TEMA 5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS

CURSO 2007-2008 (1)
TEMA 5
INSTALACIONES HIDRÁULICAS
MECÁNICA DE FLUIDOS
5.4.5 Formulación por Alturas
5.4.4 Formulación por Caudales
5.4.3 Resolución
5.4.2 Condiciones de Contorno
5.4.1 Ecuaciones Fundamentales
5.4 Modelo Matemático de una instalación hidráulica
5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas
5.3.1 Funciones y Tipos
5.3 Válvulas
5.2.3 Problemas Básicos en tuberías
5.2.2 Secciones no circulares. Diámetro Hidráulico
5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach
5.2 Pérdidas de carga en tuberías
5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica
5.1.1 Definición y Modelado de una instalación hidráulica
5.1 Generalidades
5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS
INDICE TEMA 5
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (2)
MECÁNICA DE FLUIDOS
5.1 GENERALIDADES
CURSO 2007-2008 (3)
CURSO 2007-2008 (4)
Elemento: Dispositivo con una única entrada y
salida de flujo.
Nodo: Punto de unión de varias líneas o de una
línea con el exterior.
Linea: Conjunto de elementos de la instalación
por los que circula un determinado caudal.
Para obtener unas ecuaciones que representen
su comportamiento una instalación hidráulica
está compuesta por líneas conectadas en unos
puntos denominados nudos o nodos.
Modelado:
(HB)01=60-20.q012
0m
0
q01
V1
30 m
1
a
V2
3
q10
q02
q23
4
L24=50 (m)
D24=0.3 (m)
ε=0.3 (mm)
q24
L12=20 (m)
D12=0.4 (m)
ε=0.3 (mm)
2
L2a=40(m)
D2a=0.3 (m)
ε=0.3 (mm)
30 m
Una instalación hidráulica o de transporte de fluidos es un conjunto de elementos
interconectados cuya misión es transportar un determinado fluido desde los puntos de
almacenamiento y/o producción hasta los de consumo, en una cantidad y condiciones de servicio
determinadas.
Definición:
5.1 Generalidades-5.1.1 Definición y Modelado de instalaciones hidráulicas
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (5)
hD (m)
0 (m)
0
a
V
b
q01
c
1
C2
C1
e
f
q13
q12
2
d
B1
3
ƒ Cambios de sección (Boquillas, ensanchamientos y estrechamientos).
ƒ Curvas.
ƒ Válvulas.
¾ Piezas especiales.
¾ Tuberías. (Los más representativos por importancia y número).
Elementos: Los elementos más comunes que forman parte de una instalación:
‰ Elementos Activos. Transforman energía del fluido en mecánica o viceversa (Hm). Las
máquinas hidráulicas (i.e.: bombas y turbinas) pertenecen a este tipo.
‰ Elementos Pasivos. El fluido que los atraviesa sufre únicamente una pérdida de energía
mecánica (hL).
5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (6)
‰
‰
j
qij
En el caso de una tubería hL=hL(q,µ,ρ,ε,L,D).
hL =h L (q, µ, ρ, ε,Geometría )
Elementos Pasivos: En la relación entre pérdidas y caudal hL=hL(q) suele intervenir además
del caudal también otros parámetros característicos del fluido (µ y ρ), la geometría y el
material (rugosidad ε) del elemento:
i
Elementos Activos: Se le suele denominar Curva Característica Hm=Hm(q) y suele
depender del tipo de máquina y de algunos parámetros fundamentales de ésta tales como el
diámetro y la velocidad de giro del impulsor en el caso de las turbomáquinas hidráulicas.
Todo elemento de una instalación posee una ecuación que liga Hm (activos) o hL (pasivos) con
el caudal q (velocidad media) del flujo que los atraviesa.
