TAREA de Mecánica Cuántica II Estados coherentes del oscilador

TAREA de Mecánica Cuántica II
Estados coherentes del oscilador armónico
Considere un oscilador armónico unidimensional,
p2
1
+ mω 2 x2
2m 2
H0 =
(1)
con
[x, p] = ih̄.
(2)
1) Defina operadores de creación y aniquilación, a† y a, que obedezcan,
h
i
a, a† = 1
(3)
tal que el Hamiltoniano se exprese como,
1
.
H0 = h̄ω a a +
2
†
(4)
2) Encuentre los eigenestados de H0 , definidos como
1
H0 |ni = h̄ω(n + )|ni
2
(5)
con n = 0, 1, 2, . . . , ∞. Encuentre los valores de a|ni y a† |ni.
3) Suponiendo que el estado del sistema es un eigenestado |ψi = |ni,
encuentre los valores de expectación de x y p, es decir hn|x|ni y hn|p|ni.
Encuentre también las incertidumbres ∆x y ∆p, definidas como
∆x = hn|x2 |ni − hn|x|ni2
1/2
∆p = hn|p2 |ni − hn|p|ni2
1/2
(6)
Calcule el producto ∆x ∆p.
4) Encuentre el estado coherente de Glauber |αi, en términos de la base
{|ni}, con α un número complejo arbitrario, definido como,
a|αi = α|αi.
1
(7)
5) Calcule hβ|αi, ambos estados coherentes con α 6= β. Muestre que la
unidad (matriz unidad) se descompone como
1̂ =
1Z 2
d α |αihα|
π
(8)
donde la integral es sobre todos los números complejos. Note que d2 α =
d(Reα) d(Imα). Se dice que el conjunto de los estados coherentes, en todos los complejos, forma un conjunto sobrecompleto, debido a su falta de
ortogonalidad.
6) Suponga que en t = 0 el sistema está en un estado coherente |ψ(0)i =
|αi, con α un número complejo arbitrario. Encuentre el estado al tiempo t,
es decir |ψ(t)i.
7) Encuentre los valores de expectación de x y p en el estado |ψ(t)i del
inciso anterior y muestre que obedecen las ecuaciones de movimiento clásicas
del oscilador armónico.
8) Calcule las incertidumbres de x y p en el estado |ψ(t)i del inciso 6, y
muestre que su producto, para todo tiempo, es igual al mı́nimo valor permitido por el Principio de Incertidumbre. Por esta propiedad a los estados
coherentes de Glauber también se les llama quasiclásicos.
9) Como vimos en clase, el campo vectorial cuántico de la radiación electromagnética se puede expresar como,
s
~ r, t) = c
A(~
X
~kσ
h
i
πh̄
~
~
ê~kσ a~kσ ei(k·~r−ωk t) + a~†kσ e−i(k·~r−ωk t)
V ωk
(9)
donde ahora existe un par de operadores de creación y aniquilación a~†kσ y
a~kσ , por cada modo (~k, σ), que literalmente crean y aniquilan fotones con
momento p~ = h̄~k, energı́a ~kσ = h̄ωk y componente de spin σ. Recordemos
que ωk = kc y que σ solo toma las componentes σ = ±1.
Suponga que el estado de la radiación es un estado coherente en el modo
~
(k0 , σ0 ) y con cero fotones en cualquier otro modo. Denotemos tal estado
como
|α~k0 σ0 i
(10)
2
donde α~k0 σ0 es un número complejo arbitrario.
a) Encuentre el significado fı́sico de |α~k0 σ0 |2 . Sugerencia, calcule el valor
de expectación del campo eléctrico en el estado |α~k0 σ0 i.
b) Halle la intensidad del valor de expectación del campo eléctrico en el
estado |α~k0 σ0 i, es decir, calcule
I=
1 Z τ0 ~ r, t)|α~ i2 dt.
hα~k0 σ0 |E(~
k0 σ0
τ0 0
(11)
c) Estime cuántos fotones por unidad de volumen (en promedio) hay en
un haz láser rojo de 5 mW. Suponga que el haz láser se puede describir como
un estado coherente de la radiación.
d) Calcule el valor de expectación del número de fotones en el estado
|α~k0 σ0 i, es decir, del operador de número
N=
X †
~kσ
a~kσ a~kσ .
(12)
Calcule la fluctuación de N en |α~k0 σ0 i, asi como el cociente de dicha fluctuación entre el valor de expectación de N . Tome el lı́mite |α~k0 σ0 |2 1 y
comente su resultado ... esto justifica su cálculo del inciso c)?
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