Factorización de Polinomios

Factorización de Polinomios
Polinomios Reducibles e Irreducibles
Si P(x) se puede escribir como producto de polinomios tales que, su grado sea mayor que 0 y menor que el
grado de P(x), se dice que P(x) es reducible. En caso contrario se dice que P(x) es irreducible. Establecemos
que los únicos polinomios irreducibles en R[x] son los de grado uno y los de grado dos que no tienen raíces
reales.
Descomposición factorial en R[x]
Dado el polinomio P(x), se denomina factorización a la descomposición factorial del mismo, siendo sus factores:
el coeficiente principal y polinomios irreducibles mónicos.
Una forma de factorizar un polinomio es hallar las raíces reales de dicho polinomio. Para un polinomio de
grado n, con n raíces reales se factoriza así:
P(x)= an.(x - x1).(x - x2). (x - x3).(x - x4).(x - x5)……(x - xn) donde
an es el coeficiente principal del polinomio
x1, x2, x3, x4, ….xn son las n raíces reales de P(x)
Para ello, serán de gran utilidad los siguientes teoremas:
Teorema 1: Si P(x) tiene coeficientes enteros y tiene alguna raíz entera a, entonces a divide al término
independiente.
Teorema 2 (Teorema de Gauss): Si P(x) tiene coeficientes enteros y tiene alguna raíz fraccionaria irreducible,
q/p ,entonces p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal.
En el caso de polinomios de grado 2, las raíces se hallan aplicando la fórmula resolvente.
Otros “instrumentos” que puede ayudar en la factorización son: el cuadrado y cubo de un binomio, la
diferencia de cuadrados y el Factor común. Este último es de gran utilidad cuando el polinomio no tiene
término independiente.
Un “factor común” es "algo" (número, letra, etc.) que está multiplicando en todos los términos de una
expresión algebraica. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos).
Además, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números o letras que están
multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".
Por ejemplo, en 2.x + 2.x2 + 2, está el factor común "2"; porque en todos los términos está
multiplicando el número 2. En 2x + 3x2 + 4x3, está el factor común "x"; porque en todos los términos
está multiplicando la letra "x".
Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los
términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede
estar "oculto" entre ellos. Cuando son números enteros distintos, el factor común es el MÁXIMO
COMÚN DIVISOR (es el mayor número por el cual podamos dividir a todos los coeficientes). Y cuando
una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor
exponente con que aparecen
Una vez identificado el o los factores comunes, se divide a todos los términos por ese factor/factores.
La división entre números ya es conocida. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se
hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras
iguales".
Observación Importante: Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales, en coincidencia con la
cantidad de divisores de grado uno que el polinomio tiene.
Ejemplo 1: Factorizar P(x)= 4x2 +2x4 - 6x3
El factor común es 2x2, entonces divido todos los términos por 2x2.
El resultado de esa división es: 2 + x2 - 3x y el resto es 0P(x)
Entonces el polinomio escrito como suma de términos queda escrito ahora como un producto de la
siguiente manera: P(x)= 4x2 + 2x4 - 6x3 = 2x2. (2 + x2 - 3x). Es decir, quedó factorizado.
Ejemplo 2: Factorizar S(x)= x2 -6x +9= (x-3)2 (cuadrado de un binomio)
Ejemplo 3: Factorizar T(x)= x3 +9x2 +27x+27= (x+3)3 (cubo de un binomio)
Ejemplo 4: Factorizar M(x)= x2 - 25= (x-5).(x+5) (diferencia de cuadrados)
Ejemplo 5: Factorizar N(x)= 12x3 -8x2 –x+1
Usando los teoremas para hallar las raíces se puede ver que las posibles raíces racionales son: ±1,
±1/2, ±1/3, ±1/4, ±1/6, ±1/12. Haciendo los cálculos correspondientes se encuentra que 1/2 y
-1/3
son raíces de N(x), ya que N(1/2)=0 y N(-1/3)=0
Como es de grado 3, debe tener a lo sumo tres raíces reales o una sola. Como se encontraron dos,
debe haber una tercera raíz real que puede ser irracional o nuevamente ser una de las ya halladas.
El procedimiento a seguir, usando conceptos desarrollados anteriormente, es el siguiente:
Sabiendo que x=1/2 es raíz de N(x), podemos afirmar que N(x) es divisible por (x-1/2). Por el algoritmo
de la división: N(x)= (x -1/2) . C(x)
[R(x)=0p(x)]
C(x) se puede determinar usando la Regla de Ruffini:
12
½
12
-8
6
-2
-1 1
-1 -1
-2 0

N(x)= (12x2-2x-2).(x-1/2)
Como 12x2-2x-2 es un polinomio reducible, se debe factorizar repitiendo el procedimiento anterior.
Se sabe que x=-1/3 es raíz de N(x) y en consecuencia de C(x).
Aplicando nuevamente la Regla de Ruffini:
12
-1/3
12
-2
-4
-6
-2
2
0

N(x)= (12x2-2x-2).(x-1/2)= (12x-6) . (x+1/3) . (x-1/2)
Para que quede factorizado falta asegurar que todos los factores
sean mónicos. El primer factor no lo es, para hacerlo Mónico se
debe sacar el factor 12:
N(x)= (12x-6) . (x+1/3) . (x-1/2)= 12.(x-1/2) . (x+1/3) . (x-1/2)
Ahora sí, el polinomio está escrito en forma factorizada.
Ejemplo 6: Factorizar W(x)= x6 + 2x5 - x4 - 2x3
Sacando factor común queda: W(x)= x3 . (x3 + 2x2 - x - 2)
Como x3 + 2x2 - x – 2 es reducible hay que buscar sus raíces, teniendo en cuenta teoremas anteriores
las posibles raíces racionales son: ±1 y ±2
Haciendo los cálculos correspondientes se encuentra que x=-2, x=1 y x=-1 son raíces. Como es de
grado tres, esas serán todas sus raíces.
En consecuencia W(x) factorizado queda:
W(x)= x.x.x.(x-2).(x-1).(x+1)= (x-0).(x-0).(x-0).(x-2).(x-1).(x+1)
Para recordar:
Raíz de un polinomio: Son los valores de la indeterminada que hacen que el polinomio se anule al
especializarlo en dicho valor.
a es raíz de P(x) si P(a)=0
Polinomios mónicos: Son aquellos cuyo coeficiente principal es 1.
Ejercitación:
1. Factorizar los siguientes polinomios:
A(x)  x 2  14 x  49
B(x)  x 2-100
C(x)  x 3-8-6 x 2  12 x
D(x)  -64 x 3  48 x 4-12 x 5  x 6
E(x)  2 x 2  2 x  12
F ( x)  x3  3x 2  4
G ( x)  3x5  6 x 4
H ( x)  x 4  2 x3  5 x 2  6 x
J ( x)  x 2  2
K ( x)  x 6  x 2
I(x)= x4-2 x 3+x 2-8 x-12
L( x)  x 6  7 x 5  16 x 4  12 x 3
M ( x)  4 x 5  8 x 4  15 x 3  23 x 2  11x  15
N ( x)  2 x3  3 x 2  5 x  6