INFORMACIÓN GENERAL DEL PROYECTO

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: ALGEBRA MATRICIAL
CONCEPTOS DE MATRICES.
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Resolver
sistemas
de
ecuaciones lineales homogéneos  Determina el resultado de cálculos indicados entre matrices
mediante el uso de las propiedades de las diferentes
y no homogéneos mediante
operaciones.
matrices.
 Soluciona sistemas de ecuaciones mediante métodos matriciales
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
ACTIVIDAD No 1
1. Dadas las matrices A y B
 3 3 7 
A   2 6 2
 4 2 5 
Evalúa:
a) A2  B 2
y
b) 3 A  BA
-9 5 -8
B   3 -7 1 
 -1 2 6 
c) A2  5B
d) A  A2  B  B 2
2. Suponer que A, B, C, D y E son matrices de los siguientes tamaños:
A
B
C
D
E
(4X5)
(4X5)
(5X2)
(4X2)
(5X4)
Determinar cuáles de las siguientes expresiones de matrices están definidas. Para las que estén
definidas, proporcionar el tamaño de la matriz resultante.
a) BA
b) AC+D
c) AE+B
d) AB +B)
e) E(A+B)
f) E(AC)
g) ET A
h) (A T + E) D
3. Dadas las matrices:
 2 3 0 1 
 2


 
4
 , C    5 1 4  2 , y , D   1 
3
0
 1 0 0  3
 3


 
Realizar la siguientes operaciones (Si alguna de ellas no se puede justifique el porque):
1
A  
4
1
a. A  B
b. A  2 A
c. C  3D
3
2 
 0
, B  
 3
1  2
d . AB
e. DA
f . 3BC
g. B t
h.
At  B t
i. 2 At  3B t
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j. ( A  B )T
k . ( AD ) t  2 B
l. ( A  B )( AD )
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4. Dadas las siguientes matrices, calcular la adjunta de cada una de ellas:
1 8
A

 4 3
1
5 
4

C
 6 2 
5

13 9 
B

 2 7
9
8 7


E 3
2 2 


 4 3 4 3 
 4 1 5
D   7 7 2 
 6 3 1 
5. Sean las Matrices
 4

B
5

3 7 4
A

6 2 8 
1
2
1
1 2
 8 5
E
 7 2

 3 6
 4 4 11
D

12 5 0 
5 

3 
4
4
0 
2 3

5 4 
3
1
c) 4C – 2D
Calcule: a.) 5A
b) A+B
g) E 1 y
h) La traspuesta de A y B
G 1
 2 3 3 
2
C
0 5
8 
 4 15 2 
G   1 2 1 
 5 6 3
d) A2
e) (A-2B)(3C+D)
f) D C t B
6. Hallar los valores de K para los cuales la matriz es singular
7. a) Hallar la inversa de
 1 3  2


A   2 5  3
  3 2  4


y
1 3 4


B   2 5 3 
1 4 9


2 1
1 0
 e I  
 .
 1 2
0 1
8. Hallar p y q para que se verifique la ecuación: A 2  pA  qI  (0) siendo A  
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9. Calcular el determinante y la inversa de cada una de las siguientes matrices:
1 1 1


