Estimación de la Sección Recta de Radar de Objetos 3D Usando

Estimación de la Sección Recta de Radar de Objetos 3D
Usando Métodos Computacionales
A. Zozaya, Dr.1
1 Laboratorio
de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)
Departamento de Electrónica y Comunicaciones
Universidad de Carabobo
Universidad de Carabobo, Abril 2007, Valencia
A. Zozaya (UC)
Estimación de la RCS
UC 2007
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Contenido
1
Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LaBeMa)
2
Línea de investigación: Electromagnetismo Computacional
3
Nuestro trabajo en el área de la estimación de la RCS usando métodos
computacionales
4
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Ecuación integral del campo eléctrico
5
Solución numérica
Método de los Momentos
6
Resultados
7
Desarrollo futuro
A. Zozaya (UC)
Estimación de la RCS
UC 2007
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Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LaBeMa)
LaBeMa
Conformado por tres líneas de investigación:
Electromagnetismo Computacional.
Linealización de amplificadores de potencia de RF.
Procesamiento digital de señales aplicado a problemas de
telecomunicaciones.
A. Zozaya (UC)
Estimación de la RCS
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Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LaBeMa)
LaBeMa
Conformado por tres líneas de investigación:
Electromagnetismo Computacional.
Linealización de amplificadores de potencia de RF.
Procesamiento digital de señales aplicado a problemas de
telecomunicaciones.
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Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LaBeMa)
LaBeMa
Conformado por tres líneas de investigación:
Electromagnetismo Computacional.
Linealización de amplificadores de potencia de RF.
Procesamiento digital de señales aplicado a problemas de
telecomunicaciones.
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Línea de investigación: Electromagnetismo Computacional
Electromagnetismo Computacional
Se refiere a la solución de problemas de electromagnetismo (aplicado)
usando métodos computacionales.
Hasta hace poco menos de una década era un área reservada solo a
los países tecnológicamente más desarrollados.
Investigación con fines militares.
El desarrollo tecnológico de la computación la ha puesto al alcance de
todos.
En las Universidades tecnológicas de primera línea del mundo se
realiza intensiva investigación en esta área.
A. Zozaya (UC)
Estimación de la RCS
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Línea de investigación: Electromagnetismo Computacional
Electromagnetismo Computacional
Se refiere a la solución de problemas de electromagnetismo (aplicado)
usando métodos computacionales.
Hasta hace poco menos de una década era un área reservada solo a
los países tecnológicamente más desarrollados.
Investigación con fines militares.
El desarrollo tecnológico de la computación la ha puesto al alcance de
todos.
En las Universidades tecnológicas de primera línea del mundo se
realiza intensiva investigación en esta área.
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Línea de investigación: Electromagnetismo Computacional
Electromagnetismo Computacional
Se refiere a la solución de problemas de electromagnetismo (aplicado)
usando métodos computacionales.
Hasta hace poco menos de una década era un área reservada solo a
los países tecnológicamente más desarrollados.
Investigación con fines militares.
El desarrollo tecnológico de la computación la ha puesto al alcance de
todos.
En las Universidades tecnológicas de primera línea del mundo se
realiza intensiva investigación en esta área.
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Línea de investigación: Electromagnetismo Computacional
Electromagnetismo Computacional
Se refiere a la solución de problemas de electromagnetismo (aplicado)
usando métodos computacionales.
Hasta hace poco menos de una década era un área reservada solo a
los países tecnológicamente más desarrollados.
Investigación con fines militares.
El desarrollo tecnológico de la computación la ha puesto al alcance de
todos.
En las Universidades tecnológicas de primera línea del mundo se
realiza intensiva investigación en esta área.
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Línea de investigación: Electromagnetismo Computacional
Electromagnetismo Computacional
Se refiere a la solución de problemas de electromagnetismo (aplicado)
usando métodos computacionales.
Hasta hace poco menos de una década era un área reservada solo a
los países tecnológicamente más desarrollados.
Investigación con fines militares.
El desarrollo tecnológico de la computación la ha puesto al alcance de
todos.
En las Universidades tecnológicas de primera línea del mundo se
realiza intensiva investigación en esta área.
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Línea de investigación: Electromagnetismo Computacional
Electromagnetismo Computacional
Aplicaciones
Estimación de las figuras de mérito de antenas.
Estimación de las características circuitales de dispositivos de
microondas.
