Tema 4: Elección intertemporal de consumo y el

Tema 4: Elección intertemporal de consumo y el mercado de crédito
Macroeconomı́a 2014
Universidad Torcuato di Tella
Constantino Hevia
Hasta ahora consideramos un modelo estático: Robinson Crusoe nace, trabaja, consume y
muere en el mismo perı́odo. En esta nota comenzaremos a analizar un modelo dinámico de dos
perı́odos. Supondremos que hay muchas familias/consumidores que reciben un ingreso exógeno
(que no depende de su oferta de trabajo) en cada perı́odo, y que deben decidir cuanto consumir
hoy, cuanto ahorrar y cuanto consumir en el futuro. Comenzamos con el caso más simple de
ingresos exógenos ya que nos permite analizar el impacto de cambios en la tasa de interés y del
perfil temporal de ingresos del consumidor sin tener que analizar simultáneamente la oferta de
trabajo. Dejamos el análisis conjunto de la decisión intertemporal de consumo y trabajo para la
próxima nota.
Preferencias
Consideremos el problema de un consumidor que vive por dos perı́odos. El consumidor tiene la
siguiente función de utilidad por consumo c1 y c2 en los perı́odos 1 y 2 respectivamente
U (c1 , c2 ) = u (c1 ) + βu (c2 )
(1)
donde u (c) es creciente y cóncava, y el parámetro β > 0 determina el peso que el consumidor le
asigna a la utilidad futura relativo a la utilidad de presente. Usualmente suponemos que β < 1,
lo que significa que el consumidor es impaciente y valora una unidad de utilidad presente más que
una futura. Al parámetro β lo llamamos el factor de descuento.
La Figura 1 muestra las curvas de indiferencia entre consumo en el perı́odo 2 y consumo en
el perı́odo 1. Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa, reflejando que c1 y c2 generan
utilidad, y son convexas. Los niveles de utilidad están ordenado de tal manera que Ū1 < Ū2 < Ū3 .
La interpretación de una curva de indiferencia convexa es que el consumidor prefiere patrones de
consumo “suaves” a través del tiempo. Por ejemplo, considere dos canastas de consumo (c1 , c2 )
representados por los puntos A y B que generan el mismo nivel de utilidad Ū1 . El punto C es la
canasta de consumo promedio (1/2 de la canasta A y 1/2 de la canasta B) y representa un patrón
de consumo más estable a través del tiempo que las canastas A y B. La preferencia por los patrones
estables de consumo se ve reflejada en que la canasta C genera un nivel de utilidad Ū2 mayor que
Ū1 .
1
Figura 1: Preferencias sobre consumo presente y futuro
Para probar estos resultados analı́ticamente, consideremos una curva de indiferencia asociada
con el nivel de utilidad Ū . Sobre la curva de indiferencia interpretamos a c2 como una función de
c1 , por lo que
Ū = u(c1 ) + βu(c2 (c2 )).
Si derivamos ambos lados de la igualdad con respecto a c1 obtenemos
0 = u0 (c1 ) + βu0 (c2 (c1 ))
dc2
.
dc1
Por lo tanto, la pendiente de la curva de indiferencia satisface
dc2
u0 (c1 )
=− 0
< 0.
dc1
βu (c2 (c1 ))
Si derivamos la expresión anterior una vez más encontramos
"
#
dc2
u00 (c1 )βu0 (c2 (c1 )) − u0 (c1 )βu00 (c2 (c1 )) dc
d2 c2
1
=−
.
d(c1 )2
[βu0 (c2 (c1 ))]2
dc2
dc1 < 0
d2 c2 /dc21
Dado que
y u00 (c) < 0, el término entre corchetes es negativo, lo que implica que la derivada
segunda
es positiva. Esto es, la curva de indiferencia es convexa.
Restricción presupuestaria y dotaciones
Las familias reciben un ingreso exógeno (esto es, que no depende de su esfuerzo laboral) de y1 e
y2 bienes de consumo en los perı́odo 1 y 2 respectivamente. Además, existe un mercado de crédito
donde las familias pueden ahorrar o endeudarse en bonos o activos, a los que llamaremos bt (valores
negativos de bt se interpretan como deuda). Los activos pagan una tasa de interés real rt . Como
en este modelo no existe el dinero, la tasa de interés bruta 1 + rt nos dice cuántas unidades de
2
bienes recibiremos en el perı́odo t + 1 si compramos 1 bono en el perı́odo t. De este modo, si la
familia demanda bt bonos en el perı́odo t, recibirá (1 + rt )bt bienes de consumo en el perı́odo t + 1.
