resumen completo

APORTACIONES DE LOS MÉTODOS DE ALTO ORDEN A LA
RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES.
APLICACIÓN A CUERPOS ROMOS Y AERODINÁMICOS
Autor: Cantero Piñeiro, Francisco de Borja.
Director: Gonzalez Gutiérrez, Leo Miguel.
Entidad Colaboradora: Universidad Politécnica de Madrid
RESUMEN DEL PROYECTO
La mecánica de fluidos computacional se emplea cada día más por sus ventajas
respecto a los túneles de viento. Es una herramienta muy útil sobre todo en
diseño, ya que no requiere de construcción de modelos para el estudio de
pequeños cambios en la forma.
La finalidad de este proyecto, es la búsqueda y validación de un método de
aproximación mejor que el que se usa en la actualidad. Históricamente, el método
empleado para aproximar el movimiento de un fluido, ha sido el método de
Lagrange. Este método aproxima una función conociendo una serie de puntos de
la misma. En el caso del método de aproximación lagrangiano, se trata de la suma
de P polinomios de orden P-1, siendo P el número de puntos conocidos de la
función. Los inconvenientes o puntos a mejorar de este método son
principalmente dos. El primero consiste en que todos los polinomios que
aproximan la función tienen el mismo orden, lo que empobrece la aproximación.
El segundo, tiene que ver con la forma de obtener los puntos para realizar la
aproximación, ya que no existe una manera de distribuirlos de forma que se
optimice la aproximación.
Como alternativa a este método, se plantea la utilización del método de los
polinomios de Legendre, que a diferencia del método lagrangiano, es un método
de aproximación modal. Las ventajas que presenta sobre el método lagrangiano
son varias: por un lado, que el orden de los polinomios que forman la
aproximación es ascendente, es decir, la solución está formada por la suma de
polinomios de distinto orden. Por otro lado, el método de los polinomios de
Legendre, a través del par Gauss-Legendre, permite optimizar la aproximación
mediante cierta distribución espacial de los puntos conocidos de la función.
Con el fin de comprobar los métodos y determinar cual es más exacto, se han
diseñado dos programas que resuelven la ecuación de transporte puro, cada una
con uno de los métodos en estudio.
La ecuación de transporte puro, consiste en la definición de un dominio en el que
la derivada sustancial del cuerpo en función del tiempo sea nula, es decir, consiste
en el movimiento de un cuerpo por el efecto de un campo de velocidades en un
dominio discretizado.
Los programas que se han diseñado con el fin de comparar los métodos, tienen
una estructura similar, sin tener en cuenta el método de aproximación usado.
Ambos parten de una malla (dominio discretizado) generado por un programa
externo (GID) del que obtiene los puntos conocidos de la función (nodos). Una
vez se han obtenido y, posteriormente definido, las condiciones iniciales del
problema en dichos puntos, se aproxima el instante de tiempo siguiente, y la
operación se repite tantas veces como sea necesario.
El parámetro que se usa como comparación de la exactitud de los métodos de
interpolación es la difusión numérica. Este principio consiste en el aumento de la
diferencia entre la aproximación en un instante dado y la función inicial a
aproximar. Este error se acumula con cada paso de tiempo dado por el programa.
Al
transcurso de un mismo incremento de tiempo, se puede comparar la
diferencia de errores cometidos por los distintos métodos y órdenes de
aproximación.
Dado que el dominio esta discretizado, al calcular el instante de tiempo siguiente,
lo que en realidad se hace es determinar la posición de origen (posición en el
instante anterior) de los nodos de la malla. Esto es debido a que, al ser conocidos
los valores que toma la función un incremento de tiempo antes, lo que se
aproxima es el valor de la función en los puntos de origen de los nodos. A estos
puntos se les denomina pie de las características.
Por necesidades computacionales, las aproximaciones realizadas con ambos
métodos se realizarán en coordenadas locales de cada elemento de la malla. Esto
implica que, una vez hecha la transformación a coordenadas locales, las
coordenadas de los nodos son siempre las mismas, independientemente del
elemento en el que se encuentre.
Para realizar el estudio se han tomado los siguientes elementos: un dominio
discretizado de dimensiones [0,1]x[0,1]; un campo de velocidades central
ω=0.3636E-4 y dos figuras diferentes a transportar, una Campana de Gauss y un
cono, ambos de altura h=1.
Se ha realizado el estudio tanto para el método lagrangiano, como para diferentes
órdenes polinómicos del método de los polinomios de Legendre. Debido a falta de
recursos computacionales profesionales, no se han podido comparar todos los
órdenes polinómicos con el método lagrangiano, pero sí entre ellos, y ambos
métodos entre sí.
Una vez realizado el estudio, se llega a varias conclusiones. Entre todas ellas la
más destacada es el hecho de que los resultados obtenidos, incluso con el menor
orden de aproximación de los polinomios de Legendre, son significativamente
mejores que los obtenidos con el método lagrangiano.