Análisis y diseño de circuitos electrónicos de alta velocidad.
Compatibilidad electromagnética e integridad de señal
Interacción de los campos EM con el tejido humano: estimación de la
rata de absorción específica (SAR).
Estimación de la sección recta de radar (RCS) de naves.
Estimación de la dispersión de objetos subterráneos.
Areas emergentes: Propagación de ondas EM en medios dispersivos y
no lineales, estructuras micro-ópticas, estados multinivel atómicos,
propagación ELF en la guía de onda constituida por la tierra y la
ionosfera, imágenes biomédicas, etc.
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Proyectos
Proyectos
Estimación de la sección recta de radar (RCS) de objetos
tridimensionales usando el Método de los Momentos y las funciones
bases de Rao-Wilton-Glisson (Culminado y presentado en CIMENICS
2006).
Estimación de la sección recta de radar de las patrulleras de vigilancia
litoral clase «Tamanaco» usando métodos computacionales (en
realización).
Estimación de la sección recta de radar (RCS) de objetos
tridimensionales grandes usando métodos asintóticos de alta
frecuencia (propuesto)
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Proyectos
Proyectos
Estimación de la sección recta de radar (RCS) de objetos
tridimensionales usando el Método de los Momentos y las funciones
bases de Rao-Wilton-Glisson (Culminado y presentado en CIMENICS
2006).
Estimación de la sección recta de radar de las patrulleras de vigilancia
litoral clase «Tamanaco» usando métodos computacionales (en
realización).
Estimación de la sección recta de radar (RCS) de objetos
tridimensionales grandes usando métodos asintóticos de alta
frecuencia (propuesto)
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Proyectos
Proyectos
Estimación de la sección recta de radar (RCS) de objetos
tridimensionales usando el Método de los Momentos y las funciones
bases de Rao-Wilton-Glisson (Culminado y presentado en CIMENICS
2006).
Estimación de la sección recta de radar de las patrulleras de vigilancia
litoral clase «Tamanaco» usando métodos computacionales (en
realización).
Estimación de la sección recta de radar (RCS) de objetos
tridimensionales grandes usando métodos asintóticos de alta
frecuencia (propuesto)
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Definición de RCS
La Sección Recta de RADAR, o RCS, es un figura de mérito que expresa la
cantidad de energía electromagnética retrodispersada por un objeto cuando
es "iluminado"por una onda plana (imagen de www.aerospaceweb.org)
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Definición de RCS
Tiene gran interés en el campo militar y aeroespacial (imagen de
http://en.wikipedia.org)
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Estimación de la RCS
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Reducción de la RCS: stealth technology
Forma geométrica (Sea shadow IX-529 –1985– imagen de
en.wikipedia.org)
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Reducción de la RCS: stealth technology
Materiales absorbentes (Arleigh Burke DDG-51 –
www.williamson-labs.com–)
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la RCS
Problema general de la dispersión electromagnética: difícil, sino
imposible, de resolver usando métodos analíticos (figura tomada de
www.fcc.chalmers.se)
Uso de métodos numéricos: métodos de baja frecuencia (MoM,
FDTD) y métodos de alta frecuencia aproximados (PO, GO, GTD,
PTD, UTD).
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la RCS
Problema general de la dispersión electromagnética: difícil, sino
imposible, de resolver usando métodos analíticos (figura tomada de
www.fcc.chalmers.se)
Uso de métodos numéricos: métodos de baja frecuencia (MoM,
FDTD) y métodos de alta frecuencia aproximados (PO, GO, GTD,
PTD, UTD).
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Definición de RCS
s 2
|
σ(κi , κs ) = lı́mr→∞ 4πr2 |E
|E i |2
RCS monostática
an J S
an J S
PEC
PEC
κi
κs
RCS biestática
an J S
PEC
κi
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κs
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
A continuación será descrita brevemente la estimación de la sección
recta RADAR de dos objetos conductores perfectos (PECs)
tridimensionales usando el Método de los Momentos.
la esfera, y
la almendra de la NASA.
forman parte de un conjunto de objetos 3D empleados por la
comunidad científica para validar códigos computacionales.
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
A continuación será descrita brevemente la estimación de la sección
recta RADAR de dos objetos conductores perfectos (PECs)
tridimensionales usando el Método de los Momentos.
la esfera, y
la almendra de la NASA.
forman parte de un conjunto de objetos 3D empleados por la
comunidad científica para validar códigos computacionales.