Con esta información construimos las restricciones presupuestarias flujo. A estas restricciones le
ponemos el nombre de “flujo” para diferenciarlas de la restricción presupuestaria intertemporal que
construiremos más abajo. La restricción presupuestaria flujo en el primer perı́odo es
c1 + b1 = y1 + (1 + r0 )b0 .
Del mismo modo, la restricción presupuestaria flujo en t = 2 es
c2 + b2 = y2 + (1 + r1 )b1 .
Como el mundo se acaba al final del perı́odo 2, vamos a imponer la restricción de que los consumidores no pueden morir endeudados (¿quien les va a prestar algo de otro modo?). Esto equivale a
agregar la restricción
b2 ≥ 0.
El ahorro en el perı́odo t, que llamaremos st , consiste en la parte del ingreso total que no se
consume en el perı́odo t:
st = yt + rt−1 bt−1 −
|
{z
}
ingreso total en t
ct
|{z}
consumo en t
El ingreso total es la suma del ingreso exógeno yt más el ingreso financiero rt−1 bt−1 (el interés sobre
los activos que el consumidor compró en el perı́odo anterior). Es importante notar el ahorro st es
una variable flujo y que los activos bt son una variable stock.
Usando la restricción presupuestaria flujo en un perı́odo t arbitrario,
ct + bt = yt + (1 + rt−1 )bt−1 ,
llegamos a la conclusión de que el ahorro es también igual al cambio en el stock de activos del
consumidor,
bt = yt + rt−1 bt−1 − ct + bt−1 ,
|
{z
}
st
por lo que
st = bt − bt−1 .
Evidentemente, la parte del ingreso total que no me consumo la uso para aumentar mi stock de
activos.
3
El problema del consumidor y la restricción presupuestaria intertemporal
Volviendo a la elección de consumo intertemporal, el problema de la familia es
max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1 ,b2
sujeto a
c1 + b1 = y1 + (1 + r0 )b0
c2 + b2 = y2 + (1 + r1 )b1
b2 ≥ 0.
Como en este modelo no hay descendientes, nadie va a querer morir con activos por lo que es
óptimo elegir b2 = 0. De este modo, el problema del consumidor se simplifica a
max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1
sujeto a
c1 + b1 = y1 + (1 + r0 )b0
c2 = y2 + (1 + r1 )b1 .
Para simplificar la exposición aún más, supongamos que los consumidores nacen sin activos,
por lo que b0 = 0 (esto no es para nada esencial y todo lo que sigue lo podemos hacer eliminando
este supuesto). Por lo tanto, el problema del consumidor se reduce a
max u(c1 ) + βu(c2 )
c1 ,c2 ,b1
sujeto a
c1 + b1 = y1
(2)
c2 = y2 + (1 + r1 ) b1 .
(3)
Hay dos formas equivalentes de resolver este problema. La primera es construyendo una sola restricción presupuestaria, a la que llamaremos intertemporal, que resume el conjunto de posibilidades
de consumo de la familia de todos los perı́odos en una sola restricción. En particular, usando la
restricción (2) resolvemos para b1 = y1 − c1 y reemplazamos el resultado en (3) obteniendo
c2 = y1 + (1 + r1 )(y1 − c1 ).
4
Figura 2: Restricción presupuestaria intertemporal
Dividimos por 1 + r1 y ordenamos los términos para llegar a
c1 +
c2
y2
= y1 +
.
1 + r1
1 + r1
(4)
La ecuación (4) es la restricción presupuestaria intertemporal y surge de la posibilidad de
endeudarse o ahorrar la cantidad que se desee a la tasa de interés r1 . De hecho, al reemplazar b1
lo que estamos suponiendo es que b1 puede tomar cualquier valor, ya sea positivo o negativo.
La restricción presupuestaria intertemporal nos dice varias cosas importantes. Primero, cuando
existen mercados de crédito podemos pensar que el consumidor enfrenta una sola restricción presupuestaria. Segundo, bajo esta única restricción presupuestaria intertemporal el valor presente del
consumo (el lado izquierdo de (4)) es igual al valor presente del ingreso (el lado derecho de (4)).1
Tercero, la restricción presupuestaria intertemporal nos dice que el precio relativo del consumo en
el perı́odo 2 en términos de consumo en el primer perı́odo es
dejo de consumir
obtengo
1
1+r1
1
1+r1
1
1+r1 .
