Elasticidad lineal - Grupo de Simulación y Modelado

Capı́tulo 4
Elasticidad lineal
En anteriores capı́tulos se ha estudiado el equilibrio y la deformación
locales en los cuerpos deformables. Se vio, en primer lugar que al someter
un cuerpo de este tipo a fuerzas exteriores aparecen a nivel local fuerzas
cuyo valor, por unidad de área, definimos como tensiones. Posteriormente,
se estudió que la deformación puede caracterizarse de forma precisa, también
a nivel local, a través del concepto de deformación. Pues bien, en los cuerpos,
las tensiones y las deformaciones en cada punto no son independientes, sino
que (al menos en condiciones isotermas) una siempre acompaña a la otra.
La relación local entre tensiones y deformaciones es el problema central
de la mecánica de sólidos. Si bien las ecuaciones de equilibrio y la relación
desplazamiento-deformación son resultados matemáticos que no son discutibles una vez aceptadas las hipótesis de partida, la relación entre tensión y
deformación, las llamadas leyes constitutivas, dependen del tipo de material, de los procesos que se quieran modelar, etc. Aunque las relaciones
constitutivas más sencillas y útiles son bien conocidas y están descritas en
todos los libros, todavı́a se siguen proponiendo otras nuevas que mejor modelan el comportamiento de nuevos materiales.
La formulación de modelos constitutivos es especialmente complejo cuando las deformaciones son grandes [6]. En este capı́tulo nos centraremos, sin
embargo, en el caso más sencillo posible, el de la elasticidad lineal. Este
modelo, aparentemente trivial, está en la base de la mayor parte de cálculos
en mecánica de sólidos y de estructuras. Servirá además como introducción
para otros modelos más complejos que estudiaremos en capı́tulos posteriores.
4.1.
Los modelos elásticos
El problema fundamental de la mecánica de sólidos es la formulación
de modelos constitutivos, es decir, expresiones funcionales que permitan
calcular el valor de la tensión en un punto a partir del valor de la deformación " en ese instante y en todos los anteriores. Por tanto, en general y de
73
74
Mecánica de sólidos,
I. Romero
acuerdo a la experiencia práctica, es la historia completa de la deformación
en un cuerpo la que permite conocer la tensión en los puntos del mismo (o
viceversa).
Se dice que un material es simple cuando el estado de la tensión en
un punto depende sólo de la historia de la deformación en ese mismo punto.
Además, es posible es posible que la tensión
en un punto x 2 ⌦ en el
instante de tiempo t sólo dependa de la deformación " en ese mismo punto
e instante, es decir,
(x, t) = f ("(x, t)) .
(4.1)
siendo f : V 2 ! V 2 una función que describe el modelo constitutivo. Cuando
esto ocurre, decimos que el comportamiento del material en el punto x es
elástico. La importancia de este tipo de modelos es doble: por un lado
son los más sencillos y, sobre todo, reflejan muy bien el comportamiento de
muchos materiales cuando las deformaciones son pequeñas.
Claramente no todos los materiales se comportan elásticamente. Es bien
sabido, por ejemplo, que las propiedades mecánicas de los metales dependen
de su proceso de fabricación (su historia de deformación y temperatura);
también la experiencia habitual nos dice que los muchos materiales tienen
un comportamiento reológico.
Dentro de todos los materiales elásticos, un subconjunto de ellos consiste
en aquellos en los que la función f de la ecuación (4.1) es lineal, es decir
(x, t) = C"(x, t) ,
(4.2)
donde C es un tensor de cuarto orden. Este tipo de modelos, llamados elásticos lineales proporciona una aproximación muy buena al comportamiento
de muchos materiales cuando la deformación es pequeña y dedicaremos el
resto del capı́tulo a su estudio.
Una consecuencia inmediata de la hipótesis de linealidad es lo que se
conoce como el principio de superposición: la tensión debida a la superposción de dos deformaciones es la suma de las tensiones correspondientes,
es decir, que para toda pareja ↵, 2 R
f (↵"1 + "2 ) = ↵f ("1 ) + f ("2 ) ,
(4.3)
lo cual se demuestra trivialmente a partir de (4.2).
4.2.
Elasticidad lineal isótropa
Estudiamos, en primer lugar, la relación constitutiva elástica más sencilla que existe, a saber, la de los cuerpos isótropos, aquellos en los que
la respuesta no depende de la dirección. La formulación de las ecuaciones
constitutivas se logra mediante ensayos experimentales en los que se somete
un cuerpo a un estado de tensión/deformación homogéneo y se deducen a
partir de ahı́ consecuencias puntuales.
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
75
L0
y
r0
x
z
r
L
Figura 4.1: Esquema del ensayo a tracción.
4.2.1.
El ensayo uniaxial de tracción
El único ensayo que se necesita para caracterizar materiales isótropos
es el de tracción uniaxial. Una barra recta, cilı́ndrica de longitud L0 , se
tracciona aplicando un tensión normal en las caras rectas del cilindro y se
mide la longitud L de la barra deformada (ver figura 4.1). Si se coloca un
sistema de coordenadas cartesiano con el eje x alineado con el eje de la barra,
los estados de tensión y deformación en cualquier punto de misma, son
2
3
2
3
"xx 0
0
xx 0 0
[ ]=4 0 0 0 5 ,
["] = 4 0 "yy 0 5
(4.4)
0 0 0
0
0 "zz
La deformación longitudinal "x se puede calcular mediante la expresión "x =
(L Lo )/Lo y se define el módulo de Young del material mediante la
relación
xx
E=
.
(4.5)
"xx
De la expresión anterior se deduce que el módulo de Young es la pendiente
de la recta x vs. "x que se obtiene en un ensayo de tracción y que tiene
dimensiones de presión. En el apéndice A se recogen los valores del módulo
de Young para algunos materiales.
Como se indica en la figura 4.1, al traccionar una barra el alargamiento
axial se ve acompañado de un acortamiento transversal y por tanto, si el
radio original del cilindro era ro , después de deformarse toma el valor r, que
puede medirse.
En el caso de un sólido cilı́ndrico como el de la figura, este acortamiento
se cuantifica con deformaciones "yy e "zz en las direcciones transversales
cuya valor es "yy = "zz = (r r0 )/r0 , y que es negativo. El coeficiente de
Poisson se define como
"yy
"zz
⌫=
=
,
(4.6)
"xx
"xx
y es por tanto un propiedad del material sin dimensiones. La igualdad en
la expresión anterior se debe a la isotropı́a del material. En el apéndice A
76
Mecánica de sólidos,
I. Romero
también se recogen valores caracterı́sticos de este coeficiente para distintos
materiales.
4.2.2.
Respuesta general
A partir del módulo de Young y el coeficiente de Poisson se puede obtener
la relación tensión-deformación en un punto sometido a un estado tensional arbitrario, encontrando la llamada ley de Hooke generalizada, pues
extiende al continuo la relación elástica de los resortes.
Para obtener dicha relación partimos primero de la siguiente observación:
el estado tensional más complejo que puede ejercerse sobre un diferencial
de volumen es un estado triaxial de tracción/compresión. Efectivamente,
cualquier estado tensional puede expresarse, en la base principal de tensión,
como un estado triaxial de tracción/compresión. En dicho estado las tres
tensiones normales se denominan 1 , 2 , 3 y coinciden con las tensiones
principales.
Debido a la hipótesis de linealidad, se puede aplicar el principio de superposición y se puede obtener la respuesta al estado triaxial de tensión
superponiendo tres estados de tracción/compresión uniaxial. Comenzando
por la tracción/compresión sobre un plano perpendicular a la dirección principal primera, el estado de tensión y deformación correspondiente es:
2
3
2 1
3
0
0
1 0 0
E
⌫ E1
0 5 .
[ (1) ] = 4 0 0 0 5
["(1) ] = 4 0
(4.7)
1
0 0 0
0
0
⌫E
Estudiando a continuación un estado de tracción/compresión uniaxial en
la dirección principal de tensión segunda obtenemos un nuevo estado de
deformación
2
3
2
3
0 0 0
⌫ E2 0
0
2
0 5 .
[ (2) ] = 4 0 2 0 5 ,
["(1) ] = 4 0
(4.8)
E
0 0 0
0
0
⌫ E2
Finalmente, considerando el tercer estado de
la tensión y deformación son
2
3
2
0 0 0
[ (3) ] = 4 0 0 0 5 ,
["(3) ] = 4
0 0 3
tensión posible se obtiene que
⌫ E3
0
0
0
⌫ E3
0
3
0
0 5 .
