geotecnia apuntes tema 3 tema 3. tensiones y deformaciones

GEOTECNIA – GICO UPC
Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA
GRADO EN INGENIERÍA DE LA CONSTRUCCIÓN
___________________________________________________
GEOTECNIA
APUNTES TEMA 3
____________________________________________________
TEMA 3. TENSIONES Y DEFORMACIONES. TENSIÓN EFECTIVA
3.1 DEFINICIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES ............................................................... 2
3.1.1 Definición clásica de tensión ...................................................................................................... 2
3.1.2 Adaptación de la definición clásica a Mecánica de Suelos ...................................................... 3
3.1.3 Definición de deformaciones ...................................................................................................... 4
3.2 PRINCIPIO DE TENSIONES EFECTIVAS .................................................................................... 5
3.3 ESTADOS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN. CÍRCULOS DE MOHR .................................... 8
3.3.1 Tensor de tensiones ..................................................................................................................... 8
3.3.2 Estados bidimensionales de tensiones ..................................................................................... 10
3.3.3 El círculo de Mohr .................................................................................................................... 15
3.3.4 Estados tensionales en totales y efectivas ................................................................................ 19
3.3.5 Estados deformacionales .......................................................................................................... 20
3.4 VARIABLES TENSIONALES Y DEFORMACIONALES. TRAYECTORIAS ........................ 21
3.5 ESTADO TENSIONAL EN CONDICIONES UNIDIMENSIONALES ...................................... 25
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
Capítulo 3. Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
3.1 Definición de tensiones y deformaciones
3.1.1 Definición clásica de tensión
A continuación se presenta la definición clásica de tensión, propia de enseñanzas de resistencia
de materiales o mecánica de medios continuos. En dichas materias se supone que los materiales
están compuestos por una única fase. Como se vio en el capítulo anterior, el suelo es un medio
multifásico, lo que implica ciertas peculiaridades de la Mecánica de Suelos, como se verá en el
siguiente apartado.
Para introducir la definición de tensión se considera un cuerpo sólido sometido a la acción de un
sistema de fuerzas exteriores (cargas aplicadas y reacciones) en equilibrio, y se realiza un corte
por una sección cualquiera S. Para que exista equilibrio en las dos partes resultantes, (A) y (B),
deben existir unas ciertas fuerzas de interacción en la superficie S, a las que llamaremos F. Las
fuerzas de interacción son iguales en magnitud y dirección, pero de sentidos opuestos, sobre las
secciones S de las partes (A) y (B), según exige el principio de acción y reacción. Así la parte
derecha ejerce sobre la izquierda una fuerza F, y la fuerza por unidad de área resulta:
tm 
F
S
A esta fuerza por unidad de área se le llama tensión media sobre la superficie S. Si el área se
expresa en forma diferencial de área dS, se obtiene lo que se define como tensión en un punto
según la superficie S:
t  lim
S  0
Fn dF

S dS
Invirtiendo la definición de la tensión se desprende que la fuerza F es igual a la integral de las
tensiones en toda el área.
P1
P3
(A)
P4
S
(B)
P2
P1
(A)

F
S
S
P2

F
P3
S
S
P4
(B)
Figura 3.1 Esquema definición de tensión.
La definición de tensión presentada requiere las siguientes observaciones:

La tensión depende del punto y de la orientación de la sección elegida. Así en un punto
dado se tendrán diferentes tensiones según la orientación considerada, y para una sección
S dada se tendrán tensiones diferentes para distintos puntos.
2
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
En general la tensión no es normal al plano considerado sino que puede descomponerse
según dos componentes: la tensión normal al plano de la sección,  (sigma), y la tensión
tangencial a dicho plano,  (tau).

Las dimensiones de la tensión son [FL-2], fuerza por unidad de superficie.
P1

τ

t

σ
P2
Figura 3.2 Componentes normal y tangencial de la tensión

La unidad de tensión en el SI es el Pa (Pascal) que se define como:
Pa = 1 N/m2
del que pueden usarse múltiplos como el kPa (1000 Pa), el hPa (100 Pa) o el MPa (106
Pa).

El Pa tiene las siguientes equivalencias con otras unidades de tensión:
1 Pa = 1 N/m2 = 1 N/m2  1 kp/9.81 N  1m2 / 10000 cm2  10-5 kp/cm2 (1 MPa  10
kp/cm2)
1 Pa = 1 N/m2 = 1 N/m2  1 kp/9.81 N  1 t /1000 kp  10-4 t/m2
3.1.2 Adaptación de la definición clásica a Mecánica de Suelos
Como se anunciaba anteriormente el suelo es un medio multifásico, pero el estudio en detalle de
las tensiones a las que se ve sometido cada una de las fases del suelo, en especial la fase sólida a
través del esqueleto mineral del suelo, no corresponde a la escala de trabajo en la que se
desarrollan los trabajos ingenieriles.
Así a escala geotécnica se trabaja con tensiones totales, éstas son las tensiones resultantes de
referir todos los esfuerzos provenientes de la estructura y que sufre una sección de terreno, a su
superficie total, prescindiendo de la superficie real existente de contacto entre partículas en esa
sección.
Utilizando las variables de la figura 3.3 la tensión total se define como:
N
S
Así se introduce una de las primeras simplificaciones en el tratamiento del comportamiento
mecánico del suelo, considerarlo un medio continuo, cuando realmente no lo es.

