ONDAS EN UNA COLUMNA DE AIRE

La columna de aire abierta no necesariamente tiene que estar definida
físicamente de la manera mostrada en la Fig. 4.17. Por ejemplo, en la Fig. 4.18,
tenemos una columna de aire abierta, comprendida entre los puntos P y Q del
tubo. Efectivamente, dado que tenemos agujeros en los puntos P y Q , la
presión del aire en esos lugares debe quedar constante e igual a la presión
externa. P y Q funcionan de este modo como los extremos abiertos de la
columna de aire encerrada. La Fig. 4.18 corresponde al caso de una flauta
idealizada, donde P es la embocadura y Q el primer orificio destapado.
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FUNDAMENTOS
Lo que sigue es una trascripción textual de parte del capítulo 4 del libro
(se incluyen, pasadas por un escáner, las figuras originales): ROEDERER,
JUAN. ACÚSTICA Y PSICOACÚTICA DE LA MÚSICA. RICORDI. 1997.
Pág. 144.
“…
4.4 Ondas estacionarias longitudinales en una columna
de aire ideal
Consideremos un cilindro largo, muy angosto, abierto en ambos extremos (Fig.
4.17). El aire en su interior puede ser considerado como un medio elástico
unidimensional (Sec. 3.2) a través del cual pueden propagarse ondas
longitudinales. En cualquier punto dentro del cilindro, la presión podrá
momentáneamente aumentar, disminuir u oscilar considerablemente con
relación a la presión atmosférica normal externa; las paredes rígidas y la inercia
de la columna de aire mantienen el necesario equilibrio de fuerzas (3.1) que se
originan a causa de las diferencias de presión. Pero en los extremos abiertos P y
Q no podrán ocurrir variaciones de presión grandes, ni siquiera en un intervalo
de tiempo muy breve, porque no hay nada en esos puntos para equilibrar las
diferencias de presión que se generan. Estos puntos funcionan por lo tanto como
nodos de presión, y cualquier onda sonora que cause una perturbación en el
interior del tubo y que se propague a lo largo de éste, será reflejada en cualquiera
de los extremos abiertos. De aquí que nos hallemos ante una situación análoga a
la de una cuerda vibrante, caso tratado en la Sec. 4.1: las ondas sonoras
generadas en el tubo quedan atrapadas dentro del mismo y los únicos modos
estables de vibración posibles son ondas estacionarias longitudinales
con nodos de presión en los extremos abiertos P y Q (Fig. 4.17).
Obsérvese que, de acuerdo con lo discutido en la sección 3.3, pág. 98, los
extremos abiertos serán vientres de desplazamiento, es decir, puntos con
máxima amplitud de vibración.
En un tubo abierto real de diámetro finito, los nodos de presión no
ocurren exactamente en el extremo abierto sino a una pequeña distancia
afuera («corrección del extremo» [end correction] , pág. 156). Las relaciones
que se dan abajo son sólo aproximaciones.
A partir de la Fig. 4.17 y de la relación (3.6) obtenemos las frecuencias de los
modos de vibración de un tubo cilíndrico abierto:
fn =
n
⋅ 20,1 ⋅ t A = nf1
2L
f1 es la frecuencia fundamental
1
n = 1,2,3,…
(4.5)
f1 =
10,05
tA
L
La figura 4.19 muestra cómo los modos vibratorios de ondas
estacionarias «encajan» dentro de un tubo tapado de manera tal que
siempre aparezca un nodo de presión en el extremo abierto y un vientre
de presión en el extremo cerrado. Para la frecuencia fundamental,
obtenemos la relación
(4.6)
f1 =
1
5,03
⋅ 20,1 ⋅ t A =
tA
4L
L
(4.7)
(L está en metros; tA es la temperatura absoluta [3.5]). Esto es
exactamente la mitad de la frecuencia fundamental (4.6) de un tubo
abierto de la misma longitud. En otras palabras, un tubo cilíndrico
tapado ideal suena una octava más abajo que un tubo similar abierto en
ambos extremos.
Con respecto a los modos más altos de vibración de un tubo cilíndrico
tapado, un examen de la Fig. 4.19 (y la conversión de longitud de onda
a frecuencia) revela que sólo son posibles múltiplos impares de la
frecuencia fundamental f1 (4.7):
Recuérdese que tA es la temperatura absoluta del aire en el tubo, dada
por la ecuación (3.5). En las ecuaciones (4.5) y (4.6) L debe expresarse
en metros. Considerando que la longitud de onda λ1 del tono
fundamental está relacionada con la longitud L del tubo, teniéndose que
λ1 = 2 L (Fig. 4.17), y examinando la Fig. 3.8, se puede obtener una
idea de las longitudes típicas de los tubos labiales abiertos de órgano, y
de flautas y flautas dulces como función de la frecuencia. Un
incremento en la frecuencia (altura) requiere una disminución en el
largo. La relación (4.6) muestra también el efecto de la temperatura del
aire sobre la altura fundamental de una columna de aire cilíndrica en
vibración. Un incremento en la temperatura produce un aumento en la
frecuencia (tono más agudo). Es así como las flautas y los tubos de
órgano deben afinarse de acuerdo con la temperatura de la sala.