A   2 1 2
0 0 1


2 1

0 0
D
2 1

0 0

 1 1 2


B  2 1 1
 3 0 3


1

0
E 
0

0

1 1

1 0
1 1

0 1 
1 0
 2


C  1
2 2
 3  3 1


3

2
F 
5

2

2 0 0

3 0 0
0 2 1

0 0 3 
4 2 7

3 3 2
7 3 9

3 2 3 
10. Si
2
3
1
B=
y
1
0
C=
2
a
b
c
d
encuentre una matriz A =
0
1
p
4
11. Para que valores de p, la matriz 
, tal que AB = C
3 
 es no invertible.
1 p
12. Comprobar que las matrices A, B y C satisfacen las siguientes relaciones:
3
1
2
A=
–3
B=
5
2
4
(AB) -1 = B-1 A -1
0
4
0
3
(ABC) -1 = C -1 B -1 A -1
y
2
2
C=
0
calcular A 3 y A2 – 2 A + I
13. Sea A la matriz :
4
1
14. Calcule las determinantes para las siguientes matrices:
3 6 9
A = 0 0 -2
-2 1 5
0 3 1
B= 1 1 2
3 2 4
1 -3 0
C = -2 4 1
5 -2 2
3
D= 2
4
2
3 0
2 0
1 -3
10 3
5
-2
0
2
3 -2 7 4
E= 1 0 7 3
-2 -1 0 -4
6 2 -8 0
15. Comprobar que det(AB) = detA x detB:
A=
2 1 0
3 4 0
0 0 2
B=
1 -1 3
7 1 2
5 0 1
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
16. Resuelva los siguientes sistemas por la Regla de Cramer:
a) x + y - z = 2
b) 4x + 5y
=2
x - y + z=3
11x + y + 2 z = 3
-x + y + z = 4
x + 5y + 2 z = 1
d)
x1 - 3x2 + x3 = 4
2x1 - x2
= -2
4x1
-3x3 = 0
g) 5x1 + 2x2 + 5x3
8x1 - 6x2 + 11x3
4x1 + 3x2 + 2x3
e) 3x
x
x
- y + z = -2
+y + z = 0
+ y + 2z = -1
c) x - 4y + z = 6
4x - y + 2 z = - 1
2x + 2y – 3 z = - 20
f) x + 2y + z = 1
2x + 2y + 3z = 3
x + 4y
= 0
= 8
= 13
= 3
ACTIVIDAD No 2
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método de Gauss Jordán:
 x  y  2z  3

a.  5 x  y  z  9
 x  y  z  1

2 x  y  2 z  2

b.  x  y  z  2
 5 x  2 y  3z  2

 x  y  z  15

c.  2 x  2 y  z  3
 x  y  z  1

 1
 2 x  3 y  z  18

d .  x  y  2 z  29
1
 3
 4 x  3 y  15 z  2
2 x  5 y  z  2

e.  x  6 y  4 z  1
 x  y  4z  2

 x  y  2z  t  4
 x  2y  z  t  4

f. 
 2 x  3 y  z  2t  8

 x y zt 6
 4 x1  5 x2  3x3  4 x4  3x5  2
8 x  10 x  6 x  2 x  15 x  5
2
3
4
5
 1
 x  x  9 x  x  21x  11
2
3
4
5
 1
20
g. 
4
5

x  x  x 3  8 x 4  x 5  4
 3 1 3 2
1

x1  x2  x3  x4  x5  

20

BIBLIOGRAFÍA



APUNTES DEL DOCENTE
LARDNER Robin W. MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA ECONOMIA,
EDITORIAL Prentice Hall.
INTERNET: www.matematicasbechillarato.com
www.vitutor.com
www.matebrunca.com
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: ALGEBRA MATRICIAL
APLICACIONES DE MATRICES.
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Resolver situaciones problémicas
del
contexto
socioeconómico,
usando métodos matriciales.


Modela una situación problémica utilizando matrices.
Utiliza los métodos matriciales vistos, para dar solución de a las
modelaciones
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Resolver los siguientes problemas :
1. Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañía de muebles .Por cada juego de alcoba
en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado les pagan $100. A continuación están
las matrices A y B que representan sus producciones en enero y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.
Producción
Enero
A
Caoba Cedro Pino 
José 
2
0
3 

Pedro
 1
1
4 
Arturo 

2
3 
 1
Salario/
Unidad
X
Producción
Febrero
B
Caoba Cedro Pino 
 1
2
3 

 2
0
3 


1
4 
 2
Calcule las siguientes matrices y decida que representan.
a) AX
b) BX
c) A  B
D)
Caoba 500
Cedro
Pino
400
100
 A  B X
2. En el I Congreso de Educación el precio por participante fue de $500 para público en general, $400 para
estudiantes y $300 para socios. La asistencia al congreso está dada por la matriz A:
socio
 140