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N
N
1
S
S
2
(a)
(b)
(c)
Figura 3.3 Definición de tensión total
A este nivel es importante tener en cuenta que las tensiones medias sobre el suelo son siempre
muy inferiores a las tensiones entre partículas de suelo. De hecho estas últimas son tanto más
elevadas cuanto menor es el contacto entre partículas. En la práctica no pueden ser infinitamente
grandes ya que a partir de un cierto valor se rompe el contacto y su área aumenta con lo que la
tensión en el contacto disminuye.
En mecánica de suelos, las tensiones de compresión se consideran positivas debido a que los
suelos suelen soportar tracciones pequeñas o nulas. Por tanto, las tracciones se consideran con
signo negativo. Este criterio es el opuesto al criterio habitual en mecánica de medios continuos.
Las tensiones tangenciales se definen también con criterio de signos opuesto al de mecánica de
medios continuos. Posteriormente, al describir el círculo de Mohr, se indicará el criterio de
signos referente a las tensiones tangenciales.
3.1.3 Definición de deformaciones
Para introducir el concepto de deformación se considera una masa de terreno sometida a un
sistema de fuerzas (figura 3.4). Dado que no hay terrenos que sean infinitamente rígidos, la
acción de las fuerzas se traduce en que el cuerpo se deforma.
z z
xx
dz
y
dy dx y
zz
xx
dz
yy
dy dx
Figura 3.4 Esquema introductorio al concepto de deformación
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La deformación de un elemento diferencial de volumen (de tamaño: dx, dy, dz) puede
descomponerse en tres partes: rotación, traslación (ambos son movimientos de sólido rígido) y
deformación pura (cambio de forma). En este apartado únicamente se tratará la deformación
pura.
Los lados del paralelepípedo elemental (figura 3.5) modifican sus longitudes iniciales dx, dy, dz
de manera que proyectadas sobre los tres ejes originales pasan a valer (1+x)dx, (1+y)dy,
(1+z)dz, respectivamente. Asimismo las proyecciones de los ángulos rectos que forman entre sí
las caras del elemento antes de la deformación varían para pasar a valer /2xy, /2yz, /2zx.
Así se definen:

Deformaciones (alargamiento o acortamiento unitario) a los valores de x, y y z .

Distorsiones o deformaciones angulares a los valores xy, yz, zx.





1



1(1   )
Figura 3.5 Esquema de deformaciones.
De la misma forma que las tensiones se consideran con signo positivo si son de compresión, las
deformaciones de acortamiento también se consideran positivas. Esto implica que el tamaño del
elemento de suelo antes indicado se obtendrá como: (1-x)dx, (1-y)dy, (1-z)dz .
3.2 Principio de tensiones efectivas
En cualquier punto y dirección de un suelo saturado existe una tensión total () y una presión
intersticial (u), esta última corresponde a la de la fase líquida. Con estas variables y en el marco
de los suelos saturados, se define tensión efectiva (’) como la diferencia entre el valor de la
tensión total y la presión intersticial:
    u
Esta variable, obtenida por Terzaghi, es quizá la más importante de la Mecánica de Suelos, ya
que controla en gran medida la compresión del esqueleto y la resistencia al esfuerzo cortante de
un suelo. Así el principio de Terzaghi o de principio de tensiones efectivas, ampliamente
demostrado experimentalmente, enuncia que un terreno sólo se deforma si varían sus tensiones
efectivas.
La publicación de este principio en 1925 en la obra Erdbaumechanik de Karl Terzaghi, se
considera la fecha del nacimiento de la Mecánica de Suelos como una ciencia moderna.
El principio de tensiones efectivas no tiene una demostración analítica, simplemente se ha
demostrado experimentalmente, pero a continuación se presenta una interpretación física del
valor de la tensión efectiva (figura 3.6), con la que se podrá justificar.
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N
Nc
u
u
Nc
N: fuerza normal total.
Nc: fuerza normal intergranular.
u: presión intersticial.
Sc: área de contacto entre partículas.
S: área total
Sc
S
Figura 3.6 Esquema de las fuerzas normales actuantes en un plano que contiene la
superficie de contacto entre dos partículas
En primer lugar se expresa el equilibrio de fuerzas normales sobre un plano que pasa entre el
contacto de dos partículas de un suelo saturado:
N  u(S  S c )  N c
A continuación se divide entre la superficie S para convertir las fuerzas en tensiones:
N
 S  N
 u1  c   c
S
S  S