5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (7)
Tubería:
Válvulas:
‰
‰
i
i
qij
j
qij
D, L y ε
j
K = K (θ)
K = K (Re , L D, ε D )
La relación hL=hL(q,µ,ρ,ε,Geometría) es similar a la relación entre K y unos parámetros
adimensionales Π1, Π2,...,Πk obtenidos a partir de los dimensionales dependientes
(q,µ,ρ,ε,Geometría)
Siendo hk una altura de energía cinética característica del elemento (entrada o salida). En el caso
que existan dos velocidades medias es posible definir dos K según la que se considere. Ambos
están relacionados (vi·Ai= vj·Aj =q).
hL
K=
hK
En lugar de la relación hL=hL(q,µ,ρ,ε,Geometría) se hallará una relación entre parámetros
adimensionales que representa el mismo fenómeno. Para ello se definirá Coeficiente
Adimensional de Pérdidas.
5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (8)
Numéricamente. Mecánica de Fluidos Computacional (CFD).
¾
Experimentación.
Analíticamente. Escasos casos en régimen laminar.
¾
Análisis Diferencial:
Normalmente se combinan análisis numéricos con resultados experimentales.
‰
‰
Respuesta: Es necesario resolver el flujo en el elemento (v y p):
Pregunta: ¿cómo se determina la relación entre el coeficiente adimensional de pérdidas o la
ecuación característica de un elemento y el resto de parámetros.
R
v2
K
2
hL = K ⋅ hK = K ⋅
=
⋅
q
2g 2g ⋅ A 2
1
424
3
Conocido K para un determinado caudal las pérdidas de carga se pueden obtener como:
5.1 Generalidades-5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica (IV)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (9)
5.2 PÉRDIDAS DE CARGA EN TUBERÍAS
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (10)
B j = H j + (hk ) j = H j + α j ⋅
Bi = H i + (hk )i
2g
v 2j
v i2
= Hi + αi ⋅
2g
Bi − (hf )ij = B j
Ecuación de Bernoulli
Tubería de sección circular de diámetro D, radio R y longitud L.
H i − H j = (hf )ij
vi=vj=q/A (Continuidad)
αi=αj (Flujo Completamente desarrollado)
‰
Hipótesis: En las tuberías se considerará que el flujo está completamente desarrollado.
Normalmente en las instalaciones las tuberías son de gran longitud (LD<<<L).
El coeficiente de pérdidas en una tubería (conducto de sección constante). Son los
elementos más numerosos e importantes de una instalación.
5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (11)
L 4
(hf )ij = ⋅ ⋅ tW
Dγ
L ⋅ Pw
L 4
Hi − H j =
⋅ tW ⇒ H i − H j = ⋅ ⋅ tW
γ⋅A
D γ
Para relacionar las pérdidas de carga con el caudal (velocidad
media) es necesario obtener una relación entre éste último y tw
 pi p j  L ⋅ Pw
(hi − h j ) +  −  =
⋅ tW
γ  γ⋅A
 γ
Por la simetría la tensión cortante en la
pared es igual en todo el perímetro
mojado Pw=π·D
Pw
γ ⋅ A ⋅ (hi − h j ) − L ⋅ ∫ tW ⋅ dPW + (pi − p j ) ⋅ A = 0
βi=βj (Flujo Completamente desarrollado)
vi=vj=q/A (Continuidad)
Pw
= γ ⋅ L ⋅ A ⋅ senϕ − L ⋅ ∫ tW ⋅ dP + (pi − p j ) ⋅ A
ρ ⋅ q ⋅ (β j ⋅ v j − β i ⋅ v i ) =
Ecuación de Cant. de Movimiento (X)
5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (12)
(hf )ij
Relación de Darcy-Weisbach. Se puede
demostrar que f=f(Re,e/D).
r =R
=−
∂H
f (Re ) = 64 Re
Expresión de Hagen-Pouseuille.
