Antiprotones

Equation Chapter 1 Section 1Generación de antiprotones.
En un acelerador capaz de acelerar protones hasta 10 GeV se produce la
siguiente reacción para generar antiprotones:
p+ + p+ → p+ + p+ + p+ + p−
La reacción se logra lanzando a los protones acelerados contra un blanco que
contenga protones libres (por ejemplo hidrógeno), los cuales pueden
considerarse esencialmente en reposo.
a) Determinar cuál es la energía mínima (la energía umbral) que deben tener
los protones proyectiles para que se pueda producir la reacción.
b) Demostrar que la energía de los antiprotones generados adquiere su
máximo valor cuando todas las partículas se mueven, después de la
reacción, en la misma dirección del haz de protones incidente y, además,
cuando los tres protones resultantes tienen la misma rapidez.
c) Determinar la máxima energía total y la rapidez máxima de los
antiprotones cuando la energía total de los protones incidentes es
ET = 8 mpc2,
en donde mpc2 es la energía en reposo del protón.
Sugerencia: Analizar el problema en el sistema de referencia del centro de
masas del sistema de partículas, en donde el ímpetu total inicial (y final) es cero.
Nota: usar la expresión relativista para la energía total de cualquiera de las
partículas E = p 2 c 2 + m 2 c 4
Respuesta.
En el sistema del centro de masas, el ímpetu inicial es cero, así que el
final también es cero. Por lo tanto, si llamamos p1, p2, p3 y pa a los ímpetus de
los protones y del antiprotón (respectivamente) después de la colisión, se debe
cumplir que
-pa = p1 + p2 + p3
Pero como
pa2 = p12 + p22 + p32 + p1 ip 2 + p1 ip 3 + p 2 ip3
y como los productos escalares involucran al coseno de un ángulo, que va de
uno a menos uno cuando el ángulo va de cero a ciento ochenta grados, el valor
máximo del término entre paréntesis redondos de la expresión anterior es
máximo cuando todos los ángulos son iguales a cero; es decir, cuando los tres
protones resultantes de la reacción viajan en la misma dirección y el antiprotón
viaja en dirección contraria.
Si en el sistema del laboratorio la rapidez del antiprotón es máxima,
también lo será en el sistema del centro de masas, así como su energía total.
Sean ECM, E1, E2, E3 y Ea las energías del protón incidente, de los protones
salientes y del antiprotón, respectivamente. Entonces
ECM = Ea + E1 + E2 + E3
o bien
(E
CM
− Ea ) = ( E1 + E2 + E3 ) .
2
2
de donde se obtiene
2
ECM
− 2 Ei Ea + m 2p c 4 + pa2 c 2 = ( E1 + E2 + E3 )
2
pero como pa2 = ( p1 + p 2 + p3 ) , obtenemos que
2
Ea =
{
}
1
2
ECM
+ m 2p c 4 + c 2 ⎡⎣ p¨21 + p22 + p32 + 2 ( p1 ip 2 + p1 ip3 + p 2 ip 3 ) ⎤⎦ − ( E12 + E22 + E32 + 2 E1 E2 + 2 E1 E3 + 2 E2 E3 )
2 ECM
Usando la fórmula relativista para E, la expresión anterior se reduce a
Ea =
1
{ECM2 − 2m2p c4 + 2c2 ( p1 ip2 + p1 ip3 + p2 ip3 ) − 2 ( E1E2 + E1E3 + E2 E3 )}
2 ECM
Ahora bien, si consideramos que
(p
1
− p2 ) = p12 + p22 − 2 ( p1 ip 2 ) ≥ 0
2
entonces
p12 + p22 ≥ 2 ( p1 ip 2 )
y el signo de igualdad se obtiene sólo si p1 = p2. Como esta relación se cumple
para cualesquiera de las parejas de ímpetus y como se desea que la energía del
antiprotón sea máxima, se obtiene:
Ea =
1
1
2
2 4
2
2
2 2
2 4
⎡ ECM
⎤=
−
+
−
+
2
2
3
6
m
c
c
p
c
p
m
c
Ei2 − 8m 2p c 4 )
(
)
(
)
(
p
p
⎣
⎦
2 ECM
2 Ei
en donde p es la magnitud del ímpetu de los protones en el sistema centro de
masas. Para encontrar la energía EL de los antiprotones en el sistema
laboratorio, escribimos las leyes de conservación del ímpetu y de la energía en
ese sistema:
1
1
ET2 − m 2p c 4 =
EL2 − m 2p c 4 + p3
c
c
y
ET + m p c 2 = E +
( 3m )
2
p
c 4 + c 2 p32
en donde p3 es la magnitud del ímpetu asociado con los tres protones salientes
en el sistema laboratorio. Haciendo un poco de álgebra (eliminando c 2 p32 ) se
llega a
EL =
ET2 − 2 ET m p c 2 − 3m 2p c 4 + ( ET − m p c 2 )
2 ( ET − m p c 2
(E
)
T
− 7 m p c 2 )( ET + m p c 2 )
con lo cual queda claro que la energía umbral es 7mpc2, y no lo que ustedes
copiaron del Alonso-Finn. Sustituyendo el valor ET = 8mpc2 se obtiene que
EL =
11
m p c 2 = 3440 GeV
3
También se puede calcular, cosa que no haré, la energía cinética de los
antiprotones y de ahí su velocidad, la cual resulta tener un valor aproximado de
0.96 c.