(4.9)
3
E
Por el principio de superposición, la deformación debida a un estado
tensional = (1) + (2) + (3) es la suma " = "(1) + "(2) + "(3) , o en forma
de matriz:
2 1
3
⌫ E2 ⌫ E3
0
0
E
2
5 . (4.10)
0
⌫ E1 ⌫ E3
0
["] = 4
E
3
1
2
0
0
⌫E ⌫E
E
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
77
La primera conclusión que se obtiene de (4.10) es que, en un material
elástico isótropo, las bases principales de tensión y deformación coinciden.
Sobre todo, esta expresión indica la relación más general posible entre tensión y deformación de un material de estas caracterı́sticas cuando estas dos
cantidades se expresan en componentes de la base principal. Para hallar la
expresión intrı́nseca, válida para cualquier sistema de coordenadas, no necesariamente cartesiano reformulamos la anterior expresión de la siguiente
manera:
2
3
2
3
0 0
1 0 0
1
1+⌫ 4
⌫
0
0 5
["] =
( 1 + 2 + 3) 4 0 1 0 5
2
E
E
(4.11)
0 0
0 0 1
3
1+⌫
⌫
=
[ ]
tr( ) [I] .
E
E
Esta última expresión depende sólo de operadores intrı́nsecos, pues en ningún
lugar se hace referencia a componentes o sistemas de coordendas, ası́ que
se puede formular de manera completamente general la siguiente ley de
Hooke generalizada:
"=
1+⌫
E
⌫
tr( ) I
E
(4.12)
Para la resolución de problemas resulta útil recoger la expresión en componentes cartesianas de (4.12). Definimos para ello el módulo de cortante
E
o cizalla G = 2(1+⌫)
y escribimos
"xx =
"yy =
"zz =
xx
E
yy
E
zz
E
⌫
(
E
⌫
(
E
⌫
(
E
yy
+
zz )
,
xy
zz
+
xx )
,
xz
xx
+
yy )
,
yz
⌧xy
,
G
⌧xz
=
,
G
⌧yz
=
.
G
=
(4.13)
En estas expresiones se puede leer un resultado adicional importante: en
los materiales elásticos isótropos las tensiones normales sólo producen deformaciones longitudinales (en las tres direcciones debido al efecto Poisson) y
las tensiones cortantes sólo produce deformaciones angulares (cada tensión
cortante produce una deformación angular desacoplada del resto).
4.2.3.
Las ecuaciones de Lamé
La ecuación (4.12) permite calcular la deformación " en función de la
tensión
y en esta sección invertimos esta expresión para encontrar una
fórmula de la tensión en función de la deformación. Para ello, comenzamos
amplicando el operador “traza” a ambos lados de la igualdad (4.12) resul-
78
Mecánica de sólidos,
I. Romero
tando en
1+⌫
⌫
tr( )
tr( ) tr(I)
✓E
◆E
1+⌫
⌫
=
3
tr( )
E
E
1 2⌫
=
tr( ) .
E
tr(") =
(4.14)
En el capı́tulo 3 se escogió el sı́mbolo ✓ para indicar la traza de la deformación, ası́ pues
E
tr( ) =
✓.
(4.15)
1 2⌫
Sustituyendo este último resultado en la ecuación (4.12) obtenemos
"=
1+⌫
E
⌫ E
✓I .
E 1 2⌫
(4.16)
Despejando el tensor de tensión de esta expresión se obtiene
=
E
E⌫
"+
1+⌫
(1 + ⌫)(1
2⌫)
✓I .
(4.17)
Para poder escribir esta expresión de forma más compacta definimos el
primer y segundo coeficiente de Lamé
=
E⌫
(1 + ⌫)(1
2⌫)
,
µ=
E
.
2(1 + ⌫)
(4.18)
Ambos coefiecientes de Lamé tienen dimensiones de F/L2 , como el módulo de Young, puesto que son rigideces. Además, el segundo coeficiente de
Lamé es igual al módulo de cortante G. Finalmente, escribimos la expresión (4.17) como
= 2µ " +
tr(")I
(4.19)
Esta última expresión se conoce como la ecuación de Lamé y permite
obtener la tensión a partir de la deformación. Como se trata de una ecuación
intrı́nseca es válida en cualquier sistema de coordendas. En particular, si se
expresan todos los tensores en coordendas cartesianas se obtiene
xx
= 2µ "xx + ✓ ,
⌧xy = µ
xy
,
yy
= 2µ "yy + ✓ ,
⌧xz = µ
xz
,
zz
= 2µ "zz + ✓ ,
⌧yz = µ
yz
,
✓ = "xx + "yy + "zz .
(4.20)
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
4.2.4.
79
Deformaciones y tensiones proporcionales
En un ensayo uniaxial, una tensión de tracción provoca una deformación
en dirección de las tensiones aplicadas. En general esto no es ası́ y un punto
sometido a un estado tensional
experimenta una deformación " que no
es proporcional a la tensión, es decir, " 6= ! , para ningún escalar !. Por
ejemplo, un punto sometido a tracción uniaxial sufre deformaciones en las
direcciones perpendiculares a al tracción aplicada debidas al “efecto Poisson”. Sin embargo, un punto sometido a un estado de tensión de cortante
puro sólo experimenta deformación angular y se comprueba fácilmente que
" = (2µ) 1 . Pretendemos estudiar a continuación cuántos casos existen de
solicitaciones que provocan estados de deformación proporcionales a éstos.
Teorema 4.2.1. En un sólido elástico isótropo sólo los estados de tensión
esféricos y los puramente desviadores causan estados de deformación proporcionales a ellos mismos. En el primer caso, cuando es esférico,
" = (3)
1
,
siendo  = + 23 µ el módulo de rigidez volumétrica, y en el segundo, cuando
es desviador,
" = (2µ) 1 .
Demostración. Supongamos que en para un estado tensional , la deformación provocada en un punto es tal que " = ! . Entonces, por las ecuaciones
de Lamé,
tr( )
= 2µ! + !
I .
3
Esta ecuación se puede reescribir como
(1
2µ !)
=
!
tr( )
I .
3
Para que esta ecuación se cumpla para algún escalar ! sólo existen dos
posibilidades: o bien
= tr(3 ) I, o bien ambos lados de la igualdad se
anulan. En el primer caso la tensión es esférica y se cumple
(1
2µ !)
tr( )
I=
3
!
tr( )
I =) 1
3
2µ ! = 3 ! =) ! = (3)
1
.
En el segundo caso la tensión es desviadora, tr( ) = 0, y el paréntesis
en la ecuación (4.2.4) debe de anularse, para lo cual es necesario que ! =
(2µ) 1 .
Usando la definición de la rigidez volumétrica, las ecuaciones de Lamé se
pueden escribir también de la siguiente manera
=  tr(")I + 2µ e
(4.21)
80
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Esta expresión muestra que la constante  relaciona la respuesta volumétrica con las cargas volumétricas, y la deformación desviadora (el cambio de
forma), con las cargas desviadoras. En otras palabras, las respuestas volumétrica y desviadora de materiales isótropos están desacopladas.
4.2.5.
Restricciones en las constantes elásticas
Las constantes que caracterizan el comportamiento elástico de los cuerpos isótropos no pueden tener valores aleatorios. Existen algunas restricciones que siempre deben de cumplir, unas basadas en argumentos más o
menos fı́sicos y otras en argumentos de tipo matemático.
Un camino “fı́sico” consiste en considerar los ensayos más sencillos: el
de tracción uniaxial, el de cortante puro y el de compresión volumétrica.
En el primero, nuestra experiencia nos dice que al estirar una barra de
material elástico, ésta siempre se alarga, ası́ que concluimos que E > 0.
En el segundo ensayo, también tenemos la experiencia de que al cizallar
un cuerpo, este se deforma en el sentido de la tensión, ası́ pues µ > 0. Por
último, al comprimir (sin cambio de forma) un cuerpo, su volumen disminuye
siempre, ası́ que  > 0. A partir de estas tres experiencias y las relaciones
entre las constantes elásticas podemos deducir las restricciones de las demás
constantes elásticas. Por ejemplo, a partir de las relaciones
µ=
se deduce que
E
2(1 + ⌫)
y
=
E
3(1
2⌫)
,
(4.22)
1 < ⌫ < 12 . Si se considera la definición
=
(1
⌫E
,
2⌫)(1 + ⌫)
(4.23)
se concluye que > 0.
Existen argumentos más rigurosos, basados en la existencia de solución
al problema elástico, o al estudio de la velocidad de propagación de las ondas
en estos materiales, y éstos se pueden encontrar en tratados más avanzados
de elasticidad [3].