Finalmente se introduce la definición de tensión total ( = N/S), teniendo en cuenta que en
suelos y con el nivel de tensiones normalmente empleados en ingeniería Sc/S es muy pequeño y
se puede despreciar frente al valor de 1. Resulta:
Nc N
 u
S
S
'  u
Esta pequeña justificación teórica permite mostrar que la tensión efectiva se puede interpretar
como el valor aproximado de la fuerza transmitida por el esqueleto mineral dividida entre el
área total de la superficie.
Gracias a esta interpretación el principio de tensiones efectivas se puede justificar en base a que
las tensiones efectivas, proporcionales a las fuerzas en los contactos, son las responsables de los
procesos deformacionales de un suelo. Al cambiar éstas, cambian los esfuerzos entre partículas
que se reordenan y giran produciendo deformaciones.
No se debe olvidar que el principio de tensiones efectivas no se ha demostrado teóricamente,
aunque está ampliamente probado de forma experimental. Sin embargo, no es válido en el
estudio de rocas y de suelos no saturados.
A continuación se muestra un ejemplo de los datos obtenidos experimentalmente, mediante un
ensayo de laboratorio típico en geotecnia: el ensayo edométrico (figura 3.7). Aunque las
características de este ensayo se estudiarán en detalle en el tema de consolidación de suelos
saturados de la asignatura, cabe destacar que este ensayo se caracteriza fundamentalmente por
el impedimento de desplazamientos laterales de la muestra en el proceso de carga (εx = 0, εy = 0),
dando únicamente resultados no nulos en los desplazamientos verticales (εz ≠ 0) a lo largo del
tiempo. En la figura se puede apreciar dos estados distintos del ensayo en los cuales se aplican
cargas distintas y produce una variación de la presión intersticial y del índice de poros.
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1
2
e1
h
u1
e2
u2
Figura 3.7 Representación esquemática del ensayo edométrico
Tensión vertica y presión de
agua
La figura 3.8 representa los resultados obtenidos para los puntos de estudio (de A a M) mediante
gráficas que ilustran la evolución de la tensión vertical y presión del agua, la de la tensión
efectiva obtenida y la del índice de poros en función del tiempo de cada uno de los puntos
objeto de estudio, así como la relación entre la tensión efectiva vertical y el índice de poros
obtenida entre los mismos para el proceso de carga y descarga descrito.
A D
BC
E
F
G I K
H J L
3.5
M
Tension total
Presión de agua
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
Tiempo
Indice de poros
0.81
A
0.8
0.79
B
0.78
C
D
0.77
0.76
E
H I
F
0.75
G J
L
M
K
0.74
0
10
20
30
40
50
Tiempo
Figura 3.8.a Ejemplo de una representación de posibles resultados experimentales
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Tensión efectiva
3.5
3
2.5
2
1.5
B
A
1
0.5
G J
F
D
E
C
L
M
H I
0
0
K
10
20
30
40
50
Tiempo
0.81
A
Indice de poros
0.8
B-C
0.79
0.78
D-E
0.77
H-I
L-M
0.76
0.75
F-G
J-K
0.74
0
0.5
1
1.5
2
Tension efectiva vertical
Figura 3.8.b Ejemplo de una representación de posibles resultados experimentales
3.3 Estados de tensiones y deformaciones. Círculos de Mohr
En el apartado 3.1.1 (Definición clásica de tensión) en las observaciones a la definición de
tensión, se anunciaba que la tensión en un punto dependía de la orientación de la sección
elegida. Por ello carece de significado hablar de la tensión normal y tangencial en un punto sin
establecer una orientación. Sin embargo, si se conoce el estado tensional completo en un punto,
esto supone conocer la información suficiente para poder calcular la tensión en cualquier
orientación.
3.3.1 Tensor de tensiones
En el caso de estudiar el estado tensional completo de un punto la información requerida para
representar el estado tensional son las componentes de las tensiones según tres planos
coordenados que pasen por el punto (figura 3.9).
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z
z
t2
e2
t1
e1
z
e3
y
y
y
x
x
t3
x
t1 = (x, xy, xz)
t2 = (yx , y , yz )
t3 = (zx , zy , z)
Figura 3.9 Esquema de la información necesaria para conocer el estado tensional de un punto.
De las nueve componentes que representan a esas tres tensiones, únicamente seis son
independientes, y definen el tensor de tensiones en un punto, que permite calcular la tensión
sobre cualquier plano que pase por dicho punto, o sea representa el estado tensional del punto.
Veámoslo a continuación suponiendo que queremos calcular las componentes de la tensión t
según una orientación arbitraria definida por la cara ABC (figura 3.10). Se define un tetraedro
diferencial OABC, con vértice en O y con tres caras paralelas a los ejes coordenados. En el
límite todas las caras pasan por O y las tensiones sobre las caras son tensiones en el punto O
según diferentes planos. La cara ABC, de área dA, está definida por los cosenos directores (l, m,
n) de su normal exterior n. Las componentes de t (tx, ty, tz) se pueden calcular en función de las
tensiones sobre las otras caras, imponiendo que el elemento diferencial esté en equilibrio de
fuerzas.
z
C
n
x
xz
yz
y
yx
t
xy
O
zy
B
y
zx
z
A
x
Figura 3.10 Esquema del tetraedro diferencial de Cauchy.
Imponiendo equilibrio de fuerzas en dirección x:
F
x
0 ;
t x dA   x (ldA)   yx (mdA)   zx (ndA)  0
tx   x l   yx m   zx n
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De igual forma imponiendo equilibrio de fuerzas en direcciones y, z se obtiene:
t y   xy l   y m   zy n
tz   xz l   yz m   z n
Si escribimos matricialmente las expresiones obtenidas:
t  nt 
donde t y n son los vectores tensión y normal, respectivamente, y  es el tensor de tensiones que
es igual a:
 x  xy  xz 
σ   yx  y  yz 
 zx  zy  z 


El tensor de tensiones es simétrico en virtud del principio de reciprocidad de las tensiones
tangenciales que establece las igualdades:
xy = yx , xz = zx , yz = zy
La demostración de este principio se verá más adelante.
De esta forma se ve cómo conociendo el tensor de tensiones en un punto se puede conocer la
tensión en él según cualquier plano, sin más que conocer los cosenos directores de éste.
3.3.2 Estados bidimensionales de tensiones
Existen ciertas ocasiones en que el estado tensional de un punto se puede simplificar de tres a
dos dimensiones, debido a que la propia geometría y condiciones de contorno del problema
permiten identificar el comportamiento en una dirección como despreciable.
Estas situaciones conocidas con el nombre de estados bidimensionales de tensión se agrupan en
dos familias, los problemas de tensión plana y los de deformación plana:

Problemas de tensión plana.
Se caracterizan porque en cierta dirección las tensiones son nulas y el valor del resto de
tensiones no depende de esta dirección.
En estas circunstancias el tensor de tensiones tiene la siguiente forma:
 x  xy
σ   yx  y
 0
0
0
0 
0 
Estas circunstancias se dan en elementos en los que una dimensión es sensiblemente
inferior a las otras dos y las acciones están contenidas en el plano conformado por esas
dos direcciones.
No existen problemas geotécnicos asimilables a estas circunstancias, pero sí estructurales
como las vigas de gran canto o las placas cargadas en su plano medio.