A   79


est.
20
13
gral.
80 

28 

110
0
39 
No. de personas
Nivel Pr imaria
Nivel Secundaria
Nivel Pr eparatoria
Escribe una matriz B que represente el precio de la entrada al congreso por tipo de persona. Luego, calcula la matriz
AB, e interpreta el resultado. Calcula también el ingreso total del congreso.
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GUÍA DE ESTUDIO No. 2
3. La producción total de equipos de video en las tres plantas de una compañía extranjera durante el tercer trimestre
y el cuarto trimestre de 2010 está dada por las matrices Q y R, respectivamente, donde:
Modelo : A B C D
Modelo : A B C D
32 28 46 28 Fábrica I
Q   40 36 58 0  Fábrica II
50 20 20 88  Fábrica III
No. de aparatos
Tercer trimestre
 21 18 30 10  Fábrica I
R   41 30 40 4  Fábrica II
 42 20 18 74  Fábrica III
No. de aparatos
Cuarto trimestre
Los costos de producción en dólares por aparato son respectivamente para los modelos A, B, C y D: 10, 18, 21 y 45.
Los precios de venta en dólares por aparato para cada modelo son respectivamente: 15. 27, 35 y 78. Calcula:
a) Los costos totales para cada fábrica en el tercer trimestre de 2010.
b) Los ingresos totales para cada fábrica en el tercer trimestre de 2010.
c) Los costos totales para cada fábrica en el cuarto trimestre de 2010.
d) Los ingresos totales para cada fábrica en el cuarto trimestre de 2010.
e) Los costos totales para cada fábrica en el segundo semestre de 2010.
f)
Los ingresos totales para cada fábrica en el segundo semestre de 2010.
g) Las utilidades totales para cada fábrica en el tercer trimestre de 2010.
h) Las utilidades totales para cada fábrica en el cuarto trimestre de 2010.
i)
Las utilidades totales para cada fábrica en el segundo semestre de 2010.
4. Una empresa electrónica produce transistores, resistores y chips de computadora. Cada transistor requiere 3
unidades de cobre, 1 unidad de zinc y 2 unidades de vidrio. Cada resistor requiere 3, 2 y 1 unidades de los tres
materiales y cada chip requiere 2, 1 y 2 unidades de esos materiales, respectivamente. ¿Cuántos elementos de
cada tipo pueden fabricarse con las siguientes cantidades de materiales: 1,010 unidades de cobre, 500 unidades
de zinc y 610 unidades de vidrio? Resuelve el problema por el método de reducción de matrices (matriz
aumentada).
5. Un fabricante de artículos para oficina hace dos tipos de clips, uno estándar y el otro extra grande. Para hacer mil
clips estándar se requieren 1/4 hora de una máquina cortadora y 1/2 hora de una máquina que le da la forma a
los clips. Mil clips extra grandes requieren 1/3 hora de cada máquina. El gerente de producción tiene 4 horas
disponibles por día en la máquina cortadora y 6 horas por día en la máquina formadora. ¿Cuántos clips de cada
tipo puede fabricar? Resuelve el problema por el método de la matriz inversa.
6. Una empresa fabrica dos productos, I y II, usando diferentes cantidades de las tres materias primas P, Q y R.
Sean las unidades de materias primas usadas en los productos dadas por la matriz
P Q R
 3
A
 2
2
5
4  Pr oducto I
1  Pr oducto II
Suponga que la empresa produce estos dos productos en dos plantas, X, Y. Sean los costos de las materias primas(
por unidad) en las dos localidades X y Y dados por la matriz B
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X
Y
10 12 
B   8 7 
 6 5 
P
Q
R
Hallar los costos totales de materias primas para los dos productos elaborados en las plantas X y Y.
7. Un fabricante de zapatos los produce en color negro, blanco y café para niños, damas y caballeros. La capacidad
de producción ( en miles de pares) en la planta de Manizales esta dada por la matriz
Hombres Mujeres
 30
 45

 14
Niños
34
20
26
20
16
25
 Negro
 Café

 Blanco
La producción en la planta de Bucaramanga está dada por
Hombres Mujeres
 35
 52

