• Modulación. • Diseño de Distancia Mínima

•
•
•
•
•
•
Modulación.
Diseño de Distancia Mínima.
Desempeño en ruido.
Detección.
Ecualización óptima.
Ecualización adaptiva.
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2
•
•
•
•
•
•
Detección de un único símbolo.
Detección de un vector señal.
Detección de señales continuas en ruido Gaussiano.
Detección no coherente óptima.
Detección óptima de PAM con ISI.
Detector de secuencias: Algoritmo de Viterbi.
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3
Detección: modelo básico
•
El problema requiere un modelo estadístico:
– Modelo de generación de la señal (determinístico).
– Modelo de generación del ruido (estocástico).
Ejemplo: Si
es una secuencia de símbolos, entonces, el generador
de señal puede ser un filtro de transmisión discreto equivalente, y
el generador de ruido AWGN, independiente de
Ejemplo: Si
es una secuencia de bits, el generador de señal
puede ser un codificador que produce otra secuencia de bits, y el
generador de ruido puede modelarse como un canal binario
simétrico (BSC).
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Detección: modelo básico
Para realizar una decisión sobre
•
•
con la observación
, dos métodos:
Maximum a posteriori (MAP ó Bayes)
Maximum Likelihood (ML): Caso especial de MAP para entradas
equiprobables.
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Detección de un símbolo aislado (cont).
La entrada es una única variable aleatória
(o símbolo
que pasa inhalterado al generador de ruido.
•
del alfabeto
)
Observaciones discretas:
ML selecciona
tal que maximize
de los símbolos).
(no requiere la distribución
MAP selecciona tal que maximize
Minimiza en general la probabilidad de error de detección:
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.
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Detección de símbolo: observaciones discretas
Ejemplo: Para el modelo de ruido aditivo discreto
se obtienen por lanzamiento de una moneda. i.e.
Ejemplo: Si ahora
MAP coincide con ML. Pero si
entonces, siempre selecciona
donde
. Si
o
y
,
.
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Detección de símbolo: observaciones discretas
Ejemplo: (probabilidad de error) Si
para ML como para MAP.
Si
,
o
, no existe error tanto
ML comete errores con probabilidad 0.5, con
probabilidad de error es: 0.25.
, tal que la
MAP comete errores con probabilidad 0.25,
probabilidad de error es 0.125.
, tal que la
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Detección de símbolo (cont)
•
El modelo mas simple que brinda observacionesdiscretas es el canal
binario simétrico (las probabilidades condicionales se ilustran en la figura)
y está caracterízado por p, la probabilidad de crossover.
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Detección de símbolo (cont)
MAP minimiza probabilidad de error.
Teniendo en cuenta que
como
, la anterior es máxima si a su vez se maximiza la
probabilidad de decisión correcta para cada observación
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Detección de símbolo: observaciones contínuas
El modelo de generación de ruido N tiene valores de ruido aditivo contínuo
de forma que las observaciones son contínuas.
MAP,
ML,
tal que maximize
tal que maximize
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Detección de símbolo: observaciones contínuas
Ejemplo: Supongamos que A toma valores +1 y –1 de acuerdo a una
moneda “cargada” tal que
y
.
Se observa Y=A+N con la pdf de N contínua.
MAP, Si A=+1, no existe error.
Errores ocurren 1/3 de las veces cuando A= -1 (y>-0.5).
Entonces
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Detección de símbolo: observaciones contínuas
Ejemplo: Suponiendo el mismo contexto anterior.
ML, las funciones son iguales en –0.5 < y < 0.5.
Para el umbral en el origen, se produce un error 1/6 para cada símbolo posible.
Entonces
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Detección de un vector señal
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Detección de un vector señal (cont).
Ejemplo: Una señal vectorial consistente en un conjunto conocido de señales
en ruido aditivo sigue este modelo. El receptor de distancia mínima se podía
usar en ese caso.
Ejemplo: Una señal vectorial con elementos binarios como entrada a un canal
binario simétrico (BSC) es un bloque de código binario.
El generador de señal acepta una entrada X y la mapea en un vector de señal
S de dimensión M. La observación es un vector Y. El ruido queda especificado
por (si las componentes son independientes)
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Detección de un vector señal (cont).
Detección ML: Los dos modelos de generación de ruido con componentes de
ruido independientes, el ruido aditivo Gaussiano (AWGN) y el BSC, resultan
en un detector ML similar:
Seleccionar el vector señal que está más próximo al vector
observación.