Problemas de deformación plana.
Se caracterizan porque en cierta dirección los desplazamientos y deformaciones son
nulos.
Los ejemplos típicos, en los que se puede aplicar esta hipótesis, son aquellos problemas
donde la geometría se caracteriza por generarse a partir de una sección bidimensional que
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se traslada sobre una generatriz recta perpendicular a la misma, y las acciones no tienen
componentes en la dirección de la generatriz.
En este caso el tensor de tensiones queda:
 x  xy
σ   yx  y
 0
0
0
0 
0 
Pero únicamente se trabaja en dos dimensiones, dado que z se suele calcular con la
condición de desplazamientos impedidos en dicha dirección.
En Geotecnia existen muchos problemas que se pueden resolver bajo estas hipótesis
como son las presas de tierras o las cimentaciones corridas.
Veamos a continuación como en los estados bidimensionales de tensión el estado
tensional es conocido a partir de las tensiones en dos planos ortogonales (figura 3.11):
x
 xy
A
n

n
O
 yx
B
y
AB  dl
AO  dl cos 
OB  dl sin 
Figura 3.11 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado () en un punto
Como en el caso tridimensional el estado tensional sobre un elemento diferencial cualquiera
debe estar en equilibrio y, si se impone dicho equilibrio, es posible determinar las tensiones
normal y tangencial sobre cualquier plano de inclinación genérica  en función de las tensiones
en los planos vertical y horizontal.

Equilibrio de fuerzas horizontales:
 n dl cos    n dl sin    yx dl sin    x dl cos   0

(1)
Equilibrio de fuerzas verticales:
 n dl sin    n dl cos    xy dl cos    y dl sin   0
(2)
Las siguientes relaciones trigonométricas auxiliares son útiles para despejar la tensión normal y
la tensión tangencial sobre el plano de inclinación :
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(a)


sin 2   cos 2   1


sin(2 )  2 sin  cos 




cos(2 )  cos 2   sin 2 


1  cos(2 )
2


cos  


2


1  cos(2 )
2


sin  


2
sin(   )  (sin 2 cos 2  )  (cos 2 sin 2  ) 


(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Para despejar la tensión tangencial basta hacer ((1) y (2) se refiere a las ecuaciones anteriores):
(1)·sin   (2)·cos  0
 n cos  sin    n sin 2    yx sin 2    x cos  sin  

n

sin  cos    n cos 2    yx cos 2    y sin  cos   0
 n  sin 2   cos2     yx  sin 2   cos2    2cos  sin   x   y   0
usando las relaciones (a), (c) y (b) respectivamente
   y
 n   yx cos(2 )  sin(2 )  x
 2
 n   xy cos(2 ) 
 x  y
2

0

sin(2 )
(3)
Y para despejar la tensión normal basta hacer:
(1)·cos  (2)·sin   0
 n cos 2    n sin  cos    yx sin  cos    x cos 2  

n

sin 2    n cos  sin    yx cos  sin    y sin 2   0
 n  sin 2   cos2    2 yx  sin  cos     x cos2    y sin 2   0
usando las relaciones (a), (b), (d) y (e) respectivamente
 1  cos(2 ) 
 1  cos(2 ) 
 n   yx sin(2 )   x 
  y 
0
2
2




  x   x cos(2 )   y   x cos(2 ) 
 n   yx sin(2 )  
0
2


  x   y   cos(2 )  x   y   
 n   yx sin(2 )  
0


2


x  y
 n   yx sin(2 )  
 2
 x y

   2 cos(2 )   0
 

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 n   xy sin(2 ) 
 x  y
2
cos(2 ) 
x  y
(4)
2
En las expresiones (3) y (4) se observa que las tensiones normal y tangencial calculadas
dependen de:
 xy
2
x  y
x  y
2
2
Llegados a este punto puede ser de gran utilidad relacionar el estado tensional objeto de estudio
con su posible representación mediante una circunferencia que dará lugar a una útil herramienta
para representar estados tensionales planos, el círculo de Mohr (que se presenta con más detalle
en el próximo apartado) según se muestra en la figura 3.12.
τ
A τn
σx
(τ*)
σn
(σn, τn)
(σx, τxy)
2α
α
τxy
O τyx
β
σ3
B
2β
σ1
σ
σy
(σy, τyx)
Figura 3.12 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado () en un punto, y su posible
representación en el Círculo de Mohr (que dependerá de las magnitudes σx y σy
A partir del Círculo de Mohr definimos:

 radio:



centro:

2
   
 xy    x 2 y   R (   Máxima   *)


x  y
2
2
y con objeto de obtener una forma alternativa las expresiones obtenidas utilizar el siguiente
cambio de variable:
 x  y 
R   xy   

 2 
 xy
tan  2   
x  y
2
2
2
Del que se puede derivar:
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2
   y 
 xy  R   x
  R sin(2  )
 2 
x  y
 xy

 R cos(2  )
2
tan  2  
2
Con estas definiciones, junto con la relación trigonométrica (f) es posible transformar (3) y (4)
en:
x  y