4.3.
Hiperelasticidad
Como se verá más adelante, los modelos elásticos más interesantes desde el punto de vista termodinámico son los que derivan de un potencial.
Ası́ definimos:
Definición 4.3.1. Se dice que un material es hiperelástico cuando existe
una función escalar W = W ("), llamada la función de energı́a elástica o
interna, tal que
@W (")
=
(4.24)
@"
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
81
W⇤
W
"
Figura 4.2: Energı́a elástica y energı́a elástica complementaria como áreas
bajo y sobre la curve de tensión-deformación.
En el caso general se sigue que W (") = 12 " : C" y, en particular, para
modelos elásticos isótropos
Wiso (") =
2
( tr("))2 + µ " : " =

( tr("))2 + µ e : e .
2
(4.25)
Cuando la función W es convexa, la relación (4.24) se puede invertir y
definiendo la energı́a elástica complementaria W ⇤ = W ⇤ ( ) como la
transformada de Legendre de la energı́a interna, y por tanto se verifica
"=
@W ⇤ ( )
@
(4.26)
Para materiales elásticos isótropos, la energı́a interna complementaria tiene
la expresión
W ⇤( ) =
tr( )2
1
1+⌫
+
s:s=
18
4µ
2E
:
⌫
tr( )2 .
2E
(4.27)
En el caso de un material elástico lineal, el valor de W (") y W ⇤ ( ) coincide
cuando = C". Esta coincidencia es muy útil a la hora de resolver problemas y se aprovecha, sobre todo, en el cálculo de estructuras elásticas. Sin
embargo, en general, como ilustra la figura 4.2, ésto no ocurre.
. Ejemplo 4.3.2. Para ilustrar el concepto de energı́a interna, consideramos
el modelo más sencillo que es el de un resorte elástico de constante K. Según
la ley de Hooke, la fuerza que estira del resorte N y la elongación del mismo
están relacionadas por la expresión N = K . La energı́a elástica asociada es
por tanto
Z
Z
1
W( ) =
N (x) dx =
Kx dx = K 2 .
2
0
0
82
Mecánica de sólidos,
I. Romero
De la misma manera, al energı́a elástica complementaria se puede calcular
como
Z N
Z N
x
1 2
⇤
W (N ) =
(x) dx =
dx =
N .
2K
0
0 K
/
4.4.
Simetrı́as
En las secciones anteriores estudiamos la respuesta constitutiva de los
materiales isótropos. Muchos materiales son anisótropos y son más difı́ciles
de caracterizar. A continuación estudiamos los distintos tipos de simetrı́as
posibles a partir del concepto de simetrı́a material y concluimos las diferentes
simetrı́as que el tensor C puede heredar. Más detalles sobre los cálculos
omitidos se pueden encontrar, por ejemplo, en [5].
4.4.1.
Simetrı́as menores y mayores
En primer lugar, debe de indicarse, que el tensor C tiene dos simetrı́as,
independientemente del tipo de material elástico que modele. Como " y
son tensores simétricos y = C", CA = CAT , para cualquier tensor A y
además CA = (CA)T , es decir, C sólo actúa sobre la parte simétrica de un
tensor y sólo devuelve tensores simétricos. Estas son las llamadas simetrı́as
menores del tensor de elasticidades.
Se dice además que el tensor de elasticidades tiene simetrı́as mayores
si A·CB = B ·CA, para cualquier pareja de tensores A, B o, en notación de
Voigt, que la matriz [C] es simétrica. Esto ocurre, por ejemplo, siempre que
el material sea hiperelástico. Cuando un material tiene todas las simetrı́as
menores (siempre) y las mayores, de las 81 componentes que tiene el tensor
de constantes elásticas, sólo 21 de ellas son independientes.
4.4.2.
El concepto de simetrı́a material
Consideremos todos los tensores ortogonales Q (las rotaciones y reflexiones). Igual que Qa es el vector que resulta de rotar (y/o reflejar) el vector
a, el tensor Q"QT es el resultado de rotar el tensor de deformación. El concepto de simetrı́a material está relacionado con la invarianza de la respuesta
constitutiva en relación a los efectos de algunas rotaciones.
Definición 4.4.1. Se dice que el tensor Q ortogonal es una simetrı́a material en un punto cuando la energı́a de deformación W es invariante frente
¯ = Q"QT , se verifica
a la rotación de la deformación. Es decir, si definiendo "
W (¯
") = W (")
(4.28)
para cualquier deformación ". La colección de todas las simetrı́as posibles
en un punto se denomina el grupo de simetrı́a del mismo.
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
83
Figura 4.3: Materiales monoclı́nicos. En formaciones rocosas estratificadas el
comportamiento es (macroscópicamente) como el de un material monoclı́nico, siendo el plano de simetrı́a, en cada punto, el del estrato.
El concepto de simetrı́a material está definido, por tanto, localmente y
pueden existir cuerpos que posean simetrı́as distintas en regiones separadas.
Que las simetrı́as en un punto tienen la estructura de grupo se sigue de que
si Q1 y Q2 son dos simetrı́as, también lo es Q1 Q2 , de que Q 1 también es
una simetrı́a, y de que el tensor identidad también lo es siempre.
4.4.3.
Materiales monoclı́nicos
Un material monoclı́nico tiene un plano de simetrı́a que suponemos, sin
perder generalidad, que es el perpendicular al eje e3 . Por ello, el tensor
ortogonal Q3 = e1 ⌦e1 +e2 ⌦e2 e3 ⌦e3 , que geométricamente representa la
reflexión respecto al plano de simetrı́a, debe de estar en el grupo de simetrı́a
del punto. Dada una deformación arbitraria ", el resultado de reflejar este
tensor con Q3 tiene por matriz
2
3 2
"¯11 "¯12 "¯13
1 0
4"¯21 "¯22 "¯23 5 = 40 1
"¯31 "¯32 "¯33
0 0
2
"11
= 4 "21
"31
3T
0
05
1
"12
"22
"32
2
32
"11 "12 "13
1 0
4"21 "22 "23 5 40 1
"31 "32 "33
0 0
3
"13
"23 5
"33
3
0
05
1
.
(4.29)
Por definición de lo que se entiende por ser una simetrı́a, se debe de verificar
¯ · C¯
" · C" = "
".
(4.30)
para cualquier deformación. En componentes,
3
X
ijkl=1
Cijkl "ij "kl =
3
X
ijkl=1
Cijkl "¯ij "¯kl .
(4.31)
84
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Si suponemos que todas las componentes de la deformación son nulas excepto
"11 y "13 se sigue que
C1113 "11 "13 = C1113 "¯11 "¯13 .
(4.32)
Como "¯11 = "11 y "¯13 = "13 , concluimos que C1113 = 0 y también todos
los coeficientes que resultan de las simetrı́as menores y mayores. Repitiendo
el mismo proceso para otros combinaciones de deformaciones se sigue que
C1113 = C1123 = C2213 = C2223 = C3313 = C3323 = C2312 = C1312 = 0 ,
(4.33)
ası́ como todas sus permutaciones. De las 21 constantes independientes que
tiene un material elástico anisótropo, se sigue que sólo 13 de ellas son independientes para un material monoclı́nico.
4.4.4.
Materiales ortótropos
Un punto tiene simetrı́a ortótropa si tiene tres plano ortogonales de simetrı́a. En términos de tensores de rotación, los tensores Q1 , Q2 , Q3 están
en el grupo de simetrı́a del punto.
Para encontrar las consecuencias de estas simetrı́as, y tomando como
planos de simetrı́a los perpendiculares a los vectores de la base, podemos
repetir en análisis de los materiales monoclı́nicos. Además de las simetrı́as
identificadas en la ecuación (4.33), se pueden identificar como simplificaciones adicionales
C1112 = C2212 = C3312 = C2313
(4.34)
y todas sus permutaciones menores y mayores. En total, teniendo en cuenta la restricciones identificadas, sólo puede haber nueve constantes elásticas independientes en los materiales ortótropos. Estas simetrı́as se dan, por
ejemplo, en las maderas y materiales compuestos.
4.4.5.
Materiales transversalmente isótropos
Un punto tiene simetrı́a ortótropa si existe un eje (supongamos que coincide con el vector e3 ) tal que las matrices de la forma
2
3
cos ✓ sin ✓ 0
4 sin ✓ cos ✓ 05
(4.35)
0
0
1
son la expresión matricial de tensores en el grupo de simetrı́a, para cualquier valor del ángulo ✓. En este caso, se puede demostrar que las únicas
componentes del tensor de elasticidades que no son nulas son
C1111 = C2222 , C3333 , C1122 , C1133 = C2233 , C2323 = C1313 ,
C1212 = (C1111
C1122 )/2,
y como se puede comprobar sólo cinco de ellas son independientes.