Afortunadamente, la frecuencia fundamental (4.6) está controlada por la
temperatura absoluta tA, que aparece bajo una raíz cuadrada. Ambos
hechos hacen que la influencia de las variaciones de temperatura sobre
la altura sea pequeña, pero suficiente como para ser motivo de
preocupación, como bien lo saben flautistas y organistas.
Veamos ahora el caso de un cilindro estrecho tapado en un extremo
(Fig. 4.19). Notamos que, mientras en el extremo abierto P la presión
debe permanecer constante e igual a la del aire exterior (nodo de
presión), en el extremo cerrado Q la presión interna puede aumentar o
disminuir sin restricción. Efectivamente, en Q aparece un vientre de
presión. Esto es más fácil de entender cuando se visualiza el movimiento
vibratorio real de los puntos del medio. Es evidente que debe haber un
nodo de vibración para todos los elementos componentes de aire cercanos
a Q : la tapa del tubo evita que esos elementos puedan oscilar
longitudinalmente. Según lo explicado en la sección 3.3, tal nodo de
vibración corresponde a un vientre de presión.
f1, f3 = 3f1, f5 = 5f1, . . .
(4.8)
Las frecuencias 2 f 1, 4 f 1, 6 f 1,... están prohibidas - sus modos de
vibración no pueden ser sostenidos de manera estable en un tubo
cilíndrico tapado ideal. En otras palabras, los armónicos de un tubo tapado
son los armónicos impares de su fundamental.
El clarinete es el ejemplo más familiar de un instrumento que se
comporta de manera muy similar a un tubo cilíndrico tapado. La
embocadura con la caña funciona como extremo tapado, la campana o el
primer orificio destapado del tubo como extremo abierto. Por ello, la
altura fundamental de una nota tocada en el clarinete está una octava
más baja que la nota que corresponde a una columna de aire del mismo
largo, tocada en una flauta.
Los órganos incluyen varios juegos de tubos tapados. Una de las
razones es el ahorro de dinero y de espacio: los tubos abiertos graves
son muy largos (según la relación [4.6], un tubo abierto de altura C1
tiene un largo de 5,3m. El mismo tubo, tapado en un extremo, sólo
necesita tener un largo de 2,65m.) Desde luego, en esto hay algo más
allá del mero costo: un tubo cerrado produce un sonido de muy diferente
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timbre al emitido por un tubo abierto de igual frecuencia fundamental
(menos brillante, más oscuro).
relación de números enteros; si bien en el rango de frecuencias más
bajas (cerca de la fundamental) ellos corresponden bastante bien a los
modos de vibración de un tubo abierto de la misma longitud L, para las
frecuencias más altas ellos se aproximan a los de un tubo cilíndrico
cerrado, de largo L. Dicho de otra manera, los modos de vibración son
inarmónicos.
3.2 Velocidad de propagación, longitud de onda y
potencia acústica
El último caso que trataremos aquí es el de un tubo cónico (muy
estrecho), tapado en el extremo P (Fig. 4.20). La determinación de los
modos de vibración requiere un análisis matemático complejo. Los
resultados pueden sintetizarse simplemente: un tubo idealizado estrecho,
cónico y cerrado en la punta tiene los mismos modos de vibración que
un tubo abierto, del mismo largo. En otras palabras, valen las relaciones
(4.5) y (4.6). Un cono (estrecho) truncado (Fig. 4.21), cerrado en el
extremo P, tiene una serie de modos de vibración que no guardan
Pág. 90
“…
Volvamos al caso de ondas longitudinales, tal como una onda sonora
en el aire. Los puntos del medio vibran en sentido paralelo a la
dirección de la propagación, y no es fácil representar gráficamente sus
posiciones reales. Por esta razón es más conveniente representar las
3
ondas sonoras como oscilaciones de presión. La figura 3.6 (la hilera
inferior) muestra los desplazamientos de los puntos en un modelo de
medio de propagación unidimensional, cuando una onda longitudinal
pasa a través de él.
En una onda sonora sinusoidal la presión en cada punto oscila
armónicamente alrededor de un valor normal (la presión atmosférica
normal en ausencia de perturbación) (Fig. 3.7). En un lugar como el A,
todos los puntos del medio se han acercado lo más posible entre sí
(máximo incremento de la presión, puntos P en la Fig. 3.6); en un punto
como B ellos se han separado entre sí al máximo (máxima disminución
de la presión, puntos Q en la Fig. 3.6). La variación media de presión
Δp
es igual a la amplitud de la variación de presión dividida por √2 (=
1,41).”
Obsérvese que los puntos exhiben su máxima acumulación (es decir,
máxima presión) y su máxima rarefacción (o sea, mínima presión) en
los lugares donde sus desplazamientos son cero (puntos P y Q ,
respectivamente). Por otra parte, en los lugares donde sus
desplazamientos son máximos, las variaciones de presión son cero. Esto
significa que las variaciones de presión de una onda sonora están 90°
fuera de fase con relación a la oscilación de los puntos: las variaciones
máximas de presión (positivas o negativas) ocurren en lugares donde los
desplazamientos de los puntos del medio son nulos; recíprocamente, los
desplazamientos máximos de los puntos ocurren donde las variaciones
de presión pasan por cero.
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