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A continuación será descrita brevemente la estimación de la sección
recta RADAR de dos objetos conductores perfectos (PECs)
tridimensionales usando el Método de los Momentos.
la esfera, y
la almendra de la NASA.
forman parte de un conjunto de objetos 3D empleados por la
comunidad científica para validar códigos computacionales.
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Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
A continuación será descrita brevemente la estimación de la sección
recta RADAR de dos objetos conductores perfectos (PECs)
tridimensionales usando el Método de los Momentos.
la esfera, y
la almendra de la NASA.
forman parte de un conjunto de objetos 3D empleados por la
comunidad científica para validar códigos computacionales.
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Ecuación integral del campo eléctrico
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Problema general de la dispersión y la EFIE
E = Ei + E s
Ji
an
JS
Mi
PEC
an × (E i + E s ) = 0
E s = −jωA − ∇V donde
A(r) =
µ
4π
V (r) =
1
4πε
an ×
h
jη
4πκ
R
A. Zozaya (UC)
S0
R
S0
R
Js (r 0 ) e
S0
−jκ|r−r 0 |
ρs (r 0 ) e
|r−r 0 |
−jκ|r−r 0 |
|r−r 0 |
ds0
ds0
i
−jκR
κ2 + ∇∇0 · Js (r 0 ) e R ds0 = an × E i (EFIE)
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Ecuación integral del campo eléctrico
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Problema general de la dispersión y la EFIE
E = Ei + E s
Ji
an
JS
Mi
PEC
an × (E i + E s ) = 0
E s = −jωA − ∇V donde
A(r) =
µ
4π
V (r) =
1
4πε
an ×
h
jη
4πκ
R
A. Zozaya (UC)
S0
R
S0
R
Js (r 0 ) e
S0
−jκ|r−r 0 |
ρs (r 0 ) e
|r−r 0 |
−jκ|r−r 0 |
|r−r 0 |
ds0
ds0
i
−jκR
κ2 + ∇∇0 · Js (r 0 ) e R ds0 = an × E i (EFIE)
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Ecuación integral del campo eléctrico
Estimación de la Sección Recta de RADAR (RCS)
Problema general de la dispersión y la EFIE
E = Ei + E s
Ji
an
JS
Mi
PEC
an × (E i + E s ) = 0
E s = −jωA − ∇V donde
A(r) =
µ
4π
V (r) =
1
4πε
an ×
h
jη
4πκ
R
A. Zozaya (UC)
S0
R
S0
R
Js (r 0 ) e
S0
−jκ|r−r 0 |
ρs (r 0 ) e
|r−r 0 |
−jκ|r−r 0 |
|r−r 0 |
ds0
ds0
i
−jκR
κ2 + ∇∇0 · Js (r 0 ) e R ds0 = an × E i (EFIE)
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Ecuación integral del campo eléctrico
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Problema general de la dispersión y la EFIE
E = Ei + E s
Ji
an
JS
Mi
PEC
an × (E i + E s ) = 0
E s = −jωA − ∇V donde
A(r) =
µ
4π
V (r) =
1
4πε
an ×
h
jη
4πκ
R
A. Zozaya (UC)
S0
R
S0
R
Js (r 0 ) e
S0
−jκ|r−r 0 |
ρs (r 0 ) e
|r−r 0 |
−jκ|r−r 0 |
|r−r 0 |
ds0
ds0
i
−jκR
κ2 + ∇∇0 · Js (r 0 ) e R ds0 = an × E i (EFIE)
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Ecuación integral del campo eléctrico
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Problema general de la dispersión y la EFIE
E = Ei + E s
Ji
an
JS
Mi
PEC
an × (E i + E s ) = 0
E s = −jωA − ∇V donde
A(r) =
µ
4π
V (r) =
1
4πε
an ×
h
jη
4πκ
R
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S0
R
S0
R
Js (r 0 ) e
S0
−jκ|r−r 0 |
ρs (r 0 ) e
|r−r 0 |
−jκ|r−r 0 |
|r−r 0 |
ds0
ds0
i
−jκR
κ2 + ∇∇0 · Js (r 0 ) e R ds0 = an × E i (EFIE)
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
A. Zozaya (UC)
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
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4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
A. Zozaya (UC)
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Solución numérica
Método de los Momentos
Método de los Momentos
Considérese la ecuación: L(u) = v donde
R
−jκR
jη
L( ) ≡ an × [ 4πκ
(κ2 + ∇∇0 ) · ( ) e R ds0 ], y
S0
u ≡ Js (r 0 ) y v ≡ an × E i , con r en S
Solución numérica:
1
2
3
4
5
6
7
PN
u ≈ n=1
R In fn
ha, bi = V a · b dν
hwm , L(u)i = hwm , vi con m = 1, 2, . . . , N
PN
con m = 1, 2, . . . , N
n=1 In hwm , Lfn i = hwm , vi
[Z][I] = [V ]
Zmn = hwm , L(fn )i
In = In , y Vm = hwm , vi
A. Zozaya (UC)
Estimación de la RCS
UC 2007
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Resultados
Resultados
Esfera
2272 triángulos y 3408 orillas y un barrido en frecuencia: 4, 77 MHz
. f . 286, 48 MHz (0.1 . 2πa/λ . 6)
Pasos: Zona de Rayleigh: ∆f = 5, 72 MHz, zona de resonancia:
∆f = 1, 90 MHZ y zona óptica: no se realizaron estimaciones.