 R cos 2 cos 2   R sin 2 sin 2  )
 n 
2

  R sin 2 cos 2   R sin 2  cos 2 )
n
Y finalmente:
x  y

 R cos(2  2  )
 n 
(5)
2

  R sin(2  2  )
n
La ecuación (5) corresponde a la expresión parametrizada del Círculo de Mohr.
A las mismas expresiones que hemos llegado para n y n a partir de equilibrio también
podemos llegar a través de cálculos matriciales con el tensor de tensiones de una forma más
rápida.
En la figura 3.13 se representa el estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado (α)
en un punto cualquiera del medio y los vectores en las direcciones normal y tangencial en un
punto cualquiera del medio.
 xy
x
A
n


t  ( sin  ,cos  )
n
y
O
x
 yx
n  (  cos  ,  sin  )
B
y
Figura 3.13 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado () en un punto cualquiera del
medio (izquierda). Vectores normal y tangencial al plano (α)
El tensor de tensiones en un punto del suelo de acuerdo con las orientaciones indicadas en la
figura 3.13 es:
 x
σ
  yx
 xy 
 y 
Para el cálculo de las tensiones normal y tangencial en dicho plano puede operarse de la forma
siguiente:
14
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
 x
 n  (n t  )n    cos   sin   
  yx
 xy    cos  

 y    sin  
  x cos 2   2 xy cos  sin    y sin 2 
  x cos 2    xy sin 2   y sin 2 
 x
 n   n t   t    cos   sin   
  yx
 xy    sin  

 y   cos  
  x cos  sin    xy sin 2    xy cos 2    y cos  sin 

1
2

x
  y  sin 2   xy cos 2
Que son idénticas a las Eq. (3) y (4) anteriormente obtenidas.
En todos los desarrollos de este apartado se ha utilizado la igualdad xy = yx, o lo que es lo
mismo la propiedad de simetría del tensor de tensiones, que se anunciaba en el apartado anterior
en virtud del principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales. Este establece que “en dos
planos perpendiculares entre sí, las componentes de las tensiones tangenciales normales a la
arista común en un punto son iguales en módulo, y ambas concurren o se separan
simultáneamente de la arista”.
Su demostración se consigue estableciendo equilibrio de momentos en un paralelepípedo
infinitesimal (figura 3.14), si se toman momentos respecto el eje x, sólo las resultantes de las
componentes xy y yx producen momento, así:
zz
zy
yz
yz
yy
zy
xx
Figura 3.14 Esquema de las tensiones tangenciales
Donde:

yz
dxdz  dy   zy dxdy  dz  0

 yz   zy
De forma análoga se obtiene:
 xy   yx
 xz   zx
3.3.3 El círculo de Mohr
Como se ha visto en el apartado anterior las expresiones que nos permiten calcular las parejas de
valores de tensión normal y tangencial que aparecen en un punto en función de la orientación a
estudiar representan la ecuación paramétrica de una circunferencia, definida por:
15
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva

radio:



centro:

2
   
 xy    x 2 y   R (   Máxima   *)


x  y
2
2
Así el estado tensional de un punto, trabajando en estados de tensiones bidimensionales, queda
representado por una circunferencia en el plano -, en la que cada uno de sus puntos
corresponde a las tensiones según una orientación, esta construcción geométrica recibe el
nombre de círculo de Mohr (figura 3.15).
τ
 xy
y c
x
σ
 yx
Figura 3.15 Círculo de Mohr
El criterio de signos utilizado en Mecánica de Suelos para trabajar con los círculos de Mohr es
el siguiente (figura 3.16):


Tensiones normales positivas si son de compresión.

Ángulos positivos antihorarios.
Tensiones tangenciales positivas si definen un giro antihorario respecto al plano, o giro
horario respecto a un punto exterior al medio.
Figura 3.16 Criterio de signos
En el apartado anterior se explicaba que un estado tensional bidimensional queda definido por
las tensiones en un par de planos perpendiculares, en la figura 3.17 se ve cómo construir un
círculo de Mohr a través de esta información. Para ello es muy útil la propiedad que establece
que las tensiones en planos perpendiculares corresponden a puntos diametralmente opuestos del
círculo.
16
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
τ
3
A
2
2
30º
5
A
c
B
5
3
σ
30º
‐2
B
Figura 3.17 Construcción del círculo de Mohr con la información de las tensiones en dos planos
perpendiculares
De las muchas propiedades del círculo de Mohr quizá la más importante es la existencia en él de
un punto denominado polo, que se caracteriza por que si por él trazamos una paralela al plano
sobre el que actúan las tensiones, corta al círculo en un punto cuyas coordenadas son las
tensiones que actúan sobre el plano. La figura 3.18 muestra cómo obtenerlo:
σ
τ
τ
A
(σ τ )
A,
A
P
A
σ
τ
c
B
σ
B
(σ τ )
B,
τ
σ
τ
A
A
σ
τ
B
(σ τ )
A,
P
A
∆θ
B
c
B
σ
∆θ
(σ τ )
B,
B
Figura 3.18 Obtención del polo a partir del estado tensional e inclinación del plano sobre el que actúan
las tensiones
Se puede observar como en ambos casos el modo de obtención del polo es el mismo:
1.- Se representan los puntos de coordenadas (σA, τA) y (σB, τB).
2.- Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.
3.- Se traza una línea por el punto (σA, τA), paralela al plano sobre el cual actúa el
esfuerzo (σA, τA).
4.- La intersección de la línea trazada con el círculo de Mohr es el polo. (Nótese que la
obtención del polo es análoga en procedimiento y localización a que la intersección se
obtenga con la paralela al plano donde actúan el otro par de valores (σB, τB), es decir, la
intersección de ambas paralelas resulta en un mismo punto P).
17
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
De esta forma si se quiere representar el estado tensional de un punto a través de un círculo de
Mohr, no simplemente se requiere obtener el centro y el radio de la circunferencia, ya que
entonces únicamente tenemos las parejas de valores - que actúan sobre los diferentes planos,
sino que debemos conocer el polo, para así también conocer dichos planos, y tener el estado
tensional del punto completamente definido.
Es necesario introducir la definición de dos puntos singulares del círculo de Mohr, son los
puntos de corte con el eje horizontal. Corresponden a las tensiones en orientaciones en las que la
componente tangencial es cero, a estas orientaciones se las conoce con el nombre de direcciones
principales y al valor de las tensiones normales que en ellas actúan como tensiones principales.
Las tensiones principales se denotan como 1 y 3, mayor y menor respectivamente, y
corresponden a los límites del intervalo de los valores que puede tomar la componente normal
en el punto de estudio (figura 3.19).
τ
1
 1
 1   1
 3   3
3
3
1
3
1
σ
 3
Figura 3.19 Tensiones principales, incrementos y representación mediante Círculos de Mohr
El valor de las tensiones principales y la orientación de las direcciones principales, se puede
obtener gráficamente a partir del Círculo de Mohr. Para encontrar las expresiones
correspondientes al Círculo de Mohr en función de las tensiones principales (σ1 y σ3), basta con
saber que en este estado (u orientación de la porción infinitesimal bidimensional) las tensiones
tangenciales resultan nulas (τxy= τyx =0) y también β=0 (ó =180º según la tensión principal menor
σ3).
Para las tensiones normales, partiendo de las expresiones obtenidas en el apartado anterior
tenemos:
n 
n 
n 
1   3
2
cos(2 ) 
1   3
2
 1 cos(2 )   3 cos(2 )  1   3