Y la razón es la siguiente: si
unidades de consumo en t = 1 e invierto esa cantidad en el bono, mañana
× (1 + r1 ) = 1 bienes de consumo. En otras palabras, el mercado de crédito me
permitió transformar
1
1+r1
unidades de consumo en t = 1 en una unidad de consumo en t = 2. Pero
eso no es otra cosa que la definición de precio relativo. A partir de este razonamiento surge de
inmediato que una suba en la tasa de interés real significa que el consumo futuro se hace más barato
relativo al consumo presente. La Figura 2 muestra la restricción presupuestaria intertemporal en
los ejes (c1 , c2 ). Note que la restricción presupuestaria tiene pendiente − (1 + r1 ) y pasa a través
del punto de dotación inicial (y1 , y2 ).
El problema del consumidor entonces se reduce al de maximizar la utilidad (1) sujeto a la
1
Si los activos iniciales b0 no son cero debemos agregar el término (1 + r0 )b0 del lado derecho de (4).
5
restricción presupuestaria intertemporal (4). El Lagrangiano de este problema es
L = u (c1 ) + βu (c2 ) − λ c1 +
y2
c2
− y1 −
,
1 + r1
1 + r1
donde λ es el multiplicador de Lagrange de la restricción (4). Las condiciones de primer orden son
∂L
= 0 ⇒ u0 (c1 ) = λ
∂c1
∂L
λ
= 0 ⇒ βu0 (c2 ) =
∂c2
1 + r1
y2
∂L
c2
= y1 +
= 0 ⇒ c1 +
∂λ
1 + r1
1 + r1
(5)
(6)
(7)
Sustituyendo (5) en (6) y reorganizando obtenemos
u0 (c1 ) = (1 + r1 ) βu0 (c2 ) .
(8)
La condición (8) es muy importante en macroeconomı́a. Se llama la ecuación de Euler. Distintas versiones de esta ecuación aparecen constantemente en todos los modelos macroeconómicos
dinámicos que usamos. Por eso es importante entender su intuición económica. Consideremos
reducir el consumo en el perı́odo 1 en una unidad para comprar un bono y ası́ consumir más en
el futuro. Recordemos que u0 (c1 ) es el valor marginal de incrementar el consumo en el perı́odo 1
en una unidad. Equivalentemente, una reducción del consumo en t = 1 tiene un costo marginal de
u0 (c1 ). Esa unidad de consumo que dejé de consumir la invierto en un bono que me paga (1 + r1 )
bienes de consumo en t = 2. El valor de un incremento marginal del consumo en el perı́odo 2 es
u0 (c2 ), por lo que el incremento marginal de la utilidad en t = 2 de los (1 + r1 ) bienes adicionales es
(1 + r1 ) u0 (c2 ). Sin embargo, desde el punto de vista del perı́odo 1 (que es cuando dejo de consumir
para comprar el bono) el valor marginal de subir c2 a través de esta estrategia es β (1 + r1 ) u0 (c2 ),
ya que el consumidor es impaciente. Un agente actuará de manera óptima cuando el costo marginal
de bajar el consumo en t = 1 sea igual al beneficio marginal de incrementar el consumo en t = 2.
Esto es, la condición (8) se debe cumplir bajo la elección óptima del consumo.
Con la interpretación de que
1
1+r1
es el precio relativo entre c2 y c1 , notemos que una forma
alternativa de escribir la ecuación de Euler (8) es
βu0 (c2 )
1
=
.
0
u (c1 )
1 + r1
El lado izquierdo de la ecuación es la tasa marginal de sustitución entre c2 y c1 , mientras que el
lado derecho de la ecuación es el precio relativo de c2 en términos de c1 . Por lo tanto, ésta también
es la ecuación usual que nos dice que, en el óptimo, tasas marginales de sustitución deben igualarse
a los precios relativos.
Las incógnitas del problema del consumidor son c1 y c2 . Las condiciones (4) y (8) constituyen un
6
sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, c∗1 y c∗2 : la elección óptima debe satisfacer la restricción
presupuestaria intertemporal y la ecuación de Euler. Las demandas óptimas de consumo presente
y futuro son funciones de la siguiente forma
y2
=
r1 , y1 +
1 + r1
y2
∗
d
c2 = c2 r1 , y1 +
1 + r1
c∗1
cd1
(9)
(10)
¿Por qué las demandas son una función del valor presente de los ingresos en vez de una función donde
y1 e y2 aparecen como argumentos independientes? La razón matemática es que y1 e y2 siempre
aparecen en la forma y1 +
y2
1+r1 .
Además de la matemática, este resultado tiene una importante
intuición económica: el consumo en cada perı́odo no es únicamente una función del ingreso corriente
de ese perı́odo sino una función del valor presente de todos los ingresos, corriente y futuros. Este
resultado, que surge de la posibilidad de usar los mercados de crédito para cambiar el patrón
temporal del consumo de acuerdo a las preferencias del consumidor, es la base de la teorı́a moderna
del consumo. Como veremos más adelante, esta teorı́a del consumo difiere fundamentalmente de la
teorı́a del consumo keynesiana.
