo, en las páginas 111 y 112 del libro “Atmósfera
Tiempo y Clima” de Barry y Chorley, aunque cualquier texto de meteorología básica explica esta fuerza.
2
Donde
g es la aceleración de la gravedad (9.8 m/s2)
f es el parámetro de Coriolis, resulta de la expresión de la fuerza aparente de Coriolis
y depende de la velocidad de rotación de la Tierra. Su expresión es f=2·Ω·sen(ϕ).
Donde Ω es la velocidad de rotación de la Tierra (Ω=2π/86400s = 7.2722·10-5s-1) y ϕ es
la latitud del lugar. Por lo tanto, sustituyendo el valor de Ω, tenemos que:
f=1.4544·10-4·sen(ϕ)
(sus unidades son s-1)
∂z
es la derivada del geopotencial2 en la dirección del eje y
∂y
∂z
es la derivada del geopotencial en la dirección del eje x
∂x
Z2
∆y
Z3
Z4
O
∆x
Z1
Cuando se trabaja con datos reales, las
derivadas se calculan aproximadamente.
Por ejemplo, si buscamos el viento
geostrófico en el punto O (figura 3),
situaríamos en O el centro del sistema de
coordenadas. El eje x seria el horizontal y
el eje y seria el vertical. Nos tienen que dar
(o tendremos que aproximar mediante un
mapa) el geopotencial en un punto al norte
(Z2 en la figura 3), en un punto al sur (Z1),
en un punto al oeste (Z3) y en un punto al
este (Z4) respecto de nuestro origen de
coordenadas.
Figura 3
Necesitaremos calcular la distancia
geométrica entre los puntos Z1 y Z2 (∆y) y
entre los puntos Z3 y Z4 (∆x). Conociendo todos esos valores, podremos aproximar:
2
Recuerda que el geopotencial es la altura a la que hay que subir sobre el nivel medio del mar para
alcanzar una determinada presión. Por ejemplo, si nos dicen que el geopotencial de la superficie de
presión constante de 1000 hPa (para abreviar se suele decir “geopotencial de 1000 hPa”) es de 100m.
significa que hay que subir 100 metros para que la presión descienda desde la que tengamos a nivel del
mar hasta 1000 hPa. Conocer el mapa de geopotencial es equivalente a conocer el de la presión, ya que la
ecuación de la hidrostática nos relaciona cambios de presión y geopotencial según dP = − ρgdz .
Intuitivamente es fácil comprender por qué en la expresión del viento aparecen diferencias de
geopotenciales (es decir, diferencias de presiones). Cuando entre dos puntos hay diferente presión (la
presión es la fuerza por unidad de superficie), la diferencia de presiones se manifiesta como una fuerza
neta sobre cada partícula de aire, esa fuerza interviene en el movimiento y es la razón por la que el viento
depende de la diferencia del geopotencial (de la presión) en torno al punto que estemos estudiando.
Observa además, que cuanto mayor sea la diferencia de geopotenciales (presiones) más fuerza actuará
sobre la partícula y mayor será el viento resultante.
3
∂z ∆z z 2 − z1
≈
=
∂y ∆y
∆y
∂z ∆z z 4 − z 3
≈
=
∂x ∆x
∆x
Con lo que tendríamos todos los datos necesarios para calcular el viento geostrófico.
Ejemplo:
Suponer que situamos el punto O en un lugar con latitud 40º. Y que en un mapa de
geopotencial de la superficie de 1000 hPa obtenemos que Z2=100m y que Z1=80m. Y
que los puntos Z2 y Z1 distan entre si 300 km (es decir, que ∆y=300 km; este dato
siempre lo podremos saber conociendo la escala del mapa o la distancia en latitud entre
los puntos). Con esos datos podremos calcular la componente ug del viento geostrófico
en los siguientes pasos:
1. g = 9.8 m/s2
2. El parámetro de Coriolis, para 40º será f=1.4544·10-4·sen(40) = 9.35·10-5s-1
3. ∆z/∆y = (100 – 80) / 300000 = 6.67·10-5 (se han pasado los 300 km a metros,
para tener todos los valores en el Sistema Internacional)
Con lo que u g = −
9 .8
6.67·10 −5 = −7.0 m / s
−5
9.35·10
La componente vg se calcularía de manera análoga. Al final dispondríamos de las dos
componentes horizontales del viento geostrófico, que podríamos representar sobre el
mapa mediante un vector.
El viento geostrófico es, como se ha indicado, un viento teórico. No incluye una serie de
fuerzas como la fuerza centrífuga o las fuerzas de rozamiento. Sin embargo, a cierta
altura sobre el suelo es una aproximación muy buena del viento real. Incluso, cerca del
suelo la aproximación no es demasiado mala (en latitudes medias los errores no suelen
superar el 20% del valor del viento real).