Otro de los resultados obtenidos consiste en que, al comparar los distintos órdenes
polinómicos del método de los polinomios de Legendre, las diferencias de
difusión numérica entre ellos es muy fluctuante y poco diferenciada. Como
conclusión, y a falta de extender el estudio a un mayor abanico de órdenes, se
concluye, que el orden de la aproximación no influye de una manera tan
representativa como lo hace el cambio de método.
La conclusión global de este proyecto, es que el método de los polinomios de
Legendre, finalmente aporta una gran mejora al método actual en su aplicación a
la resolución de la ecuación de Navier-Stokes.
Como futura línea de investigación, queda implantar este método a un solver de la
ecuación de Navier-Stokes y contrastar los resultados con los obtenidos
experimentalmente.
HIGH ORDER METHODS CONTRIBUTION TO THE RESOLUTION
OF NAVIER-STOKES EQUATIONS. APPLICATION TO BLUNT AND
AERODINAMIC BODIES.
Author: Cantero Piñeiro, Francisco de Borja.
Director: González Gutiérrez, Leo Miguel.
Collaborator entity: Universidad Politécnica de Madrid.
PROJECT SUMMARY
Computational fluid dynamics is used increasingly by its advantages over
wind tunnels. It is a very useful tool especially in design, as it does not
require construction of models for studying small changes in the shape.
The purpose of this project is the search and validation of an approximation
method better than the one used at present. Historically, the method used to
approximate the movement of a fluid, has been the method of Lagrange.
This method approximates a function knowing a number of points of the
body. In the case of Lagrangian approximation method, this is the sum of P
P-1 order polynomials, P being the number of points of the known function.
The drawbacks or points to improve on this method are mainly two. The
first is that all polynomials that are approaching the function have the same
order, which impoverishes the approach. The second has to do with how to
obtain points for the approximation, since there is no way to distribute them
so as to optimize alignment.
An alternative to this method is posed by the use of the method of Legendre
polynomials which, as a difference to Lagrangian approach, is a method of
modal approach. The advantages this method has above the Lagrangian
approach are several: first, that the order of polynomials forming the
solution is rising, that is to say, the solution consists of the sum of
polynomials of a different order. Moreover, the method of Legendre
polynomials, through the par Gauss-Legendre, allows optimizing the
approach through some spatial distribution of points of the known function.
In order to verify the methods and determine which is more accurate, two
programs have been designed to solve the equation of pure transport, each
one with one of the methods under consideration.
Pure transport equation, is the definition of a domain in which the body
substantial derivative as a function of time is zero, that is to say, it is the
movement of a body by the effect of a velocity field in a discretisized
domain.
The programs that have been designed to compare the methods have a
similar structure, regardless of the method used for the approximation. Both
are based on a mesh (discretisized domain) generated by an external
program (GID) which gets the known points of the function (nodes). Once
you have obtained, and subsequently defined, the original terms of the
problem in those points, it approaches the following instant of time and the
operation is repeated as many times as necessary.
The parameter that is used as a comparison of the accuracy of the methods
of interpolation is the numerical diffusion. This principle is the increase in
the difference between the approach taken in an instant and the initial
function to approximate. This error is accumulated in each passage of time
given by the program. Over the same increase of time, one can compare the
difference in errors committed by different methods and orders of
approximation.
Given that this discretisized domain, when calculating the next instant of
time, what is actually done is to determine the position of origin (previous
position at the moment) of the nodes of the mesh. This is because, as the
values that the function takes of the time before an increase are known, it
approximates the value of the function at points of origin of the nodes.
These points are called foot characteristics.
For computational needs, approaches made by both methods will be
conducted in local coordinates of each element of the mesh. This implies
that, once made the transformation to local coordinates, the coordinates of
the nodes are always the same, regardless of the element in which they are
placed.
To make the study the following elements were taken: a [0.1]x[0.1]
dimension discretisized domain; a central field of velocity ω = 0.3636 E-4
and two different figures to carry, a Gauss’ Bell and a cone, both in height h
= 1.
The study has been made both for the Lagrangian approach, and for
different polynomial orders method of Legendre polynomials. Due to a lack
of professional computational resources, it has not been able to compare all
polynomial orders with Lagrangian method, but among them, and both
methods with each other.
Once the study is made, several conclusions are reached. Among all the
most remarkable is the fact that the results obtained, even with the lower
order approximation of Legendre polynomials, are significantly better than
those obtained with the Lagrangian approach.
Another result is that, when comparing the different orders of polynomial
method of Legendre polynomials, numerical diffusion differences between
them is very volatile and poorly differentiated. In conclusion, failing to
extend the study to a wider range of orders, we conclude that the
approximation order does not influence so representatively as the change of
method.
The overall conclusion of this project is that, the method of Legendre
polynomials, finally brings a great improvement of the current method in its
application to the resolution of the Navier-Stokes equation.
A future line of research is to introduce this method to a solver of the
Navier-Stokes equation and contrasting the results with those obtained
experimentally.