La única diferencia entre los dos casos es la forma en que se define
“distancia”:
• Euclidiana en el caso de AWGN
• Hamming en el caso BSC
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Detección de un vector señal: ML (cont).
Ejemplo: Para el caso de AWGN Y = S + Z , donde el vector complejo Z se
supone circularmente simétrico con componentes no correlacionadas (i.e.
independientes) de varianza
. Y tiene pdf
con
Para una variable Gaussiana compleja con partes real e imaginaria independientes
se tiene que
Entonces:
Como maximizar
es equivalente a minimizar
detector ML es equivalente a un detector de distancia mínima.
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, el
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Detección de un vector señal: ML (cont).
Ejemplo: Para el BSC con componentes de ruido independientes, las
componentes del vector señal (de dimensión M) son binarias. La pdf es
Si
(distancia de Hamming) es el número de componentes en el
que difieren
e
, entonces
Para p <1/2 el detector ML selecciona
para minimizar
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Detección de un vector señal: (cont).
Detector MAP: Es considerablemente mas complicado que el ML y requiere el
conocimiento de la varianza del ruido (para el modelo AWGN) o la probabilidad
de error (para BSC). Además se requiere
.
Dada la observación y, el detector MAP selecciona
tal que maximize
Ejemplo: Para el caso de AWGN, el detector MAP maximiza
Equivalente a minimizar
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Detección de un vector señal (cont)
Probabilidad de error para BSC con detector ML
Para el caso de dos señales
a distancia (de Hamming) d, suponemos
transmitida por un BSC.
El detector ML elige
en lugar de
si los bits recibidos en y determinan
menor d. Cualquier error que afecte una componente donde las señales son
iguales no impactará en d.
Suponemos (peor caso) un error de detección se produce siempre que los bits
de y están equidistantes de las dos señales. Entonces, una error de
detección ocurre si más de t errores en los d bits en que difieren las señales,
o sea
Como el número de errores en d es binomial
Para tres o mas señales
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Detección de señales conocidas en AWGN
Señal recibida discreta
Caso de ruido blanco: Extensión del caso vectorial para
detector ML calcula
. El
Equivalente a
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Señal recibida discreta
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Caso de ruido coloreado
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Señal recibida continua
Para desarrollar el detector ML se utiliza una Expansión de Karhunen –
Loeve
con
tal que
si
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Expandiendo la señal recibida
con
Es un problema equivalente discreto si se tienen en cuenta las varianzas
diferentes, entonces
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Aplicando el detector discreto a este problema, minimizar
para
. Equivalente a
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Esto puede relacionarse con señales continuas usando
de forma que
Por ejemplo, si
,
correlaciona con cada una de las señales conocidas
tal que el receptor
La detección de una señal continua (infinitas dimensiones) se puede realizar
con un número finito (L) de variables.
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Diferentes interpretaciones de la realización del detector
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Estadística suficiente.
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Generación de una estadística suficiente: Si
es la respuesta de un
filtro de blanqueo
a
, entonces
y tal que
que genera un subespacio de señales de dimensión
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Entonces, en función de la nueva base
, pero
Así,
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Aplicación de una estadística suficiente:
En base a la estadística suficiente y un criterio de optimalidad (MAP o ML), la
estructura óptima se obtiene por:
• Se calcula la estadística suficiente de orden N. Este conjunto de variables
reemplaza a la señal recibida a los propósitos de detección.
• La estadística suficiente se determinan para una condición de ruido
conocida y conjunto de señales conocido.
• El resto de la estructura del receptor se determina mediante el criterio de
optimalidad aplicado ala estadística suficiente y sus propiedades estadísticas.
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Estadística suficiente de una señal pasabanda.
De la ecuación integral se tiene también
tal que
o en términos de señales bandabase
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Estadística suficiente de una señal pasabanda: Dos realizaciones.
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Detección de señales conocidas en AWGN (cont)
Estadística suficiente de una señal pasabanda:
Reducción en el número de variables.
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Detección óptima no coherente
Utilización de los resultados anteriores cuando no se conoce la fase del
conjunto de señales transmitidas.
Con la estadística suficiente
que se puede escribir como
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Detección óptima no coherente (cont)
El detector ML se obtiene en base a
.