(4.36)
(4.37)
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
4.4.6.
85
Materiales isótropos
Por último, los materiales con el grupo de simetrı́a más grande son aquellos en los que cualquier rotación y/o reflexión es una simetrı́a. Si consideramos que estos materiales son aquellos que tienen tres ejes ortogonales
alrededor de los cuales cualquier rotación es una simetrı́a, el análisis de los
materiales transversalmente isótropos concluye que los términos no nulos del
tensor C son
C1111 = C2222 = C3333 , C1122 = C1133 = C2233
C2323 = C1313 = C1212 = (C1111
C1122 )/2 ,
que sólo incluye dos constantes independientes.
matriz de elasticidades tiene la expresión:
2
+ 2µ
6
+ 2µ
6
6
+ 2µ
[C]iso = 6
6 0
0
0
6
4 0
0
0
0
0
0
(4.38)
(4.39)
En notación de Voigt, la
0
0
0
µ
0
0
0
0
0
0
µ
0
3
0
07
7
07
7
07
7
05
(4.40)
µ
Como los materiales isótropos se pueden describir mediante dos constantes independientes, todas las que hemos descrito están relacionadas entre sı́.
El cuadro 4.1 resume todas estas relaciones.
4.5.
Enunciado completo del problema elástico
Combinando los conceptos de equilibrio, deformación y modelo constitutivo se consigue la formulación completa de un problema de contorno que
ya tiene solución y que, aunque puede ser muy difı́cil de obtener, es única.
En el caso de la elasticidad, el problema completo es:
Un cuerpo elástico deformable es un dominio ⌦ ⇢ R3 con contorno @⌦ =
u [ t . En u el cuerpo está sujeto, y en t hay unas fuerzas de superficie t̄
conocidas. Todo el cuerpo está sometido a fuerzas volumétricas f̄ . Si el
cuerpo está en equilibrio, es isótropo y elástico, y sólo se consideran pequeñas
deformaciones, el desplazamiento u : ⌦ ! R3 , la deformación " y la tensión
satisfacen el siguiente problema de valores de contorno:
div
+ f̄ = 0
en ⌦ ,
n = t̄
T
=
t,
sobre
u,
,
u=0
" = rS u ,
=
sobre
tr(")I + 2µ " .
(4.41)
86
Mecánica de sólidos,
E
µ⌘G
⌫
k
E
2(1+⌫)
E, ⌫
E, G
E 2G
2G
E,
E
4
E 3 +A
4
E, k
3k E
6k
3Ek
9k E
⌫, G
2G(1 + ⌫)
⌫,
(1+⌫)(1 2⌫)
⌫
⌫, k
3k(1
G,
G, k
,k
A
E
3(1 2⌫)
(2G E)G
E 3G
GE
3(3G E)
E+3 +A
6
3k(3k E)
9k E
(1 2⌫)
2⌫
2( +G)
9Gk
3k+G
3k 2G
6k+2G
)
3k
2G(1+⌫)
3(1 2⌫)
(1+⌫)
3⌫
3k(1 2⌫)
2(1+⌫)
G(3 +2G)
+G
9k(k
3k
⌫E
(1+⌫)(1 2⌫)
2G⌫
1 2⌫
2⌫)
I. Romero
3k⌫
1+⌫
+ 23 G
k
3
2 (k
2
3G
)
Cuadro 4.1: Relación entre todas las constates de
p los materiales lineales
isótropos. La constante A está definida como A = E 2 + 2E + 9 2 .
Este sistema de ecuaciones en derivadas parciales es el objeto de la teorı́a
de la elasticidad clásica. De hecho, simplemente reemplazando la última de
estas ecuaciones por una relación constitutiva más compleja se define el
problema de la mecánica de sólidos deformables en pequeñas deformaciones.
4.5.1.
El principio de Saint Venant
La experiencia indica que para el estudio de la solución a un problema
de un cuerpo deformable los detalles exactos de cómo están aplicadas las
fuerzas de superficie no son muy relevantes. Por ejemplo, cuando se realiza
un ensayo de tracción, la forma de las mordazas de la máquina de tracción,
aunque no puede ser completamente aleatoria, no afecta el resultado de los
ensayos. Lo mismo ocurre con las tensiones en el terreno bajo una zapata, o
en un pistón cuando está sometido a las presiones de los gases en el interior
de un cilindro.
El principio de Saint Venant establece que los campos de desplazamiento, deformación y tensión debidos a dos distribuciones de fuerzas de
superficie estáticamente equivalentes son iguales lejos de la zona de aplicación. Esta definición deja sin definir cuán lejos los efectos de los detalles
en la aplicación de las fuerzas dejan de ser perceptibles, ası́ que resulta un
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
87
poco imprecisa. Como regla general, se puede estimar que esta distancia es
igual a la dimensión caracterı́stica de la zona de aplicación de las cargas.
En cualquier caso, su aceptación es fundamental en ingenierı́a y siempre lo
daremos como válido.
El principo de Saint Venant data de 1855, aunque con el tiempo se ha
demostrado que no es un principio como tal sino que puede ser demostrado. Parte de la dificultad en demostrarlo radica en que su definición, como
se comentó anteriormente, es algo imprecisa. La definición precisa de este
principio se suele asociar a Stenberg [? ].
4.5.2.
Las ecuaciones de Navier
En la formulación completa del problema elástico (ver ecuaciones (4.41))
aparecen como incógnitas los campos de desplazamiento u, de deformación "
y de tensión . Para la resolución analı́tica de algunos problemas resulta
útil plantear el problema de contorno únicamente en función del campo
de desplazamientos. Cuando ésto se lleva a cabo para las ecuaciones de la
elasticidad lineal se obtienen unas fórmulas muy compactas que reciben en
nombre de ecuaciones de Navier .
Para obtener dichas ecuaciones, basta con sustituir la expresión de la tensión en función de la deformación y ésta del desplazamiento u resultando
en
div [ div[u] I + 2µ grads [u]] + f̄ = 0 ,
( div[u]I + 2µ grads [u]) n = t̄ ,
en
t,
u=0,
en
u.
(4.42)
Simplificando la primera de estas ecuaciones mediante las relaciones
div[div[u] I] = grad[div[u]] ,
div[gradu] = 4u ,
(4.43)
T
div[grad u] = grad[div[u]] ,
se demuestra inmediatamente que (4.42) se puede escribir como
( + µ) grad[div[u]] + µ 4u + f̄ = 0 ,
4.6.
( div[u]I + 2µ grads [u]) n = t̄ ,
en
t,
u=0,
en
u.
(4.44)
Estados planos de tensión y deformación
El tratamiento analı́tico de los problemas de cuerpos deformables es,
en general, muy complicado. Existen dos casos particulares que simplifican
mucho la descripción matemática del problema y que, además, son muy
habituales. Estos son los casos de tensión y deformación plana en los que
88
Mecánica de sólidos,
I. Romero
algunas de las componentes de tensor de tensión o deformación son nulas en
todos los puntos del cuerpo. Como se verá a continuación, esto es el resultado
de geometrı́as y cargas muy particulares.
4.6.1.
Estados de tensión plana
Definición 4.6.1. Un cuerpo se encuentra en un estado plano de tensión
cuando existe un sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) tal que el tensor de
tensiones en todo punto del cuerpo tiene la expresión
2
[ ]=4
3
0
22 (x1 , x2 ) 0 5 .
0
0
11 (x1 , x2 )
12 (x1 , x2 )
21 (x1 , x2 )
0
(4.45)
Este estado de tensión aparece, de forma muy aproximada, en cuerpos
planos, muy delgados con cargas de superficie y volumen contenidas en dicho
plano como, por ejemplo, las membranas.
El tensor de deformación en estados planos de tensión tiene por expresión
1+⌫
["] =
[ ]
E
2
⌫
tr( )[I] = 4
E
11
⌫
E
22
21
12
22
G
0
G
⌫
E
11
0
0
0
⌫
E ( 11 +
22 )
3
5 .
(4.46)
Nótese que la deformación "33 no se anula.
4.6.2.
Estados de deformación plana
Definición 4.6.2. Un cuerpo se encuentra en un estado plano de deformación cuando existe un sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) tal que el
tensor de deformación en todo punto del cuerpo tiene la expresión
2
3
"11 (x1 , x2 ) "12 (x1 , x2 ) 0
["] = 4 "21 (x1 , x2 ) "22 (x1 , x2 ) 0 5 .
