Reglas representación gráfica

Ajustes lineales por aproximación manual. Reglas para una correcta representación gráfica
Para las representaciones gráficas manuales
sobre papel deben tenerse en cuenta los
siguientes criterios (se presenta un ejemplo).
1. Deben rotularse los ejes con el nombre asignado
a la cantidad a representar y sus unidades.
50
2. Debe elegirse la escala más amplia posible en las
subdivisiones del papel disponible, de acuerdo con
los valores numéricos a representar gráficamente.
3. Las cantidades a fijar en las escalas de los ejes
deben ser o bien unidades sucesivas o bien
múltiplos de 2 y de 5.
40
30
¿Están bien tomadas las escalas?
10
4. Ploteado de puntos experimentales. Los puntos
experimentales no deben unirse con líneas
quebradas ni deben dibujarse rectas desde los ejes
hasta el lugar donde hay que situar cada punto
experimental, para eso ya contamos con el propio
entramado del papel gráfico.
Repetimos la pregunta anterior:
¿están bien tomadas las escalas?
5. Para trazar la línea recta de ajuste se empleará
una regla y dicha línea se trazará dejando a un lado
y a otro el mismo número de puntos experimentales
(o en todo caso uno menos a un lado que a otro si
fuesen impares).
No se trata de hacer deliberadamente que la recta
aproximada de ajuste pase por encima de alguno o
algunos puntos experimentales a costa de alejarla
de otros. Para los cálculos exactos contamos con el
procedimiento de mínimos cuadrados.
I (mA)
6,8
7,8
8,5
9,1
9,5
10,4
V (mV)
NO!
NO!
20
I (mA)
2
4
6
8
10
12
V (mV)
50
40
30
20
10
I (mA)
6
7
8
9
10
11
1
V (mV)
15
28
29
37
41
45
Ajustes lineales por aproximación manual. Procesado de la información gráfica.
V  m I b
En el ajuste lineal de nuestro ejemplo tenemos que obtener la
relación entre el voltaje y la intensidad, la cual tendrá la forma
y  m xb
V (mV)
50
48
40
N  48  13  35 mV
N  1  1  2 mV
30
20
D  10.6  6.4  4.2 mA
13
D  0.1  0.1  0.2 mA
6.4
10.6
I (mA)
6
m
7
8
N 35
mV

 8.3333
 8.3333 
D 4. 2
mA
m 
m
m
N 
D
N
D
m 
Ordenada
origen
Pendiente
A. Determinación de la pendiente m
10
I (mA)
6,8
7,8
8,5
9,1
9,5
10,4
9
10
11
(decimales a ajustar posteriormente)
1
N
N  2 D
D
D
El resultado para la pendiente debe expresarse
con tantas cifras significativas como sea preciso
para incluir las décimas: dos en este caso.
m 
V (mV)
15
28
29
37
41
45
Trazamos un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa es la recta de ajuste manual: los
catetos del mismo paralelos a los ejes
coordenados y pasando por puntos próximos
a los valores extremos de nuestros datos (no
es necesario que coincidan exactamente con
esos valores extremos).
Las longitudes de los catetos N, D se
calculan por diferencia.
Errores N, D: dependerán de los errores
de las medidas experimentales. Como N y D
se calculan por diferencia, sus errores se
obtienen sumando los errores del minuendo
y el sustraendo. Ya que la tabla de medidas
experimentales no indica otra cosa,
supondremos que el error en cada medida es
una unidad del orden decimal más ala
derecha.
Error absoluto
1
35
2
 0.2  0.5  0.4  0.9  Una cifra significativa
4.2
4. 2 2
(décimas en este caso)
m  8.3  0.9 
Error relativo
m 0.9

 0.11 (11%)
2
m 8.3
Ajustes lineales por aproximación manual. Procesado de la información gráfica.
En el ajuste lineal de nuestro ejemplo tenemos que obtener la
relación entre el voltaje y la intensidad, la cual tendrá la forma
V  m I b
B. Determinación de la ordenada en el origen b
y  m xb
V (mV)
y
50
40
y0  33
30
20
x0  8.8
x
10
I (mA)
6
7
8
Aplicada a esta elección particular x0, la recta
de ajuste cumple que
y0  m x0  b
9
Ordenada
origen
Pendiente
10
11
I (mA)
6,8
7,8
8,5
9,1
9,5
10,4
V (mV)
15
28
29
37
41
45
La ordenada en el origen es el punto de
corte de la recta de ajuste con el eje vertical,
es decir, el valor de y cuando x = 0. En
principio bastaría con prolongar la recta
hasta llegar a dicho eje vertical para ver cuál
es el valor del punto de intersección.
Pero en este caso nuestra gráfica no está
escalada desde x = 0 en adelante
(recuérdese que esto lo hicimos aplicando el
criterio de que la escala debe ser tal que nos
ofrezca la gráfica más amplia posible). Por
eso no “vemos” el origen de coordenadas
(0,0), y calcularemos el valor de b a partir
de la información de la que ya disponemos.
Tomamos un valor x0 de la abscisa
comprendido en el rango de nuestros datos,
vemos qué valor y0 de la ordenada le
corresponde en nuestra recta de ajuste y
calculamos b.
Cálculo el error b aplicando la propagación de errores
b  y0  x0 m  m x0
b  y0  m x0
b  33  8.3  8.8  40.04 mV
b  1  8.8  0.9  8.3·0.1  9.75  10 mV
b   40 310 mV
Ajustes lineales por aproximación manual. Resultados y discusión.
I (mA)
6,8
7,8
8,5
Discusión sobre el resultado.
9,1
El significado físico de la pendiente de la recta de
9,5
ajuste es la resistencia eléctrica de un conductor 10,4
Ecuación de la recta de ajuste de nuestros datos:
y 
V  m I b
m x  b
V  8.3  0.9  I   40  10 

mV
mA
mV
Comparación con ajuste mínimos cuadrados
V  8.3  0.5 I   40  4 
V (mV)
15
28
29
37
41
45
óhmico (la diferencia de potencial entre los dos
extremos
del
conductor
es
directamente
proporcional a la corriente que circula por él). La
aparición de un término independiente distinto de
cero (la ordenada en el origen) puede deberse a un
defectuoso ajuste de cero del voltímetro con el que
se tomaron las medidas de voltaje.
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
-10
-20
-30
-40
-50
Pendiente
m =
m =
Ordenada en origen
8,32685621
0,45586992
Coeficiente de correlación
b =
b =
-39,80486807
3,993959974
r =
0,980644333
4
EJERCICIO
Un pequeño ventilador se conecta a una fuente de tensión regulable y se mide su periodo de
rotación cuando se le aplican diferentes voltajes, obteniendo los resultados que se presentan
en la tabla adjunta. Los voltajes y sus incertidumbres están expresados en voltios, y los
periodos y sus incertidumbres están en milisegundos. Se pide:
V (Volt)
V
T (ms)
T
6,3
7,1
8,6
10,0
11,7
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
31,90
28,30
23,20
19,89
17,33
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
a) Determinar qué relación cuantitativa existe entre la velocidad angular del ventilador y el voltaje aplicado.
¿Se trata de una relación lineal?. Calcule errores en esta determinación y exprese las unidades pertinentes.
b) Determinar cuántas vueltas por segundo daría este ventilador si el voltaje aplicado fuese de 8 voltios.
c) Si en cierto momento la velocidad angular del ventilador es 300 rad/s, ¿cuál es el voltaje aplicado?
5