Para el caso de ruido Gaussiano y usando propiedades de funciones de
Bessel, el detector ML selecciona m que maximize
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Detección óptima no coherente (cont)
Ejemplo: FSK binaria con
y
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Detección óptima no coherente (cont)
Probabilidad de error: A partir de la estadística suficiente y la métrica
Ejemplo FSK: Si
entonces
Suponiendo
las señales son ortogonales,
.
transmitida,
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Detección óptima para PAM con ISI
Extensión de resultados anteriores:
•
La salida del WMF es una estadística suficiente para la señal recibida (con
cualquier criterio).
•
El receptor de distancia mínima es el detector ML para un conjunto de
señales conocidas en una secuencia de
símbolos: el detector de
secuencia ML (MLSD).
•
Estos resultados se extienden para el caso de ruido coloreado y en
particular los asociados al WMF.
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Detección óptima para PAM con ISI (cont)
Salida del WMF como estadística suficiente: Si la señal recibida es una
secuencia de K símbolos, cada uno de un alfabeto de tamaño M,
Suponiendo N(t) blanco, esta puede interpretarse como una parte de las
de un conjunto de
señales, para las que una estadística
suficiente es
donde
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Detección óptima para PAM con ISI (cont)
Para ruido coloreado, considerando los resultados para
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Detección óptima para PAM con ISI (cont)
Detector de secuencias de ML.
Para el equivalente discreto de la figura anterior el detector ML fue obtenido
antes. Se elige la secuencia que minimiza
•
El criterio MLSD es equivalente a un criterio de señal continua
•
Usando el WMF como estadística suficiente el criterio es óptimo
en sentido ML.
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi
Cuando la señal corresponde a una secuencia de K símbolos y se tiene
un alfabeto de tamaño M, el número total de señales es
En consecuencia, complejidad crece exponencialmente con el tiempo
(tiempo es proporcional a K).
Una aplicación práctica requiere la complejidad sea lineal (lo que
corresponde a una velocidad de cómputo fija).
Detección de secuencias.
Algoritmo de Viterbi
Decodificación convolucional.
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi
Generador en base a una máquina de estados finitos:
El algoritmo de Viterbi es aplicable cuando,
– La componente de ruido en cada muestra es independiente.
– La señal se genera mediante una máquina de estados finitos (cadena de
Markov homogénea).
– Para maximizar la probabilidad de detección se utiliza ML.
Transiciones de estado
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Generador en base a una máquina de estados finitos.
Ejemplo: Para PAM con ISI y el WMF,se tiene un modelo discreto
de generación de señal,
seguido por el de generación del
ruido.
Si
es FIR
(
es un filtro todo
ceros, o solo cierto nro.
de
son no
ortogonales)
tal que, la máquina de estados finitos tiene como estado
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Ejemplo: Modelo de ISI
Resultado: redundancia por cada bit se obtiene (0.0, 0.5, 1.0, 1.5)
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Ejemplo: Codificación convolucional
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Diagrama Trellis. Ejemplo: Corresponde al modelo de ISI
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Detectores de secuencia ML y MAP. Diseñar detector de la secuencia
de estados
, entrada
, salida
, o camino por la trellis (todos
equivalentes) en base a observaciones
ruidosas.
Ejemplo:
En el caso Gaussiano el detector ML selecciona la señal
minimiza la distancia euclidiana
, donde
observación.
que
es la
Ejemplo:
Para el BSC, el detector ML minimiza
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Para relacionar las distancias con la trellis, cada rama determina un par
que permite definir la métrica de rama. La suma de las
métricas de rama es la métrica de camino. Se busca la menor métrica
de camino para todas las secuencias.
En cada nodo de la trellis, el camino de menor métrica (parcial) se
denomina camino superviviente ( el número de candidatos es M).
El algoritmo de Viterbi encuentra el camino con la menor métrica de
camino computando las métricas de rama secuencialmente reteniendo
solo los caminos supervivientes.
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Ejemplo: Modelo de ISI
La secuencia recibida es
(0.2,0.6,0.9,0.1)
La secuencia detectada ML
por símbolo: (0,1,1,0)
La secuencia detectada por
MLSD: (0,1,0,0)
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
El algoritmo no determina el camino óptimo hasta llegar al nodo terminal de
la trellis (se introduce un retardo considerable).
Para el ejemplo anterior, cuando k >= 2 todos los caminos supervivientes
coinciden desde k=0 a k=1. La decisión ML se puede realizar a partir de
k=2 (no es necesario esperar hasta el nodo terminal de la trellis).
Cuando todos los caminos supervivientes hasta k coinciden con los de d-k,
se dice que los caminos convergieron a profundidad d. Como la
convergencia puede no ocurrir, se puede truncar el algoritmo a profundidad
d (decisión por la menor métrica en k en base a caminos de longitud d).
