CÁLCULO INTEGRAL FUNCIONES LOGARÍTMICA Y

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
CÁLCULO INTEGRAL
FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL
Función logaritmo natural
x n+1
∫ x dx = n + 1 + C
n
Se sabe que
;
n ≠ −1
Se comenzará con la definición de una integral indefinida
particular de
"
1
1
es continua en
" . Resulta fácil porque
X
x
( 0,∞ ) y se sabe del teorema fundamental del cálculo que la
ecuación
dt
L ( x) = ∫
1 t
dL 1
define una función " L " tal que
= en ( 0,∞ ) .
dx x
x
Propiedades de
" L"
Primero se puede observar que:
dt
=0
1 t
L (1) = ∫
1
dL
> 0 para toda x > 0 , se concluye que la pendiente
dx
de la gráfica de " L " es siempre positiva y que " L " está
creciendo a lo largo de su dominio. Se ve entonces que " L " es
Como
inyectiva y por lo tanto, si es biyectiva, tiene función inversa,
2
hecho que reviste gran importancia. También su puede ver
que L x < 0 si 0 < x < 1 y que L x > 0 si x > 1.
( )
( )
Por otro lado, para un valor fijo
a > 0 , la función L ( ax ) está
definida para toda x > 0 . Y si se utiliza la regla de la cadena
para derivar esta función, se tendrá que:
D ⎡⎣ L ( ax ) ⎤⎦ =
1
D ( ax ) ;
ax
D ⎡⎣ L ( ax ) ⎤⎦ =
Pero según lo visto con anterioridad
D ⎡⎣ L ( ax ) ⎤⎦ =
1
x
1
x
L ( x ) tienen la misma derivada y
entonces se sigue que existe una constante " C " tal que:
L ( ax ) = L ( x ) + C
Como esta ecuación es verdadera para toda x > 0 , lo es para
x = 1, por lo que:
por lo que
L ( ax )
D ⎡⎣ L ( x ) ⎤⎦ =
1
a;
ax
L ( a) = L (1) + C;
y
L (1) = 0
⇒
L ( a) = C ∴ L ( ax ) = L ( a) + L ( x )
que también puede escribirse como:
L (uv ) = L (u ) + L ( v )
para todo valor positivo de
u"
Ahora,
1
" v " por " " en la ecuación
u
si
se
sustituye
y
" v".
anteriormente obtenida, se obtiene:
⎛ 1⎞
L (1) = L (u ) + L ⎜ ⎟
⎝u⎠
;
L (1) = 0 ∴
⎛ 1⎞
L ⎜ ⎟ = − L (u )
⎝u⎠
PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
Entonces se pude escribir que:
⎛u⎞
⎛ 1⎞
L ⎜ ⎟ = L⎜u ⋅ ⎟
⎝v⎠
⎝ v⎠
;
por lo que finalmente se llega a:
⎛u⎞
⎛ 1⎞
L ⎜ ⎟ = L (u ) + L ⎜ ⎟
⎝v⎠
⎝v⎠
⎛u⎞
L ⎜ ⎟ = L (u ) − L ( v )
⎝v⎠
para todo valor positivo de " u " y " v "
Si se utiliza la regla de la cadena, se pude obtener, para
cualquier valor racional de " r " , lo siguiente:
1
D ⎡ L ur ⎤ = r D ur
⎣
⎦ u
( )
1
D ⎡ L ur ⎤ = r
⎣
⎦
u
( )
( )
1
D ⎡ L ur ⎤ = r r ur −1
⎣
⎦ u
( )
⇒
(
)
( )
D ⎡ L ur ⎤ = D ⎡⎣ r L (u ) ⎤⎦
⎣
⎦
Entonces existe una constante " C " tal que:
( )
L ur = r L (u ) + C
⇒
; u =1 ⇒
L (1) = r L (1) + C ∴ C = 0
y finalmente se tiene que:
( )
L ur = r L (u )
Si se comparan las propiedades de " L " con las propiedades
de una función usada en álgebra elemental y que es el
logaritmo de base positiva y arbitraria b ≠ 1, se ve que:
PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
L (1) = 0
L (u v ) = L (u ) + L ( v )
4
logb (1) = 0
logb (uv ) = logb (u ) + logb ( v )
;
;
⎛ 1⎞
L ⎜ ⎟ = − L (u )
⎝u⎠
⎛u⎞
L ⎜ ⎟ = L (u ) − L ( v )
⎝v⎠
⎛ 1⎞
logb ⎜ ⎟ = − logb (u )
⎝u⎠
⎛u⎞
logb ⎜ ⎟ = logb u − logb v
⎝v⎠
;
;
( )
L ur = r L ( u )
( )
logb ur = r logb u
;
Como se observa, con excepción de la notación, las dos
columnas son idénticas. es por ello que a la función " L " se dio
por llamarla “función logarítmica”.
logb x se define como: un número " n " tal que
bn = x donde a " b " se le conoce como la base. Y esta
La función
potencia está definida, sin embargo, solamente para valores
racionales de " n " ; su gráfica entonces está llena de agujeros y
no es diferenciable e integrable. Como función tiene entonces
muy poca utilidad en Cálculo.
