Page 1 Capítulo 5 / Sección 5.3 9 SOLUCIONES 1. En cada uno de

Capítulo 5 / Sección 5.3
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SOLUCIONES
1. En cada uno de los siguientes casos determine el valor exacto de la función trigonométrica sin usar
calculadora. Use el hecho que las funciones trigonométricas son periódicas.
 7 
a. sen    
 4 
7
π
sen (− 𝜋) = sen (− + 2𝜋)
4
4
π
= sen (− )
4
√2
=−
2
 34 

 6 
b. cos 
34𝜋
𝜋
cos (
) = cos (− + 6𝜋)
6
3
𝜋
= cos (− )
3
1
=
2
c. tan 7500
tan(30° + 720°) = tan 30°
√3
=
3
2. Halle las coordenadas del punto terminal que corresponde al número real dado sin usar calculadora.
51
16
20
t

c.
t


b.
a. t 
4
3
8
51𝜋
3𝜋
16𝜋
4𝜋
𝜋
Como 𝑃 ( 3 ) = 𝑃 ( 3 + 4𝜋)
𝑃(
) = 𝑃 ( + 12𝜋)
𝑃(𝑡) = 𝑃 ( + 2𝜋)
4
4
2
3𝜋
𝜋
= 𝑃( )
= 𝑃( )
4𝜋
4
2
= 𝑃( )
3
= (0,1)
√2 √2
= (−
, )
2 2
1 √3
= (− , − )
2
2
Entonces
𝑃 (−
16𝜋
1 √3
) = (− , )
3
2 2
10
5.3 Propiedades Adicionales de las Funciones Trigonométricas
3. Halle el valor exacto de las siguientes restantes funciones trigonométricas.
7
5
a. sen  ,  en el cuadrante II
b. tan    , 270    360
8
12
2
2
7
15
sec 𝜃 = tan2 𝜃 + 1
cos2 𝜃 = 1 − ( ) =
8
64
25
169
sec 2 𝜃 =
+1 =
144
144
15
√15
cos 𝜃 = −√ = −
64
8
13
sec 𝜃 =
12
7
tan 𝜃 = −
12
√15
cos 𝜃 =
13
cot 𝜃 = −
sec 𝜃 = −
csc 𝜃 =
√15
7
8
√15
8
7
1
,  en el cuadrante III
13
1 2 168
sen2 𝜃 = 1 − (− ) =
13
169
c. cos   
√168
sen 𝜃 = −
13
tan 𝜃 = √168
cot 𝜃 =
12 2
25
sen2 𝜃 = 1 − ( ) =
13
169
sen 𝜃 =
5
13
csc 𝜃 = −
13
5
cot 𝜃 = −
12
5
d. sec  
5 3
,
   2
2 2
cos 𝜃 =
2
5
2 2 21
sen2 𝜃 = 1 − ( ) =
5
25
sen 𝜃 = −
√21
5
tan 𝜃 = −
√21
5
1
√168
sec 𝜃 = − 13
cot 𝜃 = −
csc 𝜃 = −
13
√168
csc 𝜃 = −
2
√21
5
√21
Capítulo 5 / Sección 5.3
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4. Use las propiedades de las funciones pares e impares para hallar el valor exacto de las siguientes
expresiones. No use calculadora.
 8 
a. cos    
 3 
8
8
cos (− 𝜋) = cos ( 𝜋)
7
7
2𝜋
= cos ( + 2𝜋)
3
2𝜋
= cos ( )
3
1
=−
2
 17 

 6 
b. tan  
tan (−
 15 

 4 
c. sen  
17𝜋
17𝜋
) = −tan (
)
6
6
5𝜋
= −tan ( + 2𝜋)
6
5𝜋
= −tan ( )
6
√3
=
3
sen (−
15𝜋
7𝜋
) = −sen ( )
4
4
√2
=
2
5. Use las propiedades de las funciones trigonométricas para encontrar el valor exacto de las siguientes
expresiones. No use calculadora.
a. 3cos2 520  3sen 2 520
3(cos2 52° + sen2 52°) = 3
    
 sec  
 15   15 
b. cos  
𝜋
1
cos ( )
=1
15 cos ( 𝜋 )
15
 
 
2
0
2
0
d. 8sec 25  8 tan 25
−8(sec 2 25° − tan2 25°) = −8
 


1
 sec 2  820  


e. 4 cos 2 820  4 
4 cos 2 82° − 4 (
1
)
1
cos 2 82°
4 cos2 82° − 4(cos2 82°)
    
 csc  
 18   18 
c. sen  
𝜋
1
− sen ( )
= −1
18 sen ( 𝜋 )
18
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5.3 Propiedades Adicionales de las Funciones Trigonométricas
6. a. Estime el cuadrante en que está P 14  sin usar calculadora y luego verifique usando una
calculadora para hallar sus coordenadas.
Solución
(cos 14 , sen 14) ≈ (0.13, 0.99) en el I cuadrante
b. Repita la parte (a) para P  32  .
Solución
(cos(−32) , sen(−32)) ≈ (0.83, −0.55) en el IV cuadrante.
7. Use el círculo unitario para hallar todos los valores de x que satisfacen la ecuación dada.
a. sen x  
1
2
7𝜋
𝑥=
+ 2𝜋𝑛
6
11𝜋
𝑥=
+ 2𝜋𝑛
6
b. tan x  3
sec 2 𝑥 = 1 + 3 = 4
sec 𝑥 = ±2
Si sec 𝑥 = 2 entonces
1
cos 𝑥 = 2 y sen 𝑥 > 0 por lo tanto
𝜋
3
𝑥 = + 2𝜋𝑛.
Si sec 𝑥 = −2 entonces
1
cos 𝑥 = − 2 y sen 𝑥 < 0 por lo tanto
𝑥=
4𝜋
3
+ 2𝜋𝑛.
c. sec x  2
1
=2
cos 𝑥
cos 𝑥 =
𝑥=
𝑥=
1
2
𝜋
+ 2𝜋𝑛
3
5𝜋
+ 2𝜋𝑛
3