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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Para medir la altura de un árbol, nos situamos a 20 m de su base y observamos, desde el suelo, su parte más alta bajo un ángulo de 50°. ¿Cuánto mide el árbol?
tg 50° = h 8 h = 20 · tg 50° = 23,8 m
20
h
50°
20 m
29
B
Dos antenas de radio están
sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la
longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.
D
60°
A
100
AP
100
PC
CQ
75
QE
75
x
y
C
50°
B
E
8 CQ = 75 m
8 QE ≈ 43,3 m
A
25 m
30°
10 m
y
sen 50° =
8 y ≈ 22,98 m
30
30 m
Q
8 PC ≈ 173,21 m
sen 30° = x 8 x = 12,5 m
25
25 m
30°
10 m
30°
8 AP ≈ 57,74 m
Una escalera, por la que se accede a un túnel, tiene la forma y las dimensiones de la figura.
Calcula la profundidad del punto B.
A
31
30°
P
sen 60° = 100 8 AB ≈ 115,47 m tg 60° =
AB
100
8 BC = 200 m
sen 30° =
tg 30° =
BC
cos 45° = 75 8 CD ≈ 106,07 m tg 45° =
CD
cos 30° = 75 8 DE ≈ 86,6 m
tg 30° =
DE
AE = 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m
30
45°
75 m
28
Pág. 1
100 m
7
30 m
50°
B
Profundidad: 12,5 + 22,98 = 35,48 m
Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del
12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros
hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera?
100
a
7 km
6° 58' 34''
Unidad 7. Trigonometría
12
sen a = 12 = 0,12 8 a = 6° 53' 32''
100
x
sen a = x 8 x = 0,12 · 7 = 0,84 km = 840 m
7
7
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
32
Halla:
a) La longitud AC.
b) El área del triángulo ABC.
Pág. 2
B
23 cm
☞ Ten en cuenta que AC = AD + DC .
A
h
53°
D
35 cm
34°
C
a) En ABD, cos 53° = AD 8 AD ≈ 13,84 cm °
§
23
¢ AC ≈ 13,84 + 29 = 42,84 cm
DC
8 DC ≈ 29 cm §
En BDC, cos 34° =
23
£
b) Hallamos la altura h en el triángulo ABD:
sen 53° = h 8 h ≈ 18,37 cm
23
AABC = AC · h = 42,84 · 18,37 ≈ 393,49 cm2
2
2
33
Halla, en cada triángulo, la altura y el lado desconocido.
a)
B
18 cm
a
h
65°
A
C
P
23 cm
En el triángulo ABP:
sen 65° = h 8 h ≈ 16,31 cm
18
cos 65° = AP 8 AP ≈ 7,61
18
PC = AC – AP = 23 – 7,61 = 15,39
a = √h2 + PC 2 = √16,312 + 15,392 ≈ 22,42 cm
b)
En el triángulo ABP:
17 cm
29 cm
cos 50° = x 8 x ≈ 10,93 cm
h
17
50°
sen 50° = h 8 h ≈ 13,02 cm
A
C
x P
y
17
2
2
2
En el triángulo BCP: y = √29 – h = √29 – 13,022 ≈ 25,91 cm
x + y ≈ 36,84 cm
B
■ Resuelve problemas
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Para medir la distancia entre dos islotes, A y B, cerca de una playa, señalamos en un punto P, alineado con A y B, y trazamos por P una recta perpendicular a AB. Sobre esta línea, nos situamos en un punto Q a 100 m de P y medimos los ángulos PQB = 78° y PQA = 53°. Calcula la distancia entre los islotes.
B
A
P
78°
53°
100 m
Unidad 7. Trigonometría
Q
En el triángulo PQB 8 tg 78° = PB 8 PB ≈ 470,5 m
100
En el triángulo PQA 8 tg 53° = PA 8 PA ≈ 132,7 m
100
Distancia AB = 470,5 – 132,7 = 337,8 m
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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En un huerto hay un pozo de 1,2 m de ancho. Cuando está vacío vemos, desde
el brocal, el borde opuesto del fondo bajo un ángulo de 70° con la horizontal.
Cuando el agua sube, vemos el borde opuesto del agua bajo un ángulo de 42°. ¿Cuál
es la altura del pozo? ¿Cuánto subió el agua?
P
A
En el triángulo PBC 8 tg 70° = PC 8 PC = 3,3 m
1,2
42°
D
70°
B
36
1,2 m
C
En el triángulo PAD 8 tg 42° = PD 8 PD = 1,1 m
1,2
Altura del pozo: PC = 3,3 m
Altura del agua: AB = PC – PD = 3,3 – 1,1 = 2,2 m
Desde el lugar donde me encuentro,
la visual de la torre forma un ángulo de
32° con la horizontal.
Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°.
¿Cuál es la altura de la torre?
☞ Mira el ejercicio resuelto de la página
50°
151.
h
25 + x
tg 50° = h
x
tg 32° =
32°
25 m
°
§ 25tg 32° + x tg 32° = h °
¢
¢
£
§ x · tg 50° = h
£
25tg 32° + x tg 32° = x tg 50°
25tg 32° = x(tg 50° – tg 32°)
x=
25tg 32°
= 27,56 m
tg 50° – tg 32°
La altura de la torre es h = 27,56 · tg 50° = 32,84 m.
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Un avión se encuentra a una altura de 1 200 metros y el ángulo de observación
desde la torre de control del aeropuerto (ángulo que forma la visual hacia el avión
con la horizontal) es de 30°. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta
mide 40 m de altura?
1200 m
7
tg 30° = 1 200 – 40 8 d = 1 160 = 2 009,2 m
d
tg 30°
Utilizando el teorema de Pitágoras:
D
30°
40 m
D = √(1 200)2 + (2 009,2)2 = 2 340,3 m
d
La distancia del avión al pie de la torre es de 2 340,3 m.
Unidad 7. Trigonometría
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7
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
38
Para calcular la altura del edificio, PQ , hemos medido los ángulos que indica
la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud es de
250 m. Halla PQ.
P
Q
10°
0m
25
S
30°
R
Calculamos SR y RQ con el triángulo SQR :
cos 30° = SR 8 SR = 250 · cos 30° ≈ 216,5 m
250
sen 30° = RQ 8 RQ = 250 · sen 30° = 125 m
250
Calculamos RP con el triángulo SPR:
tg 40° = RP 8 RP = 216,5 · tg 40° ≈ 181,66 m
SR
Luego, PQ = RP – RQ = 181,66 – 125 = 56,66 m
La altura del edificio es de 56,66 m.
Unidad 7. Trigonometría
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