La función que se ha venido llamando " L " , no solamente tiene
las mismas propiedades que el logaritmo elemental sino que
además es diferenciable e integrable. Por esta y otras razones
es la “natural” función logarítmica que se usa en el Cálculo y es
a la que se le llama “logaritmo natural”. Para diferenciarlas se
acostumbra expresarlas como
ln x
y
log x
y por lo tanto se tiene que
ln x = ∫
x
1
dt
t
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Considérese ahora el evaluar a esta función ln x para cualquier
valor arbitrario x > 0 . Si se sustituye x por 1+ x en la expresión
anterior, se tiene:
ln (1+ x ) = ∫
1+ x
1
dt
t
Si x > 0 , esta integral puede ser interpretada como el área
sombreada de la figura siguiente:
f (t )
1
f (t ) =
t
1
A
1
A= ∫
1+ x
1+ x
dt
t
t
Si se desliza toda la gráfica una unidad hacia la izquierda, la
gráfica de
1
1
se convierte en la gráfica de
y la nueva área
1+ t
t
aparece como:
f (t )
1
f (t ) =
1+ t
dt
A=∫
0 1+ t
x
1
A
x
t
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6
y se puede decir entonces que
dt
0 1+ t
ln (1+ x ) = ∫
x
La derivada de esta función logaritmo natural
D (ln x ) =
1
x
ln x
es:
que es positiva a lo largo del dominio de la función pero se
aproxima a cero al incrementar el valor de " x " . Si se grafica
esta nueva función, tomando en consideración lo que se ha
expresado, se tiene que:
y
f ( x ) = ln x
( e,1)
x
(1,0 )
e = 2.718281828...
Como se observa en la figura, la función aumenta cada vez
más lentamente conforme se incrementa la " x " . Esto implica
que la curva es cóncava hacia abajo, lo que se apoya en el
hecho de que la segunda derivada es siempre negativa:
D2 (ln x ) = −
1
x2
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7
1
x
Si x < 0 , entonces la función ln x no está definida, pero ln ( − x )
Si
x > 0 , entonces D (ln x ) =
existe, ya que se puede ver que:
D ⎡⎣ln ( − x ) ⎤⎦ =
1
D(−x) ;
−x
Como la derivada es
D ⎡⎣ln ( − x ) ⎤⎦ =
1
( −1) ;
−x
D ⎡⎣ln ( − x ) ⎤⎦ =
1
para cada caso, se pueden combinar
x
estos dos resultados dentro de la simple fórmula:
D (ln x ) =
1
x
Función exponencial
Como la función ln x es biyectiva, admite función inversa y por
el momento se le llamará " exp" . Luego,
exp = ln−1
y se sigue que:
y = exp x sí y sólo si lny = x
Por lo que se trató en la función ln x y lo que se sabe de la
función y su inversa, es posible afirmar que:
Dln x = ( 0, ∞ ) = Rexp x
y
Rln x = \ = Dexp x
y también es posible escribir que:
exp (ln x ) = x
∀x>0
ln ( exp x ) = x
∀ x∈\
De la segunda expresión se deducen
propiedades de esta función exp x :
las
siguientes
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1
x
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Para cualquier u ∈ \ y v ∈ \ :
ln ⎡⎣( exp u )( exp v ) ⎤⎦ = ln ( exp u ) + ln ( exp v )
ln ⎡⎣( exp u )( exp v ) ⎤⎦ = u + v
⇒
⇒
y por lo tanto
ln ⎡⎣( exp u )( expv ) ⎤⎦ = ln ⎡⎣exp (u + v ) ⎤⎦
( exp u)( expv ) = exp (u + v )
De manera similar:
⎡ exp u ⎤
ln ⎢
= ln ( exp u ) − ln ( exp v )
⎥
⎣ exp v ⎦
⎡ exp u ⎤
⇒ ln ⎢
=u−v
⎥
⎣ exp v ⎦
⇒
y por lo tanto
⎡ exp u ⎤
= ln ⎡⎣exp (u − v ) ⎤⎦
ln ⎢
⎥
⎣ exp v ⎦
exp u
= exp (u − v )
exp v
Ahora, para cualquier número real " u " y racional " v " :
v
ln ⎡( exp u ) ⎤ = v ln ( exp u )
⎣
⎦
v
⇒ ln ⎡( exp u ) ⎤ = uv
⎣
⎦
v
⇒ ln ⎡( exp u ) ⎤ = ln ( exp uv )
⎣
⎦
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y por lo tanto
( exp u) = exp uv
v
Ahora se verá el porqué del nombre de “exponencial”. Para
cualquier racional " x " , la cantidad
reglas del álgebra elemental y,
ln ex = x ln e
ex está definida por las
; ln ex = ln ( exp x )
; ln ex = x
y por lo tanto
exp x = ex
para todo número racional " x " . Las potencias irracionales no
x
están definidas en el álgebra elemental. Entonces e no está
definida para valores irracionales de " x " y entonces se está en
libertad de instrumentar la siguiente definición:
exp x = ex
∀ x∈\
Las propiedades anteriormente vistas, en notación exponencial,
están dadas por:
y = ex ⇔ x = ln y
eln x = x ∀ x > 0
ln ex = x
ex ey = ex + y
ex
x−y
=
e
ey
( )
ex
y
= exy
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Para derivar esta nueva función exponencial, se hace lo
siguiente:
y = ex
⇒
10
ln y = x
y si se deriva en forma implícita,
1
y' =1 ;
y
( )
y ' = y ∴ D ex = ex
Así la función exponencial tiene la propiedad muy notable de
ser igual a su derivada.