0
0
0
(4.47)
Este estado de deformación aparece, de forma muy aproximada, en cuerpos con simetrı́a axial y cargas ortogonales a dicho eje de simetrı́a, que ha de
coincidir con el eje x3 del sistema de referencia indicado anteriormente. Los
cuerpos que se encuentran en un estado plano de deformación tiene un campo de desplazamientos que, empleando el sistema de referencia cartesiano
que se menciona, verifica
u = u(x1 , x2 ) ,
u · e3 = 0 .
(4.48)
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
89
En estos estados de deformación, el tensor de tensiones tiene por expresión
matricial en la base {e1 , e2 , e3 }
2
3
2µ"11 + ✓
µ 12
0
µ 21
2µ"22 + ✓ 0 5 .
[ ] = 2µ ["] + tr(")[I] = 4
(4.49)
0
0
✓
Nótese que, en general, la componente 33 no se anula. De hecho, podemos
escribir
(4.50)
11 + 22 = 2µ("11 + "22 ) + 2 ✓ = 2( + µ)✓ .
Como
como
+µ =
2⌫ ,
la tensión en la dirección x3 se puede expresar también
33
4.6.3.
= ✓ = 2⌫( + µ)✓ = ⌫(
11
+
22 )
.
(4.51)
El diagrama de Mohr en estados planos
En un estado plano, la dirección que hemos denominado x3 es principal
y la tensión asociada es una tensión principal (que se anula en el caso de
tensión plana). En el plano x1 x2 , existen dos tensiones principales que llamamos I , II con sus direcciones principales correspondientes vI , vII . Nótese
que no se correspoden necesariamente con las dos tensiones principales mayores en el punto, porque puede que la tensión principal = 0 sea la mayor
de la tres o la intermedia.
Para continuar, y por simplificar la notación, supongamos que el sistema
coordenado x1 , x2 , x3 es el cartesiano x, y, z. Entonces, en cualquiera de los
dos tipos de estados planos las tensiones principales I y II son las raı́ces
del polinomio caracterı́stico


1 0
x
xy
2
0=
= 2 ( x + y) + x y
xy . (4.52)
0
1
xy
y
Éstas se pueden escribir de forma explı́cita como
s✓
◆2
x+ y
x
y
=
±
+
2
2
2
xy
.
(4.53)
Consideremos ahora las componentes intrı́nsecas de la tensión t = n
sobre planos de normal n contenida en el plano xy, es decir, tal que n·k = 0.
En la base principal BP = {vI , vII , k} este vector se puede escribir como
n = cos ✓ vI + sin ✓ vII , ası́ pues la tensión normal sobre dicho plano es
8
9 2
9
38
0 0
<cos ✓=
<cos ✓=
I
sin ✓ · 4 0
0 5 sin ✓
n =n· n=
II
:
;
:
;
0
0 0
0
z
(4.54)
= I cos2 ✓ + II sin2 ✓
I + II
I
II
=
+
cos(2✓) .
2
2
90
Mecánica de sólidos,
I. Romero
⌧m
2✓
II
I
n
I + II
2
Figura 4.4: Diagrama de Mohr para estados planos.
Para calcular la componente tangencial definimos el vector unitario m =
n ⇥ k. Este vector define, sólo para problemas planos la única dirección
tangencial posible sobre el plano de normal n donde puede haber tensión
tangencial. Este vector además tiene expresión en la base principal m =
sin ✓ vI cos ✓ vII ası́ que podemos definir la tensión tangencial ⌧m como la
proyección t · m y calcularla explı́citamente de la siguiente manera
8
9 2
9
38
0 0
< sin ✓ =
<cos ✓=
I
cos ✓ · 4 0
0 5 sin ✓
⌧m = m · n =
II
:
;
:
;
0
0 0
0
z
(4.55)
= I sin ✓ cos ✓
II sin ✓ cos ✓
=
I
II
sin(2✓).
2
A partir de las expresiones (4.54) y (4.55) se interpreta que las componentes
intrı́nsecas ( n , ⌧m ) de la tensión en estados planos recorren un circunferencia en el plano como se indica en la 4.4. A diferencia del diagrama de
Mohr para estados de tensión tridimensionales, en el caso plano tiene sentido representar un cı́rculo completo, puesto que en este caso la tensiones
tangenciales ⌧m sı́ que pueden ser negativas.
4.7.
Aplicación: torsión de ejes no circulares
Estudiamos a continuación una aplicación de la teorı́a de la elasticidad lineal para el estudio de la torsión de ejes con sección no circular de materiales
elásticos lineales isótropos.
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
91
x2
(x1 + u1, x2 + u2)
(x1 , x2 )
x1
S
m
n
Figura 4.5: Sección transversal de un eje no circular
El caso de ejes de sección circular maciza o hueca se describe con la
teorı́a de Coulomb, y es relativamente sencilla gracias a la simetrı́a de revolución en la solución. Como se estudia en cursos básicos de Resistencia de
Materiales, un eje circular macizo o hueco sometido a torsión pura de valor
Mt experimenta un giro por unidad de longitud # cuyo valor es
#=
Mt
,
µ Io
(4.56)
siendo Io el momento polar de inercia de la sección respecto de su centro de
gravedad. Además se puede deducir de forma sencilla que las tensiones sobre
las secciones transversales del eje son únicamente tangenciales, en dirección
perpendicular a los radios de la misma y de módulo
|⌧ | =
Mt
r,
Io
(4.57)
siendo r la distancia del punto estudiado al centro de gravedad de la sección.
Para ejes no circulares, sin embargo, la solución es bastante más compleja
y la propuso Saint Venant. El método de obtención, que se conoce como
semi-implı́cito, es habitual en teorı́a de elasticidad: se postula una expresión
para los desplazamientos que depende de algunos parámetros; se encuentra
el valor de los parámetros que hace válida esta ecuación y se comprueba
finalmente que además esta solución se corresponde con un estado de torsión
pura.
92
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Para describir las hipótesis de la teorı́a de Saint Venant, supondremos
que la sección del eje está contenida en el plano x1 , x2 de un sistema de
coordenadas x1 , x2 , x3 con origen en el centro de gravedad de la sección y
con la dirección x3 perpendicular a la misma, como se indica en la figura 4.5.
Cuando se aplica un estado de torsión pura sobre el eje se supondrá que:
Las secciones giran y se alabean, pero su proyección sobre el plano x1 , x2
permanece idéntica a la sección sin deformar.
El alabeo de todas las secciones es el mismo, y además es proporcional
al giro por unidad de longitud #.
Como en la teorı́a de Coulomb, el giro de una sección es proporcional
al giro por unidad de longitud y la distancia a un extremo del eje.
La expresión matemática de las hipótesis es:
u1 = r cos( + )
r cos
u2 = r sin( + )
r sin
(4.58)
u3 = # (x1 , x2 )
Si el giro es pequeño, es inmediato comprobar que los desplazamientos se
pueden aproximar por las funciones
u1 =
x2 x3 # ,
u2 =
x1 x3 # ,
(4.59)
u3 = # (x1 , x2 ) .
A partir del campo de desplazamiento se deduce que las tres deformaciones
longitudinales "11 , "22 y "33 son nulas y que las deformaciones angulares son
#
#
( ,1 x2 ) , "23 = ( ,2 + x1 ) .
(4.60)
2
2
A partir de estas, y empleando las ecuaciones de Lamé, se sigue que las
tensiones 11 , 22 y 33 son nulas y las tensiones tangenciales valen
"12 = 0 ,
12
=0,
"13 =
13
= µ#(
,1
x2 ) ,
23
= µ#(
,2
+ x1 ) .
(4.61)
Suponiendo que no existen fuerzas volumétricas sobre el eje, o que su
valor es despreciable, la ecuación del equilibrio de fuerzas, div = 0, expresada en la base escogida implica que se debe satisfacer
µ#(
,11
+
,22 )
=0
(4.62)
o, equivalentemente,
4 =0
(4.63)
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
93
en todos los puntos del interior de la sección. Para encontrar la expresión de
la ecuación del equilibrio de fuerzas en el contorno de la sección supongamos
que éste se puede parametrizar con una función diferenciable x = x(s),
siendo el parámetro s la longitud de arco del contorno. En este caso, el
vector tangente al contorno es m = x0 y el vector normal n = m ⇥ e3 .
Como el contorno de la sección está libre de tensiones se sigue que 0 = n.
Si la normal al contorno se expresa como n = n1 e1 + n2 e2 , entonces la
condición de contorno implica dos igualdades escalares triviales y además
0=(
,1
x2 )n1 + (
,2
+ x1 )n2 .