Una vez que encontramos las demandas de consumo en cada perı́odo, podemos encontrar la
demanda de activos b1 usando la restricción presupuestaria flujo en t = 1, b1 = y1 − c1 , o bien
b∗1
=
bd1 (r1 , y1 , y2 )
= y1 −
cd1
r1 , y1 +
y2
1 + r1
.
La demanda de bonos no es únicamente una función del valor presente del ingreso. La intuición es
que si el ingreso corriente es muy alto relativo al ingreso futuro, el consumidor tendrá incentivos
a ahorrar parte de ese ingreso para transferir parte de su riqueza corriente hacia el futuro. Esto
implica que la demanda de bonos debe ser creciente en y1 .
La Figura 3 muestra la elección óptima de consumo en tres casos diferentes. El gráfico de la
izquierda nos muestra una situación donde el consumidor elige una canasta de consumo que satisface
c1 < y1 , por lo que el consumo en el primer perı́odo es menor a su ingreso. La diferencia entre
el consumo y el ingreso es la acumulación de activos b∗1 > 0. El ahorro positivo del consumidor
le permite financiar un consumo futuro c2 mayor a su dotación futura y2 . El gráfico del medio
nos muestra la situación opuesta, donde c1 es mayor que y1 . El mercado de crédito le permite al
consumidor financiar ese mayor consumo corriente endeudándose en la cantidad b∗1 = y1 − c1 < 0.
En el segundo perı́odo el consumo c2 es menor al ingreso y2 . La diferencia es el pago del principal
más los intereses de la deuda tomada en el primer perı́odo capturado por el término b∗1 (1 + r1 ) < 0.
Finalmente, el gráfico de la derecha nos muestra una situación donde el consumidor no es ni
acreedor ni deudor: elige consumir su dotación de bienes en cada perı́odo. Note que la existencia
de mercados de crédito le permite al consumidor obtener un nivel de utilidad mayor a si estuviese
forzado a consumir su ingreso exógeno en cada perı́odo.
7
Figura 3: Decisión de consumo intertemporal
Ejemplo: función de utilidad logarı́tmica
Supongamos que la función de utilidad es logarı́tmica
u(c) = ln(c).
En este caso, u0 (c) = 1/c, por lo que la ecuación de Euler (8) viene dada por
1
1
= (1 + r1 )β
c1
c2
o,
c2 = β(1 + r1 )c1 .
(11)
Reemplazando esta condición en la restricción presupuestaria intertemporal y resolviendo para c1
encontramos
c2
y2
= y1 +
1 + r1
1 + r1
β(1 + r1 )c1
y2
c1 +
= y1 +
1 + r1
1 + r1
y2
(1 + β)c1 = y1 +
1 + r1
c1 +
o bien,
1
y2
c1 =
y1 +
1+β
1 + r1
(12)
por lo tanto,
c2 =
β
[y1 (1 + r1 ) + y2 ]
1+β
8
(13)
La demanda de bonos es
bd1 = y1 − c1
1
y2
= y1 −
y1 +
1+β
1 + r1
y2
β
1
.
=
y1 −
1+β
1 + β 1 + r1
o bien
bd1
β
y2
=
y1 −
1+β
β (1 + r1 )
(14)
Como vemos, la demanda de bonos aumenta cuando sube el ingreso corriente y disminuye (o sube
el endeudamiento) cuando sube el ingreso futuro.
Forma equivalente de resolver el problema del consumidor
Arriba mencionamos que habı́a dos maneras equivalentes de resolver el problema del consumidor.
La segunda es escribiendo el Lagrangiano con las dos restricciones presupuestarias flujo (2) y (3).
Llamemos λ1 y λ2 a los multiplicadores de Lagrange de esas dos restricciones. Entonces podemos
escribir el siguiente Lagrangiano
L = u (c1 ) + βu (c2 ) − λ1 [c1 + b1 − y1 ] − λ2 [c2 − y2 − (1 + r1 ) b1 ]
donde la maximización se hace eligiendo consumo presente y futuro, c1 y c2 , y la demanda de
activos b1 . Las condiciones de primer orden de este problema son
∂L
∂c1
∂L
∂c2
∂L
∂b1
∂L
∂λ1
∂L
∂λ2
= 0 ⇒ u0 (c1 ) = λ1
(15)
= 0 ⇒ βu0 (c2 ) = λ2
(16)
= 0 ⇒ λ1 = λ2 (1 + r1 )
(17)
= 0 ⇒ c1 + b1 = y1
(18)
= 0 ⇒ c2 = y2 + (1 + r1 ) b1
(19)
Sustituyendo (15) y (16) en (17) encontramos la ecuación de Euler
u0 (c1 ) = (1 + r1 ) βu0 (c2 ) .