 23
30
25
24
Niños
26
18
32
 Negro
 Café

 Blanco
a. Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapato en ambas plantas.
b. Si la producción en Manizales se incrementa en un 50% y la de Bucaramanga en un 25%, encuentre la matriz
que representa la nueva producción total de cada tipo de calzado.
8. Amanda, María y Marta compiten en un torneo en el que deben correr, nadar y andar en bicicleta determinadas
distancias. La rapidez promedio de cada una aparece en la siguiente tabla:
AMANDA
MARÍA
MARTA
CARRERA
10
7½
15
NATACIÓN
4
6
3
CICLISMO
20
15
40
RAPIDEZ
MILLAS / HOR
Marta llega primero, con un tiempo total de 1 hora 45 minutos.
Amanda llega segunda, con un tiempo total de 2 horas 30 minutos.
María llega tercera, con un tiempo total de 3 horas.
Calcula la distancia en millas de cada parte de la competencia.
9. En un experimento sobre una dieta a seguir, se desea alimentar a una persona con una dieta diaria formada por
una combinación de tres alimentos dietéticos comerciales: MiniCal, Silueta y Bajo Peso. Para este experimento es
importante que la persona consuma exactamente 500 mg de potasio, 75 g de proteína y 1150 unidades de vitamina D
cada día. En la siguiente tabla se ven las cantidades de esos nutrientes en una onza de cada producto:
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MINICAL
SILUETA
BAJO PESO
Potasio ( mg )
50
75
10
Proteína ( g )
5
10
3
Vitamina D ( unidades)
90
100
50
¿Cuántas onzas de cada alimento debe ingerir la persona cada día para cumplir con exactitud las indicaciones del
nutricionista?.
10. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 Kg de jamón serrano y
12 litros de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite de oliva cuesta el triple
que 1 litro de leche; y que 1 kg de jamón serrano cuesta igual que 4 litros de aceite de oliva más 4 litros de leche.
11. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, drama y terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las de drama representan el 30% del total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las de drama más el 60% de las de terror representan la mitad del total de las
películas.
Hay 100 películas más de drama que de infantiles.
Halle el número de películas de cada tipo
12. Un almacén distribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en
cajas de 250 gramos y su precio es de 100 euros. La marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180
euros y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo en un precio de 330 euros. El almacén vende a un cliente de 2.5
kilogramos de este producto por un importe de 890 euros. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, ¿cuántas
cajas de cada tipo se han comprado?.
13. Para un determinado partido de fútbol se colocan a la venta 3 tipos de localidades: Oriental, General y Tribuna.
Se sabe que la relación entre los precios de las localidades de Tribuna y General es y entre General y Oriental es
. Si al comprar tres localidades, una de cada clase, se pagan en total 78 dólares, ¿cuál es el precio de cada
localidad?
14. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños.
Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además si hubiera acudido
una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños fueron a la excursión?
PROBLEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES POR CRAMER Y OTRO MÉTODO
1. Un agricultor tiene 200 acres de terreno adecuado para los cultivos A, B, Y C. El costo respectivo por acre es de
$40, $60 y $80 y dispone de $ 12.600 para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A, requiere20 Horas de trabajo;
Cada acre de cultivo B, 25 horas de trabajo y cada acre del cultivo C, 40 horas de trabajo disponibles. Si desea
utilizar toda la tierra cultivable, todo el presupuesto y toda la mano de obra disponible. ¿Cuántos acres debe plantar
de cada cultivo?
2. Un viajero que acaba de regresar de Europa gasto $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios en Francia y $ 20 diarios