Si " u " es una función de " x " derivable, entonces la derivada
anterior se puede generalizar, mediante la regla de la cadena,
como:
( )
D eu = eu Du
y la integral será
Como
( )
u
u
e
du
=
e
+C
∫
( )
D2 ex = D ex = ex > 0
∀ x ∈ \ , se puede decir
que la función exponencial es siempre creciente y su gráfica
cóncava hacia arriba. La gráfica de esta función es:
y
y = ex
(1,e)
( 0,1)
x
Esta gráfica puede obtenerse de la de ln x mediante una
reflexión en la recta y = x . Resulta conveniente ver en una sola
gráfica a ambas funciones:
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y
f ( x ) = ln x
x
y
0
−∞
1
0
e
1
( 0,1)
f ( x ) = ex
x
y
−∞
0
0
1
1
e
y = ex
(1,e)
( e,1)
y = ln x
x
(1,0 )
Ahora se realizarán ejercicios con ambas funciones para
obtener sus funciones inversas, así como los dominios,
recorridos y gráficas de ambas.
Ejemplo. Dada la siguiente función, determinar su función
i) f ( x ) = ln ( 2 x − 1)
;
f y f −1.
ii) f ( x ) = ln ( 3 − x )
iii) f ( x ) = ex −2
;
iv) f ( x ) = e3− x
inversa y dar dominio, recorrido y gráfica de
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Las funciones ln x y
diferentes “bases”, por
logb u
y
e
x
lo
podrían
que se
presentarse
expresarían
au donde u = f ( x ) .
con
como
Se verá como se pueden derivar e integrar. Primero se verán
dos formas equivalentes para obtener el valor de la función
logaritmo base " b " en términos del valor de la función
logaritmo natural.
ln u = w
⇒
⇒
u = ew
∴
⇒
logb u = w logb e
logb u = lnu logb e
logb u = v
⇒
elnu = ew
⇒
ln u = v ln b
∴
blogb u = bv
⇒
⇒
ln u = logb u ln b
logb u =
ln u
ln b
Derivada de la función logarítmica con base
y = logb u
; u = f ( x)
∴
u = bv
⇒
" b":
y = lnu logb e
du
dy dx
=
logb e
dx
u
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; u = f ( x)
y = logb u
∴
⇒
y=
ln u
ln b
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du
dy
= dx
dx u ln b
" b":
dy
du
; u = f ( x ) ⇒ ln y = u ln b ⇒ dx =
ln b
y
dx
dy
du
dy
du
ln x ∴
=y
= bu ln b
dx
dx
dx
dx
Derivada de la función exponencial con base
y = bu
Derivada de una función exponencial con una función como
exponente:
y =u
v
;
u = f ( x)
v = g( x)
; ln y = v ln u
⇒
dy
du
dx = v dx + ln u dv
y
u
dx
⇒
⎛ du
⎞
⎜ dx
dy
dv ⎟
v
= u ⎜v
+ ln u
⎟
dx
u
dx
⎜
⎟
⎝
⎠
∴
dy
du
dv
= vuv−1
+ uv ln u
dx
dx
dx
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Fórmulas de integración respectivas:
du
∫ u = ln u + C
u
u
e
du
e
=
+C
∫
bu
∫ b du = ln b + C
u
Nota. La única integral que no se resolverá hasta estudiar los
métodos de integración es la de la función logaritmo.
Ejemplo: Calcular las siguientes derivadas e integrales:
i) y = ln
iii) y = e
1− cos x
1+ cos x
2 x 2 +1
;
(
ii) f ( x ) = logsec 1− x 2
;
iv) f ( x ) = 10
vi) f ( x ) = ∫ csc x dx
;
vii) ∫
(
cos2 2 − x 3
e
x
x
)
dx
)
;
v) y = ( senx )
;
viii) ∫ 56 x dx
cos x
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