Z
1
0
−1
1
1
0
0
Y
A. Zozaya (UC)
−1
−1
X
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Resultados
Resultados
Esfera
2272 triángulos y 3408 orillas y un barrido en frecuencia: 4, 77 MHz
. f . 286, 48 MHz (0.1 . 2πa/λ . 6)
Pasos: Zona de Rayleigh: ∆f = 5, 72 MHz, zona de resonancia:
∆f = 1, 90 MHZ y zona óptica: no se realizaron estimaciones.
1
10
0
σesfera/πa2
10
−1
10
−2
10
RCSesfera
Datos Skolnik
−3
10
0.1
0.2
0.3
0.4
A. Zozaya (UC)
0.5
0.7
2πa/λ
1
2
3
4
5
6.2
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Resultados
Resultados
Almendra de la NASA
s |2 , RCS
2
s 2
RCSHH = lı́mr→∞ 4πr2 |EH
V V = lı́mr→∞ 4πr |EV |
◦
Barrido angular: paso de 0, 125 para un total de 1441 ángulos, a una
frecuencia de 1.19 GHz
1792 triángulos y 2688 orillas.
cola
Z
0.0163
0
−0.0163
−0.1052
punta
0
X
0.0488
0
Y
0.1472
A. Zozaya (UC)
−0.0488
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Resultados
Resultados
Almendra de la NASA
s |2 , RCS
2
s 2
RCSHH = lı́mr→∞ 4πr2 |EH
V V = lı́mr→∞ 4πr |EV |
◦
Barrido angular: paso de 0, 125 para un total de 1441 ángulos, a una
frecuencia de 1.19 GHz
1792 triángulos y 2688 orillas.
−10
−15
−20
−25
RCS dBSM
−30
−35
−40
−45
−50
RCSVV
RCS
HH
DatosHH
DatosVV
−55
−60
0
20
40
60
A. Zozaya (UC)
80
100
Azimuth
120
140
160
180
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Desarrollo futuro
Desarrollo futuro
Se han mostrado los resultados de la estimación de la RCS usado el
Método de los Momentos (método de baja frecuencia), en conjunto con las
funciones bases de Rao-Wilton-Glisson. Este procedimiento numérico es
bastante preciso pero requiere de muchos recursos computacionales,
exigencia que aumenta con el tamaño eléctrico del blanco.
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Desarrollo futuro
Desarrollo futuro
Para blancos eléctricamente muy grandes los métodos asintóticos de alta
frecuencia arrojan resultados confiables y son menos exigentes
computacionalmente.
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Desarrollo futuro
Desarrollo futuro
En el presente, el uso de ambos métodos se ha generalizado.
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Desarrollo futuro
Desarrollo futuro
Quizá en un futuro muy cercano los métodos de baja frecuencia perderán
este adjetivo y se generalizarán.
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Desarrollo futuro
Desarrollo futuro
La investigación en la parte computacional de esta área no es costosa.
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Desarrollo futuro
Desarrollo futuro
Perseguimos como objetivo último diseñar un código que integre: una
aplicación amigable que permita la adquisición por pantalla de los objetos
bajo estudio y su mallado, el código que resuelve propiamente el problema
electromagnético y una utilidad de visualización para mostrar los resultados.
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Desarrollo futuro
Fin
Gracias
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