en España por concepto de hospedaje. En comida gasto $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y 20 diarios
en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gasto un
total de $340 en hospedaje, 320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países.
Calcule el número de días que paso el viajero en cada país o muestre que los registros son incorrectos debido a que
las cantidades gastadas no son compatibles una con la otra.
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Bibliografía: Algebra Lineal Sexta edición Stanley I. Grossman Pagina 25 Ejercicio 49
3. MEZCLAS DE FERTILIZANTES. Lawnco produce tres grados de fertilizantes comerciales. Un saco de 100 libras
de fertilizantes de grado A contiene 18 libras de nitrógeno. 4 libras de fosfato y 5 libras de potasio. Un Saco de 100
libras de fertilizantes de grado C contiene 24 libras de nitrógeno, 3 libras de fosfato y 6 libras de potasio. ¿Cuántos
sacos de 100 libras de cada uno de los tres grado de fertilizantes se deben producir si
a) Se dispone de 26.400 libras de nitrógeno, 4.900 libras de fosfato y 6.200 libras de potasio y se utilizan todos los
nutrientes?
PROBLEMAS DE INSUMO PRODUCTO
1. (Modelo insumo – producto) La tabla 3 da la interacción entre dos sectores en una economía hipotética.
TABLA 3
INDUSTRIA
I
II
Industria
I
II
Insumos
Primarios
20
50
56
8
30
16
DEMANDAS
FINALES
24
22
PRODUCCION
TOTAL
100
80
a) Encuentre la matriz insumo – producto A
b) Si en 5 años las demandas finales cambian a 74 en el caso de la industria I y 37 para la industria II, ¿Cuánto
deberá producir cada industria a fin de satisfacer esta demanda proyectada?
c) ¿Cuáles serán los nuevos requerimientos de insumos primarios en 5 años para las dos industrias?
2. (Modelo insumo – producto) La interacción entre los dos sectores de una economía hipotética están dados en la
tabla 4
TABLA 4
Agricultura
Agricultura
240
Bienes
Manufacturados
270
Bienes
Manufacturados
Mano de
Obra
300
90
60
90
Demandas
Finales
90
Producción
Total
600
60
450
a) Encuentre la matriz insumo – producto A
b) Suponga que en 3 años la demanda de productos agrícolas decrece a 63 unidades y se incrementa a 105
unidades para bienes manufacturados. Determine el nuevo vector de producción que satisfaga estas nuevas
demandas
c) ¿Cuáles serán los nuevos requerimientos de mano de obra para cada sector?
3. (Modelo insumo – producto) La tabla 5 da la interacción entre los dos sectores de una economía hipotética
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TABLA 5
INDUSTRIA
P
Q
60
75
Demandas
Finales
65
Producción
Total
200
Industria
P
Industria
80
30
40
150
Q
Mano de
60
45
Obra
a) Determine la matriz insumo – producto A
b) Encuentre la matriz de producción si las demandas finales cambian a 104 en el caso de P y a 172 para Q.
c) ¿Cuáles son los nuevos requerimientos de mano de obra?
4. (Modelo insumo – producto) La interacción entre los dos industrias P y Q que integran una economía hipotética
están dadas en la tabla 6
TABLA 6
INDUSTRIA
Demandas del
Producción
P
Q
Consumidor
Total
Industria
46
342
72
460
P
Industria
322 114
134
570
Q
Mano de
92
114
Obra
a) Encuentre la matriz insumo – producto A
b) Determine la matriz de producción si las demandas de los consumidores cambian a 129 en el caso de P y a 213
para lo que respecta a Q.
c) ¿Cuáles son los nuevos requerimientos de mano de obra?
5. (Modelo insumo – producto) La interacción entre tres industrias P, Q y R está dada por la tabla 7
TABLA 7
INDUSTRIA
Demandas
Producción
P
Q R
Finales
Total
Industria
20 0
40
40
100
P
Industria
40 40 100
20
200
Q
Industria
0
80 40
80
200
R
Insumos
40 80 20
Primarios
a) Construye la matriz insumo – producto
b) Determine las nuevas producciones de P, Q y R si las demandas finales cambian en el futuro a 70, 50 y 120
respectivamente.
c) ¿Cuáles serán entonces los insumos primarios para las tres industrias?
6. Repita el ejercicio No. 19 para los tres sectores de la economía dados en la Tabla 8, si las demandas finales son
68,51 y 17 para P, Q y R respectivamente
Ing. Edgar Vargas Ruíz y Lic. Claudia Carolina Poveda Medina