Regimen Laminar (Re<2300)
4µ
8µ
q
⋅
=
−
⋅v
2
R π⋅R
D
γ
  r 2 
  r 2 
q
2
⋅
⋅ R 2 ⋅ 1−    ⇒ u (r ) =
⋅ 1−   
u (r ) = −
2
4 µ ∂x
π ⋅R   R  
  R  


R
∂H H i − H j
γ ⋅π ∂H
8µ
4
q = ∫ u (r )⋅ 2 π ⋅ dr = −
⋅
⋅R ⇒ −
=
=
⋅q
4
∂x
L
8 µ ∂x
γ ⋅ π ⋅R
0
128 ⋅ L ⋅ ν
=
⋅q
4
g ⋅π⋅D
du
dr
(hf )ij
tW = µ ⋅
u (R ) = 0
1 d  du 
∂H
γ⋅
= µ ⋅ ⋅ r ⋅

∂x
r dr  dr 
‰
Regimen Laminar (Re<2300): La relación entre q y tw ó f(Re,ε/D) mediante la
resolución de la ecuación diferencial del flujo:
8 ⋅ tW
f =
ρ ⋅v2
L 4
L v2
= ⋅ ⋅ tW = f ⋅ ⋅
D γ
D 2g
Se va a introducir un parámetro adimensional f, conocido como factor de fricción de
Darcy definido como:
5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (13)
‰
RÉGIMEN
LAMINAR
Tuberías Lisas
Zona
Hidráulicamente
Semirugosa
Zona Hidráulicamente Rugosa
Zona Hidráulicamente Lisa
RÉGIMEN TURBULENTO
Regimen Turbulento (Re>4000): La relación entre el caudal q (v) y tw o f=f(Re,ε/D) se va
a obtener a partir de resultados experimentales (Nikuradse 1933 y Moody 1944) presentados
en el Ábaco de Moody.
5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (IV)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (14)
‰
‰
‰
2
2
f = 0.0056 + 0.5 ⋅ Re −0.32
Zona Hidráulicamente Lisas (Drew, Koo y Mc Adams).
  ε D 
f = 0.25 log

  3 .7  
Zona Hidráulicamente Rugosas (Von-Karman).
  ε D 5.74 
f = 0.25 log
+
0 .9  
  3.7 Re 
Zona Hidráulicamente Semirugosas (PSAK):
Abaco de Moody: Existen expresiones analíticas alternativas al ábaco de Moody, Las que
habitualmente se utilizarán son:
5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach (V)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (15)
(hf )ij
L Pw
= ⋅
⋅ tW
γ A
Las pérdidas de carga quedaría como:
 pi p j  L ⋅ Pw
(hi − h j ) +  −  =
⋅ tW
γ  γ⋅A
 γ
Tubería de sección NO circular de área A y perímetro Pw. Introduciendo un valor
promedio de la tensión cortante en la pared:
(hf )ij
L 4
=
⋅ ⋅ tW
DH γ
4⋅ A
DH =
Pw
Esta expresión semejante a la obtenida para una tubería
circular.
Diámetro Hidráulico (DH) de una tubería
de sección no circular:
‰
5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (16)
8 ⋅ tW
f =
ρ ⋅v2
f (ReH ) = C ReH
‰
Regimen Turbulento (Re>4000): Para tuberías de sección no circular, el ábaco de
Moody es válido simplemente tomando en lugar del diámetro DH
C es un coeficiente (no tiene porque ser constante) diferente para cada tipo de sección y que
puede obtenerse integrando las ecuaciones diferenciales. (i.e.: sección anular C=C(Ri/Re)).
‰
Regimen Laminar (Re<2300): El factor de fricción de Darcy para tuberías de sección
circular no sigue la relación f=64/ReH, Siendo ReH =v.DH/ν.
En general en régimen laminar la relación del factor de fricción de Darcy es de la forma:
RESPUESTA:
PREGUNTA: ¿Son los resultados obtenidos para tuberías de sección circular útiles para las no
circulares, sustituyendo el diámetro por el diámetro hidráulico?
Si el factor de Darcy se define como:
5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (17)
(hf )ij
K ij
Rij
Régimen Laminar (Re<2300): f=C/ReH (i.e.: sección Circular C=64).
Régimen Turbulento (Re>4000): f=f(ReH,ε/DH). Ábaco de Moody.