2
2
 1   1 cos(2 )   3   3 cos(2 )
2
usando las relaciones(d) y (e) respectivamente
 n  1 cos2    3 sin 2 
Y para las tensiones tangenciales:
n 
1   3
sin(2 )
2
usando la relación (b)
18
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
n 
1   3
2
 2 sin  cos  
 n  1   3  sin  cos 
También, directamente del Círculo de Mohr se demuestra que ambas tensiones pueden ser
expresadas según:

 1  cos(2 ) 
2
 n   3  R  R cos(2 )   3  2R 
   3  2R cos 
2



  R sin(2 )  2R sin  cos 
 n
Y que resultan equivalentes a las anteriores (6) y (7).
(Nótese que en el ejemplo representado en la Figura inicial, para el análisis según tensiones
principales (β=0), α adopta valores positivos entre 90º y 180º, luego su coseno resulta negativo).
El valor de las tensiones principales y la orientación de las direcciones principales puede
obtenerse también analíticamente diagonalizando el tensor de tensiones. En este último caso el
valor de las tensiones principales corresponde al de los autovalores o valores propios y las
direcciones principales correspondientes al de los vectores propios.
Existen unos estados tensionales en los que todas sus direcciones son principales y con el
mismo valor de tensión principal, así en todas las direcciones actúa la misma tensión normal ()
con tensión tangencial nula. Se les conoce como estados tensionales esféricos o isótropos.
El tensor de tensiones que los representa es invariante frente cambios de base y siempre tiene
forma diagonal:
 0 0 
σ   0  0 
 0 0  
En el caso de estados isótropos bidimensionales el círculo de Mohr que los representa es un
punto.
3.3.4 Estados tensionales en totales y efectivas
La expresión con la que se definió en el apartado 3.2 tensión efectiva se puede generalizar
expresándola tensorialmente de la siguiente forma:
σ'  σ  uI
 'ij   ij  u ij
En esta expresión se observa como la presión intersticial corresponde a un estado tensional
esférico, así su tensor de tensiones únicamente no es nulo en la diagonal principal, por tanto la
diferencia entre el tensor en totales y en efectivas en un mismo punto, únicamente está en los
elementos de la diagonal, así las tensiones tangenciales no se ven afectadas.
Si trabajamos con círculos de Mohr estas deducciones se traducen en que el círculo en efectivas
y en totales tiene el mismo diámetro pero el de efectivas está retrasado respecto el de totales el
valor de la presión intersticial como puede verse en la figura 3.20.
19
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
n
3
n
1
Círculo de Mohr
en tensiones efectivas
n
u
3
n
1
Círculo de Mohr
en tensiones totales
Figura 3.20 Círculo de Mohr de un mismo punto en tensiones efectivas y totales
3.3.5 Estados deformacionales
Todos los instrumentos presentados en los apartados anteriores para representar estados
tensionales se repiten para estados deformacionales.
Así en primer lugar tenemos el tensor de deformaciones, que en estudios bidimensionales toma
la siguiente forma:
x
ε
 yx
 xy 
 y 
Los elementos de la diagonal representan los alargamientos unitarios definidos en el apartado
3.1.3, y los elementos exteriores a la diagonal la mitad de las distorsiones angulares definidas en
el mismo apartado. La razón de esta división entre dos es debida a la interpretación representada
en la figura 3.21.
xy
xy
1
2
 xy   xy
Figura 3.21 Definiciones de deformación angular
Y al igual que en tensiones se define el círculo de Mohr en deformaciones (figura 3.22), que
verifica las mismas propiedades que el presentado en el apartado anterior.
20
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
1