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TABLA 8
INDUSTRIA
P
Q R
22 80 76
Industria
P
Industria
Q
Industria
R
Insumos
Primarios
Demandas
Finales
42
Producción
Total
220
88
40
38
34
200
66
60
57
7
190
44
20
19
7. Supongamos un modelo de insumo-producto para un sistema económico formado por solo dos industrias: una
minera y una eléctrica. La industria eléctrica gasta 500 u.m. de su producción en gastos propios, le vende a la minera
350 u.m. y destina a demanda final 150 u.m. de su producción. La industria minera vende carbón a la eléctrica por
valor de 320 u.m. invierte en su consumo propio 120 y destina a demanda final 120. ¿Cómo debe variar la producción
de ambas industrias para satisfacer una demanda final de 250 u.m. de electricidad y 200 u.m. de carbón?
INSUMOS
IND
MINERA
120
INSUMOS IND
ELECTRICA
DEMANDA
FINAL
TOTAL
PRODUCCION
PRODUCCION
320
120
560
IND. MINERA X
PRODUCCION
350
500
150
1000
IND. ELECTRICA Y
8. Dada la matriz de insumo producto determina la matriz de producción si la demanda final para el gobierno fuera
150 para Agricultura 200 y para manufactura 300 para la para manufacturas.
INDUSTRIA
GOBIERNO AGRICULTURA MANUFACTURAS
INDUSTRIA
DEMANDA
FINAL
GOBIERNO
400
200
200
200
AGRICULTURA
200
400
100
300
MANUFACTURAS
200
100
300
400
OTROS
200
300
400
9. Dada la siguiente matriz de insumo – producto.
INDUSTRIA
Grano
Fertilizante
Industria: Grano
Fertilizante
Ganado Vacuno
Otros
18
27
54
9
30
30
40
20
Ganado vacuno
Demanda final
Total
45
60
60
15
15
3
26
-
108
120
180
-
Encuentre la matriz de producción (con entradas redondeadas decimales), si la demanda final a cambia a 50 para
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granos, 40 para fertilizante y 30 para ganado vacuno.
Matemáticas para administración y economía. Décima Edición. Pearson Educación, 2003 escritor por Escrito por Ernest F. Haeussler,
Richard S. Paul. Ejercicio 3 página. 294.
10. Dada la siguiente matriz de insumo – producto.
INDUSTRIA
Gobierno
Agricultura
Industria: Gobierno
Agricultura
Manufactura
Otros
400
200
200
200
Manufactura
Demanda final
Total
200
100
300
400
200
300
400
-
1000
1000
1000
-
200
400
100
300
Encuentre la matriz de producción con entradas en miles de dólares, determine la matriz de producción para la
economía, si la demanda final cambia a 300 para gobierno, 350 para agricultura y 450 para manufactura. Redondee
las entradas al entero de miles de millones de dólares más cercano.
Matemáticas para administración y economía. Décima Edición. Pearson Educación, 2003 escritor por Escrito por Ernest F.
Haeussler,Richard S. Paul. Ejercicio 5 página. 294.
ANALISIS DE FLUJO DE TRÁFICO
1. CONTROL DE TRÁFICO La siguiente figura muestra el flujo de tráfico cerca del centro cívico de una ciudad
durante las horas pico de un día hábil. Cada calle puede aceptar un máximo de 1000 vehículos por hora sin
congestionarse. El flujo se controla con semáforo instalado en cada uno de los cinco cruceros.
AVENIDA 6
AVENIDA 7
700
CALLE 3
600
500
X2
X1
CALLE 4
X6
600
X3
X5
700
800
X4
700
600
a. Establezca un sistema de ecuaciones lineales que describa el flujo
b. Resuelva el sistema de ecuaciones diseñado en a.
c. Suponga que la parte de la avenida 7 comprendida entre las calles 3 y 4 será cerrada por reparación y proporcione
un posible flujo de tráfico que garantice un flujo continuo.
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2- PROBLEMA DE ANÁLISIS DE FLUJO DE TRÁFICO
El centro de la ciudad Gótica se compone de calles de un solo sentido y se ha medido el flujo de tráfico en cada
intersección. En el área de la ciudad que aparece en la figura 2.19, las cifras representas el No. Promedio de
vehículos por minuto que entran y salen de los puntos de intersección A, B, CyD durante las horas de trabajo.
a) Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones para hallar los flujos posibles.
b) Si el tráfico es regulado en CD manera que F4=10 vehículos por minuto, ¿Cuáles serán los flujos promedios
en las otras calles?
10
20
10
F1
5
A
B
F2
F3
15
F4
15
D
10
C
15
BIBLIOGRAFÍA