‰
‰
Rij


L  v2 
f ⋅L
2


 ⋅
⋅
q
⋅
=  f ⋅
=
ij
2 
2
D
g
H  ij

 2g ⋅ DH ⋅ A  ij
1424
3
1442444
3
K ij
 L  v2  8⋅f ⋅L 
= f ⋅  ⋅
=  2 5
⋅  ⋅ q ij2
 D  ij 2g  π ⋅ D ⋅ g  ij
1
424
3
1442443
El factor de fricción de Darcy viene dado por:
Sección No Circular
‰
(hf )ij
Sección Circular
‰
Resumen: Las pérdidas de carga hf que sufre un caudal q de fluido circulando por una tubería, de
longitud L, diámetro D y rugosidad ε se expresan como:
5.2 Pérdidas de carga en tuberías/5.2.2 Secciones no circulares. DH (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (18)
Calcular el número de Reynolds (Re)ij.
i
Lij (C)
Dij (C)
qij (C)
(hf)ij=Hi-Hj (?)
j
III. Calcular la pérdida de carga con la expresión de Darcy (hf)ij=Rij.q2ij.
II. Calcular el factor de fricción f=f(Re,ε/D)ij.
I.
(1) Conocido el caudal qij y el diámetro Dij, calcular la pérdida de carga (hf)ij
Hi −Hj = (hf )ij = Rij ⋅ qij2
En una instalación compuesta por una única tubería de una determinada longitud L y de un
material de rugosidad ε es posible establecer 3 Problemas:
5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (19)
Se comienza con f(0)ij=fVK(ε/D)ij y con este valor calculamos R(0)ij
II.
Lij (C)
Dij (C)
qij (?)
(hf)ij=Hi-Hj (C)
j
Repetir los pasos III y IV hasta que se satisfaga un criterio de convergencia.
V.
i
Calcular f(1)ij=fPSAK(Re(0),ε/D)ij.
IV.
III. Calcular q(0)ij=[(hf)ij / R(0)ij]1/2 y después Re(0)ij
De la ecuación de Darcy qij=[(hf) / R]ij1/2. Como Rij depende de (Re)ij hay que
resolver iterativamente.
I.
(2) Conocidos el diámetro Dij y la pérdida de carga (hf)ij, calcular el caudal qij que circula por la
tubería:
(hf )ij =Rij ⋅ qij2
5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (20)
Lij (C)
Dij (?)
Repetir los pasos II y III hasta que se satisfaga un criterio de convergencia.
IV.
(hf)ij=Hi-Hj (C)
j
Calcular D(1)ij=[(8·f(0)·L·q2 )/(hf·p2·g)]ij0.2.
III.
qij (C)
Se comienza con D(0)ij y con este valor se calcula Re(0)ij y f(0)ij=fPSAK(Re(0),e/D(0))ij.
II.
i
Despejando de la ecuación de Darcy el diámetro Dij=[(8·f·L·q2 )/(hf·π2·g)]0.2ij. Esta
ecuación hay que resolverla iterativamente ya que f depende del diámetro.
I.
(3) Conocidos la pérdida de carga (hf)ij y el caudal qij, calcular el diámetro de la tubería Dij.
(hf )ij =Rij ⋅ qij2
5.2 Pérdidas de carga en tuberías-5.2.3 Problemas Básicos (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS
MECÁNICA DE FLUIDOS
5.3 VÁLVULAS
CURSO 2007-2008 (21)
CURSO 2007-2008 (22)
100 (m)
0
D01=0.2 (m)
L01=1000 (m)
A
1 V2 a
D12=0.2 (m)
L12=500 (m)
2
Proteger a la instalación de sobrepresiones y/o subpresiones.
‰
55 (m)
Regular caudales y presiones.
‰
3
B
RED
POLÍGONO
Da3=0.1 (m)
La3=500 (m)
Q2
Aislar tramos de la instalación.
‰
Misión: controlar el funcionamiento de la instalación
40 (m)
Las válvulas son elementos que juegan un papel importante en el funcionamiento de la
instalación.
5.3 Válvulas-5.3.1 Funciones y tipos (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS
Válvula de mariposa
Válvula de bola o esfera
Diferentes Válvulas de asiento
5.3
5.3.1 Funciones y tipos (II)
5.5 VálvulasVálvulas/5.5.1
MECÁNICA DE FLUIDOS
Válvula de compuerta
CURSO 2007-2008 (23)
CURSO 2007-2008 (24)
⇒ (hL )V
KQ
K (θ)
2
2
(
)
q
K
q
⋅
=
θ
⋅
=
Q
2
24
g2
A3
⋅4
1
completamente abierta (θ=100%).