Usando (18) y (19) podemos recuperar la restricción presupuestaria intertemporal
c1 +
c2
y2
= y1 +
,
1 + r1
1 + r1
9
que, junto con la ecuación de Euler, forman el mismo sistema de dos ecuaciones en las dos incógnitas
c1 y c2 que encontramos arriba.
Análisis de cambios en los ingresos y en la tasa de interés
Analizaremos el impacto sobre el patrón de consumo intertemporal de los siguientes cambios:
• Cambio temporario del ingreso: sube y1 e y2 no cambia
• Cambio esperado del ingreso futuro: y1 no cambia e y2 sube
• Cambio permanente del ingreso: suben y1 e y2 en la misma cantidad
• Aumento de la tasa de interés real r1
En todos los casos supondremos que antes del cambio la demanda óptima de bonos era b∗1 = 0, por
lo que el consumidor no era ni deudor ni acreedor. También supondremos que tanto c1 como c2 son
bienes normales. Esto es, el consumidor decidirá demandar más de ambos bienes ante un cambio
que genere un aumento de su riqueza.
Suba temporaria del ingreso corriente: ↑ y1 , ȳ2
La Figura 4 muestra la canasta óptima de consumo cuando el ingreso del perı́odo 1 sube de y1 a ŷ1
y el ingreso en el segundo perı́odo no cambia. La elección óptima inicial es en el punto A, donde el
consumidor no es deudor ni acreedor. Luego del aumento del ingreso corriente, el punto de dotación
se mueve de A hacia B. Llamemos ∆y1 = ŷ1 − y1 > 0 al cambio en el ingreso. Si el consumidor
usase todo ese ingreso adicional para aumentar el consumo en el primer perı́odo, la canasta de
consumo serı́a la del punto B. Sin embargo, como c1 y c2 son bienes normales, el consumidor usará
su mayor riqueza para consumir más de ambos bienes. La canasta de consumo óptima se encuentra
en el punto C, que consiste en incrementar c1 en una cantidad menor a la suba del ingreso ∆y1 . La
diferencia entre los cambios del ingreso y del consumo se asigna a acumular activos para financiar
un mayor consumo futuro. En otras palabras, el consumidor ahorra parte de su mayor ingreso para
suavizar su sendero de consumo intertemporal.
Consideremos el ejemplo con utilidad logarı́tmica. Usando que ∆y2 = 0 y ∆y1 > 0, las demandas
(12), (13) y (14) implican los siguientes cambios para el consumo y el ahorro
∆c∗1
1
∆y2
∆y1
=
∆y1 +
=
< ∆y1
1+β
1 + r1
1+β
β
β (1 + r1 )
[∆y1 (1 + r1 ) + ∆y2 ] =
∆y1 > 0
1+β
1+β
β
∆y2
β∆y1
∗
∆y1 −
> 0.
∆b1 =
=
1+β
β (1 + r1 )
1+β
∆c∗2 =
10
Figura 4: Aumento temporario del ingreso
Naturalmente, si dividimos las ecuaciones anteriores por ∆y1 obtenemos las derivadas parciales de
c1 , c2 y b1 con respecto a un cambio en el ingreso corriente y1 manteniendo constante el ingreso
futuro,
∂c∗1
1
<1
=
∂y1
1+β
∂b∗1
β
=
<1
∂y1
1+β
∂c∗2
β (1 + r1 )
=
>0
∂y1
1+β
Las primera derivada nos dice que un aumento de una unidad del ingreso corriente lleva a un
aumento en el consumo c1 menor a una unidad. La diferencia β/ (1 + β) se ahorra lo que genera
un ingreso adicional en el segundo perı́odo de
β (1 + r1 )
1+β
que se usa para aumentar el consumo futuro.
Suba esperada del ingreso futuro: ȳ1 , ↑ y2
Este caso se muestra en la Figura 5. La dotación de ingresos se mueve del punto A al punto B, con
∆y2 = ŷ2 − y2 > 0 y ∆y1 = 0. Como en el caso anterior, la normalidad de c1 y c2 implica que
la mayor riqueza esperada en el futuro se distribuye en un aumento de los dos consumos c1 y c2 ,
11
Figura 5: Aumento del ingreso futuro
representado por la canasta del punto C. Como el ingreso en t = 1 no cambió, el consumidor debe
endeudarse (b∗1 < 0) para financiar el mayor consumo corriente. Al tener que repagar la deuda en
el futuro, el consumo ĉ2 será menor al ingreso futuro ŷ2 , siendo la diferencia el pago de la deuda
que tomó en el primer perı́odo incluyendo los intereses, b∗1 (1 + r1 ) .