APUNTES DEL DOCENTE
LARDNER Robin W. MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA ECONOMIA,
EDITORIAL Prentice Hall.
SOOTANG Tan. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA. EDITORIAL
Thomson.
HAEUSSLEEL Ernesto y PAUL Richard. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN Y
ECONOMÍA
INTERNET: www.matematicasbechillarato.com
www.vitutor.com
www.matebrunca.com
Ing. Edgar Vargas Ruíz y Lic. Claudia Carolina Poveda Medina
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
UNIDAD ACADÉMICA
ASIGNATURA: ALGEBRA MATRICIAL
UNIDAD TEMÁTICA
COMPETENCIA
Solucionar desigualdades con dos
variables haciendo análisis gráfico
de éstas.
SISTEMAS DE DESIGUALDADES
RESULTADOS DE APRENDIZAJE


Utiliza el método gráfico para solucionar una desigualdad con dos
incógnitas.
Soluciona sistemas de inecuaciones utilizando métodos gráficos.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1. Resuelva el sistema de desigualdades:
𝑦 < 3𝑥 + 2
}
{
𝑦 < −3𝑥 + 2
2. Graficar el siguiente sistema de desigualdades, y determinar la región que es la solución
para ellas. Muestre las coordenadas de los vértices del polígono.
|𝑥| < 5
a. { 𝑦 > −3 }
𝑦 < −2𝑥 − 1
𝑥 + 3𝑦 > 7
c. {3𝑥 − 2𝑦 > −1}
4𝑥 + 𝑦 < 17
𝑦 ≤4−𝑥
𝑦 ≥ 2𝑥 − 4
b. {
}
𝑥≥0
𝑦≥0
d. {
𝑥 ≥ 𝑦2
}
𝑥 ≤𝑦+2
3. Graficar el siguiente conjunto de desigualdades y determinar la región solución.
{
|𝑦 − 4| < 1
}
𝑦 <𝑥+3
4. Grafique el sistema de desigualdades. Muestre las coordenadas del polígono de la región
factible; encuentre el máximo y mínimo para la función dada en esta región.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 𝑦
Lic. Claudia C. Poveda Medina y Lic. Juan Fernando Rueda Ariza
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|𝑦| < 5
{𝑦 < −2𝑥 + 5}
𝑦 < 2𝑥 + 5
5. Una cadena hotelera construirá un hotel. Ellos necesitan tener al menos el doble de
cuartos dobles que los king-size. Saben que es mejor tener no más de 50 cuartos dobles; y
un máximo de 70 cuartos en total. El hotel planea rentar los cuartos con king-size por
$49.00, y los cuartos dobles por $78.00. ¿Cuál será la mejor combinación de cuartos; para
maximizar las ganancias en un día dado? ¿Cuánto es este dinero? Redondear las
respuestas.
x > 2y
x < 50
x + y < 70
y>0
x>0
6. “Metal and Works Company” produce dos piezas metálicas distintas por fundición para un
contratista. Las piezas son etiquetadas A y B, respectivamente. Para fundir las piezas se
necesita un metal especial. Ellos usan un porción especificada de este metal. Para la pieza
A ellos funden 3 porciones; y para la pieza B son 2 porciones. Debido a limitantes en el
proceso y el equipo; no pueden usar más de 60 porciones, y menos de 40, con las piezas
combinadas A y B en un lote de producción. En cuanto a la pieza B: se requiere producir
entre 10 y 20 por lote. El costo de producción para las piezas a es $110.00, y para las
piezas B es $100.00. ¿Cuál será la mejor combinación en el número de piezas para cada
una; si se pretende minimizar el costo? ¿Cuál será este costo?
Lic. Claudia C. Poveda Medina y Lic. Juan Fernando Rueda Ariza
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