Entonces retardo solo de profundidad d.
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Probabilidad de error de secuencia, probabilidad que uno o mas estados de la trellis
estén en error (independientemente del número).
Esta probabilidad de error está dominada por el camino de menor distancia al
correcto.
Cuando la longitud de la secuencia K es grande el número de caminos a distancia
mínima crece, tanto que la probabilidad de error Æ 1!
En general, en aplicaciones prácticas es más útil conocer la probabilidad de error de
bit o de símbolo, cuya relación con la de error de secuencia no es trivial.
Una forma es calcular la probabilidad de error de secuencia por unidad de tiempo y luego
Relacionarla con la probabilidad de error de bit o símbolo.
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Eventos de error. Si
es la secuencia correcta de estados y
la
seleccionada por el algoritmo de Viterbi, estas convergerán y divergerán varias veces.
Cada separación (o divergencia) se denomina evento de error. La longitud de un
evento de error es el número de nodos incorrectos en el camino.
Ejemplo:
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Un evento de error tiene uno o más errores de símbolo.
Se puede mostrar que la probabilidad de error de símbolo está dominada por
la probabilidad del evento de error de distancia mínima (en SNR altas).
Un procedimiento para obtener la distancia a cualquier evento de error supone
rotular cada rama de la trellis con su métrica de distancia al cuadrado (esta sería
la métrica de rama para el canal sin ruido).
La distancia del evento de error es la distancia del camino correspondiente.
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Ejemplo: Para el modelo de ISI,
La distancia del 1er evento es
la del segundo evento es
(distancia mínima, mas probable) y
. Entonces, se puede mostrar que
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
•
En el ejemplo la distancia mínima se obtuvo por inspección.
•
El propio algoritmo de Viterbi puede utilizarse para hallar la distancia mínima de
eventos de error a la secuencia correcta.
•
Con el algoritmo, se excluye el superviviente en cada etapa. De las remanentes, el
superviviente en cada nodo determina un evento de error. Almacenando los eventos de
error de distancia mínima, cuando todos los supervivientes tengan una métrica parcial
mayor que esa mínima, se encontró la distancia mínima del evento de error para esa
secuencia correcta.
•
En general es la distancia mínima global la que domina la probabilidad de error, no la
distancia mínima a un camino particular de la trellis. Usualmente no es necesario
analizar todos los caminos correctos para hallar la distancia mínima.
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Cálculo de la distancia mínima para ISI. En lugar de calcular todos los eventos de
error y en función de ellos el de distancia mínima, uso del modelo de máquina de
estados finitos para la ISI para simplificar.
Se define un símbolo de error
dada por
sobre símbolos de error no nulos.
Para utilizar Viterbi, se asume
, entonces la distancia mínima está
FIR, tal que
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
La sumatoria en m es finita (aunque en la práctica se tienen valores de K grandes).
La minimización se realiza por Viterbi sobre una trellis con estados
y ramas de métrica
En general, si el tamaño del alfabeto original es M, el del alfabeto de símbolos de error
puede ser M x M.
Ejemplo: Si los símbolos son reales, M es impar tal que [-(M-1)/2, (M-1)/2], el rango de
los símbolos de error es [-(M-1),(M-1)], o sea (2M-1) valores distintos (mucho menor
que MxM).
Lógicamente, la métrica de cada rama es independiente de otras ramas (no de pares
de ramas como el camino correcto y el camino de error).
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Ejemplo: Para el modelo de ISI, la métrica de rama es
.
Si los símbolos son binarios (0,1), los símbolos de error serán (0, +/-1).
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
El coeficiente C que completa el análisis de probabilidad de error se obtiene
de
donde A es el conjunto de caminos
que definen un evento de error de
distancia mínima y B es el conjunto de eventos de error que tienen distancia
Mínima.
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Detección de secuencias: Algoritmo de Viterbi (cont)
Ejemplo: Para el modelo de ISI, independientemente de la trayectoria correcta, existe
solo un evento de error de distancia mínima que puede comenzar en cualquier
instante.
Si
error inferior
(con prob. ½), el evento de error es el superior y corresponde a
. Si
(también con prob. ½) es posible el evento de
.
Entonces, P=1.
Como el evento de error incluye un símbolo de error,
y como existe un único evento de error de distancia mínima posible por cada camino
correcto de la trellis, R=1. Entonces C=1 y
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