A medida que se cierra (θ disminuye) va aumentando hasta hacerse infinito cuando la
válvula se halla completamente cerrada (θ=0%).
KQ(θ) igual que K(θ), tiene un valor mínimo (KQ)0 cuando la válvula se halla
Para evitar trabajar con KQ(θ) y K(θ) , que toman valores tan elevados cuando la válvula se
halla casi cerrada, se introduce otro coeficiente (dimensional) denominado Coeficiente de
Flujo KV(θ):
q
q2
⇒ (hL )V =
KV (θ) =
[KV]=Caudal/(Presión)1/2
2
γ ⋅ KV (θ)
γ ⋅ (hL )V
‰
‰
al caudal.
KQ(θ) (dimensional [KQ]=Altura/Caudal2) se denomina Coeficiente de Pérdidas referido
(hL )V
K (θ) =
(hK )V
Como cualquier otro elemento una válvula posee un coeficiente adimensional de pérdidas
K. Para un tipo concreto de válvula K es función del grado de apertura (θ)
5.3 Válvulas-5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (25)
Relacionado con K como:
Cd (θ) =
1 + K (θ)
1
Se suele trabajar con otro coeficiente adimensional denominado Coeficiente de descarga
Cd(θ) que se define como:
v
Cd (θ) =
2g ⋅ (hL )V + v 2
El coeficiente KV(θ) presenta su valor máximo, KV0, cuando se halla completamente abierta
(θ=100 %) y vale cero cuando se halla completamente cerrada (θ=0 %).
En algunas válvulas, destinadas a control, su fabricante proporciona KV(θ) mediante una gráfica
semejante a la siguiente:
5.3 Válvulas-5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (26)
5.4 MODELO MATEMÁTICO DE UNA INSTALACIÓN
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (27)
‰
Bi − B j = (hL )ij − (H m )ij
Ecuación de Bernoulli en cada
línea (NL).
i
a
Ejemplo:
RED
V
d
c
j
+ (hf )bc + (hf )dj
T
(hL )ij = (hV )ia
(H m )ij = (HB )ab − (HT )cd
b
qij
RED
j
∑ qij + Qi = 0
Ecuación de Continuidad en cada nodo (ND).
H i − H j = (hL )ij − (H m )ij
Qi
qki
qij
i
qim
m
Ejemplo: q ij + q im − q ki − Qi = 0
k
RED
j
Nota: En las instalaciones hidráulicas suele despreciarse los términos de energía cinética del
Bernoulli.
‰
Ecuaciones Fundamentales: Las ecuaciones que rigen el comportamiento en Régimen
Estacionario de una red hidráulica son:
5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.1 Ecuaciones Fundamentales
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (28)
‰
‰
hA (m)
Q0
A
0
Q4
POBLACIÓN
a
V
4
b
q01
q41
q24
1
q15
q12
q13 d
q25
B
B1
3
5 Q5
hB (m)
2
Q2
RED 2
Q3
(NNC=ND-NC) Qi conocido y Hi desconocida. Nudo interior (1 ó 2) o nudo extremo de
consumo (población u otra red 4).
(NC) Hi Conocida y Qi desconocido. Depósitos (0 y 3) o descargas del fluido en un punto
donde se conoce la presión (3).
Condiciones de Contorno: Asociadas a cada nodo de la red existen dos magnitudes
hidráulicas Hi (altura piezométrica) y Qi (caudal externo). Una de ellas debe ser fijada:
5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.2 Condiciones de Contorno
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (29)
NNC Alturas piezométricas Hi (∀ i∈Nodos de Altura Desconocida).
NC Caudales externos Qi (∀ i∈Nodos de Altura Conocida).
‰
‰
‰
‰
Formulación en caudales. incógnitas básicas=Caudales en la líneas (qij).
Formulación en alturas. incógnitas básicas=Alturas piezométricas desconocidas (Hi).
Existen dos planteamientos:
Estas incógnitas no se hallan simultáneamente. A partir de las ecuaciones fundamentales
es posible obtener un número de ecuaciones que relacionan un número incógnitas básicas y
a partir de su resolución obtener el resto de incógnitas de las magnitudes hidráulicas
desconocidas.