(4.64)
La función de alabeo es por tanto una función armónica que satisface la
identidad anterior en el contorno y el campo de desplazamientos (4.58) es
la solución a un problema elástico.
Falta por comprobar que, efectivamente, la solución encontrada corresponde a un estado de torsión pura. Es sencillo comprobar que no existe
ninguna fuerza resultante sobre la sección, ası́ pues no hay sobre ella ni esfuerzo axial ni de cortante. Además, como no hay tensiones normales 33 ,
tampoco existen momentos flectores sobre ésta. Sin embargo, el momento
resultante en dirección del eje x3 es
Z
Mt = (x1 23 x2 13 ) dS
ZS
(4.65)
2
2
=
µ#(x1 + x2 + x1 ,2 x2 ,1 ) dS .
S
De esta identidad se sigue que la relación entre el par torsor y el giro por
unidad de longitud # se puede escribir como
#=
Mt
µ It
si It , la inercia a torsión de la sección, se calcula como
Z
It = (x21 + x22 + x1 ,2 x2 ,1 ) dS .
(4.66)
(4.67)
S
Observaciones:
a) Comparando la expresión (4.66) con (4.56) concluimos que la inercia
a torsión juega el mismo papel que el momento polar de inercia en la
torsión de ejes circulares, cuantificando la contribución geométrica a
la rigidez torsional.
b) Además, se verifica que si la sección es circular la función de alabeo es
idénticamente nula y por tanto It = I0 .
94
Mecánica de sólidos,
I. Romero
r
x2
x1
Figura 4.6: Isolı́neas de nivel de la función de Prandtl.
c) Por último, se puede comprobar que para cualquier sección It  Io ,
siendo cierta la identidad únicamente para las secciones circulares.
Esto apunta a que las secciones no circulares sometidas a torsión se
alabean como mecanismo para reducir su rigidez torsional, pero manteniendo una solución válida al problema elástico, y ası́ disminuir su
energı́a potencial.
4.7.1.
Teorı́a de Prandtl
Las únicas componentes no nulas del tensor de tensiones, en el sistema de
referencia escogido, son 31 y 32 . Para intentar comprender mejor cómo son
estas componentes de la tensión tangencial sobre el plano de las secciones
transversales del eje supongamos que existe una función diferenciable =
(x1 , x2 ), llamada función de Prandtl, tal que
13
=
,2
,
23
=
,1
.
(4.68)
En primer lugar se observa que si esta función existe, entonces el tensor
de tensiones satisface div = 0, es decir, verifica las ecuaciones de equilibrio. En segundo lugar, utilizando las expresiones (4.61) de las tensiones
tangenciales se sigue que
13
=
,2
= #µ(
,1
x2 ) ,
23
=
,1
= #µ(
,2
+ x1 ) .
(4.69)
Derivando la primera de estas identidades con respecto a x2 , la segunda con
respecto a x1 y restando el resultado de ambas operaciones concluimos que
4 = 2µ# .
(4.70)
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
95
Finalmente, si como anteriormente suponemos que el contorno de la sección
viene dado por una curva x = x(s), entonces, la condición de que el lateral
del eje no está sometido a tensión se expresa como n = 0 o también
0=
,2 n1
,1 n2
=
0
,2 x2
+
0
,1 x1
=
@
,
@s
(4.71)
es decir, que la función es contante a lo largo del contorno de la sección.
El momento torsor se puede calcular como
Z
Mt = (x1 23 x2 13 ) dS
ZS
=
(x1 ,1 + x2 ,2 ) dS
ZS
(4.72)
=
grad · (x1 e1 + x2 e2 ) dS
ZS
Z
=
div(x1 e1 + x2 e2 ) dS
(x1 e1 + x2 e2 ) · n d .
S
@S
Si la sección S no tiene agujeros, podemos fijar arbitrariamente el valor de
en el contorno y escogiendo = 0 en @S concluimos que
Z
Mt = 2
dS .
(4.73)
S
Igual que en el caso de la teorı́a de Saint Venant, podemos encontrar la
inercia a torsión a partir de la expresión anterior y la relación (4.66):
R
2 S dS
It =
.
(4.74)
µ#
Además de una herramienta para calcular la rigidez a torsión, la función
de Prandtl sirve para obtener conclusiones cualitativas sobre la distribución
de tensiones tangenciales en la sección. Como esta tensión es de la forma
⌧ = 13 e1 + 23 e2 = ,2 e1
,1 e2 y podemos deducir
|⌧ | = |grad | ,
⌧ · grad = 0 ,
(4.75)
es decir, que los vectores tensión sobre las secciones transversales del eje
son perpendiculares al gradiente de y tiene el mismo módulo que grad .
A partir de las curvas de nivel de , podemos deducir que las máximas
tensiones tangenciales ocurrirán allı́ donde estas estén más juntas, y que si
dirección será la tangente a las curva de nivel.
4.7.2.
Ejemplo: torsión de secciones elı́pticas
Como ejemplo de aplicación de la teorı́a de esta sección calculamos la
función de alabeo y la función de Prandtl de una sección elı́ptica con las dimensiones indicadas en la figura 4.7. En primer lugar, buscamos una función
96
Mecánica de sólidos,
I. Romero
a
x2
b
n
x1
Figura 4.7: Sección elı́ptica sometida a torsión pura.
: S ! R que satisfaga las ecuaciones (4.63) y (4.64). Para ello, empleamos el llamado método semi-inverso que consiste en proponer una solución
conocida parcialmente. En este caso, se propone
(x1 , x2 ) = kx1 x2 ,
(4.76)
siendo k una constante a determinar. Es inmediato comprobar que esta función satisface la ecuación (4.63). Para verificar si cumple la condición (4.64)
en el contorno de la sección recordamos la ecuación paramétrica de la elipse
x1 = a cos ✓ ,
x2 = b sin ✓ ,
(4.77)
y obtenemos a partir de ésta la expresión del vector tangente al contorno
de S, que denominamos m y del vector normal n = m ⇥ e3 :
m = (x01 e1 + x02 e2 )/C = ( a sin ✓e1 + b cos ✓e2 )/C ,
b
a
n = (b cos ✓e1 + a sin ✓e2 )/C = ( x1 e1 + x2 e2 )/C ,
a
b
(4.78)
siendo C una constante para normalizar el vector tangente y el normal.
Sustituyendo la expresión del vector normal en la ecuación (4.64) se sigue
0 = (kx2
= (k
que se verifica si k = (b2
b
a
x2 ) x1 + (kx1 + x1 ) x2
a
b
b
a
1) x1 x2 + (k + 1) x1 x2
a
b
(4.79)
a2 )/(b2 + a2 ) y por tanto
(x1 , x2 ) =
b2 a 2
x1 x2 .
b2 + a 2
(4.80)
Una vez conocida la función de alabeo, podemos calcular la inercia a torsión
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
97
Figura 4.8: Función de alabeo
para el eje de sección elı́ptica.
de la sección empleando la expresión (4.67):
Z
It = (x21 + x22 + x1 ,2 x2 ,1 ) dA
ZS
= (x21 + x22 + kx21 kx22 ) dA
S
Z
Z
2
= (1 + k) x1 dA + (1 k) x22 dA
S
= (1 + k)I2 + (1 k)I1
⇡
⇡
= (1 + k) ab3 + (1 k) a3 b
4
4
3
3
⇡a b
= 2
.
a + b2
S
(4.81)
Nótese que It = Io + k(I2 I1 ). Cuando a > b, k es negativo y I2 I1 ,
positivo, ası́ pues It < Io . Cuando a < b la conclusión es la misma. El único
caso en el que It = Io es cuando la función de alabeo es idénticamente nula,
es decir, en la sección circular.
Para calcular la función de Prandtl, utilizamos también el método semiinverso y suponemos que esta es de la forma
✓ 2
◆
x1 x22
(x1 , x2 ) = ⌘
+ 2 1 ,
(4.82)
a2
b
siendo ⌘ una constante cuyo valor determinaremos a continuación. Las curvas de nivel de la función son elipses concéntricas y ésta es evidentemente
nula en el contorno de la sección. La relación (4.70) se satisface si ⌘ vale
⌘=
µ#a2 b2
.
a 2 + b2
(4.83)
98
Mecánica de sólidos,
Figura 4.9: Curvas de nivel de la función de Prandtl
elı́ptica
I. Romero
del tubo de sección
Figura 4.10: Dirección (izda.) y módulo (dcha.) de los vectores de tensión
tangencial en el eje de sección elı́ptica sometido a torsión pura.