En el ejemplo con utilidad logarı́tmica tenemos
∆c∗1
1
∆y2
∆y2
1
=
∆y1 +
=
>0
1+β
1 + r1
1 + β 1 + r1
β
∆y2
[∆y1 (1 + r1 ) + ∆y2 ] =
>0
1+β
1+β
∆y2
−∆y2
β
∗
∆b1 =
∆y1 −
=
< 0.
1+β
β (1 + r1 )
(1 + β) (1 + r1 )
∆c∗2 =
Suba permanente en el ingreso: ↑ y1 , ↑ y2 en la misma cantidad, ∆y1 = ∆y2
Supongamos que el ingreso del consumidor sube de manera permanente: y1 e y2 se incrementan
en la misma cantidad.2 La intuición que brindamos en los casos anteriores es que el consumidor
busca consumir una canasta de consumo estable a través del tiempo suavizando su perfil de ingresos
temporales a través del mercado de crédito. Por ejemplo, si hay un aumento únicamente del ingreso
2
Si los ingresos aumentasen en la misma proporción en vez de en la misma cantidad, podemos hacer un argumento
similar (aunque no idéntico) al que sigue.
12
Figura 6: Aumento permanente del ingreso ∆y1 = ∆y2 > 0
corriente, el consumo hoy aumenta pero en una cantidad menor a la suba del ingreso. Sin embargo,
cuando la suba del ingreso es permanente, esto es, cuando sube el ingreso corriente y el futuro
en la misma cantidad, ya no hay motivos de cambiar el ahorro pues no cambió el perfil relativo
de los ingresos a través del tiempo. Entonces, es de esperar que el consumo corriente aumente
en aproximadamente la misma cantidad de lo que subió el ingreso. En efecto, como el ingreso
futuro sube en la misma cantidad que el ingreso presente, no será necesario cambiar el ahorro para
financiar un mayor consumo futuro. La Figura 6 muestra esta situación. Al subir el ingreso de
manera permanente, el consumidor podrá aumentar su consumo de ambos perı́odos en la misma
cantidad. Puesto que el ingreso y consumo corrientes suben aproximadamente en la misma cantidad,
el ahorro en el primer perı́odo se mantendrá aproximadamente constante (en el gráfico se mantiene
en cero). En sı́mbolos, ∆c1 ≈ ∆y1 y ∆c2 ≈ ∆y2 , por lo que ∆b∗1 ≈ 0.
En lo que sigue explicaremos por qué usamos la palabra “aproximadamente” para describir los
cambios. Discutiremos bajo qué circunstancias el cambio en el consumo es exactamente igual al
cambio en el ingreso cuando la suba del último es permanente y argumentaremos que aun si no son
iguales, serán muy parecidos. Consideremos la ecuación de Euler del consumo
u0 (c1 ) = β(1 + r1 )u0 (c2 )
Si suponemos que β(1+r1 ) = 1, la ecuación anterior se reduce a u0 (c1 ) = u0 (c2 ). Como la función de
utilidad es cóncava, u0 (c) es decreciente, por lo que la igualdad de utilidades marginales implica que
c1 = c2 . Esto es, cuando β(1 + r1 ) = 1 es óptimo mantener un sendero de consumo completamente
estable a través del tiempo. Usando este resultado en la restricción presupuestaria intertemporal
encontramos
c1 +
c1
y2
= y1 +
1 + r1
1 + r1
13
o bien
c1 =
1 + r1
2 + r1
y1 +
y2
1 + r1
Supongamos ahora que los ingresos corriente y futuro se incrementan en la misma cantidad δ. Esto
es, ŷ1 = y1 + δ y ŷ2 = y2 + δ. Después del cambio del ingreso, el consumo del primer perı́odo es
1 + r1
ŷ2
ĉ1 =
ŷ1 +
2 + r1
1 + r1
1 + r1
y2 + δ
=
y1 + δ +
2 + r1
1 + r1
1 + r1
y2
=
y1 +
+δ
2 + r1
1 + r1
Pero el primer término de esa ecuación es el nivel de consumo antes del cambio permanente en el
ingreso, por lo que
ĉ1 = c1 + δ
Esto muestra que el consumo y el ingreso presente aumentan en la misma cantidad δ. Como el
consumo futuro es igual al presente, el consumo futuro también sube en la cantidad δ. Con esto
terminamos la prueba de que si β(1 + r1 ) = 1 , entonces ∆c1 = ∆y1 , ∆c2 = ∆y2 , y ∆b1 = 0. Si bien
β(1 + r1 ) = 1 es un supuesto fuerte, estimaciones de la tasa de preferencia temporal β implican
que el término β(1 + r1 ) es bastante cercano a 1. Por lo tanto, podemos suponer que cambios
permanentes en el ingreso efectivamente se consumen en su totalidad, mientras que aumentos
temporarios tienden a ahorrarse en gran parte.
