Cálculo del Coeficiente de Autoinducción

Cálculo del Coeficiente de Autoinducción
Cuando se consideran dos circuitos filiformes C, C 0 una intensidad I circulando por C determina un flujo Φ0 a través de C 0 que es directamente proporcional
a I.
Φ0 = M I
El coeficiente M se denomina coeficiente de inducción mutua y puede determinarse mediante la fórmula de Neumann
I I
µ0
d` · d`0
M=
4π C C 0
r
Puede pensarse en utilizar otro coeficiente (el llamado coeficiente de autoinducción) para caracterizar la proporcionalidad entre el flujo que atraviesa el circuito
C y la corriente I que circula por C y genera dicho flujo; sin embargo, este flujo,
si C es un circuito filiforme, es infinito, la fórmula de Neumann degenera y el
coeficiente de autoinducción se hace por tanto infinito.
A partir de la fórmula de la energı́a de un campo magnetostático generado
por la corriente I circulando por C (Em = 12 LI 2 ), supuesto que C sea un circuito
de sección no nula, puede definirse el coeficiente de autoinducción L como
L=2
Em
I2
La energı́a magnética, supuesto un sistema lineal, es
ZZZ
1
Em =
B · Hdv
2
y teniendo en cuenta que B = ∇ × A puede escribirse
ZZZ
1
Em =
(∇ × A) · Hdv
2
pero como
∇ · (A × H) = H · (∇ × A) − A · (∇ × H)
y ∇ × H = J , entonces
Em
1
=
2
ZZZ
ZZ
1
A · J dv + (A × J ) · dS
2
siendo nula la última integral, debido al decrecimiento en el infinito de A, H,
según, al menos r−2 , r−3 respectivamente. Por lo tanto
ZZZ
1
L= 2
A · jdv
I
C
estando la última integral extendida únicamente al recinto ocupado por el circuito C. En lo que sigue se supone que la corriente I se distribuye uniformemente
sobre cada sección normal de C.
1
Se considera que la sección de conductor es circular y de radio a mucho
menor que el radio de curvatura mı́nimo de la curva media Cm (la curva que
pasa por los puntos medios de cada sección). El vector tangente a ésta es t
y localmente tomamos la recta tangente como eje polar, en torno al cual se
definen las coordenadas ρ, ϕ como es habitual. Se desprecia la contribución a la
variación de A en el conductor de la inducción debida a los puntos lejanos. El
campo B se calcula entonces, para puntos del interior, utilizando el teorema de
Ampere, con la fórmula
2πρHϕ = πρ2 J
I
πa2
µ0 I
B=
ρuϕ
2πa2
J=
dado que
B =∇×A
y que
A = Az (ρ)t
el rotacional queda
1 ∇×A= ρ
uρ
∂
∂ρ
0
∇×A=−
ρuϕ
∂
∂ϕ
0
t
∂
∂z
Az
∂Az
uϕ
∂ρ
por lo que
µ0 I
A=
4π
ρ2
1− 2
a
2
t + Aa
donde Aa es el valor del potencial vector en la superficie de C, que se calculará poteriormente.
Según lo anterior
I
ZZZ Aa
µ0
ρ2
(1)
· d` + 2 2
1 − 2 dv
L=
4π a
a
Cm I
o bien, haciendo
dv = ρdρdϕd`
I
L=
Cm
Z `C
Z a
ρ2
µ0
Aa
d`
1 − 2 ρdρ
· d` +
I
2πa2 0
a
0
I
Aa
µ0
L=
· d` +
`C
8π
Cm I
es decir
(2)
(3)
Φi
µ0 `C
+
I
8π
µ0 `C
L = MCmCi +
8π
El coeficiente MCmCi (a partir de ahora será representado por M ) representa la
inducción mutua entre dos circuitos filiformes: el de la lı́nea media Cm y otra
lı́nea normal a las secciones y que se encuentra en el contorno de C.
El coeficiente M puede evaluarse directamente mediante, por ejemplo, la
fórmula de Neumann, o bien proceder de la siguiente forma, que proporciona un
valor aproximado del mismo, que será suficiente en la mayor parte de los casos.
Para el cálculo de el coeficiente M se desea evaluar Aa
I
d`
µ0 I
Aa =
4π Cm r
L=
3
Se descompone la integral en el resultado de
evaluarla para una zona próxima y otra lejana.
En la primera se considera el campo creado en
P por la intensidad que circula entre los puntos
A, B situados a abscisas curvilı́neas ±`∗ a partir del centro O de la sección correspondiente a
P , de modo que `∗ cumpla a `∗ Rc donde
Rc es el mı́nimo radio de curvatura de Cm. La
integral queda
Z
µ0 It
4π
+`∗
√
−`∗
d`
µ0 It
=
Ash(`∗ /a)
2
2π
+`
a2
µ0 It 2`∗
ln
2π
a
Z `∗
µ0 It
d`
Aa ≈ 2
4π a/2 `
Aa ≈
o bien
Z
d`
µ0 I
Aa ≈
4π `∗ >`>a/2 r
La correspondiente a la zona lejana es
µ0 I
4π
Z
µ0 I
Aa ≈
4π
Z
Aa ≈
`∗ <`
d`
r
de modo que el total queda
`>a/2
de forma que
M=
µ0
4π
ZZ
r>a/2
d` · d`0
r
y
L=M+
4
d`
r
µ0 `C
8π