NL Caudales qij de cada una de las líneas de la instalación (∀ ij∈Líneas)
‰
Modelo Matemático: Conjunto de ecuaciones que representan el comportamiento de la red.
Las ecuaciones fundamentales (Bernoulli y Continuidad) y las características hidráulicas de
cada línea (hL)ij=(hL)ij(qij) y (Hm)ij=(Hm)ij(qij) presentan un sistema de ecuaciones cuyas
incógnitas son las magnitudes hidráulicas desconocidas de la instalación:
5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.3 Resolución
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (30)
‰
‰
‰
L ij
m ij
]
j
∑ qij + Qi = 0
NNC Ecs. Continuidad en nodos de altura piezométrica desconocida.
ij
H i − ∑ λ ij ⋅ (hL )ij − (H m )ij = H j
[
Nc-1 Ecs. Bernoulli entre nodos de altura piezométrica conocida.
ij
ij
∑ λ ⋅ [(h ) − (H ) ] = 0
NM Ecs. Bernoulli en las mallas de la red
Ecuaciones formulación en caudales:
5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.4 Formulación por Caudales (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (31)
hA (m)
Q0
A
0
Q4
POBLACIÓN
a
V
4
b
q01
q41
q24
1
q15
q12
q13 d
q25
B
B1
3
5 Q5
hB (m)
2
Q2
RED 2
Q3
q 24 + q 25 − q12 − Q2 = 0
− q 24 + q 41 + Q4 = 0
− q01 + q13 + q15 + q12 − q 41 = 0
3 Ecs. Continuidad en nodos de altura
desconocida (1, 2 y 4)
(hf )4−1 + (hf )2−4 + (hf )1−2 = 0
− (hf )1−2 − (hf )2−5 − (hf )1−5 = 0
2 Ecs. Bernoulli en las mallas de la
red (1-4-2-1) y (1-2-5-1)
H 5 + (hf )1−5 − (hf )1−3 − (hL )B1 = H 3 + hk 3
H 0 + H B − (hL )V − (hf )b −1 − (hf )1−5 = H 5
2 Ecs. Bernoulli entre nodos de altura
conocida (0, 5 y 3)
Formulación en caudales: Incógnitas (q01,q13,q15,q41,q12,q24 y q25)
5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.4 Formulación en Caudales (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (32)
‰
‰
j
j
∑ qij + Qi = 0 ⇒ ∑ Fij (H i , H j ) + Qi = 0
Sustituyendo en NNC Ecs. Continuidad en nodos de altura piezométrica
desconocida.
H i − H j − (hL )ij + (H m )ij = 0 ⇒ q ij = Fij (H i , H j )
Despejando los caudales de NL Ecs. Bernoulli en las líneas de la red.
Ecuaciones formulación en alturas:
5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.5 Formulación en Alturas (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS
CURSO 2007-2008 (33)
hA (m)
Q0
A
0
Q4
POBLACIÓN
a
V
4
b
q01
q41
q24
1
q15
q12
B1
3
Q3
3 Ecs. Continuidad en nodos de altura
desconocida
q 25 = F25 (H 2 )
q 24 = F24 (H 2 , H 4 )
q12 = F12 (H1, H 2 )
q 41 = F41 (H1, H 4 )
q15 = F15 (H1 )
q13 = F13 (H1 )
q01 = F01 (H1 )
7 Ecs. Bernoulli en líneas
F24 (H 2 , H 4 ) + F25 (H 2 ) − F12 (H1, H 2 ) − Q2 = 0
− F24 (H 2 , H 4 ) + F41 (H1, H 4 ) + Q4 = 0
− F01 (H1 ) + F13 (H1 ) + F15 (H1 ) + F12 (H1, H 2 ) − F41 (H1, H 4 ) = 0
q13 d
q25
B
5 Q5
hB (m)
2
Q2
RED 2
Formulación en alturas: Incógnitas (H1, H2 y H4)
5.4 Modelo Matemático de una instalación-5.4.5 Formulación en Alturas(II)
MECÁNICA DE FLUIDOS