2
1
( x ,  xy )
2

1
( y ,  xy )
2
Figura 3.22 Círculo de Mohr en deformaciones
3.4 Variables tensionales y deformacionales. Trayectorias
En la mayoría de estudios geotécnicos interesa estudiar la evolución del estado tensional de
diferentes puntos característicos del terreno frente a una evolución de estados de carga. Por
ejemplo en el estudio de una cimentación superficial en primer lugar se estudiará el estado del
suelo, luego la evolución de las tensiones durante la excavación para la construcción de la
zapata, y finalmente durante la fase de construcción, en la que se irán transmitiendo cargas
crecientes progresivamente con la construcción del edificio hasta finalizarlo.
En muchos de estos problemas en los que el suelo se ve sometido a una evolución de estados
tensionales conviene representar todos estos sobre un diagrama único.
Si en el caso de trabajar en dos dimensiones se dibujan todos los círculos de Mohr en un mismo
diagrama es fácil imaginar la dificultad de entender lo que está representado en ese diagrama. Y
todavía peor si el problema requiere una modelización en tres dimensiones y lo que
representamos es una sucesión de tensores.
Por ello se definieron las variables tensionales que consisten en conjuntos de dos o tres
funciones que dependen del tensor de tensiones y representan el estado tensional, así de su valor
podemos conocer aproximadamente el estado tensional, y su situación frente rotura u otros
fenómenos que nos interese controlar.
En la figura 3.23 se representan los estados de esfuerzos de los puntos A, B, C, D y E, mediante
Círculos de Mohr (a) y mediante la línea que denominamos trayectoria de esfuerzos
representada en un diagrama p-q (b). La trayectoria de esfuerzos proporciona una representación
continua de sucesivos estados de esfuerzos. Este método equivale a representar un punto único
de un círculo de Mohr: el punto más alto si q es positiva o el más bajo si q es negativa.
Numéricamente, q equivale a la mitad del esfuerzo desviador (Lambe o Cambridge). p y q son
dos variables tensionales de mucha utilidad que se definen en el presente apartado. En ambos
diagramas los puntos representan estados idénticos.
21
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva

q
E
E
D
D
C
C
B
B
A

p
A
(b )
(a)
Figura 3.23 Representación de sucesivos estados de esfuerzos al aumentar σ1 manteniendo constante σ3.
(a) Círculos de Mohr (b) Diagrama p-q
Pero al ser funciones del tensor, interesa que no varíen con los cambios de coordenadas. Unos
valores función del tensor de tensiones que no dependen de las coordenadas en las que esté
expresado son sus valores propios, las tensiones principales, por lo que el primer conjunto de
variables tensionales que se utilizaron fueron las tensiones principales.
Así el estado tensional de un punto se puede representar en el denominado espacio de tensiones
principales, ver figura 3.24.
1
oct
t
 oct
P
O
Eje de tensión
hidrostática
A
3
2
Figura 3.24 Espacio de tensiones principales
De la obtención algebraica de las tensiones principales se obtiene un segundo grupo de variables
tensionales que son los invariantes principales. El desarrollo matemático a través del que se
consigue su definición parte de la obtención de los valores y vectores propios del tensor de
tensiones, para ello se impone que existan unos vectores n tales que:
ntσ  nt
ntσ  nt  0
n t σ  I   0
Es decir, se trata de resolver un sistema de ecuaciones. Si la matriz de este sistema tiene
determinante no nulo, la única solución posible será n=0. Por tanto para que existan otras
soluciones además de la trivial (n=0) debe cumplirse que:
det σ  I   0
22
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
es decir:
 xy
 xz 
 x  


y 
 yz   0
det   yx
 
 zy
 z   
 zx
Este determinante da lugar a la siguiente ecuación de 3er grado:
 3  a 2  b  c  0
que permite determinar los valores propios del tensor de tensiones o tensiones principales, es
decir:
1  1

2   2

3   3
Dichos valores son invariantes frente a cualquier cambio de coordenadas. Por tanto, los
coeficientes de la ecuación de tercer grado (a, b y c) también son invariantes. Se puede
comprobar que estos coeficientes de la ecuación de tercer grado valen lo siguiente:
a  I1   x   y   z
b  I 2   x y   y z   z x  ( xy2   yz2   zx2 )
c  I 3   x y z  2 xy yz zx   z xy2   x yz2   y zx2
Estos invariantes son los denominados invariantes principales y se corresponden con:
I1= traza del tensor de tensiones
I2= suma de los determinantes de los menores de 2º orden del tensor de
tensiones
I3= determinante del tensor de tensiones
En el caso particular en que el tensor de tensiones se encuentre expresado en función de los
valores propios o tensiones principales, dichos invariantes valen:
I1   1   2   3
I 2   1 2   2 3   3 1
I 3   1 2 3
En función de estos invariantes se puede definir cualquier nuevo invariante, por ejemplo las
variables tensionales o invariantes del plano de octaédrico, que son aquellos planos igualmente
inclinados en relación a los ejes principales del punto considerado. (Cos α= cos β= cos γ=
√3/3α= β= γ= 54º43`).
 oct 
 oct 
1
3
1
3
I1 
1
3

x
y z 
2  I1  3I 2  
1
3

  y    y   z    z   x   6( xy   yz   zx )
2
x
2
2
2
2
2
Que se denominan tensión normal octaédrica o tensión media y tensión tangencial octaédrica,
respectivamente.
Estas variables tienen sentido físico:
 oct informa de la distancia entre el origen O y el plano perpendicular a la recta definida
por 1=2=3, denominada eje de tensión hidrostática, que pasa por el punto P. Así nos
da una idea del confinamiento del estado tensional, por ejemplo una oct=0 corresponde a
un estado puramente desviador, cuyas características son: traza nula, sus autovalores
suman cero y su primer invariante es nulo.
23
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
 oct
informa de la distancia entre el punto P y el eje de tensión hidrostática. Así nos
informa de lo lejos que está el estado tensional de un estado isótropo, así un valor nulo de
oct indica que estamos frente un estado puramente esférico.
A continuación se presentan las dos parejas de variables tensionales más utilizadas en Mecánica
de Suelos:

Invariantes del plano de Lambe.
Son propios de estados tensionales en dos dimensiones. Están definidos por una tensión
media (s) y una tensión de corte (t), que corresponden respectivamente con el centro y el
radio del círculo de Mohr. Sus expresiones son:
s
1
2

x
y  
1
2

1
 3 
2
1
 x y 
2
t 
   xy   1   3 
2
 2 

Invariantes del plano de Cambridge.
Éstos ya representan estados tridimensionales y son muy semejantes a los del espacio
octaédrico:
p   oct 
q
3
2
1
3
I1 
 oct 
1
3