Consideremos el ejemplo con función de utilidad logaritmica que genera la demanda
c1 =
1
1+β
y1 +
y2
1 + r1
y supongamos un aumento permanente en el ingreso ŷ1 = y1 + δ1 e ŷ2 = y2 + δ2 con δ1 = δ2 = δ.
De este modo
1
cˆ1 =
1+β
y2 + δ2
y1 + δ1 +
1 + r1
(20)
por lo que, definiendo ∆c1 = ĉ1 − c1 , y usando δ1 = δ2 = δ
∆c1 =
1
1+β
δ+
δ
1 + r1
=
1
1+β
2 + r1
1 + r1
δ
De este modo, si el ingreso aumenta de manera permanente en 1 peso, δ = 1, tenemos
1
∆c1 =
1+β
2 + r1
1 + r1
Pongamos algunos números: supongamos β = 0.98 y una tasa de interés real del 4%, r1 = 0.04.
En este caso ∆c1 = 0.99.
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Figura 7: Aumento en la tasa de interés r1 : Deudor
Por otro lado, supongamos ahora que solo aumenta el ingreso corriente en $1 pero el ingreso
futuro no cambia. La demanda de consumo (20) evaluada en δ1 = 1 y δ2 = 0 implica
∆c1 =
1
≈ 0.5.
1+β
Esto es, se ahorra aproximadamente la mitad del ingreso corriente para aumentar el consumo futuro.
Suba en la tasa de interés ↑ r1
El resultado de un aumento en la tasa de interés dependerá si, luego del cambio, el consumidor
termina siendo deudor o acreedor. Un aumento en la tasa de interés se refleja en una rotación de
la restricción presupuestaria en el sentido de las agujas del reloj sobre la dotación inicial (y1 , y2 ).
Un cambio en la tasa de interés tiene dos efectos. Por un lado, la suba de r1 implica una caı́da del
precio relativo del consumo futuro en términos de consumo corriente (recordemos que este precio
relativo es
1
1+r1 ).
Este cambio en el precio relativo genera un efecto sustitución que implica una
suba del consumo futuro y una caı́da del consumo corriente. El segundo efecto del cambio en la
tasa de interés es el efecto riqueza, cuyo signo dependerá de si el consumidor es deudor o acreedor.
Las Figuras 7 y 8 muestran ambos casos.
Consideremos la Figura 7. El punto de dotación está marcado con la letra D y la canasta óptima
de consumo original está marcada en el punto A, donde el consumidor es deudor, c∗1 > y1∗ . La suba
de la tasa de interés se refleja como una rotación de la restricción presupuestaria sobre el punto D
y la canasta óptima luego del cambio en r1 está marcada en el punto F. Para encontrar el efecto
sustitución desplazamos la nueva restricción presupuestaria en forma paralela hacia arriba de modo
que sea tangente a la curva de indiferencia original, lo que ocurre en el punto S. En relación a la
canasta original, sube el consumo futuro cs2 > c∗2 y cae el consumo presente cs1 < c∗1 , reflejando la
caı́da del precio relativo del primero. Sin embargo, como el consumidor es deudor, sufre un efecto
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riqueza negativo pues sube el costo financiero de su deuda. El efecto riqueza negativo implica una
caı́da de c1 y de c2 en relación a la canasta del efecto sustitución S. El efecto final es que c1 cae,
pues los efectos sustitución e ingreso se refuerzan, pero el consumo futuro c2 puede subir o bajar:
el efecto sustitución implica una suba de c2 , mientras que el efecto riqueza implica una disminución
de c2 . En el ejemplo de la Figura 7 domina el efecto sustitución y c2 sube.