Durante la práctica 4 se va a realizar en primer lugar un cálculo manual del viento
geostrófico sobre un mapa impreso. A continuación, se utilizará GrADS para realizar
los cálculos de forma automática, tal y como se suele hacer actualmente. Se compararán
los resultados del viento geostrófico con el viento real cerca y lejos del suelo.
4
Datos necesarios para realizar la práctica
La segunda parte de la práctica se realiza utilizando el programa GrADS. Antes
necesitarás descargar de Internet los datos de viento real. Puedes hacerlo como en la
práctica 2, rellenando el formulario correspondiente en la página
http://www.cdc.noaa.gov/cdc/data.ncep.reanalysis.html. Sin embargo, los ficheros
necesarios los puedes descargar directamente de la página web de la universidad
http://www.upo.es/depa/webdex/fistie/meteo/ junto al enlace en la Sesión 4.
Es muy importante que descargues los archivos dentro del directorio C:/Archivos
de programa/PCGrADS/DATOS.
Para calcular el viento geostrófico en el ordenador, necesitarás el geopotencial en 1000
y 500 hPa. Dichos datos se encuentran en el fichero ../datos/z_mayo2002.nc, y
ya se encuentra en el directorio de trabajo. Recuerda que la variable correspondiente al
geopotencial se llama hgt. Abre en primer lugar dicho fichero (sdfopen
../datos/z_mayo2002.nc).
El
geopotencial
en
1000
hPa
será
hgt.1(lev=1000) y en 500 hPa será hgt.1(lev=500).
Para representar los datos de viento real, necesitarás abrir los ficheros correspondientes.
Hay dos ficheros, uno con la componente u, que en GrADS se denomina uwnd y otro
con la componente v (vwnd). Si abres estos ficheros tras el del geopotencial con las
órdenes
sdfopen ../datos/u_mayo2002.nc
sdfopen ../datos/v_mayo2002.nc
la componente u estará en el fichero numero 2 y la componente v en el número 3, por lo
tanto, si quieres representarlas o hacer cálculos con ellas, los nombres de variable que
debes usar son:
uwnd.2
vwnd.3
Componente zonal del viento real en 1000 hPa
Componente meridional del viento real en 1000 hPa
Cálculo del viento geostrófico en GrADS
Para calcular el viento geostrófico en 1000 hPa, selecciona el nivel de 1000 (set lev
1000) e introduce las siguientes órdenes3:
f=0.000145*sin(lat*0.01745)
dzx=cdiff(hgt.1,x)
dzy=cdiff(hgt.1,y)
dx=555887*cos(lat*0.01745)
dy=555887
3
Son la traducción a GrADS de las fórmulas del viento geostrófico. La única novedad es que la función
cdiff calcula directamente las diferencias del geopotencial en puntos adyacentes, ¡lo que nos ahorra
mucho trabajo!
5
ug=-(9.8/f)*(dzy/dy)
vg=(9.8/f)*(dzx/dx)
Tras introducir estas órdenes y si has abierto los ficheros de viento, en la memoria del
ordenador ahora tienes:
ug
vg
Componente zonal (según los paralelos) del viento geostrófico en 1000 hPa
Componente meridional (según los meridianos) del viento geostrófico en 1000 hPa
que son variables que puedes representar como harías con cualquier otra.
En el ejercicio 5 necesitarás calcular el viento geostrófico en 500 hPa, necesitarás
seleccionar el nivel en 500 hPa (set lev 500) y repetir el mismo conjunto de
órdenes anterior salvo que las dos últimas líneas deben sustituirse por4:
ug5=-(9.8/f)*(dzy/dy)
vg5=(9.8/f)*(dzx/dx)
Tras el cálculo, en memoria tendrás además de los vientos anteriores, los de 500 hPa en:
ug5
vg5
Componente zonal (según los paralelos) del viento geostrófico en 500 hPa
Componente meridional (según los meridianos) del viento geostrófico en 500 hPa
Representación de vectores.
En GrADS puedes representar vectores con un display seguido por las componentes
separadas por punto y coma. Por ejemplo
display uwnd.2;vwnd.3 representaría el viento real
display ug;vg representaría el viento geostrófico, suponiendo que lo tengas
calculado.
Puedes representar el módulo de un vector mediante la orden mag, por ejemplo, si
hacemos
display mag(ug,vg)
Representaríamos el módulo del vector de viento geostrófico. Notar que hay que separar
las componentes por una coma (y no por punto y coma)
Recuerda que siempre puedes representar el resultado de operaciones matemáticas. Por
ejemplo, si quisieras representar el vector diferencia entre el viento real y el geostrófico,
lo podrías hacer mediante
display mag(uwnd.2-ug,vwnd.3-vg)
4
Si no las sustituyes, sobrescribirías las variables ug y vg, que originalmente contienen el viento en 1000
hPa con los nuevos valores en 500.
6
Observa como esa orden, primero calcula la diferencia entre las componente del viento,
luego calcula el módulo del vector diferencia y por último representa el resultado.
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