1
2
x

y z 
  y    y   z    z   x   6( xy   yz   zx )
2
x
2
2
2
2
2
En el apartado 3.1.1 (Definición clásica de tensión) en las observaciones a la definición de
tensión, se anunciaba que la tensión en un punto dependía de la orientación de la sección
elegida. Por ello carece de significado hablar de la tensión normal y tangencial en un punto, lo
que debe conocerse es el estado tensional del punto, esto supone conocer la información
suficiente para poder calcular la tensión en cualquier orientación.
Deformación volumétrica.
Sea un elemento diferencial de volumen definido por:
V0  dxdydz
al producirse una deformación, el nuevo volumen se calcula como:
V1  1   x  dx 1   y  dy 1   z  dz  1   x   y   z  dxdydz
en la que se han despreciado todos los términos de segundo (productos x z) y tercer orden
(producto x z z), y se ha considerado el criterio de compresiones positivas.
La deformación volumétrica será (disminución de volumen positivo):
 vol  
V
V0

V1  V0
V0

1  
x
  y   z  dxdydz  dxdydz
dxdydz
  x   y   z  I1 ( )
Es decir, que la deformación volumétrica equivale al primer invariante de la matriz de
deformaciones.
Deformación tangencial o deformación de corte.
Igualmente podemos definir una deformación de corte octaédrica como:
24
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
 oct 

2

3
x


2
2
2
  y     y   z     z   x   6  xy2   xz2   yz2 
2
  1   2  2    2   3  2    3   1  2 

3
1
1
2

2
Por último, cada pareja de invariantes de tensión se puede asociar con una pareja de invariantes
de deformación. Si se escribe en tensiones y deformaciones principales resulta:
Tensiones totales
Tensiones efectivas
Deformaciones
Cambridge
p =1/3(1+2+3)
p’=p u
vol =(1 + 2+ 3)
q’=q
q =(13)
d =2/3(1  3)
Lambe (deformación
s=1/2(1+3)
s’=s u
vol= (1 + 3)
plana)
t’=t
t=1/2(13)
 t = (1  3)
3.5 Estado tensional en condiciones unidimensionales
La figura 3.25 muestra una idealización del terreno saturado y con superficie horizontal.
N.F.
z
n
n
dz
Figura 3.25 Elemento de suelo en terreno saturado y con superficie horizontal
Por simetría, y suponiendo el suelo material homogéneo, las tensiones tangenciales son nulas en
el elemento de suelo representado y, por tanto, solo se tendrán tensiones normales. Por
equilibrio de tensiones verticales, la variación de tensión con la profundidad debido al peso del
terreno resulta ser:
d v   ndz
Integrando:
z
 v =  n dz = n z
0
Por otro lado, la presión de agua en régimen hidrostático y nivel freático en superficie es:
u  w z
El cálculo de las tensiones efectivas resulta de restar las leyes de tensiones totales y presiones de
agua:
 'v   v  u   ' z
Así la tensión en un punto, en terreno saturado y con superficie horizontal, evoluciona según
muestra la figura 3.26, obteniéndose un mayor confinamiento en los puntos que se encuentran a
mayor profundidad.
25
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Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
z
A
B
C
- confinamiento +
τ
N.F.
C
σA (z)
σB (z)
σC (z)
σ'(z)
σ(z)
B
A
σ
PA
PB
σA (z)
PC
σB (z)
σC(z)
u(z) = γωz
Figura 3.26 Tensiones en terreno saturado con superficie horizontal y su posible evolución en función de
la profundidad. Representación mediante Círculos de Mohr con la localización de las tensiones
principales (σi,z) y los polos (Pi).
Si el suelo está estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los esfuerzos
verticales pueden calcularse adecuadamente por medio de la sumatoria, como se verá más
adelante:
σv= ∑γ·∆z
Las tensiones horizontales son más difíciles de calcular ya que no es posible su determinación
por equilibrio. Se ha comprobado que en condiciones de deformación lateral nula (el suelo se
deforma solamente en vertical), se cumple que:
 'h
 K0
 'v
y al coeficiente K0 se le denomina coeficiente de empuje al reposo.
Puede ocurrir que tengamos un suelo con tensión vertical efectiva y tensión horizontal efectiva
superior. Esto es debido a que a veces se descargan los suelos (debido por ejemplo a la erosión),
las tensiones horizontales no se descargan igual que se cargan, sino que se genera una rama de
descarga. Mientras que las tensiones verticales efectivas sí se descargan igual que se cargan.
Hay que tener en cuenta que a un terreno que sólo ha sido cargado se le llama terreno
normalmente consolidado, mientras que un terreno que ha sido cargado y descargado (más
compacto), se le llama terreno sobreconsolidado (K0  entre 1 y 2).
La figura 3.27 muestra el estado de tensiones en un talud indefinido con superficie inclinada (β):

a
W
z
γn
Figura 3.27 Análisis de un talud indefinido
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GEOTECNIA – GICO UPC
Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva
La tensión vertical sobre un plano paralelo a la superficie del terreno (inclinación ) se calcula
como:

W
a

 n za cos 
a
  n z cos 
siendo z la profundidad de dicho plano, a la anchura de una rebanada, y  la inclinación del
talud. Dicha tensión se puede descomponer en una componente normal y una componente
tangencial:
 n   cos    n z cos 2 
 n   sin    n z cos  sin 
Esta pareja de tensiones permite representar en círculo de Mohr este estado tensional y
determinar la orientación de las tensiones en otros planos, pero no su módulo ya que este
depende de la naturaleza del suelo.
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