Figura 8: Aumento en la tasa de interés r1 : Acreedor
La Figura 8 muestra el caso de un acreedor. Como en el caso anterior, el punto de dotación
inicial está en el punto D, la canasta óptima inicial está en el punto A y la canasta de consumo final
es la del punto F. En la posición final el consumidor es acreedor. La canasta que refleja el efecto
sustitución se encuentra en el punto S que, al igual que en el caso anterior, implica una suba del
consumo futuro c2 y una disminución del consumo presente c1 . El desplazamiento de la canasta S
a la canasta F refleja el efecto riqueza. Al ser acreedor, la suba en la tasa de interés incrementa
el ingreso financiero del agente. Como los dos bienes son normales, el efecto riqueza implica que
tanto c1 como c2 suben. El efecto final sobre c1 es ambiguo: cae debido al efecto sustitución pero
sube debido al efecto riqueza. El gráfico muestra un ejemplo donde el efecto riqueza domina al
efecto sustitución. En el caso del consumo futuro, tanto el efecto sustitución como el efecto riqueza
implican una suba de c2 .
La demanda del consumidor representativo de la economı́a
El análisis anterior muestra que el efecto final de un aumento en la tasa de interés r1 sobre la
canasta de consumo depende de si el consumidor es acreedor o deudor. Sin embargo, si estamos
considerando una economı́a cerrada (que no comercia con el resto del mundo) y nos interesa el
comportamiento agregado de la economı́a, entonces podemos ser más especı́ficos. En el agregado
tiene que ser cierto que si alguien debe 100 pesos hay otra persona que es acreedora de esos 100
pesos. Por lo tanto, el consumidor “promedio” de la economı́a no es ni deudor ni acreedor. Esto
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implica que para el consumidor promedio no existe el efecto riqueza ante cambios en la tasa de
interés y podemos enfocarnos únicamente en el efecto sustitución. En este caso podemos dibujar una
curva de demanda de consumo corriente como función de la tasa de interés como las que aparecen
en la Figura 9. Aumentos temporarios y permanentes del ingreso desplazan la curva de demanda
de bienes hacia la derecha. La diferencia entre los dos casos está en el tamaño del desplazamiento.
Si el aumento del ingreso es temporario, la curva de demanda se desplaza en una cantidad menor
al aumento del ingreso, ∆c1 (r) < ∆y1 , mientras que si el cambio del ingreso es permanente, la
curva de demanda se desplaza en aproximadamente la misma cantidad que el aumento del ingreso,
∆c1 (r) ≈ ∆y1 .
Figura 9: Demanda de consumo: consumidor representativo
Finalmente, es importante notar que el consumidor promedio no es deudor ni acreedor solo en
el caso de una economı́a cerrada. Cuando analicemos el caso de una economı́a abierta a los flujos
de bienes y de capital, el consumidor promedio podrá endeudarse o prestar al resto del mundo. En
este caso, el efecto riqueza ante cambios en la tasa de interés puede ser importante.
Comparación con la teorı́a keynesiana tradicional del consumo
La diferencia en la respuesta del consumo ante cambios transitorios versus permanentes del ingreso
es un componente fundamental de nuestra teorı́a del consumo. Una manera de medir el cambio del
consumo corriente cuando sube el ingreso corriente es la llamada propensión marginal al consumo
que, en términos matemáticos, es la derivada del consumo con respecto al ingreso del mismo perı́odo,
PMC =
dct
.
dyt
A diferencia de la teorı́a de consumo que analizamos arriba, Keynes argumentó que el consumo
satisface los siguientes patrones de comportamiento:
1. el consumo depende principalmente del ingreso corriente,
2. cuando el ingreso aumenta en $1, el consumo aumenta en menos de $1, y
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3. cuando aumenta su ingreso, el consumidor ahorra una proporción mayor del mismo.
Una función de consumo usual que satisface los tres requisitos anteriores es la siguiente:
ct = A + Byt
(21)
donde A > 0 es el componente autónomo del consumo y 0 < B < 1 es la propensión marginal
al consumo. Es evidente que los supuestos anteriores sobre A y B implican que la función (21)
satisface las primeras dos condiciones que postuló Keynes. Para comprobar que la tercera condición
también se cumple, computemos la tasa de ahorro cuando la función de consumo es (21),
st
yt − ct
yt − A − Byt
B
=
=
=1−A− .
yt
yt
yt
yt
Claramente esta expresión es creciente en el ingreso del consumidor, probando ası́ que el tercer
requisito también se cumple.
Usualmente se estima que la PMC de la función de consumo keynesiana, B, es alrededor de 0.8.
Esto es, por cada peso que sube el ingreso corriente, el consumidor asigna alrededor de 80 centavos
al consumo, independientemente de si el aumento del ingreso es temporario o permanente. Nuestra
teorı́a del consumo nos dice que la PMC ante un cambio permanente del ingreso es cercana a 1,
mientras que la PMC ante un cambio temporario del ingreso es mucho menor. Esta diferencia es
particularmente importante en modelos con más de dos perı́odoss, donde un aumento temporario
del ingreso corriente se distribuye en el consumo de muchos perı́odos.
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