Esta función nos indica que la tensiones tangenciales sobre la sección son
tangentes a elipses concéntricas y que su módulo es máximo donde los semiejes cortan la elipse exterior. Dado que el momento torsor y la función de
Prandtl están relacionados por la fórmula (4.73), podemos verificar que la
inercia torsional es
R
2 S (x1 , x2 ) dA
Mt
⇡a3 b3
It =
=
= 2
,
(4.84)
µ#
µ#
a + b2
que coincide con el resultado obtenido mediante la función de alabeo.
4.8.
Aplicación: Ondas planas
Una segunda aplicación sencilla de la teorı́a de la elasticidad lineal es el
estudio de las ondas planas que se propagan en medios elásticos infinitos.
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
99
Estas son campos de desplazamiento de la forma
u(x, t) = sin(ct
b · x)a ,
(4.85)
que satisfacen la ecuación de Navier. El vector a indica la dirección de los
desplazamientos y a veces se llama el vector de polarización. El vector b es
el vector unitario de propagación de la onda. La constante c es la velocidad
de propagación de la onda en el medio elástico.
A continuación estudiamos qué valores de a, b y c se pueden dar en un
medio elástico y qué relación guardan entre ellos, asegurando que se cumpla
la ecuación del equilibrio dinámico
div
+ f̄ = ⇢ü .
(4.86)
Esta ecuación es similar a la estudiada en el capı́tulo 2, pero se ha añadido
un término inercial igual al producto de la densidad por la aceleración (la
segunda derivada con respecto al tiempo del campo de desplazamiento u).
En primer lugar obtenemos, derivando dos veces respecto al tiempo la
expresión (4.85):
ü(x, t) = c2 sin(ct b · x)a .
(4.87)
Para hallar la tensión obtenemos en primer lugar el gradiente de la deformación
gradu(x, t) = sin(ct b · x)a ⌦ b ,
(4.88)
y su simetrización
"(x, t) =
sin(ct
b · x)/2(a ⌦ b + b ⌦ a) .
(4.89)
A partir de este valor y las ecuaciones de Lamé se sigue que la tensión es
(x, t) =
sin(ct
b · x) ( (a · b)I + µ(a ⌦ b + b ⌦ a)) ,
(4.90)
cuya divergencia es
div (x, t) =
cos(ct
b · x) [(µ + )(a · b)b + µa] .
(4.91)
Sustituyendo (4.87) y en la ecuación del equilibrio (4.86) se ha de verificar:
⇢c2 a = (a · b)(µ + )b + µa .
(4.92)
Esto sólo puede ocurrir en dos casos. En primer lugar, si los vectores a y b
son paralelos, entonces esta relación se satisface y además
s
+ 2µ
c = cP =
.
(4.93)
⇢
100
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Este tipo de ondas planas en las que la dirección de propagación coincide
con la de polarización se llaman ondas primarias u ondas P. En segundo lugar, es posible que las direcciones de polarización y propagación sean
ortogonales y entonces (4.92) también se verifica con
c = cS =
r
µ
.
⇢
(4.94)
Este tipo de ondas se llaman ondas secundarias u ondas S .
En medios elásticos, isótropos, infinitos sólo pueden darse los dos tipos
de ondas planas encontradas. Además cada uno de estos tipos de ondas viaja
con su velocidad correspondiente.
4.9.
Limitaciones de la teorı́a lineal
En estas notas estudiamos únicamente la teorı́a lineal de los sólidos deformables y en este capı́tulo hemos descrito el caso particular de la elasticidad
lineal, por ser el más sencillo y el de más fácil aplicación. Este modelo tiene, por un lado, innumerables aplicaciones a la mecánica estructural y de
máquinas. Por otro, también adolece de graves limitaciones que impiden su
uso generalizado para problemas más complejos, donde la hipótesis de pequeñas deformaciones es inaceptable. Mencionamos a continuación alguna
de éstas, dejando para cursos más avanzados el estudio de la elasticidad no
lineal y de la teorı́a no lineal de sólidos deformables ([1, 4, 2]).
4.9.1.
Limitaciones en la estática
La ecuación del equilibrio de fuerzas div + f̄ = 0 es estrictamente
cierta, incluso aunque las deformaciones sean enormes, siempre que se defina
con precisión el tensor y las fuerzas volumétricas f̄ . La dificultad aparece
cuando un cuerpo, debido a su deformación, cambia significativamente de
forma y tamaño, de tal manera que las fuerzas por unidad de área inicial
y las fuerzas por unidad de área deformada no son parecidas. Entonces, es
necesario especificar a qué área hace referencia el tensor de tensiones.
En particular, el tensor de tensiones de Cauchy
se define como la
fuerza que se hace, por unidad de área deformada a través de un diferencial
de área. El razonamiento para llegar a la ecuación del equilibrio en la llamada
configuración deformada es idéntico al empleado en el Capı́tulo 2.
Sin embargo, como la configuración deformada no es conocida a priori
resulta que para poder definir el tensor de tensiones y expresar la ecuación
del equilibrio es necesario haber resuelto el problema con anterioridad. Para
evitar este argumento circular, se proponen otros tensores de tensión. Por
ejemplo, el (primer) tensor de Piola-Kirchho↵ es el tensor de tensiones que expresa las fuerzas que se ejercen sobre un diferencial de área, por
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
101
4
E (m)
m= 2
m=0
3
m=1
m=2
2
1
0
-1
-2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
L/Lo
Figura 4.11: Medidas de deformación uniaxial.
unidad de área sin deformar. Pero este no es el único tensor de tensiones
útil en mecánica de sólidos. Al contrario, existen varios más que son útiles
y cuya descripción se puede encontrar en libros más avanzados. Como única
aclaración, indicamos que la fuerza por unidad de área sin deformar también
se llama tensión nominal y es más fácil de calcular que la tensión real.
4.9.2.
Limitaciones en la cinemática
Como ya se ha explicado, el tensor de deformaciones infinitesimales "
sólo mide deformaciones de forma exacta cuando éstas y los desplazamientos son infinitesimales. Cuando no lo son, el tensor " sólo proporciona una
aproximación a las auténticas deformaciones.
Los tensores de deformación válidos en cualquier situación deben de cumplir, al menos, dos condiciones. La primera es que si el entorno de un punto
(deformado o no) sufre un desplazamiento de sólido rı́gido de magnitud arbitraria, la deformación no debe de alterarse. La segunda condición es que
cuando las deformación y desplazamientos sean muy pequeños, el tensor de
deformaciones coincida con ".
Bajo estas dos premisas existen infinitos tensores de deformación válidos.
El más sencillo de comprender, el llamado tensor de deformación de GreenLagrange, se define como
1
E = ((I + gradu)T (I + gradu) I) ,
(4.95)
2
y ya apareció en el Capı́tulo 3 en el cálculo de las deformaciones longitudinales, aunque eliminamos el término cuadrático al suponer que los gradientes
gradu eran pequeños.
Para comprender el por qué de esta variedad de medidas de deformación sin necesidad de comprender los detalles de la cinemática de medios
102
Mecánica de sólidos,
I. Romero
L0
"0!1
L1
"1!2
L2
Figura 4.12: Deformación longitudinal de una barra recta en dos fases.
continuos podemos estudiar la deformación (unidimensional) de una barra
de longitud Lo al ser estirada o comprimida hasta una longitud L. En este
caso, las medidas de deformación
(
log LL
⌘ si m = 0 ,
E (m) = 1 ⇣ Lom
(4.96)
1
si m 6= 0 ,
m Lm
o
son todas ellas válidas. En la figura se pueden comparar cuatro medidas de
deformación del tipo (4.96): la llamada deformación de Almansi (m =
2), la deformación de Hencky o logarı́tmica (m = 0), la “ingenieril”
(m = 1) y la de Green-Lagrange (m = 2). Se puede observar como para
deformaciones pequeñas (L/Lo ⇡ 1) todas ellas coinciden.
La deformación de Hencky tiene una propiedad que la hace especial,
entre todas. Consideremos, para ver esto, la deformación longitudinal de
una barra recta de longitud L0 tal y como aparece en la figura 4.12. Cuando
la barra se estira hasta alcanzar una longitud L1 , la deformación que ésta
experimenta es "0!1 = (L1 L0 )/L0 . Si la viga se estira más, hasta alcanzar
la longitud L2 , la deformación en este segundo paso es "1!2 = (L2 L1 )/L1 .
Si calculamos la deformación total "0!2 = (L2 L0 )/L0 comprobamos que
"0!1 + "1!2 6= "0!2 ,
(4.97)
es decir, que la deformación no es aditiva y que por tanto no da igual cómo
se calcule (a menos que la deformación total sea infinitesimal). Si repetimos
este mismo argumento, empleando esta vez la deformación logarı́tmica se
comprueba que
"0!1 + "1!2 = log
L1
L2
L2
+ log
= log
= "0!2 ,
L0
L1
L0
(4.98)
es decir, que sı́ es aditiva. Para comprender mejor esta propiedad, consideremos la deformación infinitesimal que aparece cuando se deforma longitudinalmente una barra recta de longitud L0 + u hasta L0 + u + du, tal y como
aparece en la figura 4.13. En este caso, se tiene que
d" =
du
.
L0 + u
(4.99)
Si sumamos todas las contribuciones diferenciales en una deformación com-
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
103
L0 + u
d"
L0 + u + du
Figura 4.13: Deformación infinitesimal entre dos configuraciones deformadas
de una barra recta.
pleta desde que u = 0 hasta que u = L
"=
Z
d" =
Z
u
0
L0 concluimos que
du
L0 + u
L L0
= log
= log
.
L0 + u
L0
L0
(4.100)
Este resultado indica que la deformación logarı́tmica es la que se obtiene
al integrar, en cada incremento infinitesimal de deformación, la medida de
deformación estándar.
4.9.3.
Limitaciones del modelo constitutivo elástico
La relación constitutiva elástica lineal, como se indicaba anteriormente, es extremadamente útil y se emplea en todos los cálculos habituales de
estructuras y diseño de máquinas. Sin embargo presenta algunas paradojas
que señalan a que no puede ser completamente válido. La más importante
se puede explicar incluso con un modelo unidimensional: en un ensayo de
tracción/compresión unidimensional se tiene que xx = E✏xx . Esta expresión indica que para obtener un alargamiento ✏ = 0,1 se require la misma
tensión (en módulo) que para obtener un acortamiento ✏ = 0,1. Aunque
esto puede ser aproximadamente cierto para ✏ pequeño, claramente no puede
ser válido para valores grandes de la deformación.
Problemas
4.1.
Dibuja sobre la hipotenusa del
triángulo rectángulo de la figura la
tensión normal y tangencial correspondiente a su estado tensional. Dibuja además los ejes principales de
tensión (Nota: las tensiones están
expresadas en MPa).
2
30o
p
2 3p
2 3
6
104
4.2.
4.3.
Mecánica de sólidos,
De un punto en un cuerpo deformable se extrae un triángulo equilátero
diferencial del cual se conoce el estado tensional sobre alguna de sus caras. Dibuja el diagrama de Mohr del
estado tensional del punto y completa el valor de los vectores tensión
de la figura, sabiendo que los valores indicados están en unidades de
MPa. Dibuja la posición de los ejes
principales sobre el triángulo.
p
5+2 3
5
4
2
Se colocan tres galgas extensométricas sobre la superficie de un cuerpo
deformable como se indica en la figura. Si las galgas miden:
"A = 10
3
,
"B = 2·10
3
,
"C =
I. Romero
B
45
3·10
3
,
y
y se sabe que el sólido está en un estado de tensión plana, siendo z el eje
de tensión nula. Calcular el tensor
de deformación completo en el punto en el que las galgas realizan las
mediciones (E = 20000 Kp/mm2 y
⌫ = 0,35).
x
A
C
4.4. Dados los estados tensionales A y B correspondientes a estados planos
de tensión,
a) Considerar el estado C que resulta de sumar las tensiones que crean
los estados A y B. Dibujar el diagrama de Mohr correspodiente a este
tercer estado.
b) Determinar de forma gráfica el valor de
estado de cortante puro.
para que el estado C sea un
c) Determinar de forma gráfica el valor mı́nimo de
C no haya compresión en ningún plano.
para que en el estado
d ) Determinar de forma gráfica el valor máximo de
C no haya tracción en ningún plano.
para que en el estado
e) Resuelve analı́ticamente las tres preguntas anteriores.
(NOTA: las tensiones en el estado A están expresadas en MPa).
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
105
4
3
4
45
3
4
3
3
4
Estado A
Estado B
Figura 4.14: Problema 4.4.
4.5.
Un punto de un cuerpo tiene un estado tensional plano cuya representación gráfica se adjunta.
1
2
5
a) Dibuja el diagrama de Mohr
del estado tensional.
b) Identifica sobre la circunferencia de Mohr el estado tensional de las caras A y B.
c) Calcula a partir de la figura el
valor de las tensiones principales.
d ) Indica el ángulo (y el sentido)
que forma la normal nA con la
dirección principal primera.
A
5
B
1
(Tensiones en MPa)
106
4.6.
Mecánica de sólidos,
La figura indica el estado tensional
plano de un punto en un cuerpo deformable.
I. Romero
3
2
I
a) Halla el valor de la tensión
normal sabiendo que la tensión cortante máxima en ese
punto es de 5 MPa.
II
2
b) Dibuja el cı́rculo de Mohr
correspondiente al estado de
tensión resultante.
(Tensiones en MPa)
c) Identifica, sobre el cı́rculo, el
estado tensional de la cara I y
de la cara II.
4.7.
Un punto de un sólido deformable
se encuentra sometido a un estado plano de tensión representado
por la figura de la izquierda. Encontar gráficamente las tensiones en
las tres caras del triángulo equilátero diferencial de la derecha centrado
en el mismo punto.
2
2
4
4
2
2
(Tensiones en MPa)
Capı́tulo 4. Elasticidad lineal
4.8.
107
Un sólido elástico isótropo se encuentra en un estado de tensión plana. Uno de sus puntos, que denominamos P , tiene un estado tensional
que en el sistema de coordenadas xy
de la figura (siendo z el eje normal
al plano de tensión nula) tiene la siguiente respresentación matricial:

4
1
[ ]xy =
MPa
1 2
y
x
a) Dibuja el diagrama de Mohr
del estado plano de tensión en el punto P .
b) Calcula las componentes
intrı́nsecas del vector tensión
sobre cada una de las caras
del triángulo diferencial de la
figura, si está centrado en el
punto P .
4.9. Una viga de acero (E = 210 GPa, ⌫ = 0,3) está sometida a una tracción
pura de 100 MPa. Calcular su deformación volumétrica.
4.10. El estado tensional en un punto de un sólido de acero, cuando se
refiere a una base ortonormal, tiene por expresión
2
3
30 20
0
10 0 5 MPa
= 4 20
0
0
70
Calcular la energı́a interna del punto por unidad de volumen de dos maneras
distintas:
a) Empleando la expresión directa de la energı́a complementaria y
b) Calculando la deformación asociada y, a partir de ésta, la energı́a elástica.
4.11. Un material ortótropo tiene la siguiente
2
100 10 15 0 0
6 10 40 5 0 0
6
6 15 5 8 0 0
[C] = 6
6 0
0 0 6 0
6
4 0
0 0 0 7
0
0 0 0 0
matriz de elasticidades
3
0
07
7
07
7 MPa
07
7
05
4
108
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Definimos la siguiente ley de Hooke generalizada
"11 =
"22 =
"33 =
"23 /2 =
"13 /2 =
"12 /2 =
11
E11
22
E22
33
E33
⌫12
E22
⌫21
E11
⌫31
E11
22
11
11
⌫13
E33
⌫23
E33
⌫32
E22
23
33
33
22
,
G23
13
G13
12
G12
sabiendo que para que la matriz de flexibilidades [C]
berá verificarse además
⌫ij
⌫ji
=
Ejj
Eii
1
sea simétrica de-
para toda pareja i 6= j. Determina el valor de las constantes E11 , E22 , E33 ,
⌫12 , ⌫13 , ⌫23 , G12 , G13 , G23 .
4.12. Comprueba que, en problemas planos, las ecuaciones de Lamé se pueden escribir como
= ¯ tr(")I + 2µ "
siendo
¯=
Bibliografı́a
8
<
2 µ
:
+ 2µ
deformación plana ,
tensión plana .
[1] A E Green and W Zerna. Theoretical elasticity. 1968.
[2] G A Holzapfel. Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for
engineering. John Wiley & Sons, 2000.
[3] J E Marsden and T J R Hughes. Mathematical foundations of elasticity.
Prentice-Hall Englewood Cli↵s, 1983.
[4] R W Ogden. Non-linear elastic deformations. 1984.
[5] W S Slaughter. The linearized theory of elasticity. 2002.
[6] C Truesdell and W Noll. The non-linear field theories of mechanics.
Springer, second edition, 1992.